概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。

由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。

例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。

例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。

随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。

概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。

我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。

我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。

§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。

E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。

例：§1.1中试验 E 1--- E 7E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。

记为D C B A ,,,事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。

在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。

事件A 发生也称为事件A 出现。

必然事件：S 不可能事件：φ例1.(P4) 在E 2中事件A 1:”第一次出现是的H ”, 即：(三) 事件的关系与运算设E 的S ，A ，B ，AA A n,,,211．B A ⊂2．A B B A B A ⊂⊂⇔=且3．""都发生与B A B A AB =⋂=4．""""发生发生或至少发生一个与B A B A B A ==⋃5．""不发生发生而B A B A =-"""", .6互不相容与互斥或与称为不能同时发生与即若B A B A B A AB φ= 7．对立与称且若B A S B A AB ,=⋃=φ。

记AA S A AB B A -≠-===1,或。

(常用的关系） 补充 1．()B B A B A AB A B A -⋃==-=-2．AB B A B A B A B B A A B A ⋃⋃=⋃=⋃=⋃3．B A AB A ⋃=吸收律 若B A ⊂，则A AB B B A ==⋃,特别注意：φφ=====A A AS A AA S S A A A A ,,,,德·莫根律（对偶公式）B A AB B A B A ==,推广： ni in i iA A 11===， ni in i iA A 11===。

例2：P6,在例1中…. 其它例子： 例3：3E ：设=A {甲中}，=B {乙中}，问AB 与B A 各表示什么事件？是否是相等事件？ 留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，iA 表示第i 次射击打中目标)3,2,1(=i 。

试用21,A A 及3A 其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”； （2）“三发子弹都未打中目标”； （3）“三发子弹至少有一发打中目标”； （4）“三发子弹恰好有一发打中目标”； （5）“三发子弹至多有一发打中目标”. 留为练习§1.3 概率与频率 (一）事件的频率及其稳定性设某试验E 的样本空间为S ，A 为E 的一个事件。

把试验E 重复进行了n 次，在这n 次试验中，A 发生的次数A n 称为A 的频数。

称nn A为事件A 在n 次试验中发生的频率，记作:n n A f An =)(。

频率的基本性质 (1) 对任意事件A ，有1)(0≤≤A f n ；(2)1)(=S f n ，0)(=φn f ；(3) 若n A A A ,,,21 是互不相容的，则)()(11∑===nk k nn k knA fA f ，推论：对任一事件A ，有)(1)(A f A f n n -=。

实践证明：当试验次数n 很大时，事件A 的频率)(*A p 几乎稳定地接近一个常数p 。

频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。

书上p8—9页例1，2.概率的频率定义定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n 次试验，记m 是n 次试验中事件A 发生的次数。

当试验次数n 很大时，如果频率nm稳定地在某数值p 附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p 为事件A 在这一组不变的条件下发生的概率，记作=)(A P p 。

补充：概率的几种度量方法事件A 的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。

对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。

还是二种度量方法。

1. 几何概率度量的测度的测度Ω=g g A P )(g A 表示”在区域Ω中随机取一点，而该点落在区域g 中”这一事件。

例：这时， 可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。

2.主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。

例如：见朱手稿。

现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A): 即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。

让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。

选择对的话，将10万元。

如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。

等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。

当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。

例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。

2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。

如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义定义1.2 设试验E 的样本空间为S ，如果对每一个事件A 都有一个实数)(A P 与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A ，有0)(≥A P ；公理2（规范性）：对必然事件S ，有1)(=S P ；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件,,,,21iA A A 互不相容，则∑∞=∞==11)()(k kk kA P A P ，那么称)(A P 为事件A 的概率。

概率的性质 (1)0)(=φP ;(2)有限可加性: 若nA A A ,,,21 互不相容，则∑===nk k n k k A P A P 11)()( ;(3)对事件A,都有)(1)(A P A P -=;(4) 若B A ⊂,则 ①)()()(A P B P A B P -=-;②)()(B P A P ≤；特别的，对任何事件A ，都有1)(≤A P ;(5) 对任何两个事件A,B ，都有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃;(6) 对任何n 个事件n A A A ,,,21 ,都有)()1()()1()()()(11111111212211nk kn nk k k k k m k nk k k nk knk kA P A A A P A A P A P A P m m=-≤≤≤≤-≤<≤==-+-++-=∑∑∑例10---12为第一版上的例子。

例10： A,B 是E 中二个事件，已知3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ，求?)(=B A P解：)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=6.0)()()()(=-+=AB P B P A P B A P例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A 报的占45%，订购B 报的占35%；订购C 报的占30%，同时订购A,B 的占10%，同时订购A,C 的占8%，同时订购B,C 的占5%，同时订购A,B,C 的占3%。

求下列事件的概率（百分率） （1）{只订购A 报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。

例12：在所有的两位数（即从10至99）中， 任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。

§1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1．古典概型与计算公式 E 满足：① S 中基本事件ω个数是有限的n ； ② 每个基本事件发生是等可能的. 称E 为古典概型。

E 中事件A 包含k 个基本事件，则A 发生的概率为nk记P(A).2．古典概率的基本性质 设E 是古典概型，其样本空间为{}ωωωn S ,,,21 =，A ，A 1，A 2，…，A n 是E 中事件：①．0≤P （A ）≤1 ②．P （S ）=1，P （φ）=0③．若A 1，A 2，…，A n 是互不相容的事件，则有P ∑===ni in i iA P A 11)()( ；推论： P （A ）=1- P （A ）。

例1． P13，将一枚硬币掷三次，。

P14---17 例2—7.照书上讲。

以下例4---9为第一版上的例子：例4：E 1中求任取一球的号码为偶数的概率。

解：设A={所取的球的号码为偶数}={ ω2，ω4，ω6 }即A 中基本事件数k=3，于是P （A ）=2163=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码10,,2,1 。

每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。

这种取法叫做“有放回抽取”。