(二元一次方程组的图像解法A)教师版
怎样用图象法解方程组呢
1、一次函数 y=5-x与y=2x-1图象的交点坐标为（2，
x2 y 5 x 3），则方程组 的解为 _________. y3 y 2x 1 x2 2、若方程组 2 x y 1的解为 ，则一次函数 y 5 3x y 1
x（分）
(2)30分钟时水箱有多少升水？
当x=30时，y=2.5 × 30+25 = 100 答： 30分钟时水箱有100升水。
新年快要到了，和平小学准备到水果批发市场购买 水果，慰问敬老院的爷爷奶奶们 市场对购买量在300千克以上（含300千克）有两种销售 方案：方案一，每千克9元，由市场送货上门；方案二， 每千克8元，由学校自己租车运回 ，已知租车运输费为 500元。 （1）分别写出两种购买方案的付款y（元）与购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式。 （2）选择哪种购买方案 付款最少呢？
y=2x-4
y 2x 4
y=-2
解得
解得
用图象可以 解决方程问题
说一说，怎样用图象法解方程组呢？
1、把两个方程都化成一次函数的形式。 2、画出两个函数的图象。 3、观察交点坐标，交点坐标的值即为方程组的解。
二元一次方程组的解法
• 1、代入消元法
• 2、加减消元法
• 3、图像法
x 2 y 2 解方程组 2 x y 2
y
5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
y=2-x y=5-x
你能从中“悟”出些什么吗？
噢！用函数图像可 以解决方程的问题 O(∩_∩)O哈哈~。
那么用方程的方法 可以解决函数的问 题吗？
课堂小结：
二元一次方程 和一次函数图 象的关系 以二元一次方程的解 为坐标的点都在对应 的函数图象上. 一次函数图象上的点 的坐标都适合对应的 二元一次方程.
《二元一次方程组的解法》PPT课件 (公开课获奖)2022年冀教版 (3)
角的大小是由它们的度数确定的,所以比较 两个角的大小，可以量出它们的度数来比较。
52°
1
66°
2
∠1＜∠2
度量法
手探索(1) 请同学们试一试:如何比较∠ABC与∠DEF的大小
C F
B
A
E
D
F
A
在∠FED的内部，
B
C
经E
D
过
AF
叠
合
B E
C D FA
∠ABC＜∠FED；
在∠FED的外部， ∠ABC＞∠FED；
x=3 ∴ y=-1 即xy=-3
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数 求：m+n的值
解：根据题意：得 3m+2n-16=0 3m-n-1=0 解得： m=2 n=5 即：m+n=7
谈一谈
•加减消元法解二元一次 方程的步骤?
加减消元法解二元一次方程的步骤?
将两个方程化为有一个未知数的系 数绝对值相等的两个方程。
3.方程组
3x-5y=6①
用加减法解方程组 2x-5y=7② 具体解法如下
（1） ①- ②得x=1 (2)把x=1代入①得y=-1.
A （3）∴ x=1 其中出现错误的一步是（
）
y=-1
A（1） B（2） C（3）
想一想
观察方程组： 9x+2y=15
3x+4y=10
能否对其中的一个方程 进行变形，把这个方程 组化为相同未知数的系 数相等或互为相反数的 形式而求解
请你说一说:
你的收获!你的困惑!
你的新想法和新发现.
