统计特征值讲解
统计学基础知识
一、数据的特征值（一）数据的位置特征值_1）平均值 xx ， x ， x x 为：如果从总体中抽取一个样本，得到一批数据 . ，则样本的平均值123 xn_1nx x in i 1n-数据个数；xi-第 i 个数据数；∑-求和。
~2）中位数x，x ， x 有时，为减少计算，将数据x . 按大小次序排列，用位居于正中的那个数或1 2 3 x n中间两个数的平均值（当数据为偶数时）表示数据的总体平均水平。
3）中值 M测定值中的最大值xmax 与最小值xmin 的平均值，用M 表示。
x max x minM24）众数在用频数分布表示测定值时，频数最多的值即为众数。
若测定值按区间做频数分布时，频数最多的区间代表值（一般取区间中值）也称众数。
（二）数据的离散特征值1）极差 R测定值中的最大值x max与最小值 x min之差称为极差。
通常R 用于个数n 小于 10 的情况下， n 大于 10 时，一般采用标准偏差s 表示。
2）偏差平方和 S _各测定值x i与平均值x之差称为偏差。
各测定值的偏差平方和称为偏差平方和，简称平方和，用 S 表示。
_ _ _S= ( x 1x ) 2 ( x 2x ) 2... ( x n x ) 2 n _=( x i x ) 2i 1无偏方差各个测定值的偏差平方和除以（n-1）后所得的值称为无偏方差（简称方差），用 s2表示：S 1 n _s 21 n ( x i x ) 2n 1 i 11标准偏差 s方差 s2的平方根为标准偏差（简称标准差），用 s 表示：S 1 n _s s 2( x i x ) 2n 1 n1 i 1（三）变异系数以上反映数据离散程度的特征值，只反映产品质量的绝对波动大小。
在工程实践中，测量较大的产品，绝对误差一般较大，反之亦然。
因此要考虑相对波动的大小，在统计技术上用变异系数 CV 来表达：C V s _ x上式中σ 和μ 为总体均值和总体标准差，当过程在受控状态下，且样本容差较大时，可用样本标准差s 和样本均值x 估计。
统计学 第三章数据的特征值
一是各个变量值之间有差异； 二是各个变量值的权数有差异。 • 简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。
2021/7/3
14
算术平均数的性质 p75-76
• 1．各变量值与其算术平均数的离差之和
等于零，即
根据未分组数据计算四分位数时先对数据进行排序然后再确定四分位数所在的位置当四分位数的位置不在某一个具体数值时可根据四分位数的位置按比例分摊四分位数所在位置两侧变量值之差的数值
第三章 数据分布特征的描述
• 第一节 集中趋势——数值平均数 • 第二节 集中趋势——位置平均数 • 第三节 离中趋势的测度 • 第四节 偏度与峰度的 测度
时间：1999 2000 2001 2002 tn 产量：环y比0 发展速y度1 y1/yy20 y2/y1 yy33/y2 yn/yynn-1
定基发展速度 y1/y0 y2/y0 y3/y0 yn/y0
注意：环比发展速度的连乘积=相应的定基发展速度
增长速度= 发展速度-1
环比增长速度=环比发展速度-1 定基增长速度=定基发展速度-1
某年级83名女生身高资料
身高 人数
（CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4
2021/7/3
身高 人数
（CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计 83
n Yn 1 Y0
(i 1,2,, n)
2021/7/3
统计学3样本数据特征初步分析
统计学3样本数据特征初步分析统计学中的样本数据特征初步分析是指对一个或多个样本数据集进行一系列统计学方法的应用和解释，以得到样本数据集的基本特征和信息。
这些特征包括中心趋势、离散性、对称性和峰度等方面的统计量。
中心趋势是用来描述数据集中数值的一种指标，常见的有均值、中位数和众数。
均值是所有数据值的平均数，可以用来表示数据的集中程度。
中位数是将一组数据按升序排列后，位于中间位置的观察值，可以用来描述数据的中心位置。
众数是指数据集中出现次数最多的数值，可以用来描述数据的集中位置。
通过计算这些指标，可以了解到数据集的整体趋势。
离散性是用来描述数据集中变异程度的指标，常见的有极差、方差和标准差。
极差是一组数据最大值和最小值之间的差，可以用来描述数据的变异程度。
方差是每个数据值与均值之间的差的平方的平均数，可以用来描述数据的分散程度。
标准差是方差的平方根，可以用来描述数据的离散程度。
通过计算这些指标，可以了解到数据集的变异情况。
