余数问题之韩信点兵
韩信点兵问题,中国仅有的世界通用定理
韩信点兵问题与中国剩余定理今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？这段文字翻译成现代数学语言其实并不难，就是一个数同时满足除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，问这个数是多少？此类问题古人称为“韩信点兵问题”,据说是韩信不用过问兵的数量，只需让士兵变换方阵即可快速得出士兵的数量，也不知道是真是假，如果是真的，那韩信也算是一个数学过硬的将军了.上过小学的同学都知道，我们随便试几个数就可以很快发现，23就是第一个满足的数字.然而，你要找到更多的数字，那就有些难度了.要是换成更大的数字，例如一个数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，那这样的数如何去求呢？这就是今天小编要分享的是中国剩余定理.中国剩余定理是唯一一个以国家命名的定理，“韩信点兵问题”的记载最早出自南北朝数学名著《孙子算经》,中国剩余定理也叫孙子定理.这个问题放在现在肯定是不难求解的，接触过初等数论的同学就知道，只需解一个同余式组.)5(mod 3)3(mod 2N )7(mod 2{≡≡≡N N 的最小正整数解.方法一：大衍求一术公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得超越前人的辉煌成果，系统的阐述了“大衍求一术”，到了明代，著名大数学家程大位，在他的《算法统宗》中，还编写了四名歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.意思不难理解：三个人一同走路，70岁的老者很少，五棵梅花树上一共有21朵梅花，7个孩子在每月十五团圆，把这些数减去105便能得出答案.为什么？其中的原理还是让多数人摸不着头脑的,程大位数学家就更加详细了：①找出能被5与7整除而被3除1的数70，被3与7除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7余1的数15；②把70、21、15这三个数字分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是2.同理，233与63被5除余数是3；233与30被7除余数是2，所以233是满足题目的一个数；③而3，5，7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3，5，7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.故105n+23就是问题的解.方法二：等差数列法学过小学奥数的同学或者学过高中数学数列的同学非常好理解，三三数之余二，即3n+2，穷举得2，5，8，11，14........，从这些数中找到除以5余数是3的数，第一个数是8，故15n+8满足前两条件；再从15n+8的数中找到23满足除以7余2，而15和7的最小公倍数为105，故105n+23即满足所有条件.是不是相当简单？方法三：不定方程法设这个数为n ，则有273523+=+=+=z n y n x n 消去n 可得,175135-=--=-z y x y ，再消去y 得z z z x 31237+==，而x 为整数，可令k =z 31，即有z =3k ,x =7k ，代入可得5y -21k =-1,可得y =21k ′+4，代入可得n =105k ′+23,此法亦不难理解，初中生学过方程的即可.当然，还是一个核心的问题，这类问题有没有固定的解法，一旦数字改变，那解法可能会变得复杂，甚至算不出来.其实是有的.古人也早就提出了解法，不过具体原因在哪里，很多人是不明白的.如下：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
韩信点兵
简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。
最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。
至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。
根据这个道理，你就可以很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
余数题目[精华]
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民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数解答: 23。
70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
数学典故：韩信点兵
数学典故：韩信点兵
下面是店铺为大家整理的数学典故，希望大家能够从中有所收获!
我国汉代有位大将，名叫韩信。
他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。
他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。
到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，除百零五便得知。
这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。
比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。
算式是：
1×70+2×21+3×15=157
157-105=52(个)
看完以上的这则数学典故，不妨试试用上面的解法来算一下下面的这道题目!
