02近似计算方法
近似计算的概念
近似计算的概念
近似计算是一种通过使用简化的数学模型或方法，来获得数值结果的过程。
在一些问题中，准确计算结果可能非常复杂或耗时较长。
此时，近似计算可以提供一个接近实际结果的近似值，以满足实际需求。
近似计算可以应用于各种数学问题和科学领域，例如物理学、工程学、经济学等。
它常常通过以下方法进行：
1. 数值逼近：利用近似函数代替原始函数，通过对近似函数进行计算来获得结果。
例如，泰勒级数将一个函数近似为多项式。
2. 截断误差：通过忽略某些小的或高次项来简化计算，从而减小误差。
3. 近似求解法：使用近似算法，如迭代法或数值积分，对问题进行逼近求解。
4. 模拟方法：通过生成一系列随机样本，利用随机模拟的方式来近似计算结果。
这种方法常用于求解概率和统计问题。
需要注意的是，近似计算得到的结果通常不是完全准确的，但在实际应用中，接近实际结果的近似值已经足够满足要求。
因此，合理的近似计算方法可以在节省计算资源和时间的同时，提供可接受的结果。
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_课件
提素能 高效 训练
A.－14，0
B.0，14
C.14，12
D.12，34
[解析] 结合选项，因为f(14)＝e14＋4×14－3＝e14－2<0，f(21)＝e12＋
4×12－3＝e12－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为14，12. [答案] C
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
－
1 3
x＝0的根的
要点
探究
悟典题 能力
个数，亦即函数y＝x
1 3
的图象与函数y＝
1 3
x图象的交点个数，画出两者
提升
的图象(如图)，可得交点的个数为1.
提素能
高效
训练
[答案] B
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
提素能 高效 训练
x≤0
x>0
解析：令f(x)＝0得x2＋2x－3＝0
提升
提素能 f(a)·f(b)<0，如图．
高效 训练
所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条 件．
事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值变 号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
能力 提升
菜 单 隐藏
抓主干
二次函数在给定区间上零点问题
考点
解密
研考向
【典例1】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a
要点
探 究 －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。
2近似计算方法范文
2近似计算方法范文
在数学中，近似计算是一种常见的方法，用于估计数值的大小。
近似
计算方法包括舍入和截断等技巧，可以在不完全精确的情况下得到比较准
确的结果。
本文将介绍两种常用的近似计算方法：舍入和截断。
一、舍入
舍入是将一个数值调整为最接近的整数或小数的方法。
在数值计算中，舍入可以用于控制数据的精度，减少计算误差。
1.朝零舍入
2.四舍五入
3.朝正无穷舍入
二、截断
截断是将一个数值直接去掉小数部分，只保留整数部分的方法。
截断
可以减少计算的复杂性，对于一些应用场景下不需要小数部分的情况非常
有用。
1.向下截断
2.向上截断
以上是舍入和截断两种常见的近似计算方法。
在实际应用中，可以根
据需要选择适当的方法。
舍入和截断都可以用于数值计算、统计分析、数
据处理等领域，可以在保证结果准确度的前提下简化计算过程。
然而，需
要注意的是，近似计算可能会引入一定的误差，因此在特定情况下需要权
衡精确性和效率。
总结起来，近似计算是一种常见的数值处理方法，可以用于估计数值
的大小。
舍入和截断是两种常用的近似计算方法，可以在不完全精确的情
况下得到比较准确的结果。
在实际应用中，可以根据需要选择适当的方法，并在计算过程中注意误差的积累和范围的控制。
求近似数、四舍五入法
在实际应用中，根据具体情况 选择合适的近似数和四舍五入
法，以减小误差。
理解近似数和四舍五入法的 概念，掌握其基本原理。
掌握一些特殊舍入规则，如银 行家舍入法等，以更好地处理
舍入误差。
感谢您的耐心ห้องสมุดไป่ตู้看
汇报人：XX
数据分析：在进行商业数据分析时，四舍五入法可以消除数据中的微小误差，提高数 据分析的准确性。
财务报告：在编制财务报告时，四舍五入法可以确保数据的准确性，避免因数据误差 而引起的财务问题。
销售预测：通过使用四舍五入法处理历史销售数据，可以更准确地预测未来的销售趋 势。
近似数和四舍五入法的 注意事项
近似数误差的来源和影响
四舍五入法的计算步骤
确定舍入位数的下一位 比较下一位与5的大小关系 下一位大于等于5则进位，否则不进位 舍入后得到近似数
四舍五入法的应用实例
四舍五入法在日常生活中的应用
添加 标题
金融计算：在银行、证券等金融领域，需 要对大量数据进行近似处理，四舍五入法 可以快速准确地完成计算。
添加 标题