对称性是用来描述数据集分布形态的指标，常见的有偏度和峰度。
偏度是指数据分布的偏斜程度，可以用来描述数据集的非对称性。
对称分布的偏度为0，正偏斜则偏度大于0，负偏斜则偏度小于0。
峰度是指数据分布的峰态程度，可以用来描述数据集的尖峭程度。
峰度大于0表示比正态分布更尖峭，峰度小于0表示比正态分布更平缓。
通过计算这些指标，可以了解到数据集的分布形态。
在进行样本数据特征初步分析时，可以先对数据进行描述性统计和绘图，然后计算中心趋势、离散性、对称性和峰度等统计量。
描述性统计可以通过计算均值、中位数、众数、极差、方差、标准差、偏度和峰度等指标得到。
绘图可以通过绘制直方图、箱线图和散点图等图形来展示数据的分布情况。
而对于样本数据特征初步分析的结果，可以从以下几个方面进行解读和应用。
首先，中心趋势的指标可以反映数据集中的代表性数值，帮助理解数据的总体趋势。
其次，离散性的指标可以反映数据的分散程度，帮助理解数据的变异程度。
应用统计学第4章统计数据的特征值
x
销售额 5000 6300 11500 10.886 1 1 1 销售量 5000 6300 115000 10 10.5 11.5
4.2
离散程度的测定 数据分布的另一个属性就是离散程度，也称
作离中程度。离散程度表示了总体内部的差异程
度。
4.2.1分类数据——异众比率
i
n
10
分组数据：
|x x| f D f
Mi i
i
如果要根据表4-3分组数据计算150名学生的平均
差，则:
D | 152.5 166.3 | 1 | 157.5 166.3 | 16 ... | 182.5 166.3 | 1 663.4 4.22 150 150
组中值(x) 152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 177.5 182.5 -
人数(f) 1 16 42 57 27 6 1 150
(xf) 152.5 2520 6825 9547.5 4657.5 1065 182.5 24950
解答一：
x
x f
i 1 m i i
m
i
产品A的平均销售价格。
批次 1 2
销售单价 （元/件） 10 10.5
数量(件) 500 600
销售额 （元） 5000 6300
3
x
11.5
1000
11500
销售额 10 500 10.5 600 11.5 1000 10.886 销售量 500 600 1000
人数 95 114 116 99 76
合计
500 --
--
100 --
--
质量统计分析：质量数据收集方法、特征值、处理方法、分析方案
质量统计分析5．2．1 质量数据收集方法1．质量数据收集的常用方法如表5-9所示。
表5-9 质量数据收集方法整群抽样整群抽样一般是将总体按自然存在的状态分为若干群，并从中抽取样品群组成样本，然后在中选群内进行全数检验的方法多阶段抽样1．是指在抽取样本时，分为两个及两个以上的阶段从总体中抽取样本的抽样方式 2．具体操作步骤（1）第1阶段，将总体分为若干个一级抽样单位，从中抽选若干个一级抽样单位入样（2）第2阶段，将入样的每个一级单位分成若干个二级抽样单位，从入样的每个一级单位中各抽选若干个二级抽样单位入样 （3）依此类推，直到获得最终样本2．质量数据的分类根据质量数据数量化的要求，可以将质量数据进行如图5-14所示的划分。
图5-14 质量数据的分类5．2．2 质量数据的特征值质量数据特征值是由质量数据计算的用来描述质量数据波动规律的指标，具体内容如图5-15所示。
计数值数据1．计量值数据是可以连续取值的数据，属于连续型变量。
其特点是在任意两个数值之间都可以取精度较高一级的数值。
2．该类数据通常通过测量获取，如重量、强度、尺寸、标高、位移等。
3．一些属于定性的质量特性，可由专家主观评分、划分等级而使之数量化，得到的数据也属于计量值数据。
1．计数值数据是只能按0，1，2，……数列取值计数的数据，属于离散型变量。
2．该类数据由计数得到。
计数值数据又可分为计件值数据和计点值数据。
计件值数据，表示具有某一质量标准的产品个数。
如总体中合格品数、一级品数；计点值数据，表示个体（单件产品、单位长度、单位面积、单位体积等）上的缺陷数、质量问题点数等。
计量值数据图5-15 质量数据的特征值5．2．3 质量数据处理方法质量数据处理方法如表5-10所示。