题目：
新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为1张;五张五张地数，余数为2张;七张七张地数，余数为2张。
新华小学订了多少张《中国少年报》呢?。
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事是一个著名的数学问题，它在中国古代数学史上占有重要地位。
这个故事描述的是韩信在点兵时，通过利用余数的方法来判断士兵的数量。
故事背景是秦朝末年，楚汉相争时期。
韩信作为刘邦的部下，需要点兵迎战。
他让士兵们每排站3人，结果多出2名；每排站5人，结果多出3名；每排站7人，结果多出2名。
通过这一系列条件，韩信得知了总共有1073名士兵。
这个问题的核心是利用余数来判断士兵的数量。
当士兵们每排站3人时，多出2人，即士兵总数除以3的余数是2。
同样地，当每排站5人时，多出3人，即士兵总数除以5的余数是3。
当每排站7人时，多出2人，即士兵总数除以7的余数是2。
因此，我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
中国剩余定理是指在整数系中，给定一组线性同余方程（组），存在一个整数n，使得n对这组同余方程（组）的余数均为0。
在这个问题中，我们可以设士兵总数为n，那么n对3、5、7的余数分别为2、3、2。
因此，我们可以得到一组线性同余方程：
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 3 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 7)
通过解这组方程，我们可以得到士兵的总数为1073。
这个故事展示了数学在古代中国的广泛应用。
通过数学方法来解决实际问题，不仅体现了数学的实用性，也展示了古代中国在数学领域的卓越成就。
“韩信点兵”是怎样一个数学问题
《诗经》
们牢牢记住要做一个高洁的
入自己把握的世界。
里‘雅颂’类诗歌，寓意都是歌
Байду номын сангаас人，
有家国情怀的人。
除了营造书香氛围，我还
颂 、赞 美 祖 国 ，风 格 端 庄 、典
特别注重在细节方面对孩子
雅，充满正能量。在‘雅颂’之
但它又是有形的，不信，可以
进行培根铸魂，让她们从小就
前冠以‘梅’字，也可以理解为
观察一家几代人，是不是能够
“物不知数”问题的最小答案
后多出的人数。这样他就能
完整系统的解答，称为“大衍
算出自己部队的总人数了。
就是二十三。
求一术”。明代数学家程大位
（源自《中国人应知的古
在我国，
“ 韩信点兵”问题
则在《算法统宗》中将它的解
代科技常识》，
紫陌红尘荐稿）
最早出现在南北朝时期的数
法编成易于上口的歌诀：
“三
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“韩信点兵”是怎样一个数学问题
◎陈丹阳
韩信是汉初名将，民间流
学 著 作《孙 子 算 经》中 ，叫 做
人同行七十稀，五树梅花廿一
传一句歇后语“韩信点兵——
“物不知数”问题：
“ 一个整数
支，七子团圆正半月，除百零
多多益善”，用来形容韩信的
除以三余二，除以五余三，除
叫做“一次同余问题”，其解法
全部加起来后减去一百零五
一排，记下最后多出的人数；
称为“中国剩余定理”或“孙子
（或者一百零五的倍数），得到
再让士兵五人站成一排，又记
定理”
。
的余数就是最后的答案。按
韩信点兵同余问题
二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
韩信点兵--剩余定理
《孙子算经》
6
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数
之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之
剩8，问物几何？
7
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，… 5， 11， 17，
和余 ，使 a bq r , 0 r b
12
当余 r 0 时，则 a bq ，称为 “ a被b 整除”，或 “ b
a q 法“ b
a ”，这是通常除 整除
” 的另一种表达形式。所以，
带余
除法是通常除法的推广。
13
回到求“用2除余1的数”的问题。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 这 样的数为
x
，则
x 2n1 1
n1
。这里
x
是
被除数， 0 12 2是除数，
是商，1是余，
且
。
14
x 2n1 1(0 1 2), 这就是“带余除
法”的式子。当取n1 0,1, 2,3, 4,
用上式求得的 x 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25，…
时，
15
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42， 63，…）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30， 45，…）寻找被7除余1的数。
韩信点兵(同余问题)
二韩信点兵例1我们先考虑以下的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〔注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积〕，然后再加3，得9948〔人〕。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
韩信点兵
韩信点兵例今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思为：一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。
解答方法一：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用原题中被3、5、7除所得的余数2、3、2分别去乘70、21、15，再把所得的积相加。
70×2＋21×3＋15×2＝233例1一个数除以3余2，，除以5余2，除以7余4，求适合这个条件的最小数。
例2一个数除以5余3，，除以6余4，除以7余1，求适合这个条件的最小数。
解答方法二［6、7］=42 而42÷5余2 并且2×（4）=8 8÷5余3 所以取42×4=168［5、7］=35 而35÷6余5 并且5×（2）=10 10÷6余4 所以取35×2=70［5、6］=30 而30÷7余2 并且2×（4）=8 8÷7余1 所以取30×4=120168+70+120=358 而［5、6、7］=210 358—210=148 所以：适合条件的数为148。