通过本堂课的探索,你学会了什么?有何 收获?最想说的一句话是什么？ 1、比较角的大小的两种方法：
人教版七年级数学下册第8章 二元一次方程组(A卷及答案).doc
班级 姓名 学号 分数《第八章 二元一次方程组》测试卷（A 卷）（测试时间：90分钟 满分：120分）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．方程2x ﹣3y=4，2x+y 3=4,2x-3y=4，2x+3y ﹣z=5，x 2﹣y=1中，是二元一次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2.如果a 3x b y与﹣a 2y b x+1是同类项，则（ ）A 、23x y =-⎧⎨=⎩ B. 23x y =⎧⎨=-⎩ C. 23x y =-⎧⎨=-⎩D. 23x y =⎧⎨=⎩3．x 与y 的值相等，则已知程方组54358x y mx y -=⎧⎨+=⎩中m 的值是（ ）．（A ）1 （B ）1- （C ）1± （D ）5±4．甲、乙两个车间工人人数不相等，若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，求原来甲、乙两车间各有多少名工人？设原来甲车间有x 名工人，乙车间有y 名工人，列以下方程组正确的是（ ） A.⎩⎨⎧-==-)10(210y x y x B.⎩⎨⎧-==-10210y x y x C.⎩⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x D.⎩⎨⎧-=++=-10)10(21010y x y x5．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x °，∠2=y °，则可得到方程组为（ ）A ．50180x y x y =-⎧⎨+=⎩B ．50180x y x y =+⎧⎨+=⎩C ． 5090x y x y =+⎧⎨+=⎩D ．5090x y x y =-⎧⎨+=⎩6．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人．下面所列的方程组正确的是（ ） A ．3412x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩ C ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩ D ．23421x y x y +=⎧⎨=+⎩7．已知：21x y =⎧⎨=⎩是方程kx-y=3的解，则k 的值是（ ）A.2B.-2C.1D.-18．方程组525x y x y =+⎧⎨-=⎩的解满足方程x ＋y －a=0，那么a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－39．已知x 2y 1==⎧⎨⎩是方程组ax by 5bx ay 1+=+=⎧⎨⎩的解，则a ﹣b 的值是（ ）A.1-B.2C.3D.4 10．下列四组数值中，为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=++231202z y x z y x z y x 的解是（ ）A 、⎪⎩⎪⎨⎧-===210z y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧===101z y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧=-==010z y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧=-==321z y x二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11．已知x 2y 1=⎧⎨=-⎩是方程ax 5y 15+=的一个解,则a = 。
《第五章二元一次方程组》PPT课件 (公开课)2022年北师大版
第一章 整式的乘除
4 整式的乘法（第1课时）
温故育新：
运用幂的运算性质计算下列各题：
(1)(a5)5
(2)(a2b)3 (3) (2a)2(3a2)3 (4)(y)2yn1
实例引入：
七年级三班举办新年才艺展示，小明的 作品是用同样大小的纸精心制作的两幅 剪贴画，如下图所示，第一幅画的画面 大小与纸的大小相同，第二幅画的画面 在纸的上、下方各留有1 x m 的空白。
(4)(2a2bc3)(3c5)(1ab2c)
3
43
知识加油站：
（1）进行单项式乘法，应先确定结果的符 号，再把同底数幂分别相乘，这时容易出 现的错误是将系数相乘与相同字母指数相
加混淆；
（2）不要遗漏只在一个单项式中出现的字 母，要将其连同它的指数作为积的一个因式；
（3）单项式乘法法则对于三个以上的 单项式相乘同样适用；
3、在你探索单项式乘法运算法则的过 程中，运用了哪些运算律和运算法则？
探索规律：
单项式乘法的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系 数、相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。
例题解析：
例1 计算：
(1)2 xy 2 ( 1 xy ) 3
(2) 2a2b3 (3a)
(3)7xy2z(2xyz)2
解：设调往 A 地段 x 人，调往 B 地段 y 人．由题意，得 xx＋＋2y8＝＝229（，y＋15）.解得xy＝＝290. ，所以调往 A 地段 20 人，调往 B 地段 9 人
4．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排 骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜 只要36元”；
是 18 元/斤；解法二：这天萝卜的单价是 x 元/斤，排骨的单价是 y 元/
二元一次方程组的解法(教师版)2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义(人教版)
第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。
知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 注意： 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②732y x -=733382y y -⨯-=13y =能力拓展将代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为． 【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组：．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x ﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．【即学即练】解方程组（1）（2）【答案】 13y =313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解： 将①代入②：， 得 y=4，将y=4代入①：2x －12=2得 x=7，∴原方程组的解是. （2） 解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，， ∴原方程组的解为. 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值． 【答案】B ．【解析】解：， 由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2． 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②25297y ++=74x y =⎧⎨=⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②k k k k k k k 58k =-542x k ==-1538y k ==-52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以， 又联立方程组，则有， 解得． 所以(2a+b)2011＝-1．【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：， 2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④2011(2)a b +2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③22x y =⎧⎨=-⎩48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩13a b =⎧⎨=-⎩则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】 解：此式可化为：349(1)2659(2)3x y x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23x y =⎧⎨=⎩【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组1615ax my bx ny -=⎧⎨+=⎩的解为71x y =⎧⎨=-⎩，求关于x 、y 的方程组(2)()16(2)()15a x y m x yb x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解． 【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x +y ，x -y 看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x +y )与(x -y )分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．【答案】解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩， 上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较， 可得：510x y =⎧⎨=⎩． 考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩ 【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】 解：设,610x y x y m n +-==，则 原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①② 解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【即学即练】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3－①×2得，3535y =，即1y =，将1y =代入①得，99x =，即1x =，所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解． 【答案与解析】 解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①② ①－②，整理得513y y -=- ③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =；当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解.将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为， 将代入y=kx+9得：k=﹣5， 则当k=﹣5时，（k+1）2=16．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（ ） A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 【答案】D【解析】【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意． 故选D ． 分层提分2．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【解析】【分析】根据各选项分别计算，即可解答．