表5-10 质量数据处理方法方法内容特点列表法制作一份表格把测量数据按照对应关系一一排列在表中即列表法1．能够简单反映出相关量之间的对应关系2．清楚明了地显示出测量数值的变化情况3．较容易从排列数据中发现有错误的数据4．为用其他方法处理数据创造了有利条件作图法把一系列相互对应的数据及变化的情况用曲线表示出来即作图法1．能够形象、直观、简便地显示出变量的相互关系以及函数的极值、拐点、突变或周期性等特征2．有助于发现测量中的个别错误数据3．在报告质量数据处理结果时用曲线描述较为直观逐差法当两质量数据成线性关系时，常用逐差法来计算因变量变化的平均值；当函数关系为多项式形式时，也可用逐差法来求多项式的系数1．充分利用测量数据2．绕过某些定值未知量3．可验证表达式或求多项式的系数最小二乘法和一元线性从测量数据中寻求经验方程或提取参数，称为回归问题，用作图法获得1．回归分析方法用来处理变量之间的相关关系，应用广泛描述数据集中趋势的特征值描述数据离中趋势的特征值●算术平均数（1）总体算术平均数（2）样本算术平均数●样本中位数●极差●标准偏差（1）样本标准偏差（2）总体标准偏差●变异系数5．2．4 质量统计分析方案。
个体特征的统计值-概述说明以及解释
个体特征的统计值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在人类社会中，每个个体都具有其独特的特征。
这些个体特征可以是身体特征、心理特征、行为特征等各种方面。
为了更好地了解和描述这些特征，在统计学中我们常常使用统计值来对个体特征进行概括和描述。
统计值是对一组数据集合进行整体性描述的指标，可以帮助我们更好地理解和分析个体特征的整体情况。
本文将探讨个体特征的统计值，包括其定义、意义以及常见的统计值类型，旨在为读者提供更深入的了解和认识。
通过对个体特征的统计值的研究，我们可以进一步探讨其在社会科学、医学、经济学等领域的广泛应用和意义。
1.2文章结构文章结构部分的内容:本文将首先在引言部分对个体特征的概念进行概述，并简要介绍文章的结构，以及研究的目的。
接着，在正文部分，我们将详细讨论个体特征的定义，统计值的意义，以及常见的个体特征统计值。
最后，在结论部分，我们将对文章进行总结，并探讨个体特征统计值的应用价值和未来可能的发展方向。
通过对个体特征统计值的深入研究，希望能够为相关领域的学术研究和实践应用提供一定的参考价值。
1.3 目的本文的目的是探讨个体特征的统计值，通过深入解析个体特征的定义、统计值的意义以及常见的个体特征统计值，帮助读者更好地理解和应用统计方法分析个体特征。
通过本文的阐述，读者将能够了解如何通过统计值来描述和分析个体特征，从而更好地应用统计学方法解决实际问题。
此外，本文还将展望个体特征统计值在未来的应用发展，为读者提供对相关领域的进一步探索和研究方向。
通过本文的阐述，希望读者能够更全面地认识和理解个体特征的统计值，为相关领域的研究和应用提供有益的参考。
2.正文2.1 个体特征的定义个体特征是指个体在某个方面或某些方面上所具有的独特性或差异性。
这些特征可以是生理上的特征，如身高、体重、血压等；也可以是心理上的特征，如性格、情绪、认知能力等；还可以是行为上的特征，如运动能力、社交能力、学习能力等。
第四章 统计特征值.ppt
17 33
1:
2或
51.52﹪
说 ⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示； 明 ⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。
比较相对数
《统计学》第四章 统计特征值
比较 某地区或单位某一指标数值 相对数 另一地区或单位同类指标数值 100%
例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额 分别为5.4亿元和3.6亿元。则
是实现宏观经济调控和企业经营 管理的基本指标；
是计算其他统计指标的基础。
第一节 总量指标和相对指标
人口总数 人口性别比例
平均年龄 年龄标准差 原始 加工数据 数据 统计指标 不同年份人口数 人口自然增长率
人口数量模型
静态 分布
动态 趋势
《统计学》第四章 统计特征值
总量指标绝对规模 相对指标相对关系 平均指标集中趋势 变异指标离散趋势
总体标志总量 总体单位某一数量标志的标 志值总和
一个总体中只有一个单位总量，但可以有多 个标志总量，它们由总体单位的数量标志值 汇总而来。例如：研究某城市居民家庭消费 水平，居民家庭月消费总额是标志总量；居 民家庭数是总体单位总量。
总量指标的基本分类
《统计学》第四章 统计特征值
时期指标
表明现象总体在一段时期内发展过
复合单位 （如：人·次、吨·公里）
双重单位 （如：人/平方公里）
多重单位 （如：艘/吨/千瓦）
计量 单位
《统计学》第四章 统计特征值
单一单位 自然单位：个、台等 度量衡单位：吨等
复合单位：工时、吨公里等
公顷
人
辆
甲企业 乙企业
《统计学》第四章 统计特征值
