上海理工大学高数试卷_A1_2
上海上海理工大学附属初级中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．1B C ．2D ．32．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．24．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B ．15C ．14D ．47．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（ ）A B ．C D 9．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．21B ．21C ．21D 10．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．1B ．2 C D 111．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（ ）A ．B ．C D 二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.15．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12, F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________．18．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0 426y22 2-22-则2C 的虚轴长为______.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，椭圆1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C ：24x y =的焦点F . （1）求椭圆1C 的方程；（2）过点F 的直线交抛物线2C 于,M N 两点，连接NO ，MO ，线段NO ，MO 的延长线分别交椭圆1C 于A ，B 两点，记OMN 与OAB 的面积分别为OMN S △､OAB S，设OMNOAB SSλ=-，求λ的取值范围.23．已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+=. （1）判定直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.24．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1） 求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.25．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程. 26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．B解析：B首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，222()a m c n =++，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->， 即2220c a ->，则可得2e >.故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 8．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论． 【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =， 又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．9．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=10．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率． 【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．11．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.12．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=， 由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=， 设点(),C m n ，则()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=， 比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=， 即2m =-，0n =，点()2,0C -， 当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k fk f k ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.15．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±； 所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=， 故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=， 所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛 解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】首先得点则这样和的面积可表示出来从而可得点坐标代入直线方程得到的等式变形后可求得离心率【详解】由图像可知点则由则则则由则则点由点M 在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解解析：23+ 【分析】首先得点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，这样12MF F △和2MPF 的面积可表示出来，从而可得M 点坐标，代入直线方程2y x =得到,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=， 由1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3Mc x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =．故答案为：23+. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的齐次式，本题中利用12MF F △和2MPF 的面积得出M 点坐标，从而得到要找的等式．18．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．32214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF 中，有22BF b c a =+=，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2222131142c b e a a ==-=-= (2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0.设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b=+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-= 所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2）[1,)+∞.【分析】（1）解关于,,a b c 的方程组即得解；（2）求出OMNS =1OABS=，即得λ的取值范围.【详解】解：（1）因为椭圆1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C ：24x y =焦点()0,1F ， 所以1b =.由2c a =，222a b c =+，解得2a =， 所以椭圆1C 的方程为2214x y +=.（2）因为过F 的直线交2C 于M ，N 两点，所以直线的斜率存在，设直线方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，故2440x kx --=.216160k ∆=+>恒成立，121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩， 由121211122OMNS OF x x x x =⨯-=⨯⨯-， 故()22221212121144444OMNSx x x x x x k ⎡⎤=-=+-=+⎣⎦，所以OMNS=不妨设()22,N x y 在第一象限，所以设直线ON ：11(0)y k x k =>，则12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A ⎛⎫， 设直线OM ：2y k x =，同理B ⎛⎫， 又因为22121212121212144164x x y y x x k k x x x x =⋅===-⋅，可得B ⎛⎫. 又因为点A 到直线OB的距离d ==所以11122OABSd OB =⋅⋅==.所以211OMNOABS Sλ=-=≥.综上：λ的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.23．（1）直线l 与圆C 相交；答案见解析；（2）223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）易知直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，而点D 在圆C 内部，即可得证； （2）根据题意设中点M 的坐标为(),x y ，由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥，在RT CDM 中， 由勾股定理得222CM DM CD +=，带入坐标即可得解.【详解】（1）证明：∵直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，点D 到圆心()0,2的距离等于1 故定点()0,1在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.（2）设中点M 的坐标为(),x y ，则由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥. 由于定点()0,1D 、圆心C 、点M 构成直角三角形， 由勾股定理得222CM DM CD +=， ∴22222(2)(1)(21)x y x y +-++-=-，2222640x y y +-+=，即223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 此圆在圆22:(2)5C x y +-=的内部，故点M 的轨迹方程为：223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线过定点问题，同时考查了求轨迹方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题涉及的题型和方法有：（1）直线过定点，直线过定点是常考题型，在给出含参直线方程时要注意直线有过定点的可能；（2）直接法求轨迹方程，这类问题的方法是：利用所给条件直接列方程，整理即为所求.24．（1）证明见解析；（2）当914p =. 【分析】（1）由题意可得：()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程，整理得24t p =，计算可得点C 的纵坐标值为12，从而得证；（2）由题意可得：BMNAMN S S=，求得直线l 的斜率，可求得直线l '的斜率和方程，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，求得MN 的值和点A 到直线l '的距离d =据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN △的面积的最大值，即可求解. 【详解】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得222224t t p p p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24t p =，∴42142C p p y p -==， 故点C 的纵坐标为定值. （2）∵点C 是AB 的中点，BMNAMN SS=，设直线l 的斜率为k ，则11322k t t -==， 所以直线l '的斜率为3k t'=-， ∴直线l '的方程为1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t=-+， 不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+， 代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12122286,2121m x x x x m m +=-=++12|MN x x -= 点A 到直线l '的距离d =所以12AMNSN d M =≤=⋅==当且仅当2242323m m -=-时取等号，解得272m =，所以229187t m ==，从而29414t p ==故当914p =时，BMN △的面积最大. 【点睛】关键点点睛：设出2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合()0,1A -，可得222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用点C 在抛物线上可求出24t p =，利用其计算224t pp-的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l '与直线l的斜率互为相反数，直线l '的方程为32y x t=-+，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN △的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.25．（1）22142x y +=；（2）10x y --=.【分析】（1）已知条件得2b c ==，再求得a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程． 【详解】（1）由已知得2b c ==.又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y+=，整理得22(2)230m y my ++-=.则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号. 由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证； （2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---， 即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立， 得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。
上海市杨浦区上海理工大学附中2023届数学高一上期末统考试题含解析
13、5
【解析】直接求出集合A、B，再求出 ，即可得到答案.