【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．3．解方程组231367x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2【答案】C【解析】【分析】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【详解】解：①×2得：4x+6y=2③，③+②得：7x=9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．用加减法将方程组2311255x yx y-=⎧⎨+=-⎩中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26y= B．816y=C．26y-=D．816y-=【答案】D【解析】【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．利用加减消元法解方程组2510{536x yx y+=-=，①②，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2【答案】D【解析】【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为：（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．故选D6．用代入消元法解方程组3+4=225x yx y⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是()A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x－5【答案】D【解析】【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.【详解】解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故应选D.【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】B【解析】【详解】试题解析：512{34a ba b+=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．8．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2B2C．2D．4【解析】【详解】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． 2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为2．故选C ．9．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（ ）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【详解】 分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可． 详解：∵32120x y x y --+-=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝ 将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②， ①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩． 故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．11．若方程组31331x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定 【答案】A【解析】【详解】试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ． 12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为（ ）A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得2,c =-且3222a b +=①，由于乙看错c ，所以2622a b -+=②，解由①②构成的方程组可得：4,5a b =⎧⎨=⎩故选B ．题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．【答案】y=3-2x【解析】【详解】23x y +=移项得：y=3-2x.故答案是：y=3-2x ．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___． 【答案】1【解析】【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______． 【答案】1【解析】【分析】根据题意，把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得到一个关于a ，b 的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b 的值．【详解】解：根据题意把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得 345432b a b a +⎧⎨+⎩＝①＝②， ①+②，得：7（a+b ）=7，则a+b=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____． 【答案】24．【解析】【分析】把x y 3x 5y +-、分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解：∵x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩， ∴()()()3x y 3x 5y 37324+--=⨯--=．故答案为：24．17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________． 【答案】5【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为 ． 【答案】2【解析】【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==， ∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+=， 故答案为2.19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m -7n 的算术平方根是_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为 4．考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组 20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ．【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩∴方程组3()()=52()()6a b m a ba b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是12a ba b+=⎧⎨-=⎩解12a ba b+=⎧⎨-=⎩得3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．21．若方程组2313{3530.9a ba b-=+=的解是8.3{1.2,ab==则方程组的解为________【答案】6.32.2 xy==⎧⎨⎩【解析】【详解】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：6.3{2.2xy==.题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩， 整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ， 两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩． （2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩， 两式相减得：25y =， 将25y =代入5156x y +=中，得251565x +⨯=， 解得：0x =． 所以原方程组的解为025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．23．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx yx ny+=-=时，甲解题时看错了m，解得7{22xy==-；乙解题时看错了n，解得3{7xy==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】n = 3, m = 4，2 {3 xy==-【解析】【详解】试题分析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，由此即可求得n的值；37xy=⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；试题解析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，∴72(2)132n⨯--=，解得n=3；37xy =⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，∴375m-=，解得m=4；∴原方程组为：452313x yx y+=⎧⎨-=⎩，解此方程组得23xy=⎧⎨=-⎩，∴m=4，n=3，原方程组的解为：23 xy=⎧⎨=-⎩.点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩时，甲解题时看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”这句话的含义是：“722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”是关于x y、的二元一次方程“213x ny-=”的解.25．阅读探索解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得22xy=⎧⎨=⎩，即1222ab-=⎧⎨+=⎩，所以3ab=⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．【答案】（1）95a b =⎧⎨=-⎩；（2）23m n =-⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）设13a -=x ，25b +=y ，可得出关于x 、y 的方程组，即可求出x 、y 的值，进而可求出a 、b 的值；（2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，根据已知方程组的解确定出m 、n 的值即可.【详解】（1）设13a -=x ，25b +=y ， 原方程组可变形为2425x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩，即123215a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：95a b =⎧⎨=-⎩. （2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，原方程组可变形为：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩， ∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩， ∴5(3)53(2)3m n +=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.故答案为23 mn=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.。
5.5二元一次方程组的图象解法
学生自己先思考 后，再分组讨论。 并让代表展示出 讨论结果.
