(二元一次方程组的图像解法A)教师版

与 y = k x + b

的交点坐标就是方程组

⎨ 1

k x - y + b = 0 ⎩ 2

年 级：初二

科 目：数学 课时数：3

课

题

二元一次方程组的图像解法

1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系

教学目的

2．能画出二元一次方程的图象

3．会判断点的坐标是否为某二元一次方程的解。

教学内容

【知识梳理】

知识点 1：一次函数与二元一次方程的关系

一般地，一次函数 y = kx + b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 k x - y + b = 0 的一个解；以二元一次方

程 kx - y + b = 0 的解为坐标的点都在一次函数 y = kx + b 的图象上．

知识点 2：利用一次函数图象求二元一次方程组的解

设直线 y = k x + b 和 y = k x + b 的交点坐标为 (a, b )，则 a, b 适合这两个函数关系式，所以直线 y = k x + b ，

1 1

2 2 1

1

2

2

⎧k x - y + b = 0

1 2

的解

【提示】

对于两个一次函数 y = k x + b 和 y = k x + b ，如果 k ≠ k ，那么这两个一次函数的图象有一个公共点，这个公

1

1

2

2

1

2

共点的坐标就是这两个一次函数关系式组成的方程组的解．如果k = k , b ≠ b ，那么两直线平行，无交点，则相对

1 2

1

2

应的方程组无解．如果 k = k , b = b ，那么两直线重合，有无数个交点，此时方程组有无数个解．

1 2

1

2

【典型例题分析】

题型 1 判断所给二元一次方程的解的情况以及与一次函数的关系

【例 1】二元一次方程 2x+y=4 有

个解，以它的解为坐标的点都在函数 的图象上．

【巩固练习】

1．二元一次方程 3x －4y=5 的解有（

）

A 、 1 组

B 、2 组

C 、3 组

D 、无数组

2．把二元一次方程 2x-y-3=0 写成一次函数 y ＝

；把一次函数 y = 6 - 2 x 写成二 元一次方程

为 。

⎩ 2 x + 3 y = 8

⎩ 2 x + by = 1

3．在平面直角坐标系中，以方程 5x －y=2 的解为坐标的点所组成的直线与 y 轴的交点坐标为（

）

A 、（0，4）

B 、（0，2）

C 、（0，－2）

D 、（0，－4）

题型 2 运用图像法求二元一次方程组的近似解

⎧3x - y = 1 【例 2】运用图象法求二元一次方程组 ⎨

的解

【巩固练习】

1．在一次函数 y=3x －5 的图象上任意取一点的坐标都满足方程

2．点（1，

）在函数 y=5x －4 的图象上，所以 x=1，y= 是方程 5x －y=4 的解。

题型 3 探究创新

⎧ax - 3 y = 5

【例 3】已知方程组 ⎨

，所对应的一次函数图象如图，求 a-b 的值，

【巩固练习】

(3)请你求方程组 ⎨

x + y = 1

(1)在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y= 2x+4 和 y= -x+1 的图象；

(2)这两个图象有交点吗？答： 如果有交点，则它的交点坐标是

；

⎧2x - y = -4

⎩

的解；

(4)指出这两个函数图象的交点坐标与方程组的解有何关系？

【例 4】

1.在平面直角坐标系中，以方程-4x+3y=-12 的解为坐标的点所组成的直线与 x 轴交于点 A ，与 y 轴的交于点 B ，O 为

坐标原点，求△AOB 的面积。

2.已知直线 y=x+3 的图象与 x 、y 轴分别交于 A 、B 两点．直线 l 经过原点，与线段 AB 交于 C 点，把△AOB 的面积分

成 2：l 的两部分，求直线 l 的表达式，

【巩固练习】

时

1．直线 y = 2 x - 3 ，与两坐标轴围成的三角形面积等于

。

2.已知一水池中有 600m 3 的水，每小时抽 50m 3．

（1）写出剩余水的体积 Q （m 3）与时间 t(h)之间的函数关系式；

（2）写出自变量 t 的取值范围；

（3）8h 后，池中还有水多少立方米？

（4）几小时后，池水还有水 100m 3？

3．有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h 内只

进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间 x(h)与水量 y(m 3)之间的关系图（如图）.

回答下列问题：

（1）进水管 4h 共进水多少？每小时进水多少？

（2）当 0≤x≤4 ，y 与 x 有何关系？

（3）当 x=9 时，水池中的水量是多少？

（4）若 4h 后，只放水不进水，那么多少小时可将水池中的水放完？

【例 5】（综合题）已知直线（2k-1）x+(3k+4) y+ll =O ．