【详解】因为集合 ，集合 ，
所以 ，
所以 的元素个数为5.
故答案为：5.
14、
【解析】 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
故选：C.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】先求出 ，再结合二次函数的内容求解.
【详解】由 得 ， ，
故当 时，有最小值 ，当 时，有最大值 .
故答案为： .
12、
【解析】观察函数 的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则 ，得 ，即函数 的图像关于 中心对称，且 单调递增，不等式 可化为 ，即 ，得 ，解集为
10．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由 (元)决定，其中 >0，[ ]是大于或等于 的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A.4.8B.5.2
C.5.6D.6
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
上海理工大学高等数学A(2)要点复习题
高等数学A （II ）复习第八章 空间解析几何与向量代数1．已知(2,3, 1), (1,1, 3)a b =-=-，求（1）b a b a 2 ,2)(⨯⋅- （2） (+2)(2)a b a b ⋅-（3）(+2)(2)a b a b ⨯-2．已知3) ˆ,(,4 ,3π===b a b a ，求以(32)(2)a b a b -+和为边的平行四边形面积3．求过点)1, 1 ,1(-，且与直线10210x y z x y z -+-=⎧⎨+++=⎩平行的直线方程.4．求过点)3, 1 ,2(，且（1）通过直线12131:-=-=+z y x l 的平面方程； （2）与l 垂直相交的直线方程.5．求过直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223z y x y x ，且与点)1,2 ,1(的距离为1的平面方程.6．指出下列方程所表示的图形：（1）2210x y --= （2）222+20x y z -=（3）221z x y =-- （4）222++210x y z z -+=第九章 多元函数微分法及其应用7．计算（若不存在，给出理由）：(1) (,)(0,0)lim x y →(2) x y x y x 1)0,0(),()cos 1(lim -→(3) (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+-(4)sin()2(,)(0, )(1)lim xy x x y a xy →-8．z =，求,z z x y ∂∂∂∂9．yz x u =，求u 的偏导数10．已知)ln(y x y x z =，求)1,1(dz11．(,)y z xf y x =，f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂212．()(1)ln ,y z xf x y x f x=+-其中具有二阶导数， 求证：222222(1)z z x y x y x y ∂∂-=+∂∂13．已知函数(,)z z x y =由)](,[z xy f z ϕ=确定，f 具有连续偏导，ϕ可导， 求z z x y∂∂∂∂，14．求由方程320z xz y -+=确定曲面),(y x z z =在点)1, 1 ,1(处的切平面方程和法线方程.15．求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点)22 ,1 ,12(-π处切线与z 轴正向的夹角16．求曲面2222+3z 21x y +=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.17．证明：曲面1xyz =上任意点处切平面与三坐标面所围成的四面体的 体积为常数.18．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最近.19．过点)31, 1 ,2(的平面中，哪个平面与三个坐标面所围立体体积最小.20．求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.第十章 重积分21．交换积分次序:⎰⎰+-2 2 2 1 ),(y y dx y x f dy .22．分别在直角坐标和极坐标系下将⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为二次积分，其中D 由x y =与2x y =所围成（f 在D 上连续）23. 求⎰⎰+Ddxdy y x 22 其中0,41:22≥≤+≤x y x D .24．求⎰⎰-+22 0 222 0 1y y dx y x dy .25．求⎰⎰1 1 0 y xy dx e dy .26．求D σ，其中D 为22x y x +≤.27．求2()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由224,x y x y ==及1=y 围成.28．求由曲面z =与222z x y =--所围成的立体体积29．求⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22，其中Ω由z y x 222=+及平面2=z 围成.30．求(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.31．求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x z I 222，其中Ω由1222≤++z y x 与)(322y x z +≥确定.31．计(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.32．求由2222222222),0(, ,y x z R r r z y x R z y x +=<<=++=++所围立体的体积.第十一章 曲线与曲面积分33．ds y x L⎰+ 22，其中L 为半圆周：0 ,222≥=+x y x34．dy x y dx xy L)( -+⎰，其中L 为x y =2上从（0，0）到（1，1）的一段.35. 3223 ()()Lx xy dx x y y dy +++⎰,其中L 为2y x =上从（0，0）到（1，1）的一段.36．2 (sin +)(cos )x x y Le y x y dx e y e dy -++⎰，其中L 为圆周22x x y -=上从点)0 ,2(到)0 ,0(的一段.37．ydS ∑⎰⎰，其中∑为上半球面：222y x R z --=.38．2(+)ydzdx z x dxdy ∑+⎰⎰，其中∑为柱面122=+y x 被0=z 与1x z +=所截得部分的外侧.39．⎰⎰∑++zdxdy dydz z x )2(，其中∑：)10(22≤≤+=z y x z 取上侧.第十二章级数40．判别敛散性，若是一般项级数收敛，则说明是条件收敛还是绝对收敛（1）∑∞=123 cosnnnnπ（2）nnnn)12(1∑∞=-（3）∑∞=-132)1(n nn n（4）∑∞=+-1)1ln()1(nnn41．求收敛域（1）∑∞=⋅13nnnnx（2）∑∞=-1)12(nnnx42．求和函数（1）∑∞=+1)1 (nnnnx（2）∑∞=-1)1(nnxn43．将函数展开成幂级数（1）将)1ln()1(x x ++展开成x 的幂级数（2）将652--x x x 展开成5-x 的幂级数.。
上海理工大学高数期末复习试题
释 疑 解 难（第七章）（第七章）一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线îíì==+-001:x z y L 垂线的平垂线的平 面方程。
面方程。
解：解：直线L 的方向向量}1,1,0{--=l，过点0M 与直线L 的平面N 的方程的方程 0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y解方程组ïîïíì=+==+-0001z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M 由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得坐标代入，得ïîïíì=+-=+-02D B D B A ，解得D A =，D B 2=，所求的平面方程为：012=++y x 。
二、证明两直线二、证明两直线231212-=-+=-z y x 与112111-=+=--z y x共面，并求该平面方程。
共面，并求该平面方程。
解：解：记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l则}2,1,1{21--=M M∵0211121211)(2121=----=×´M M l l ∴两直线共面。
∴两直线共面。
取}1,3,5{21--=´=l l n则所求平面方程为则所求平面方程为0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。
三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。
所成二面角的平分面方程。