x y 5 的解有什么关系？ 2 x y 1
x-2y= - 2 2x–y=2
你能说理由吗？ ﹙3﹚例：用作图象的方法解方程组
同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以 用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下： （a）把二元一次方程化成一次函数的形式 （b）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 （c）交点坐标就是方程组的解。 4、练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 三、总结 1、我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一 次 函数的图像平行（无交点）二元一次 方程组有一解<=>一次函数的图像相交 （有一个交点）二元一次方程组有无数个 解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 2、二元一次方程的解实际上就是一次函数的 图像交点。用图像法可以解二元一次方程组， 原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。
八年级
苏科版数学学科导学案 编者：
课
题
5.5 二元一次方程组的图象解法
课型
新授
课时
第 1 课时
教学目标
1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法, 同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二元一次方程和一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
3 x
二元一次方程组的图像解法PPT课件
y= -x+2.5
(2)画图
（3）两条直线有什么 位置关系？方程组解的 情况怎样？
两直线平行，无交点， 故方程组无解。
0
x
y= -x-2
通过以上各例及练习，你能说说二元一次 方程组的解的情况吗？有什么样的规律吗？
二元一次方程组
a1x+b1y=c
1
的解的情况有三种：
a2x+b2y=c2
1.当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，方程组有唯一解； 2.2.当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，有无穷多解； 3.3.当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，无解。
2在平面直角坐标系内画出下列二元一次方程的图像二元一次方程相应的一次函数的图像上的点探究学习探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系1解二元一次方程组x2y22xy62x2y2对应的一次函数为y12x132xy6对应的一次函数是y2x61它们有交点吗
13.4二元一次方程组的图像解法
活动三:实践应用
利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
解：由①得: y x1 由②得: y2x1
作出图象： 观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次 方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
3、利用图像解方程组
；泉州代理记账 泉州代理记账；
道法,还有各种神术,奇术,都是从这三皇の秘术中演变而来の.太阴,太阳,太蚀.随便哪壹位古皇,都是震古烁今の人物,是这壹方天地の绝世强者.而这三皇の地位,又有些不同.因为太阴和太蚀,可以说是两位
17.5.1用图像法解二元一次方程组
y
1 x 1 与 2
y 2 x 2 的图象的交点坐
3、根据下列图象，你能说出哪些方程组的解? 这些解是什么?
y
y 2x 1
1
1 y x 2
-2
y
1
y x3
0
0
1
3 8 y x 5 5
x
x
｛
y 2x 1 3 8 y x 5 5
｛y x 3
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
2 x y 1 x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 , y 2
x 2 x y 5 的解为 y .3
2 x y 2
则函数 标为（2，2） .
-4
y 2 x 5
作出图象：
-6
归纳总结:
从形的角度看：
求二元一次方程组的解 是确定两条直线交点的坐标
从数的角度看：
求二元一次方程组的解
自变量为何值时，两个函数的 值相等并求函数值
1.因为方程组
x y 4 的解是 2 x y 1
1 x _____ 3 y _____
所以一次函数y=－x＋4与y=2x＋1的图象交点坐标 （1，3）
为
．
2. 不画函数的图象，求一次函数y＝x＋3 与y＝－3x－1的图象的交点坐标。
就是方程组
y x 3 y 3x 1
的解。
3、A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿 相同的路线从A地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间 x(h)的变化图象。 根据图象回答下列问题： （1）慢车比快车早出发 4 （2）快车比慢车早 2 小时。 小时达到B地。
新华东师大版七年级数学下册《7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法 加减法解二元一次方程组》教案_5
7.2 二元一次方程组的解法——加减消元法一、教材分析：本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。
是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另外的一种消元方法——加减消元法，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
如何求得二元一次方程组的解是本节课要解决的主要问题，通过本节的学习要让学生掌握解二元一次方程组的另一种方法——加减法。
使学生体会“化未知为已知”的化归思想，培养他们对数学的兴趣，同时，对后继数学的学习起到奠基作用。
二、学情分析：我所任教的班级学生基础比较一般，不过有些学生还是具有一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。
有好一部分学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。
因此，我遵循学生的认知规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。
三、教学策略分析：1、深究教材定教法：在深究教材章节内容后，围绕着确定的教学目标，我根据所要教的内容和七年级学生的年龄特征和认知特点，在教学中我主要采取了“先练后教，问题发现，分层探究，例题讲解，巩固训练，拓展设疑”的教法掌握重点，突破难点。
2、因材施教定学法：英国教育学家斯宾塞说过：“教课应该从具体开始，而以抽象结束。
”因此，在教学中，我先温故而知新，复习旧知，增加兴趣，再引入新知识，富有挑战性，课堂要求学生自主探究、合作学习。
对于问题，分组交流，相互补充，再进行归纳小结，而教师参与小组讨论，解答疑问。
四、教学目标：（一）知识与技能目标：1、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。
2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元；3、学会用加减消元法解二元一次方程组；（二）过程与方法目标：1、根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元；训练学生的运算技巧。
(二元一次方程组的图像解法A)教师版
题型1判断所给二元一次方程的解的情况以及与一次函数的关系
【例1】二元一次方程2x+y=4有个解，以它的解为坐标的点都在函数的图象上．
【巩固练习】
1．二元一次方程3x－4y=5的解有（）
A、1组B、2组C、3组D、无数组
2．把二元一次方程2x-y-3=0写成一次函数y＝ ；把一次函数 写成二 元一次方程为。
【巩固练习】
1．直线 ，与两坐标轴围成的三角形面积等于。
2.已知一水池中有600m3的水，每小时抽50m3．
（1）写出剩余水的体积Q（m3）与时间t(h)之间的函数关系式；
（2）写出自变量t的取值范围；
（3）8h后，池中还有水多少立方米？
（4）几小时后，池水还有水100m3？
3．有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间x(h)与水量y(m3)之间的关系图（如图）.
