2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛详解

2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛

试题详解

一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）

●1．若复数z 满足132z z i -+--=z 的最小值是． 解析：设()()1,0,3,2A B ，复数z 对应的点记为Z ，

则AB =，故点Z 的轨迹是线段AB ，数形结合知，min 1z OA ==． ●3．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，

则函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++的值域为．

解析：()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤

⎛⎫=++=++

⎪⎥⎝

⎭⎦

2cos 22sin 12444x x x x ππππ⎡⎤⎤⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦⎣⎦⎦，

令sin 4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭，则{}{}2

11,211,0,1,1,0,1t t ⎤⎡⎤-≤≤-∈-∈-⎣⎦⎦，

于是(){}2

212,1,0,1,2f x t ⎤⎡⎤=-+∈--⎣⎦⎦，

∴函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++的值域为{}2,1,1,2--．

●2．已知在正四棱锥S-ABCD 中，二面角A-SB-D 则异面直线SA 与BC 所成的角为．

解析：设AC 与BD 交于点O ，依题意知，SO ⊥面ABCD ，AO ⊥BD ， ∴AO ⊥面SBD ，∴AO ⊥SB ，∴AO ⊥面SBD ， 作OE ⊥SB 于E ，则AE ⊥SB ，

∴∠AEO 就是二面角A-SB-D 的平面角，

∴

sin 3

OA AEO AE =∠=

①， 设AB ＝a ，SA ＝b ，则在△SAB

中求得AE =

， 又OA

，代入①式得：a b =，故正四棱锥S-ABCD 的侧面都是等边三角形， 由于AD ∥BC ，故异面直线SA 与BC 所成的角为∠SAD ＝60°． ●4．已知在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且有1

4

AD AC t AB =+， 若AB ＝8，则AD ＝．

解析：由于B 、D 、C 三点共线，∴3

4

t = ，

作DE ∥AB 交AC 于E ， 作DF ∥AC 交AB 于F ， 则四边形AFDE

是菱形，3

6,4

AF AB AD =

=== ●5．甲乙两人轮流掷一枚均匀硬币，只出现正面朝上或朝下两种等可能的结果． 规定先掷出正面朝上者赢，前一场的输者，下一场先掷．已知第一场甲先掷， 则甲赢得第n 场的概率为____________________________________________________________________________________________________________________．

解析：依题意知第n 场先掷的人若赢，则前面的()1n -场皆为正面朝下， 且第n 场先掷的人正面朝上，故其概率为

()2121111

22

2

n n --=， 故每一场先掷的人赢的概率为

3521

11112222

23

n -++++

+=

， 设甲赢得第n 场的概率为n p ，则()()111212

,12333

n n n p p p p n --=

=+-≥， ∴1111232n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴()1

111*263n n p n N -⎛⎫

=+-∈ ⎪⎝⎭

．

●6．若直线65280x y --=交椭圆()22

22221,*,x y a b N a b a b

+=∈>于A 、C 两点，

设B(0，b )为此椭圆的上顶点，△ABC 的重心为此椭圆的右焦点F 2， 则此椭圆的方程为____________________________________________________________________________________________________________________． 解析：设A(1x ，2x )，B(1y ，2y )， 依题意可得：

12120,033

x x y y b

c ++++==，∴121203,x x c y y b ++=+=-， 代入直线方程得：112265280,65280x y x y --=--=，

两式相加可得：18556c b +=①，两式相减可得：

21216

5y y x x -=-， 代入椭圆方程得：2222

112222221,1x y x y a b a b

+=+=，

两式作差得：()()()()2212122121615y y y y b b

a x x x x c

+---==+-，∴225a bc =②，

联立①②，消去c 得：()()22

2652828a b +-=，∴2

2

228

22,56

a b ≤<<，

又()

25565*36

b b a N -=

∈，∴*b N ∈，且b 是偶数，∴2b =或4b =，

检验知当4b =时，2*a N ∈符合题意，这时220a =，

因此椭圆的方程为22

12016

x y +=．

●7．对任意实数,a b ，{}

max ,,1a b a b b +--的最小值为____________________________________________________________________________________________________________________． 解析：{}

21max ,,14

a b a b b

a b a b b ++-+-+--≥

()()()

2214

2

a b a b b +--+-≥

=

，当且仅当10,2a b ==时等号成立． ●8．已知a b +是方程20x ax b ++=的一个根，其中,a b Z ∈， 则b 的最大可能值为____________________________________________________________________________________________________________________．

解析：依题意可得：()()2

0a b a a b b ++++=，即22230a ab b b +++=， 由于,a b Z ∈，∴()()

2

2

2

388b b b b b ∆=--=-必是完全平方数，

设()2

2

8b b m m Z -=∈，

则()()4416b m b m -+--=，且()()4,4b m b m -+--的奇偶性相同，