解：解：过两平面交线的平面束方程过两平面交线的平面束方程0)5247(2122=-++++-z x z y x l ，即，即0)521()242(2)71(=-+++-+l l l z y x其法向量}242,2,71{l l +-+=n，已知两平面法向量分别是，已知两平面法向量分别是}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n由题意知||||||||2211n n n n n n n n ×±=×，解得253±=l 所以所求平面方程为所以所求平面方程为025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《高等数学》(上理工) 试卷A
华南理工大学 广州汽车学院 2008——2009学年度第一学期期末考试 《高等数学》（上册•理工类） 试卷A考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚，“序号”即交作业的序号，勿写学号；2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟；3．所有答案应直接写在试卷上。
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．函数ln(1)y x =+的定义域是 。
2．设0sin 2lim 3x kx x→=，则常数k = 。
3．设y =dy = 。
4．不定积分2x dx xe ⎰= 。
5．反常积分 (0)a pI a dxx +∞=>⎰，当1p >时，I = 。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将正确选项的字母填在括号内）1．曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程是 （ ） A ．(ln 1)(1)y x x =+- B ．1y x -= C ．1y x =- D ．(1)y x =--2．设||,0;()1,0,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f x 在0x =处 （ ）A ．0lim ()x f x →不存在 B ．'(0)f 存在C ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在0x =处不连续D ．()f x 在0x =处连续，但不可导3．在区间[1,1] -上，不满足罗尔中值定理条件的是 （ ） A ．2()1x f x e =- B ．2()ln(1)f x x =+ C．()f x = D ．21()1f x x=+ 4．下列等式中，正确的是 （ ） A ．[()]()d f x dx f x =⎰ B ．[()]()df x dx f x dx dx=⎰ C ．()()df x f x =⎰ D ．' ()()f x dx f x C =+⎰5．设()f x 连续，且()sin xa f t dt x x =⎰，则()2f π= （ ）A ．sin cos x x x +B ．12π-C ．2πD ．1三．计算题（本大题共7小题，每小题7分， 共49分） 1．求极限 22sin 1lim (2)x x x ππ→--。
高等数学A1_试_题(A)附答案
2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(,31122x f xx x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()()=--+→hh x f h x f h 000lim ____________.3.设)(x f 的原函数为xx ln ,则()='⎰dx x f ____________.4.向量{}4,3,4-=a在向量{}1,2,2=b上的投影是____________. 5. )1(1)(+=x xx f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()210='x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy与x ∆比较是（ ）无穷小.(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）.3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)( 0,1,3)(D c b a C =-==3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）.[][]0)()()(0)()()(5555=--=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A[][]0)()()(0)()()(550=--=-+⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C4. 设直线L 为12241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ).上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. .,1ln2sec 22dxdy ee y xxx求+-=2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .3．求32)21ln(limxdtt x x ⎰+→.4. 求由参数方程()⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx yd四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx xx ⎰-21ln .2.⎰-dxxx42.3.().ln 11 12dx x x e ⎰-五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)答案一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.C xx +-2ln 1; 4. 2;5.[]之间与介于1,)1()1()1()1()1(111212-+-++++++++-=+++x x x x x xn n n nξξ二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. 解：()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x xxe e y 2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x xxxx e e6分112tan 2sec 2ln 22+-=xxx x e7分2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()dxy x y x dy -+-+=ln 3ln 2 7分3. 解：220323)21l n (l i m )21l n (l i mxx xdtt x x x +=+→→⎰4分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==→→xx x x x x x 6214l i m32l i m 2022032= 7分4. 解：ttt t dxdy21121122=++= 4分3222224112121tt tt tdxy d +-=+⋅-= 7分四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1. 解：⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎰⎰x d x dx x x 1112)ln (ln 2分⎰+--=dxxxx 211ln 4分C xx C xxx +-=+---=ln 11ln 7分2. 解：⎰⎰=∈=-tdtdxxx tx t 2220224tansec ),(π3分C t t dt t +-=-=⎰2tan 2)1(sec 22 6分Cxx+--=2242arccos7分3. 解：()()x d x dx x x e e ln ln 11lim ln 11 1212⎰⎰-→-=-+εε 4分()[]2ln arcsin lim 1πεε==-→+e x 7分五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.证明：由拉格朗日中值定理()01)()(2>--=-a b a f b f ξξ 3分记)1(1)(2>-=x xx x g 4分⎪⎩⎪⎨⎧><==<<>-='20,2 ,021 ,02)(3x x x x x x g 5分 因此2=x 是)(x g 在),1(+∞内的最大值点，且41)2()(=≤g x g ，于是)(41)()(0a b a f b f -≤-< 7分六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.解：直线L 的方向向量为k i kj is22111111-=-= 3分 将L 1代入平面方程得：1-=t ，π与1L 的交点坐标为（0，2，-1） 5分 直线L 的方程为：11021-+=-=z y x 或⎩⎨⎧==++201y z x 7分七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .解：设切点坐标为：()00x x ln ,切线方程为：)(ln 0001x x x x y -=- 1分由于切线过原点，得切点坐标为：()1,e 2分 切线方程为：ex y =3分（1）()12ln 2ln 21 1-=--=-=⎰e x x x e xdx e D ee 5分（2）()22 65 312122πππππ+-=--=⎰e e dy e e e V y7分。
上海理工大学高数试卷_A1_1
五. （6 分）计算 I n 六. （8 分）设
0 x n e x dx .