知识点2：利用一次函数图象求二元一次方程组的解
设直线 和 的交点坐标为 ，则 适合这两个函数关系式，所以直线 ，与 的交点坐标就是方程组 的解
【提示】
对于两个一次函数 和 ，如果 ，那么这两个一次函数的图象有一个公共点，这个公共点的坐标就是这两个一次函数关系式组成的方程组的解．如果 ，那么两直线平行，无交点，则相对应的方程组无解．如果 ，那么两直线重合，有无数个交点，此时方程组有无数个解．
图5.5-4
7、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一出租公司其中的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月费用是Y1元，应付给出租公司的月费用是Y2元，Y1、Y2分别与x之间的函数关系图象如图5.5-5，观察图象回答下列问题：
一次函数与二元一次方程的图像解法介绍
y 3x 6
y 4 x2 5
2、 一般地，任何一个二元一次方 程都可以转化为一次函数的形式，所 以每个二元一次方程的图像都是一条 直线.
下面有序数对，哪个是二元一次方程 3x y 6
的解，即那个点在函数 y 3x 6 的图像上.
A（2，0）、B（3，－3）、C（5，-9）、 D（6，-10）、E（-2，10）、F（-3、15）
5 1
方程 ① 可化为y x 5
x 05
y 50
方程 ② 可转化为 y x 1
x 01
y -1 0
如图两直线的交点坐标 是（3，2） 所以此方程组
的解是：
x 3
y
2
x-y=1
3
x+y=5
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
你能归纳运用图像法解二元一次方程组的 一般步骤吗？
①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标 ④写出方程组的解
➢请问这节课你学到了那些知识和
数学方法？
➢用图像法解方程组是数形结合的
一个典型应用.
➢用图像法解方程组的方法步骤你
会了吗？
复习
1、一次函数y=2x-5的图象是一条直，线通常过（ ，20.5 ）、 （0， -5）两点画直线即可。
方程 2x y 6 的解.所以直线 l1 与 l2 的交点P的坐标就
是方程 x 2 y 2 与 2x y 6 的公共解 .
也就是二元一次方程组
x 2y 2 2x y 6
的解.
这样用作图求解二元一次方程组的方法，叫做二元一 次方程组的图像解法，利用图象解法解方程组是从“形” 的角度研究代数问题，数与形有着密切联系。
13.4二元一次方程组的图象解法
13.4二元一次方程组的图象解法（第一课时）一 学习目标：使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 二自主学习：从形式上看，通过移项，二元一次方程可以化为一次函数的形式，一次函数可以化为二元一次方程的形式。
那么二元一次方程的解与相应的一次函数也有关系吗？如果有关系，你能说出有怎样的关系？三 合作探究：方程3x+2y=6的解有多少个?请列出六组解，你能画出这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗？提示一：由3x+2y=6得x= ,y= .提示二：对于y= . 这个函数，任意给出自变量x 的的一些值，可以求都是方程3x+2y=6的解。
提示四：作图x提示五：二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数的图象，它是一条直线。
四 巩固练习：1、在同一个平面直角坐标系内画出下列二元一次方程的图象。
（1）x-y=0 (2)x+y=0.x （第一题）（第四题）2、(1)下列的有序数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？A(2,0) B(3,-3) C(5,-9) D(6,-10) E(-2,10) F(-3,15)(2)给出二元一次方程3x+y=6任意五组非整数解。
3、有五角、一元的硬币各若干个，从中取出一些凑成4元，问有多少种不同的取法？4、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？如果有写出交点的坐标？5、一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点坐标与方程组521ì+=ïïíï-=ïîx yx y的解有什么关系？13.4二元一次方程组的图象解法（第二课时）一 学习目标：1．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 2．通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二自主学习：. 二元一次方程组可以转化为两个一次函数，那么二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标有怎样的关系？ 三 合作探究：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以每一个二元一次方程的图象都是一条直线，这样，解二元一次方程，就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了。
7.2 二元一次方程组的解法课件(共20张PPT)
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？
北师大版数学八上 5.2 求解二元一次方程组--代入消元 课件
解得：x = 5.
x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为：
x
y
5, 3.
