2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛详解

2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）●1．若复数z 满足132z z i -+--=z 的最小值是． 解析：设()()1,0,3,2A B ，复数z 对应的点记为Z ，则AB =，故点Z 的轨迹是线段AB ，数形结合知，min 1z OA ==． ●3．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++的值域为．解析：()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=++=++⎪⎥⎝⎭⎦2cos 22sin 12444x x x x ππππ⎡⎤⎤⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦⎣⎦⎦，令sin 4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则{}{}211,211,0,1,1,0,1t t ⎤⎡⎤-≤≤-∈-∈-⎣⎦⎦，于是(){}2212,1,0,1,2f x t ⎤⎡⎤=-+∈--⎣⎦⎦，∴函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++的值域为{}2,1,1,2--．●2．已知在正四棱锥S-ABCD 中，二面角A-SB-D 则异面直线SA 与BC 所成的角为．解析：设AC 与BD 交于点O ，依题意知，SO ⊥面ABCD ，AO ⊥BD ， ∴AO ⊥面SBD ，∴AO ⊥SB ，∴AO ⊥面SBD ， 作OE ⊥SB 于E ，则AE ⊥SB ，∴∠AEO 就是二面角A-SB-D 的平面角，∴sin 3OA AEO AE =∠=①， 设AB ＝a ，SA ＝b ，则在△SAB中求得AE =， 又OA，代入①式得：a b =，故正四棱锥S-ABCD 的侧面都是等边三角形， 由于AD ∥BC ，故异面直线SA 与BC 所成的角为∠SAD ＝60°． ●4．已知在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+， 若AB ＝8，则AD ＝．解析：由于B 、D 、C 三点共线，∴34t = ，作DE ∥AB 交AC 于E ， 作DF ∥AC 交AB 于F ， 则四边形AFDE是菱形，36,4AF AB AD ==== ●5．甲乙两人轮流掷一枚均匀硬币，只出现正面朝上或朝下两种等可能的结果． 规定先掷出正面朝上者赢，前一场的输者，下一场先掷．已知第一场甲先掷， 则甲赢得第n 场的概率为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：依题意知第n 场先掷的人若赢，则前面的()1n -场皆为正面朝下， 且第n 场先掷的人正面朝上，故其概率为()2121111222n n --=， 故每一场先掷的人赢的概率为35211111222223n -+++++=， 设甲赢得第n 场的概率为n p ，则()()111212,12333n n n p p p p n --==+-≥， ∴1111232n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴()1111*263n n p n N -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭．●6．若直线65280x y --=交椭圆()2222221,*,x y a b N a b a b+=∈>于A 、C 两点，设B(0，b )为此椭圆的上顶点，△ABC 的重心为此椭圆的右焦点F 2， 则此椭圆的方程为____________________________________________________________________________________________________________________． 解析：设A(1x ，2x )，B(1y ，2y )， 依题意可得：12120,033x x y y bc ++++==，∴121203,x x c y y b ++=+=-， 代入直线方程得：112265280,65280x y x y --=--=，两式相加可得：18556c b +=①，两式相减可得：212165y y x x -=-， 代入椭圆方程得：2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式作差得：()()()()2212122121615y y y y b ba x x x x c+---==+-，∴225a bc =②，联立①②，消去c 得：()()222652828a b +-=，∴2222822,56a b ≤<<，又()25565*36b b a N -=∈，∴*b N ∈，且b 是偶数，∴2b =或4b =，检验知当4b =时，2*a N ∈符合题意，这时220a =，因此椭圆的方程为2212016x y +=．●7．对任意实数,a b ，{}max ,,1a b a b b +--的最小值为____________________________________________________________________________________________________________________． 解析：{}21max ,,14a b a b ba b a b b ++-+-+--≥()()()22142a b a b b +--+-≥=，当且仅当10,2a b ==时等号成立． ●8．已知a b +是方程20x ax b ++=的一个根，其中,a b Z ∈， 则b 的最大可能值为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：依题意可得：()()20a b a a b b ++++=，即22230a ab b b +++=， 由于,a b Z ∈，∴()()222388b b b b b ∆=--=-必是完全平方数，设()228b b m m Z -=∈，则()()4416b m b m -+--=，且()()4,4b m b m -+--的奇偶性相同，∴48444244,,,42444844b m b m b m b m b m b m b m b m -+=-+=-+=--+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--=--=---=---=-⎩⎩⎩⎩，解得：9,8,1,0b =-，因此b 的最大可能值为9． ●9．