xeห้องสมุดไป่ตู้ x , f x 1 , 4 x2
2
x0 2 x0
, 计算1 f x 3dx .
4
七. （8 分）求由抛物线 y 2 x , y x 围成的平面图形的面积，以及此图形绕 x 轴旋转而成
2 2
的立体体积. 八. （6 分）若 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，且 f a f b 0 ， 求证：存在一点 x0 a, b ，使 f x0 f x0 0 .
2
8. 设
f x x a x , x 在x a 处 连续，求f a .
x0
,
f x x 二. （8 分）设 f x 在 , 有连续的二阶导数， f 0 0, g x f 0
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-1
编号 一 二 三 四 五 六 七 八
姓 名
得分 阅卷人 一. 计算下列各题.（48 分） 1. lim (csc x ).
x0
学 号
班 级
任 课 教 师
装 订 线 外 不 要 答 题 ， 装 订 线 内 不 要 写 姓 名 、 学 号 、 班 级 、 任 课 老 师 ， 违 者 试 卷 按
0
1 x
2. .
y ln( x 1 x 2 ) ,求 y 和 y .
y 1 xe y ，求
dy . dx
3.
4.
2
1
x
1 3 x dx .
2
2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
2.
1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
上海理工大学大物A2-1第十一章 恒定电流的磁场(一)作业答案
严非男
第一次【第十一章 恒定电流的磁场（一） 】
提示：1、记住各个典型载流回路的 B 公式。2、计算 B 分布有毕奥-萨伐尔定律（叠加法）和安培环路定 理法。 3、可以借助高斯定理简化磁通量的计算
一、选择题
[ D ] 1、 （基础训练 1） 载流的圆形线圈(半径 a1 )与正方形线圈(边长 a2 )通有相同电流 I．若两个线圈 的中心 O1 、O2 处的磁感强度大小相同，则半径 a1 与边长 a2 之比 a1∶a2 为 (A) 1∶1 (C) (B) (D)
B ds
圆平面
B ds 0 ，
2
第十一章 恒定电流的磁场（一）作业答案
严非男
半球面
B dS
圆平面
B dS B S B R 2 k R 2 c ，大小= R 2 c
7、 （基础训练 12）如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放着，相距 d =2.0 ×102 m， 其中一根导线与 z 轴重合， 另一根导线与 x 轴平行且在 Oxy 平面内． 设 两导线中皆通过 I =10 A 的电流，则在 y 轴上离两根导线等距的点 P 处的磁感 强度的大小为 B =
2
I
(R r2 )
2
，
得： B大圆柱
a2 ；另外， B反向的小圆柱 0 ，因此，答案为【C】 2πa R 2 r 2
0 I
[ C ] 5、 （自测提高 7）如图 11-49，边长为 a 的正方形的四个角上固定有四个电 荷均为 q 的点电荷。此正方形以角速度绕 AC 轴旋转时，在中心 O 点产生的磁感 强度大小为 B1；此正方形同样以角速度绕过 O 点垂直于正方形平面的轴旋转时， 在 O 点产生的磁感应强度的大小为 B2，则 B1 与 B2 间的关系为 (A) B1 = B2． (B) B1 = 2B2．
上海理工大学高等代数试卷9
上海理工大学研究生试题/学年第 1 学期课程名称：高等代数教师签章：年月日教研室主任审查意见：签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题*/ 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分一、 已知实二次型323121232221321444444),,(x tx x x x x x x x x x x f +-----=（1）假设),,(321x x x f 是负定二次型，求t 的值；（2）当1-=t 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵. （16分）二、设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1+λ，1+λ，32)3)(2()1(+-+λλλ，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形. （12分）三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为112121216-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k .（15分）四、已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R b a b a W ,|001,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c a c a W 11112,|00是22⨯R 的两个子空间， 求2121,W W W W +⋂的一个基和维数. （15分）五、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且21W W V ⊕=.（15分）六、设V 是数域P 上的一个三维空间，,,123ξξξ是它的一组基，f 是V 的一个线性函数，已知()1,(2)11321f f ξξξξ+=-=-，()312f ξξ+=-,求()112233f x x x ξξξ++.（12分）*注：考题全部写在框内，不要超出边界。
普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷).doc
普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)（理工农医类）本试卷共22道题，满分150分。
考试时间1。
第Ⅰ卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= .7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线22y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|x ctg y =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.。
上海理工大学2018年第一学期《高等数学A》试卷
2018年第一学期《高等数学A 》试卷-2一. 计算题.（4⨯8=32分）1.=+∞→1sin lim2n n n . 2.⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=05)(1x xa x e x f x，)(x f 在0=x 处连续，则=a .3. ()dx x d2sec2=. 4. 设()()='+=⎰1,11212f dt tx f x 则 .5.设x x y tan )(sin =，则y '= .6. 若()x x a x f 3sin 31sin +=的极值点是3π=x ，则=a .7.=-⎰dx x 2024 .8.设]4,1[,)(∈=x x x f ，由拉格朗日中值定理，则ξ= .二. 求解下列各题.（24分）1. ()x x x x 21ln 1sinlim20+→. 2.dy e x y 求,2922+-=.3. 求曲线1=+y xe y在点()1,0处的切线方程.4.xdx xarctan 2⎰.三. （8分）求微分方程2ln yy y y y x'=+-满足1|1x y ==的解.四. （8分）对任意实数x ，证明不等式：221)1ln(1x x x x +≥+++.五. （8分）将长为a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？六. （14分）求：（1）由y 轴，xxe y e y ==及过原点处的切线所围成的平面图形的面积.（2）上述图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.七. （6分）设()u f 在[]π,0上连续，证明：()()dxx f dx x xf ⎰⎰=πππsin 2sin .求计算dx xxx ⎰-π2sin 2sin .。
普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷理附解答
2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）本试卷共 22道题，满分 150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只需求直接填写结果，每个空格填对得分，不然一律得零分1．函数ysinxcos(xcosxsin(x)的最小正周期T=.442．若x是方程2cos(x)1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2,则a4+a5++a10=4．在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短2时，点B的极坐标是5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）6．设会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0},则会合{x|x∈A且x AB}=.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=.（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a1，公比为q的等比数列{a n}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值能够是（a1，q）=.9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5此中国人构成.现从中随机选出两位作为成就公布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精准到）11．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面n n n积，则limS n=n112．给出问题：F1、F2是双曲线x2y2=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距162 0离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|.B．y=cos(－x).C．ysin(x).D．y|ctg x|.2214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为会合M和N，那么“a1b1c1”是“M=N”的（）a2b2c2A．充足非必需条件.B．必需非充足条件.C．充要条件D．既非充足又非必需条件.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根.D．若a≥1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C12a3C22,a1C30a2C13a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明 .520．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.此题结果精准到4米）621．（此题满分16分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.7（22．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知会合M 是知足以下性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对随意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.1）函数f(x)=x能否属于会合M？说明原因；2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；3）若函数f(x)=sinkx∈M,务实数k的取值范围.82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）4.3．－49.4．(236．[1,3].1．π.2．,).5．arctg2.3247．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1s in cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，由于B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又由于直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.3故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为S ABCD·BB1=8 3.919．[解]（1）a1C20a2C21a3C22a12a1qa1q2a1(1q)2,a1C30a2C31a3C32a4C33a13a1q3a1q2a1q3a1(1q)3.2）归纳归纳的结论为：若数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，则0123(1)n n n为正整数.a1C n a2C n a3C n a4C n a n1C n a1(1q),n 证明:a1C n0a2C n1a3C n2a4C n3(1)n a n1C n na1C n0a1qC n1a1q2C n2a1q3C n3(1)n a1q n C n na1[C n0qC n1q2C n2q3C n3(1)n q n C n n]a1(1q)n20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），x2y21.椭圆方程为2b2a将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）[解一]由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b2由于1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S4lh ab99.22当S取最小值时,有11221,得a112,b92a2b222此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得1122 1.于是b281a2, a2b2a2b24a212110a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212Sa2,121得a112,b92.以下同解一.211。