典 例 分 析 例1：解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3
②
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
代
3y+9+2y=14
求
y=1
将y=1代入②，得 x=4
所以原方程组的解是 x=4
写
y=1
想一想：怎样检验
x=4 y=1
是不是方程组的解？
典例分析
例2 解方程组
2x+3y=16 x+4y=13
① ②
解：由② ，得 x=13 - 4y
③
变
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 代
求
所以原方程组的解是 x=5
写
y=2
归纳总结
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示 出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一 次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元 法，简称代入法.
解方程组得： .
x=14 y=5.8
课 堂 练 习 【综合实践类作业】
对于平面直角坐标系 中的点 ( , ) ，若点 ' 的坐标为 ( + , + ) （其
中 k 为常数， ≠ 0 ）则称点 ' 为点 P 的“k 属派生点”，例如： (1,4) 的“2 属派生
点”为 '(1+ 2 × 4,2 × 1+ 4) ，即 '(9,6) .
第五章
5.2 求解二元一次方程组
七年级数学下册8.2消元—二元一次方程组的解法(代入消元法)教案新人教版
初一数学教学设计消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计思路在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。
讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
知识目标通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。
根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
能力目标通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。
情感目标体会解二元一次方程组中的“消元” 思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。
由此感受“划归”思想的广泛应用。
教学重点难点疑点及解决办法重点是用代入法解二元一次方程组。
难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。
疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。
解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。
教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法课时安排： 1 课时。
教具学具准备：电脑或投影仪。
教学过程教 师 活动学生活动（一）创设情境，激趣导入在 8.1 中我们已经看到，直接设两个未知数( 设胜 x 场，负 yx y 22看图，分析已知条2x y40表示本章引言中场 ) ，可以列方程组件问题的数量关系。
如果只设一个未知数 ( 设胜 x 场 ) ， 思考 这个问题也可以用一元一次方程________________________[1] 来解。
师生互动分析： [1]2x ＋ (22 － x)=40 。
列式解答观察思考，同 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]桌交流 [2] 通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方 总结程。
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
人教版[新教材]《二元一次方程组》精选课件1
![人教版[新教材]《二元一次方程组》精选课件1](https://img.taocdn.com/s3/m/1c3fafe9866fb84ae55c8d4d.png)
10．(宜昌中考)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几 何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛 酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1 个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
x＝1， x＝3， x＝5， 3．方程 x＋2y＝7 的正整数解有_3__组，分别为__y_＝__3_，____y_＝__2_，____y_＝__1____
知识点二 二元一次方程组的解法
2x－3y＝5，① 4．用加减法解方程组3x－2y＝7，②
下列解法不正确的是(
D
)
A．①×3－②×2，消去 x
第一批 第二批
所用火车车 皮数量(节)
2 4
所用汽车 数量(辆)
5 3
运输物资 总量(吨)
130 218
解：设每节火车车皮装物资 x 吨，每辆汽车装物资 y 吨，根据题意， 得24xx＋ ＋53yy＝ ＝123108， ， ∴xy＝＝65，0， ∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装 物资 6 吨