利润 资金 资金利 总额 占用 润率
500 3000 16.7% 万元 万元 不可比 不可比 可比 5000 40000 12.5% 万元 万元
统计特征值
统计特征值
《统计学》第四章 统计特征值
第一节 第二节 第三节
集中趋势的测度 离散趋势的测度 偏态与峰度
第一节 集中趋势的测度
指总体中各单位的次数分布从两边向 集中趋势 中间集中的趋势，用平均指标来反映。 数值平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数
又称平均数，是 反映社会经济现 象总体各单位某 一数量标志在一 定时间、地点和 条件下所达到的 一般水平的综合 指标。
X 1 X 2 X N X N
X
i 1
N
i
N
式中：X 为算术平均数; N为总体单位总数； X i 为第i 个单位的标志值。
《统计学》第四章 统计特征值
算术平均数的计算方法
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额
分别为520元、600元、480元、750 元、440元，则
平均每人日销售额为：
X
i 1 m i 1
m
i
fi
i
f
式中： X 为算术平均数; f i 为第 i 组的次数； m 为组数； X i为第 i组的标志值或组中值。
算术平均数的计算方法
《统计学》第四章 统计特征值
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件） 工人人数（人）
X
10 11 12 13 14 合计
f
《统计学》第四章 统计特征值
权数与加权
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
算术平均数的计算取决于变 量值和权数的共同作用： 1 2 2 2 3 4 4 5 5 3 6 2 7 1 8 1 9 1
变量值决定平均数的范围；
第五章统计特征值
比重
f
f
x是
x f
i 1 n i
n
i
1 0
N1
N0
计 N
N1 N0
N N
1
p q
f
i 1
i
合
1 N1 0 N 0 N P
统计学
河南科技大学
第五章 统计特征值
例：某工厂生产某种产品合格率为95%，不 合格率为5%，求是非标志平均数。
x P 95%
统计学
河南科技大学
第五章 统计特征值
某公司员工平均工资情况
年份 平均月工资
2002 530
2003 560
2004 690
2005 850
2006 900
2007 1100
统计学
河南科技大学
第五章 统计特征值
按年产量分组(吨) 100以下 100500 500 1000 1000 3000 3000 5000 5000 10000 10000以上
统计学
河南科技大学
第五章 统计特征值
4、算术平均数的数学性质 （1）各个变量值与其平均数离差之和等于零 ( x x )f 0 x x 0
（2）各个变量值与其平均数离差平方之和为最小值 2 2 x x 最小值 x x f 最小值
x (x c) (x x) c
例 某厂金工车间20名工人加工某种零件的产量资料如下： 20名工人零件生产数量分组资料
产量（件） 14 15 16 17 18 合计
平均产量
人数（人） 2 4 8 5 1 20
总产量（件） 28 60 128 85 18 319
第四篇统计特征值1
当反映分布集中趋势的度量值仅
仅由数列中某个位置的值来确定 152 154 154 155 155 156
156 156 156 157 158 158
身高 人数
（CM） （人）
身高 人数
（CM） （人）
时，这个值就称为次序统计量， 159 159 160 160 160 160 152
1
160 160 160 160 160 160 154
几何平均数的计算方法
《统计学》第四章 统计特征值
分析：
因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：100×0.95； 第二车间的合格品为：100×0.92；
…… 第五车间的合格品为：100×0.80。 则该企业全部合格品应为各车间合格品的 总和，即 总合格品=100×0.95+……+100×0.80
800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
算术平均数的计算方法
《统计学》第四章 统计特征值
解：
m
X
Xi fi
i 1 m
fi
10 70 70
14 100 100
i 1
9710 12.1375(件） 800
说 明