上海上海理工大学附属初级中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=2．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D3．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B．乙 C ．丙 D ．丁4．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==（ ）A．1312B．3 C．6 D．226．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（）A．玩游戏 B．写信 C．听音乐 D．看书7．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师8．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A．0720sin1B．0720sin0.5C．0720sin0.25D．0720sin0.125 9．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需T i分钟，假设T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少() A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B．从T i中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====…．按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =_______． 14．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．15．甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话:甲说:乙去我才去；乙说:丙去我才去；丙说:甲不去我就不去；丁说:乙不去我就不去.最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的人一定是__________． 16．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．17．现有这么一列数，2，32，54，78，（），1332，1764，…，按照规律，（）中的数应为__________.18．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．19．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．20．用反证法证明“,a b N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.三、解答题21．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a n.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出a n；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b n＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较a n与b n的大小，并用数学归纳法加以证明. 22．对任意正整数n，设n a表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S表示数列{}n a 的前n 项和.（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）是否存在常数s ，t ，使得()()212246mmm s t S-+⋅+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足0n a >，()242n n n S a a n N +=+∈.（1）计算1234,,,a a a a ，根据计算结果猜想n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的结论. 24．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2． （Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．不等式证明： （1+≥（其中,x y 皆为正数）（2）已知0a >，0b >，2a b +>，求证：11,b aa b++至少有一个小于2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论． 【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ．【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.3．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．4．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
上海上海理工大学附属初级中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）A ．29B ．10C ．241D ．2135．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-6．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23B ．33C ．23D ．137．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A 3B 23C ．3πD ．2π8．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21=S S 且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠9．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33310．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 512．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =111()AB AC AD AC ++⋅=（ ）A ．0B 3C ．3D ．6二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．15．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______． 16．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 17．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．18．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________19．正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则1AD 与平面11BB D 所成角的正弦值为__________．20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．（Ⅰ）证明：//MN 平面1DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦322．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、11A B 、11A D 的中点，点P 、Q 分别在棱1DD 、1BB 上移动，且()02DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D 、E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求二面角1B B E D --的余弦值；24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为53737，求线段BP 的长度.25．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.26．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求直线1B D 与平面BDEF 所成的角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++， 解得2a =. 故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.2．B解析：B 【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状.以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.3．A解析：A建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.4．D【解析】 【分析】CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可得出． 【详解】解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，1cos12066182CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．∴222264621852CD =++-⨯=，∴213CD =故选：D ． 【点睛】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5．C解析：C 【解析】 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||5AB BC AB BC θ⋅===⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．A解析：A【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角7．C解析：C【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时， 4=12， 取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C【点睛】 本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目． 8．D解析：D【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯=所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 9．D解析：D【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案. 【详解】 设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．