12．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为 180 米 的河道整治任务由 A，B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治 12 米， B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．
(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：1x2＋x＋y＝8Ｋy＝Ｋ
乙：x1x＋ 2＋y＝8y＝ＫＫ
解：(1)甲同学：设 A 工程队用的时间为 x 天，B 工程队用的时间为 y x＋y＝20，
天，由此列出的方程组为12x＋8y＝180； 乙同学：设 A 工程队整治河道的米数为 x，B 工程队整治河道的米数为
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与 y = k x + b的交点坐标就是方程组⎨ 1k x - y + b = 0 ⎩ 2年 级：初二科 目：数学 课时数：3课题二元一次方程组的图像解法1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系教学目的2．能画出二元一次方程的图象3．会判断点的坐标是否为某二元一次方程的解。
教学内容【知识梳理】知识点 1：一次函数与二元一次方程的关系一般地，一次函数 y = kx + b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 k x - y + b = 0 的一个解；以二元一次方程 kx - y + b = 0 的解为坐标的点都在一次函数 y = kx + b 的图象上．知识点 2：利用一次函数图象求二元一次方程组的解设直线 y = k x + b 和 y = k x + b 的交点坐标为 (a, b )，则 a, b 适合这两个函数关系式，所以直线 y = k x + b ，1 12 2 1122⎧k x - y + b = 01 2的解【提示】对于两个一次函数 y = k x + b 和 y = k x + b ，如果 k ≠ k ，那么这两个一次函数的图象有一个公共点，这个公112212共点的坐标就是这两个一次函数关系式组成的方程组的解．如果k = k , b ≠ b ，那么两直线平行，无交点，则相对1 212应的方程组无解．如果 k = k , b = b ，那么两直线重合，有无数个交点，此时方程组有无数个解．1 212【典型例题分析】题型 1 判断所给二元一次方程的解的情况以及与一次函数的关系【例 1】二元一次方程 2x+y=4 有个解，以它的解为坐标的点都在函数 的图象上．【巩固练习】1．二元一次方程 3x －4y=5 的解有（）A 、 1 组B 、2 组C 、3 组D 、无数组2．把二元一次方程 2x-y-3=0 写成一次函数 y ＝；把一次函数 y = 6 - 2 x 写成二 元一次方程为 。
⎩ 2 x + 3 y = 8⎩ 2 x + by = 13．在平面直角坐标系中，以方程 5x －y=2 的解为坐标的点所组成的直线与 y 轴的交点坐标为（）A 、（0，4）B 、（0，2）C 、（0，－2）D 、（0，－4）题型 2 运用图像法求二元一次方程组的近似解⎧3x - y = 1 【例 2】运用图象法求二元一次方程组 ⎨的解【巩固练习】1．在一次函数 y=3x －5 的图象上任意取一点的坐标都满足方程2．点（1，）在函数 y=5x －4 的图象上，所以 x=1，y= 是方程 5x －y=4 的解。
题型 3 探究创新⎧ax - 3 y = 5【例 3】已知方程组 ⎨，所对应的一次函数图象如图，求 a-b 的值，【巩固练习】(3)请你求方程组 ⎨x + y = 1(1)在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y= 2x+4 和 y= -x+1 的图象；(2)这两个图象有交点吗？答： 如果有交点，则它的交点坐标是；⎧2x - y = -4⎩的解；(4)指出这两个函数图象的交点坐标与方程组的解有何关系？【例 4】1.在平面直角坐标系中，以方程-4x+3y=-12 的解为坐标的点所组成的直线与 x 轴交于点 A ，与 y 轴的交于点 B ，O 为坐标原点，求△AOB 的面积。
2.已知直线 y=x+3 的图象与 x 、y 轴分别交于 A 、B 两点．直线 l 经过原点，与线段 AB 交于 C 点，把△AOB 的面积分成 2：l 的两部分，求直线 l 的表达式，【巩固练习】时1．直线 y = 2 x - 3 ，与两坐标轴围成的三角形面积等于。
2.已知一水池中有 600m 3 的水，每小时抽 50m 3．（1）写出剩余水的体积 Q （m 3）与时间 t(h)之间的函数关系式；（2）写出自变量 t 的取值范围；（3）8h 后，池中还有水多少立方米？（4）几小时后，池水还有水 100m 3？3．有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h 内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间 x(h)与水量 y(m 3)之间的关系图（如图）.回答下列问题：（1）进水管 4h 共进水多少？每小时进水多少？（2）当 0≤x≤4 ，y 与 x 有何关系？（3）当 x=9 时，水池中的水量是多少？（4）若 4h 后，只放水不进水，那么多少小时可将水池中的水放完？【例 5】（综合题）已知直线（2k-1）x+(3k+4) y+ll =O ．2 ．因为 ⎨2x - y = -1 y = _____ x ＋m 和 y ＝－ x ＋n 的图像交于点 A （－2,0），与 y 轴分别交于 B 、C 两点，那么△ABC 的面(1)把直线的关系式整理成关于 k 的一兀一次方程；(2)讨论 x 、y 为何值时，关于 k 的方程有无数个解；(3)说明(2)的几何意义。
【随堂练习】1. 若一次函数 y=－为 ．12⎧x + 2 y = -4 x －2 与 y =2x － 7 的图象交点为（ 2 ，－ 3 ），则二元一次方程组 ⎨ 的解⎩2 x - y = 7⎧x + y = 4 ⎩ 的解是 ⎧x = _____⎨ ⎩， 所 以 一 次 函 数 y = － x ＋ 4 与 y =2x ＋ 1 的 图 象 交 点 坐 标为．3.直线 y=3x －2 和 y=－2x ＋3 图象的交点是．4.已知一次函数 y ＝ 3 12 2积为。