例3 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只；每次取出5只，最后剩2只；每次取出7只，最后剩3只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？例4 一个自然数被7、8、9除分别余1、2、3，并且三个商数的和使570，求这个自然数。
例5 有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？例6 卫兵一队列成5行纵队，末行1人；列成6行纵队，末行5人；列成7行纵队，末行4人；列成11行纵队，末行10人；求兵数。
课后练习：1 一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余4，求适合这个条件的最小数。
2 一筐苹果，三三数之余一，四四数之余三，五五数之不足一只，这筐苹果最少有几只?3 召开学生座谈会，每组5人则多1人，每组6人则多2人，每组7人则多3人，问至少有多少个学生？4 某班学生若4人一组多1人，5人一组正好分，6人一组少3人，这个班最少有几人？5 用一辆卡车运货，如果每次运9袋余1袋，如果每次运8袋余3袋，如果每次运7袋余2袋，问这批货物至少有多少袋？6 今有物不知其数，九九数之，八八数之，七七数之……三三数之，二二数之皆余一，问物至少几何？7 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩2只；每次取出5只，最后剩3只；每次取出7只，最后剩1只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？8 有铅笔若干支，若按12支一扎多11支，按15支一扎多14支，原有铅笔多少支？9 箩筐里有一批橘子，三个三个一数余一个，五个五个一数余四个，七个七个一数余二个，箩筐里原有多少个橘子？10 一个数除以5余数是2，除以3余数是1，这个数除以15余数是几？11 一排吊灯，3个3个的数剩2个，4个4个的数剩3个，6个6个的数剩5个，这排吊灯至少有几个？12 某数被2、3、4、5、6除都余1，正好被7整除，求符合条件的最小数。
韩信点兵的故事 韩信点兵歇后语故事
韩信点兵的故事韩信点兵歇后语故事韩信(约公元前231年-前196年)，汉族，淮阴(原江苏省淮阴县，今淮安市淮阴区)人，西汉开国功臣，中国历史上杰出军事家，与萧何、张良并列为汉初三杰，与彭越、英布并称为汉初三大名将。
关于韩信点兵的故事!下面我们一起来看看吧!韩信点兵的故事汉高祖刘邦曾问大将韩信：你看我能带多少兵?韩信斜了刘邦一眼说：你顶多能带十万兵吧!汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我!那你呢?韩信傲气十足地说：我呀，当然是多多益善啰!刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
韩信满不在乎地说：可以可以。
刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：每三人站成一排。
队站好后，小队长进来报告：最后一排只有二人。
刘邦又传令：每五人站成一排。
小队长报告：最后一排只有三人。
刘邦再传令：每七人站成一排。
小队长报告：最后一排只有二人。
刘邦转脸问韩信：敢问将军，这队士兵有多少人?韩信脱口而出：二十三人。
刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：此人本事太大，我的想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
一面则佯装笑脸夸了几句，并问：你是怎样算的?韩信说：臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法。
韩信点兵的故事上面我们也说道了韩信用兵的故事，下面我再来继续说说韩信那些被民间津津乐道的七个故事。
1、跨下之辱韩信小时候父母双亡，家道贫寒，屡屡遭到周围人的歧视。
有一天，一群恶少当众羞辱韩信，说：你虽然长得又高又大，喜欢带刀配剑，其实你胆子小得很。
如果你真有本事，你就用你的配剑来刺我;如果不敢，你就从我的裤裆下钻过去。
韩信自知形只影单，硬拼肯定吃亏，于是，当着许多人的面，从那个恶少的裤裆下钻了过去。
2、莫以富贵论英雄韩信家境贫寒，常常只能到一位与他有交情的小官吏家中去吃白食，可是时间一长，小官吏的妻子对他产生了反感，便有意提前吃饭，等韩信来到时已经没饭吃了，于是韩信很恼火，就与这位小官绝了交。
公务员考试行测：剩余定理之韩信点兵
辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网更多复习资料：/传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。
他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队(每行七人)。
他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。
韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗?如果你掌握了中国剩余定理，你是可以做到的，下面给大家介绍一下中国剩余定理的几种形式。
一.余同加余现在有一堆苹果，分给一群人，每个人分3个，剩两个，每个人分4个，剩两个，如何求苹果总数的表达式呢?我们来分析一下，根据已知条件我们可知苹果数除以3余2，除以4也余2，余数相同都为2，我们如果设苹果总数为X,说明(X-2)既能被3整除又能被4整除，也就是能被3和4的最小公倍数12整除，所以X-2=12N,X=12N+2，所以当余数相同时，表达式为除数的公倍数加上相同的余数，这就是余同加余的含义。
二.和同加和现在还是有一堆苹果，每个人分4个剩1个，每个人分3个剩2个，求苹果总数的表达式，分析一下题干，两种情况余数不同，但是除数与余数的和相同，都为5，除以4余1，是相当于除以4余5，除以3余2，相当于除以3余5，那么现在我们就把和同的形式转化成了余同的形式，根据上段的结论，苹果数的表达式X=12N+5，从而我们得出了第二个结论，当除数与余数的和相同时，就用除数的公倍数加上这个相同的和。
三.差同减差一堆苹果，每个人分4个剩3个，每个人分5个剩4个，求苹果总数的表达式，发现两种情况虽然余数不同，但是除数与余数的差值相同，每个人分4个剩3个，说明如果再有一个苹果就可以再分给一个人，也就相当于每个人分4个少1个，同理每个人分5个剩4辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网 个相当于每个人分5个少一个，说明苹果数除以4余-1，除以5余-1，现在我们就把差同的形式转化成了余同的形式了。