D解析：D【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系， 则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED ⎧⊥⎨⊥⎩， 即302(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩，令23k =，则33,1t x s x =-=+， 所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+ 当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大.故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为53. 故选：A.【点睛】 本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设1,,AB a AD b AA c ===，则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====.则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==，所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：63 【分析】 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633n BAd n ⋅===. 故答案为：63．【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形 解析：32【分析】 画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可.【详解】如图:α‖平面CB 1D 1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA 1B 1=n,可知:m//CD 1,m//B 1D 1,因为△CB 1D 1是正三角形.所以m 、n 所成角就是∠CD 1B 1=60°则m 、m 所成角的正弦值为:3故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角. 15．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标.【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --，∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---．【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16．15°【分析】先求出两条直线的斜率可得两条直线的倾斜角进而得到两条直线的夹角得到答案【详解】由题意直线的一个方向向量可得直线的斜率为所以直线的倾斜角为60°又直线的斜率为1故直线的倾斜角为45°所以解析：15°【分析】先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角，得到答案．【详解】由题意，直线l 的一个方向向量(1,3)d =，可得直线l = 所以直线l 的倾斜角为60°．又直线10x y -+=的斜率为1，故直线10x y -+=的倾斜角为45°，所以l 与直线10x y -+=的夹角为604515︒-︒=︒．故答案为15°．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的应用，其中解答中熟练应用直线的倾斜角和斜率的关系，求得两直线的倾斜角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 17．【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算【详解】由题意∵与互相垂直∴＝解得故答案为【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算解题关键是掌握向量垂直的充要条件即解析：522-或 【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算. 【详解】 由题意2,5,1a b a b ==⋅=-，∵ka b +与2ka b -互相垂直，∴222()(2)2ka b ka b k a ka b b +⋅-=-⋅-＝22250k k +-⨯=，解得522k k ==-或， 故答案为522-或. 【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算，解题关键是掌握向量垂直的充要条件，即0a b a b ⊥⇔⋅=.18．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线解析：60【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA，1(1,0,1)AC，再利用111111,cosBA ACBA ACBA AC即可得到所求角大小．【详解】三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱,且BAC90︒∠=∴以点A为坐标原点，分别以AC，AB，1AA为,,x y z轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA，1(1,0,1)AC∴1111110110111co2,s22BA ACBA ACBA AC又异面直线所成的角在（0,90]∴异面直线1BA与1AC所成的角等于60︒．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．19．【解析】分析：建立空间直角坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值详解：以D为原点DADCDD1分别为x轴y轴z轴建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz设AB=1则D解析：1010【解析】分析：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD 1与面BB 1D 1D 所成角的正弦值．详解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ．设AB=1，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．设AD 1与面BB 1D 1D 所成角的大小为θ，1AD =（﹣1，0，2），设平面BB 1D 1D 的法向量为n =（x ，y ，z ），DB =（1，1，0），1DD =（0，0，2），则x+y=0，z=0．令x=1，则y=﹣1，所以n =（1，﹣1，0），sinθ=|cos ＜1AD ，n ＞10， 所以AD 1与平面BB 1D 1D 10． 10. 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为： 解析：22【解析】 根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++ 1421462 2.CA BD =+⋅=-=故答案为：22三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）M 是1AD 中点． 【分析】（Ⅰ）分别以1,,EA EC ED 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并由1AD BE ==，AM BN =，可设1AM AD λ=，BN BE λ=，得出,M N 坐标，求出平面1D EC 的一个法向量n ，计算MN n ⋅后可证结论；（Ⅱ）在（Ⅰ）基础上，求出平面MBE 和平面ABE 的法向量，由法向量夹角的余弦值的求得λ，得点M 位置． 【详解】（Ⅰ）由题意1,AE D E AE CE ⊥⊥，又1D E EC ⊥， 分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D ，设(,,)M x y z ，设1AM AD λ=，01)λ≤≤，而1AD BE ==AM BN =，则BN BE λ=，由1AM AD λ=得(2,,)(2,0,2)x y z λ-=-，22,0,2x y z λλ=-+==，即(22,0,2)M λλ-+，同理得(22,22,0)N λλ-+-+，所以(0,22,2)MN λλ=-+-，易知平面1D EC 的一个法向量是(1,0,0)n =，因为0MN n ⋅=，所以MN n ⊥，而MN ⊄平面1D EC ，所以//MN 平面1D EC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知(22,0,2)EM λλ=-+，(2,2,0)EB =， 设平面MBE 的一个法向量是(,,)m x y z =，由00m EB m EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得220(22)20x y x z λλ+=⎧⎨-++=⎩，取1x =，则1y =-，2212z λλλλ--==， 所以1(1,1,)m λλ-=-，又平面ABE 的一个法向量是(0,0,1)p =，则11cos ,m p m p m p-⋅<>===，解得12λ=． 所以M 是1AD 中点时，平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为3．【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 22．（1）证明见解析；（2）存在，21λ=± 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出1//BC FP ，利用线面平行的判定定理可证得1//BC 平面EFPQ ； （2）计算出面EFPQ 与面PQMN 的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合02λ<<求出实数λ的值，即可得解. 【详解】（1）证明：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()10,2,2C 、()2,1,0E 、()1,0,0F ，当1λ=时，()0,0,1P ，()12,0,2BC =-，()1,0,1FP =-，12BC FP ∴=，1//BC FP ∴， 1BC ⊄平面EFPQ ，FP ⊂平面EFPQ ，因此，1//BC 平面EFPQ ；（2）()2,1,0E 、()1,0,0F 、()0,0,P λ、()1,0,2N 、()2,1,2M ，设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,m x y z =，()1,1,0EF =--，()1,0,FP λ=-，由00m EF m FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111100x y x z λ--=⎧⎨-+=⎩，取1x λ=，则1y λ=-，11z =，(),,1m λλ=-，设平面PQMN 的一个法向量为()222,,n x y z =，()1,1,0MN =--，()1,0,2NP λ=--，由00n MN n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()2222020x y x z λ--=⎧⎨-+-=⎩，取22x λ=-，则22y λ=-，21z =，()2,2,1n λλ∴=--，若存在λ，使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m n ⊥. 且()()2210m n λλλλ⋅=---+=，整理可得22410λλ-+=，02λ<<，解得212λ=±因此，存在212λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在． 23．（1）证明见解析；（2）66. 【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出110C M B D ⋅=，即可证得结论成立；（2）求出平面1B DE 和平面1BB E 的法向量，利用空间向量法可求得二面角1B B E D --的余弦值. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()0,2,0B 、()10,2,3B 、()10,0,3C 、()1,1,3M 、()2,0,1D 、()0,0,2E ，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，则()()111212020C M B D ⋅=⨯+⨯-+⨯-=，因此，11C M B D ⊥；（2）()2,0,1ED =-，()10,2,1EB =，设平面1B DE 的法向量为(),,m x y z =，由12020m ED x z m EB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =，可得1x =，1y =-，所以，()1,1,2m =-， 易知平面1BB E 的一个法向量为()1,0,0n =，16cos ,61m n m n m n⋅<>===⨯⋅ 由图形可知，二面角1B B E D --为锐角，所以，二面角1B B E D --6【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 24．