若上述资料为组距数列，则应取各组的组 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 得的算术平均数只是其真值的近似值。
A. 简单算术平均数 ——适用于总体资料未经 分组整理、尚为原始资料 的情况
N
X X1 X 2 X N i1 X i
N
N
式中：X 为算术平均数; N为总体单位总数；
X i 为第i 个单位的标志值。
算术平均数的计算方法
《统计学》第四章 统计特征值
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额
统计学 第三章数据的特征值
第一节 第二节 第三节 第四节
集中趋势——数值平均数 集中趋势——位置平均数 离中趋势的测度 偏度与峰度的 测度
2019/2/6
1
本章重点与难点
重点: 了解和掌握算术平均数、众数、中位 数、方差、标准差、标准分数的含义及 其计算方法；正确使用离散系数比较不 同均值的代表性。 难点: 是偏度和峰度的含义及其计算方法。
样的，但在社会经济应用领域，调和平均数实际上
只是算术平均数的另一种表现形式，二者本质上是 一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。
2.计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计 算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已 知比率及其基本计算式的分子资料，则采用加权调 和平均法。
2019/2/6 20
2019/2/6 37
组距分组数据，众数的计算步骤
1、先找到众数所在的组；
2、按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所 占的比重来推算众数值。 如果众数组前一组的次数大于后一组的次数，则 众数值小于其所在组的组中值；反之，众数值则 大于其所在组的组中值； 若众数组前后相邻组的次数相等，则众数值等于 其所在组的组中值。
【例3.11】 某制鞋厂要了解消费者最需要 哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场2005 年10月男皮鞋的销售情况，得到资料如表 3.10所示。
2019/2/6 32
众数的计算-- 例题分析
要求：试根据上表资料计算男皮鞋销售量的众数。 解：销售量最多的是规格为25.5厘米的鞋号，销售量 320双，占32%，故众数为25.5公分。
2019/2/6 14
算术平均数的性质 p75-76
特征数讲解
i 1
i 1
n
n
n
n
(xi yi zi ) xi yi zi
i 1
i 1
i 1
i 1
n
[2]
xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
[3]
n
xi2 x12 x22 xn2
i 1
n
n
[4]
axi a xi
i 1
i 1
[5]
n
a na
i 1
Π(连乘符号)
众数、中位数和平均数的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数
众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
众数、中位数、平均数的特点和应用
1. 众数
不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大时应用
2. 中位数
不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用
3. 平均数
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
d :组距
Mo
X0
1 1 2
d
700 285 100 285 225
755.9
3 中位数（md）
第i=(n+1)/2个数。（n为奇数）
例如：3、6、8、30、20：md=8 又如：3、6、8、11、50：md=8
如n为偶数，则为中间两数的平均值。
如：3、6、8、11：md=(6+8)/2=7
4 平均拥挤度(mean crowding)
定义：在同一样方中，平均每个个体拥有多少个其他个体。 即平均每个个体与多少个其它个体在同一样方中（Lloyd， 1967）。
公式推导：Lloyd用框调查某昆虫,共37框,每框虫数如下:
多元统计 特征值
A特征值为: 1=0 (二重特征值)
2= 2 对于1=0，求解(1I A)x=0，即
1 1 1 x1 0 2 2 2 x 0 2 1 1 1 x3 0
