2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组B卷)

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（小高组B卷）

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）++…+=．

2．（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5：4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB两地中点，相遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了分钟．

3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．

4．（10分）小于1000的自然数中，有个数的数字组成中最多有两个不同的数字．

5．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M 为CD边的中点，∠MHB=90°，已知AB=20厘米，则MH的长度为厘米．

6．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S（22）=2+2=4，若a1=2017，a2=22，a n=S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于．

7．（10分）一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有个．

8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．

二、解答下列各题（每小题10分，共40分）

9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？

10．（10分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数．

11．（10分）从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法．

12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．

三、解答下列各题（每小题15分，共30分）

13．（15分）一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．

14．（15分）7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（小高组B卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）++…+=2034144．

【分析】观察一下，首先把分子的两个分数变换一下形式，变成两个分数的乘积，恰好能和分母约分，这样就把原来的繁杂的分数变成简单的整数加减运算．

【解答】解：

=

=

=2×（2+4+6+8+ (2016)

=2×

=2018×1008

=2034144

【点评】本题考查了分数的拆项运算知识，本题突破点：把分子拆分成两个分数的乘积形式，从而和分母约分

2．（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时甲乙两车的速度比为5：4．出发后不久，甲车发生爆胎，停车更换轮胎后继续前进，并且将速度提高20%，结果在出发后3小时，与乙车相遇在AB两地中点，相

遇后，乙车继续往前行驶，而甲车掉头行驶，当甲车回到A地时，乙车恰好到达甲车爆胎的位置，那么甲车更换轮胎用了52分钟．

【分析】首先分析后半程冲中点到A的过程，求出两人的速度比就可知道路程比，找到爆胎位置．然后再根据原来的速度比求出正常行驶的时间减去爆胎前的时间．最后根据甲前后两次的速度比求出时间比做差即可．

【解答】解：依题意可知：

甲乙两车的后来速度比：5（1+20%）：4=3：2，甲回来走3份乙走两份路程．得知甲车爆胎的位置是AC的处．

如果不爆胎的甲行驶的时间和速度成反比：设甲行驶的时间为x则有：4：5=x：3，x=

甲在行驶AC的爆胎位置到中点的正常时间为：×==（小时）；

甲乙爆胎前后的速度比为：5：5（1+20%）=5：6；

路程一定时间和速度成反比：设爆胎后到中点的时间为y则有：6：5=：y，y=；

修车时间为：3﹣×=（小时）

=52（分）

故答案为：52分

【点评】本题考查对比例应用题的理解和运用，关键是根据不变量判断正反比，找到甲原来不受影响的时间，再和后面的进行比较做差即可，问题解决．

3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．

【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：

①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对

称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；

②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，

即AB、AF、AH、AD；

③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；

④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、

BH．

综上，共有：2+4+2+2=10种不同摆放方法．

【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．

4．（10分）小于1000的自然数中，有352个数的数字组成中最多有两个不同的数字．

【分析】可以先求出有三个同数字的数的个数，再用总数1000减去后就是符合题意“数字组成中最多有两个不同的数字”的个数．

【解答】解：根据分析，小于1000的自然数中，有三个不同数字的数有：9×9×8=648个，

则最多有两个不同数字的数有：1000﹣648=352个．