韩信点兵数学竞赛题中国剩余定理
韩信点兵数学竞赛题中国剩余定理中国古代将领韩信是我国历史上著名的军事家，在战争中常常运用智谋胜敌。
他点兵数学竞赛题是一道以韩信命名的数学竞赛题，这个问题是一个典型的中国剩余定理的问题。
下面我们来详细解答这个问题。
1. 问题描述韩信点兵数学竞赛题描述：韩信带兵攻打赵国，他手下共有兵士三万人，分为三个团队。
第一天，第一队出兵了，但是他们出发之前被派去买饭了。
第二队出发了，但是他们也遇到了意外，少了一半人。
第三队没有遇到什么问题，全军出发。
结果三队同时到达目的地，没有人掉队。
问：韩信至少有多少兵？2. 分析这个问题的解决方法是使用中国剩余定理。
我们先将题目翻译成数学语言：设韩信的军队共有x人，第一队共有a人，第二队共有b 人，第三队共有c人。
已知：- x≡a(mod m1)- x≡b(mod m2)- x≡c(mod m3)其中，m1，m2和m3是三个正整数，说明模数不一样，我们需要使用中国剩余定理来解决。
3. 解决方法韩信点兵数学竞赛题的解决方法是使用中国剩余定理，步骤如下：1. 求出模数m1，m2和m3的最小公倍数M，即M=lcm(m1, m2, m3)。
2. 求出t1，t2和t3，使得M/m1=t1，M/m2=t2和M/m3=t3，即t1，t2和t3是M/m1，M/m2和M/m3的商数。
3. 分别求出M/m1，M/m2和M/m3关于m1，m2和m3的逆元r1，r2和r3，即r1*(M/m1)≡1(mod m1)，r2*(M/m2)≡1(mod m2)和r3*(M/m3)≡1(mod m3)。
4. 按照以下公式求解x：x≡a*t1*r1+b*t2*r2+c*t3*r3(mod M)4. 求解过程下面我们逐步求解韩信点兵数学竞赛题，求解过程如下：1. 求出模数m1，m2和m3的最小公倍数M，即M=lcm(3, 2, 1)=6。
2. 求出t1，t2和t3，使得M/m1=t1，M/m2=t2和M/m3=t3，即t1，t2和t3是2，3和6。
韩信点兵问题的神算法
韩信点兵问题的神解法定理1：一个数除以a余数x，除以b余数y，a、b互质且a<b，求这个数的最小值。
设这个数为z，则z=b(an+x-y)/(b-a)+y (1)或z=a(bn+x-y)/(b-a)+x (2)其中n为使(bn+x-y)/(b-a)为正整数的最小值。
证明：设z=al+x=bm+y 则：al+x-y-am=(b-a)m所以m=(a(l-m)+x-y)/(b-a)将变量l-m用独立变量n代替：m= (an+x-y)/(b-a)将m代入以上等式得到：z=b(an+x-y)/(b-a)+y同理可以证明等式2定理2：在定理1等式中，0<=n<=b-a。
证明：从定理1等式中可知n=l-m，因为a<b，所以l>=m，故n>=0假设n=h(b-a)+k，k<=b-a 代入以上算式z=b(ah(b-a)+ak+x-y)/(b-a)+y=ahb+b(ak+x-y)/(b-a)，由此可知，n可以取值为k。
根据以上两个定理来计算韩信点兵问题，具有两个方面的优点：1、将两个变量合并成了一个变量，从而只需要尝试一个变量即可。
2、这一个变量的范围被两个除数的值界定，需要尝试的最多次数是确定的。
例1：一个数除以9余5，除以13余4，求这个数的最小值列出算式：13*(9n+5-4)/(13-9)+4=13*(9n+1)/4+4显然能让相除结果为整数的n的最小值为3，代入则得：13*(9*3+1)/4+4=95。
例2：一个数除以13余10，除以17余5，求这个数的最小值列出算式：17*(13n+10-5)/(17-13)+5=17*(13n+5)/4+5显然能让相除结果为整数的n的最小值也为3，代入则得：17*(13*3+5)/4+5=192以上算法比传统算法更简便，但依然有缺陷，即如果除数的值比较大时，要获得满足条件的n的值尝试的次数也会相应增大，从而对于大数相除时也会计算量太大，无法手算，用计算机计算也会比较耗时。
韩信点兵问题
－韩信点兵问题汉朝大将韩信善于用兵。
据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。
这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
这类问题的解题依据是：1、如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：20÷3=6 (2)(20-3×5)÷3=21 (2)(20+3×15)÷3=1 (2)2、如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)(20×3)÷9=6 (6)(20÷2)÷9=1 (1)例1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
求适合这些条件的最小的数。
1、求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。
70×2=1402、求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。
21×3=633、求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。
15×2=304、求得上面三个数的和140+63+30=2335、求3、57的最小公倍数［3、5、7］=1056、如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍233–105×2=23例2、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。
解法一：70×2+21×2+15×4=242［3、5、7］=105242–105×2=32解法二、35+21×2+15×4=137［3、5、7］=105137–105=32例3、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。
1、因为［6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=1682、因为［7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=703、［5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=1204、［5、6、7、］=2105、 168+70+120–210=148例4、我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。