5.已知函数 y ＝kx ＋1 与 y ＝－0.5x ＋b 的图像交于点（2,5），求 k 、b 的值。
6.已知直线 y =3x 与 y =－ 1 2x ＋4，求：⑴这两条直线的交点．⑵这两条直线与 y 轴围成的三角形面积．【课堂总结】⎨A 、 ⎨⎧ y - 3x = 6 ⎩2x+ y = -4 ⎩ 2 x - 4 - y = 0 ⎩ 2 x - y - 4 = 0 ⎩2x - y = 4⎧⎩ 2 x - y = -3.（1） ⎨⎧5x = y + 4 ⎩3x +2 y - 18 = 0 ⎩5x - 9 y = 19 图 5.5-2【课后作业】[双基锤炼]一、选择题1、如果一次函数 y = 3x + 6 与 y = 2 x - 4 的交点坐标是(a, b )，则下列方程组中解是 ⎧ x = a,的是（⎩ y = b .）⎧3x + 6 + y = 0 ⎧3x - y = -6 ⎧3x - y = 6B 、 ⎨C 、 ⎨D 、 ⎨⎧ x + y = 2, 32、显然方程组 ⎨ 无解，因此一次函数 y = 2 - x 与 y = - x 的图象必定（ ）⎩2x + 2 y = 3.2A 、重合B 、平行C 、相交D 、无法判断二、填空题3、方程 2x －y=2 的解有个，用 x 表示 y 为 ，此时 y 是 x 的 函数。
4、方程组 ⎨4x - y = 1 ⎩ y = 2x + 3 的解是 ，则一次函数 y=4x －1 与 y=2x+3 的图象交点为 。
5、函数 y=－2x+1 与 y=3x －9 的图象交点坐标为，这对数是方程组 的解。
6、在图 5.5-2 中的两直线 l 1、l 2 的交点坐标可以看作的解。
7、两直线 y = 2 x - 1 和 y = 2 x - 3 的图象位置关系为_______，由此可知：方程组⎧2 x - y = 1,⎨的解的情况为__________.4y三、解答题8、利用图象解下列方程组0 2 6x-4⎧7 x + 6 y = 8（2） ⎨9、已知直线 y =3x 与 y =－12x ＋4，求：⑴这两条直线的交点．⑵这两条直线与 y 轴围成的三角形面积．。
（ 2[能力提升]一、综合渗透1、如图 5.5-3，l , l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y （费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间 x （小1 2时）的函数图象，假设两种灯泡的使用寿命都是 2000 小时，照明效果一样。
（1）根据图象分别求出 l , l 的函数关系式；1 2（2）当照明时间是多少小时时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明 2500 小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮助他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程） 二、应用创新1、A 、B 两地相距 50km ，甲于某日下午 1 时骑自行车从 A 地出发去 B 地，乙图 5.5-3也于同日下午骑摩托车从 A 地去 B 地。
图 5.5-4 中折线 PQR 和线段 MN 分别代表甲和乙所行驶的里程 s 与该日下午时间 t 之间的关系。
1）甲出发多少小时，乙才开始出发？（ ）乙行驶多少小时就追上了甲，这时两人离B 地还有多远？s/km (B)NR5040302010QP M t/h0 (A)123 4 5图 5.5-47、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一出租公司其中的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶 xkm ，应付给个体车主的月费用是 Y 1 元，应付给出租公司的月费用是 Y 2 元，Y 1、Y 2 分别与 x 之间的函数1、如图 5.5-6，是在同一坐标系内作出的一次函数 y 1、y 2 的图象 l 1、l 2，设 y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组⎨ 1 ⎩y ＝3⎧ 关系图象如图 5.5-5，观察图象回答下列问题：（1） 每月行驶的路程在什么范围内，租公司的车合算？（2） 每月行驶的路程等于什么时，租两辆车的费用相同？（3） 如果这个单位每月行驶的路程为 2300km ，那么这个单位租哪家的车合算？y(元）y23000 Y1200010000 5001500 2500X （KM ）图 5.5-三、探究发散1、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20 元，乒乓球每盒定价 5 元。
现两家商店同时搞促销活动，甲店：每买一付乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠。
某班级需购买乒乓球拍4 付，乒乓球若干盒（不少于 4 盒）.（1）设购买乒乓球 x 盒，在甲店购买的付款数为 y 元，在乙店购买的付款数为 y 元，分别写出在两家商店购买的甲 乙付款数与乒乓球盒数之间的函数关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？[链接中考]⎧y ＝k 1x ＋b 1 ⎩y 2＝k 2x ＋b 2的解是_______.A 、⎨x ＝－2⎩y ＝2⎧x ＝－2 B 、⎨⎩y ＝4⎧C 、⎨x ＝－3 ⎩y ＝3⎧x ＝－3 D 、⎨2、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间 x （小时）之间的关系如图 5.5-7 所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是。