（1）4π；（2）423. 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小. （2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度. 【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMHAA PHθ===，[0,]2πθ∈，∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)00ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =， ∴由题意，知：2453737||||221014m n a m n a a ⋅-==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】 关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角. （2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长. 25．（1）证明见解析；（2）6- 【分析】（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC . 所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ， 所以//ME 平面PAD ， 同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ， 所以平面//MNE 平面PAD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PB AB B ⋂=，PB 、AB平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =. 所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-. 设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,4n n n nn n ⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是3-. 【点睛】 方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 26．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）证明//EF BD ，可得证线面平行；（2）以D 为坐标原点，向量DA ，DC ，1DD 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，用向量法求得线面角的正弦． 【详解】（1）证明：连11B D∵几何体1111ABCD A BC D -为正方体，∴11//EF B D ∵11//BD B D ，∴//EF BD∵//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ∴//EF 平面ABCD（2）以D 为坐标原点，向量DA ，DC ，1DD 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系令2AB =，可得点D 的坐标为()0,0,0，点1B 的坐标为()2,2,2， 点B 的坐标为()2,2,0，点E 的坐标为()0,1,2()12,2,2DB =，()2,2,0DB =，()0,1,2DE =设平面BDEF 的法向量为(),,m x y z =，有22020DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取2x =，2y =-，1z = 可得()2,2,1m =-由12DB m ⋅=，1||23DB =||3m =， 有13cos ,323DB m ==⨯ 故直线1B D 与平面BDEF 3【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求直线与平面所成的角．求线面角的方法：（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出直线与平面所成的角，并证明，然后计算出这个角．（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解．。
上海上海理工大学附属初级中学数学高三上期末测试
一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <3．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．526．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7．已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4018．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1169．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且2()tan 23tan 2bc c B S B +=+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．911．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．3112．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3213．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60β，=30α，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．6015．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S二、填空题16．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．17．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C __________；19．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．20．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．21．在平面直角坐标系中，设点()0,0O，(A ，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是__________ 22．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 23．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______24．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____25．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．三、解答题26．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a +的值；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 28．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin 2cos 22B Aa b b c +=+． （1）求B ；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 29．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(3sin cos )()cos a B C c b A -=-．（1）求A ； （2）若3b =，点D 在BC 边上，2CD =，3ADC π∠=，求ABC △的面积．30．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．D5．B6．C7．C8．A9．C10．D11．A12．B13．B14．B15．C二、填空题16．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时17．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式18．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公19．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列20．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划21．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结22．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题23．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R（）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应24．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想25．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．D解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.3．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab+-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D5．B【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．6．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件(){04x y x m y -≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈的最小值为M OB =，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由1211n n n a a a +=++，可得)211111111n n n n a a a a +++=+++=，，{}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.8．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a Sb b b T +⋅===+⋅.解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-=∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．10．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．A解析：A【解析】【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.【详解】数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =，1112n n n a a q --∴==， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-． 故选A ．【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．B解析：B【解析】【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值.【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误；当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则1==d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确. ∴正确命题的个数是2个.故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.14．B解析：B【解析】【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度．