推论1 A是满秩（非奇异、可逆） 注 A的特征值都不为零
Beijing Forestry University
n
1 1 1 (1) 求A的特征值和特征向量 例 设 A 2 2 2 (2) 求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵 1 1 1 解 (1) 1 0 1 1 1 1 1 0 1 I A 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 1 1 1 1 1
即
2 1 4 2 2 4 2 1 4 2 2 4
2 x1 0 4 x 2 0 . 4 x 3 0 2 1 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0
Beijing Forestry University
得基础解系： x1=(1,1,0)T x2=( 1,0,1)T
1 1 1 x1 0 2 2 2 x 0 2 1 1 1 x3 0
Beijing Forestry University
一、特征值与特征向量的概念
定义 5.1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和 n 维非零列向量 使关系式
A =
0
（5.1）
成立， 则称数 为方阵 A 的一个特征值， 非零向量 称为 A 的对应于特征值 的一个特征向量
统计特征值
二、全距 全距是指总体各单位的两个极端标志值之差(极差)， 即： R＝最大标志值－最小标志值 根据组距数列计算极差，是以数列中最大一组的上限 减最小一组的下限。极差是测定标志变动度的一种简单方 法，但受极端值的影响，因而它往往不能充分反映社会经 济现象的离散程度。
三、方差和标准差 总体各单位的标志值与算术平均数离差平方的平均数 称为方差。方差的算术平方根即为标准差。它们的计算公 式为： ∑(x－x)2 σ2＝──── n
(∑f／2)－Sm+1 ／ － 上限公式为：Me＝U－───────×d 上限公式为： ＝ － × fm
七、平均数之间的关系
1.算术平均数、调和平均数和几何平均数的 算术平均数、 算术平均数 关系。 关系。 x≥G≥H 2.中位数、众数和算术平均数的关系。 中位数、 中位数 众数和算术平均数的关系。 三者之间的关系决定于变量数列次数分布 的形态。 的形态。若变量数列次数分布呈对称钟型分 对称点又是曲线的中心点和最高点， 布，对称点又是曲线的中心点和最高点，此 算术平均数、众数、 时，算术平均数、众数、中位数完全一致。
3.众数的特点。 众数的特点。 众数的特点
①众数是个位置平均数。 众数是个位置平均数。 众数不受极端数值的影响。 ②众数不受极端数值的影响。 组距数列出现开口组时，对众数无影响。 ③组距数列出现开口组时，对众数无影响。 众数往往是不容易确定的平均数。 ④众数往往是不容易确定的平均数。
六、中位数
将总体单位的某一数量标志的各个数值 按大小顺序排列， 按大小顺序排列，居于中间位置的那个标 志值就是中位数
五、众数
1.概念。众数是指总体中最常见的标 概念。 概念 志值， 志值，即，在分配数列中重复出现次数 最多的标志值。因而， 最多的标志值。因而，它具有一定的代 表性，可以近似地表明现象的一般水平。 表性，可以近似地表明现象的一般水平。
第六章统计特征值
2、计算方法 ：
①简单调和平均数
1 (1).先计算各个变量值的倒数，即 X
1 X (2).计算上述各个变量值倒数的算术平均数，即 n
(3).再计算这种算术平均数的的倒数，就是调和平均数, 即
n 1 X
Xh
n
1 X
②加权调和平均数
Xh
f 1 X f
用绝对数计算调和平均数法的应用：
20 22 24 26 30 32 33
合 计
10 12 25 30 18 15 10 120
200 264 600 780 540 480 330 3194
计算工人的平均日产量。
平均日产量
3194 26.6(千克) 120
X
X f X f ... X f X f f f ... f f
数值平均数
m
几何平均数 G
众数 位置平均数 中位数
Mo Me
一、算术平均数
1、算术平均数的基本公式：
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
X
X
i 1
N
i
x x n
N
—— 算术平均数 X —— 各单位的标志值 n —— 总体单位数 —— 总和符号
式中：
x
2.算术平均数的计算
（1）简单算术平均数
明同类社会经济现象一般水平的综合指标。
分类：
静态平均数：同一时间 动态平均数：不同时间
特点
- 数量抽象性 - 反映集中趋势