已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,10,AB A B ==Φ，若A 中的元素个数不是A 中的元素，且B 中的元素个数不是B 中的元素， 则集合A 的个数为____________________________________________________________________________________________________________________． 解析：设集合A 的元素个数为()1,2,,9k k =，则B 中元素个数为10k -个，依题意可得：,10,10k A k B k A ∉-∉-∈， ∴此时集合A 的个数为1102k C --，其中5k ≠， ∴集合A 的总个数为58114848888092186k k k k k CC C C ≠--≤≤==-=-=∑∑．●10．已知()f n()201811k f k ==∑____________________________________________________________________________________________________________________．解析：设()()1,2,,2018f k m k ==，①先证()f k12m =±， 则43231122216n m m m m Z =±+±+∉，与*n N ∈矛盾， ②再求()f k m =的k 的个数：由于441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且44311422m m m m ⎛⎫⎛⎫+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f k m =的k 有34m m +个，③()2018f ：∵44620187<<，∴()620187f ≤≤， ∴()()()6231141117852m mm m m m m =+=+++=⎡⎤⎣⎦∑，∴()()71786,1787,,2018f k k ==，值为7的共有233个，④()()20186311111671323328234233467677k m m m f k m ==⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭∑∑． 二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题各15分，后两个小题各20分，共70分） ●11．已知()()(),,,,,,*A m n B s p m n s p N ∈是曲线C ：3y x t =-上的两点，若满足⊙O ：224x y +=上的任意一点到A 、B 的距离之比为定值()1k k >， 求t 的值．（本小题满分15分） 解析：设(),P x y 是⊙O 上任意一点，则PA k PB =，即()()()()222222222222220111k s m k p n m n k s p x y x y k k k --+-++---=---， 因此点P 的轨迹是一个圆，此圆必是⊙O ：224x y +=， ∴()()()()2222222222220,0,4111k s m k p n m n k s p k k k --+-+===---，把22,m k s n kp ==代入()()22222241m n k s p k +-+=-得：22244s p k+=<， ∵,*s p N ∈，∴21,2,2,2s p k m n =====，故()()2,2,1,1A B 在曲线C 上，∴232131t t=-⎧⎨=-⎩，解得：43t =．●12．已知数列{}n a 满足：()()111,02,sin sin3*333n n n a a n a a n N ππ+=<<≥≤∈， 求证：)sin *n a n N ≤∈．（本小题满分15分）证明：①当1n =时，1sin 2a =<，当2,3,4n =时，1sin 3na ≤< ②设()()34013f x x x x =-<<，则()2'14f x x =-， ∴当102x <<时，()2'140f x x =->，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增．③下面用数学归纳法证明结论：由①知当1,2,3,4n =时结论成立， 假设当()4n k k =≥时结论成立，即有sink a <则当1n k =+时，3114sin sin 3sin sin 33k k k ka a a a +≤=-<-=， 故要证1sin k a +<<，即证2392416191k k k k -+<+， 即证2392416191k k k k -+<+，即证215816k k +>，由于4k ≥，上式成立，故1sin k a +<成立，即当1n k =+时，结论成立， 综上，对一切*n N ∈，sinn a ≤●13．已知实数,,a b c 满足()2220a b c λλ++=>， 试求()()(){}222min,,f a b b c c a =---的最大值．（本小题满分20分） 解析：不妨设a b c ≤≤，令(),,0a b s c b t s t =-=+≥，则()()222b s b b t λ=-+++，即()222320b s t b s t λ--++-=，∴()()2224430s t s t λ∆=--+-≥，∴2232s st t λ++≤， 不妨设s t ≥，则()2221132f t s st t λ=≤++≤，当且仅当s t ==，即0,a b c ===因此f 的最大值是2λ． ●14．（本小题满分20分）证明对所有的正整数4n ≥，存在一个集合S 满足如下条件： ①S 由都小于12n -的n 个正整数组成；②对S 的任意两个不同的非空子集A 、B 都有A 中元素之和不等于B 中元素之和． 证明：当4n =时，取{}3,5,6,7S =，则集合S 满足上面两个条件； 当5n ≥时，取{}3421113,2,2,,2,23,22,21n n n n S ----=---，则集合S 满足条件①，只需证明集合S 满足条件②：记11123,22,21n n n a b c ---=-=-=-，()f X 表示集合X 中的所有元素之和， 设A 、B 是S 的任意两个不同的非空子集，则只需证明()()f A f B ≠， 不妨设AB =Φ，那么对*m N ∀∈，都有11242212m m m -++++=-<，∴当,,a b c A B ∉时，都有()()f A f B ≠，又3421322225n n --++++=-，∴当,,a b c 中恰有一个属于AB 时，都有()()f A f B >，故()()f A f B ≠；类似地讨论当,,a b c 中恰有2个或3同时个属于AB 时，都有()()f A f B ≠；综上所述，当4n ≥时，满足条件的集合S 都存在．。