【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD ADB ABD =∠∠， 即sin[90(90)]sin(90)h AD αβα=︒--︒-︒+， cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-， 又山高为a ，则灯塔CD 的高度是40cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．15．C解析：C【解析】【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7．【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1，∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0∴d ＞0 ∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0数列的前7项为负，故数列{S n }中最小值是S 7故选C ．【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题16．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析：10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩， 故点A 的坐标为(6,2)-，所以max 26210z =⨯-=．故答案为10．【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．17．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n S a n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)n n a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.【详解】因为()*22,n n S a n n N =≥∈所以()*1123,n n S a n n N --=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈ 即12(3,)n n a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列，又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题. 18．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 解析：21313【解析】【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b a a b +通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b a a b +()13sin C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b a a b+取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+ ()13sin C ϕ=+，其中213sin 13ϕ=，313cos 13ϕ=， 当b a a b +取得最大值13时，2C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． 故答案为：21313. 【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 19．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯. 考点：等差数列.20．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．21．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-【解析】【分析】 根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠= OA 在OP 上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠ AOB AOP AOC ∠≤∠≤∠ 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦ 33cos ,22AOP ⎡∴∠∈-⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈- 本题正确结果：[]3,3-【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.22．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题解析：1-【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-，又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.23．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解.【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒==设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.24．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】 由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++， 021222(12)(21)212n n n f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 25．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考 解析：8【解析】【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可. 【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题26．（1）2224b c a+=（2 【解析】【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc =，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =，∴2sin cos 3sin c B A a A =，由正弦定理得22cos 3cb A a =， 由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=， ∴2224b c a +=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==， ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A ==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.27．(1)212n a n =-;(2)4(13)n n S =-.【解析】【分析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、 （1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-，∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--． 28．（1）3B π=；（2）2⎤⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B C b=求解sin C 的取值范围. 【详解】（1）已知得2(1cos )12cos 2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1cos 2B =，解得3B π=． （2）由余弦定理得222222cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin 2c B C b ⎤=∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围. 29．（1）23A π=；（2）ABC S . 【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围()0,A π∈，可得7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可求A 的值． （2）在△ADC 中，由正弦定理可得sin 1CAD ∠=，可得2CAD ＝π∠，利用三角形内角和定理可求C B ∠∠，，即可求得AB AC ==解．【详解】（1）∵)()cos cos a B C c b A -=-，sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A --＝，sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C ++＝，可得：)sin cos sin B A A B +=， ∵sin 0B >，cos 2sin 16A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得：1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈， ∴7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴566A ππ+=，可得：23A π=．（2）∵b =D 在BC 边上，23CD ADC π∠＝，＝，∴在ADC 中，由正弦定理sin sin AC CD ADC CAD =∠∠2sin CAD =∠，可得：sin 1CAD ＝∠， ∴2CAD ＝π∠，可得：6C CAD ADC ππ∠=-∠-∠=， ∴6B A C ＝＝ππ∠-∠-∠，∴AB AC ==∴11sin 2224ABC S AB AC A ⋅⋅==＝． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．30．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π= （2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π= ∵sin 2sin B A =∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。
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(sin x) tan x ，则 y =
1 3
.
6. 若 f x a sin x sin 3x 的极值点是 x 7.
3
，则 a
.
2 0
4 x 2 dx
. .
8.设
f ( x) x , x [1,4] ，由拉格朗日中值定理，则 =
二. 求解下列各题.（24 分）
sin n 2 n n 1
.
2.
e f ( x) a x 5
1 x
x0 x0
2
，
f ( x) 在 x 0 处连续，则 a
.
3. d
sec
f x
x2 1
x dx . 2
4. 设
1 1 t2
dt , 则 f 1
.
5.设 y
x x
（2）上述图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
七. （6 分）设
f u 在 0, 上连续，证明：
0
xf sin x dx
2 0
f sin x dx .
求计算
0
x sin x dx . 2 sin 2 x
2
四. （8 分）对任意实数 x ，证明不等式：
1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 .
五. （8 分）将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与 圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？ 六. （14 分）求： （1）由 y 轴， y e 及 y e 过原点处的切线所围成的平面图形的面积.
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-2
编号 一 二 三 四 五 六 七
姓 名
得分 阅卷人
学 号
班 级
任 课 教 师
装 订 线 外 不 要 答 题 ， 装 订 线 内 不 要 写 姓 名 、 学 号 、 班 级 、 任 课 老 师 ， 违 者 试 卷 按
0
一. 计算题.（4 8=32 分） 1. lim
分 处 理
1 x . 1. lim x0 ln 1 2x x 2 sin
2.
y 9 x 2 2e 2 , 求 dy .
y
3. 求曲线 xe
y 1 在点 1, 0 处的切线方程.
4.
x
2
arctan xdx .
1
三. （8 分）求微分方程 y
y 满足 y | 1的解. x 1 2 y ln y y x