韩信点兵数学题
韩信点兵数学题韩信是中国历史上著名的将领之一，他在数学方面也非常突出。
他曾提出了一道著名的问题，被称为“韩信点兵数学题”。
这道题可以用一个简单的数学算法来解决，下面我们就来详细讲解。
问题描述韩信在战斗中遇到了一支敌军。
他想要知道敌军究竟有多少兵力，于是他派人去数敌军的军营。
不过，他的间谍只能在外面听取军营内的人数。
听了一阵之后，间谍回来汇报说：“将军，我数了三次，每次听到的数字分别是3、5和7，而且这些数字之和是78。
”这时，韩信突然想到，敌军的兵力究竟是多少呢？问题分析假设敌军的兵力为x，那么我们可以列出以下的等式：3x ≡ 2 (mod 3)5x ≡ 3 (mod 5)7x ≡ 4 (mod 7)这里，≡ 指的是模等于，也就是两个数除以模数后的余数相等。
我们可以发现，所有的式子右边都有一个共同的模数，也就是3、5和7的乘积，即105。
在这个等式组中，我们要找到一个数x，使得对于每个等式，都满足模等于的条件。
欧拉定理为了解决这类问题，我们可以利用欧拉定理。
欧拉定理表示：如果两个数a和m互质（即它们没有公因数），那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。
其中，φ(m)表示小于或等于m的正整数中，与m互质的数的个数。
在我们的问题中，3、5和7互质。
所以我们可以求解方程组中每个等式的解。
解题过程首先，我们需要根据欧拉定理来计算φ(m)。
φ(3) = 3 - 1 = 2φ(5) = 5 - 1 = 4φ(7) = 7 - 1 = 6接下来，我们将每个等式的模数m换成105，并根据欧拉定理来求解。
3^2 ≡ 1 (mod 3)5^4 ≡ 1 (mod 5)7^6 ≡ 1 (mod 7)然后，我们可以得到以下的等式：3x ≡ 2 (mod 105)5x ≡ 3 (mod 105)7x ≡ 4 (mod 105)接下来，我们可以计算这些等式的解。
对于第一个等式，我们可以得到x ≡ 35 (mod 105)。
韩信点兵问题
韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。
这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。
这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。
【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。
【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。
【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。
小学数学 数学故事 韩信点兵
韩信点兵
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
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余数问题之信点兵
减同余、加同补：
例1、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下2个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下2个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
例2、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下1个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下3个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？
【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。
这堆糖至少有多少块？
【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？
逐级满足：
例3、1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？
2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？
【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？
【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
例4、三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？
三、拓展提高：
1、有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。
那么这筐苹果至少_______个。
2、有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个，那么这箱苹果至少有个。
3、一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为_______。
4、一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？
5、一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？
【课后作业】
1、一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个数至少是多少？
2、一个数除以
3、
4、
5、6的余数分别是2、3、4、5，则这个数至少是多少？
3、某类数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则小于50的这类数分别是多少？
4、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
5、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？
6、三个连续自然数，从小到大依次是8、
7、9的倍数，那么这三个数的和至少是多少？
【挑战题】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是多少？。