作用
- 比较作用
a. 利用平均指标可以进行同类现象在不 同空间的对比。 b. 利用平均指标可以进行同一总体在不 同时间上的比较。
- 可以用样本平均数来推断总体平均数
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NN
二、是非标志的平均数 三、是非标志的方差和标准差
即是非标志的标准差等于具有某一标志表现的 单位在总体中的成数和不具有某一标志表现的单位 在总体中的成数两者乘积的平方根。
三、调和平均数
1.简单调和平均数 2.加权调和平均数 3.由相对数或平均数计算平均数
四.几何平均数 1.简单几何平均数。
G=n√x1·x2·x3…xn＝n√∏x
2.加权几何平均数。 G＝∑f√x1f1·x2f2·x3f3……xnfn＝∑f√∏xf
五、众数
1.概念。众数是指总体中最常见的标 志值，即，在分配数列中重复出现次数 最多的标志值。因而，它具有一定的代 表性，可以近似地表明现象的一般水平。
第七章 统计特征值
•
第一节 统计平均数
•
一、统计平均数的特点和作用
• 1Байду номын сангаас特点。①统计平均数以代表性数值
表示总体某一标志值的一般水平，长短
互补。②统计平均数来源于现实，又不
等于现实。③通常是接近平均数的标志
值出现频率偏多，而远离平均数的标志
值出现频率偏少。
2.作用：
（1） 比较同类现象在不同单位、地区的发 展水平。
fm
(∑f／2)－Sm+1 上限公式为：Me＝U－───────×d
fm
七、平均数之间的关系
1.算术平均数、调和平均数和几何平均数的 关系。
x≥G≥H 2.中位数、众数和算术平均数的关系。
三者之间的关系决定于变量数列次数分布 的形态。若变量数列次数分布呈对称钟型分 布，对称点又是曲线的中心点和最高点，此 时，算术平均数、众数、中位数完全一致。
称为方差。方差的算术平方根即为标准差。它们的计算公 式为：
∑(x－x)2 σ2＝────
n
σ＝ (x x)2 n
五、变异系数
.标准差系数。即标准差与相应算术平 均数之比，记作Vσ，其计算公式为：
Vσ＝(σ／x)×100％
第三节 成数
一、成数的概念 这种用“是”、“否”或“有”、“无”来表示的标志， 叫是非标志。由于是非标志只有两个标志表现，使得研究问题 大为简化。常用1表示具有某种标志表现，其单位数用N1表示， 用0表示不具有某种标志表现，其单位数用N0表示，全部总体 单位数用N表示。这两部分单位数(N1和N0)在总体单位数(N)中 所占的比例称为成数。 总体中具有某种标志表现的单位数的成数 p＝N1／N 总体中不具有某种标志表现的单位数所占的成数 q＝N0／ N
2.计算方法。
众数的近似值常由下限公式或上限公式来确定。 Δ1
下限公式：Mo＝L＋────×d Δ1＋Δ2 Δ2
上限公式：Mo＝U－────×d Δ1＋Δ2
3.众数的特点。
①众数是个位置平均数。 ②众数不受极端数值的影响。 ③组距数列出现开口组时，对众数无影响。 ④众数往往是不容易确定的平均数。
(2)作为划分或判断事物的一种数量标准或 参考依据。
(3)可用来分析现象之间的相互关系。
3.分类。统计平均数可分为数值平均数 和位置平均数两类。
数值平均数（算术平均数、调和平均数、 几何平均数）
位置平均数（众数、中位数）
二、算术平均数
1.计算方法
总体标志总量 算术平均数＝──────
总体单位总数 (1)简单算术平均数。 （2）加权算术平均数。
第二节 标志变动度
• 一、标志变动度的意义和种类
• 平均指标说明了总体各单位标志值的一般 水平,反映了数列中变量值的集中趋势；标志变 动度表明了总体各单位标志值的差别大小的程 度，反映了变量值的离中趋势。其主要作用是：
•
(1)说明平均数的代表性。在相同平均数的
情况下。
•
(2)反映经济活动过程的均衡性、节奏性或
稳定性。
二、全距 全距是指总体各单位的两个极端标志值之差(极差)， 即：
R＝最大标志值－最小标志值 根据组距数列计算极差，是以数列中最大一组的上限 减最小一组的下限。极差是测定标志变动度的一种简单方 法，但受极端值的影响，因而它往往不能充分反映社会经 济现象的离散程度。
三、方差和标准差 总体各单位的标志值与算术平均数离差平方的平均数
六、中位数
将总体单位的某一数量标志的各个数值 按大小顺序排列，居于中间位置的那个标 志值就是中位数
计算方法：
(1)由未分组资料确定中位数。 首先， 将该数组资料的各个数值按大小顺序
排列； 其次，确定中位数的位置(n＋1)／2； 最后，根据其位置所在确定其中位数。
(2)由分组资料确定中位数
(∑f／2)－Sm-1 下限公式为：Me＝L＋───────×d