科学实验：在化学、物理等科学实验中，常常需 要测量各种数据，由于测量工具的精度限制，需 要对数据进行近似处理，四舍五入法是常用的近 似计算方法之一。
添加副标题
近似数和四舍五入法
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 近似数的概念
03 四舍五入法的基本 原理
04 四舍五入法的应用 实例
05 近似数和四舍五入 法的注意事项
添加章节标题
近似数的概念
近似数是一个数学术语，指与实际 数值接近的数。
近似数的定义
近似数可以是整数、小数或分数。
求小数近似数的方法。
求小数近似数的方法
第一种：简单数位的近似计算：
例如：将小数1.3456保留2位小数则为：1.35。
其主要过程是，看保留数位的下一位，按照“四舍五入”斤牢速的方法进行近似计算。
第二种：根式小数开方的近似计算
例如求√4.11的近似值计算，本例采取线性穿插法计算，如：设√4.11=x，列三组数如下：
√4=2
√4.11=x
√9=3，
(4.11-4)/(9-4.11)=(x-2)/(3-x)
(4.11-4)(3-x)=(x-2)(9-4.11)
0.11(3-x)=4.89(x-2)
4.89x+0.11x=0.11*3+2*4.89
5x=10.11
x≈2.022。
第三种：小数的小数次方的近似计算
例如，计算0.91^2.91次方的近似值，本例主要采取微积分计算近似值，具体步骤如下。
第四种：正弦小数的近似计算：蕉茄
例如，计算sin38.88°的近似值，主要使用微分法计算，∵(sinx)´=cosx
∴dsinx=cosxdx.
则有△y≈cosx△x，此时有：
sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。
需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。
计算方法 02第二章 方程的近似解法
∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式，则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理： [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号，则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1，bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an，bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_优质PPT课件
依题意得方程x2+（a-1）x+2=0有两个 相异的正数根，
则
(a 1)2
,
1 a 0
得a∈（－∞,1 2 2）.
7
bx 5.已知函数f（x）= 2 3x .若方程f（x） +2x=0有两个相等的实数根，则f（x）= .
由 bx +2x=0，得6x2-（b+4） 2 3x
x=0. 4x
11
题型１ 函数零点存在性判断
（1）求函数y=x3-2x2-x+2的零点；
（2）判断函数f（x）=log2x+ 1 x+2的零
点的个数.
2
12
（ 1 ） 由 y=x3-2x2-x+2=x2 （ x-2 ） （x-2）=（x-2）（x2-1）
=（x-2）（x-1）（x+1）. 令 （ x-2 ） （ x-1 ） （ x+1 ） =0 ， 解 得 x=2 或 x=1或x=-1. 所以函数y=x3-2x2-x+2的零点为-1,1,2.
基本初等函数（Ⅰ）
函数与方程
1
1.函数的零点 函数y=f（x）的零点是一个 实数，而不是 一个 点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.二分法 用二分法求函数y=f（x）的 零点近似值的 步骤是：
2
第一步，确定区间［a,b］，验
证 f（a）、f（b）的正负
，给定精确度ε；
第二步，求区间［a,b］的中点x1； 第三步，计算 f（x1）；若 f（x1）=0 ， 则x1就是函数的零点；若 f（x1）f（b）＜0 ， 则令b=x1；若 f（a）f（x1）＜0 ，则令a=x1；
第四步，判断是否达到精确度ε，即若 |a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则 重复第二、三、四步.
近似计算法——快速估算乘除法的近似值
近似计算法——快速估算乘除法的近似值在日常生活中，我们经常需要进行乘除法的计算。
然而，有时候我们并不需要精确的计算结果，而只是需要一个近似值。
这时候，近似计算法就派上了用场。
近似计算法是一种通过简化计算过程，得到一个接近真实值的估算结果的方法。
下面，我将介绍一些快速估算乘除法的近似值的方法。
一、快速估算乘法的近似值在进行乘法计算时，我们可以利用近似计算法来快速估算结果。
一个简单而常用的方法是“近似乘法”。
这种方法通过将两个数分解为更容易计算的因子，然后进行乘法运算，得到一个近似的结果。
举个例子，假设我们需要计算14乘以27的结果。
我们可以将14分解为10和4，27分解为20和7。
然后，我们可以分别计算10乘以20和4乘以7，得到200和28。
最后，将这两个结果相加，得到228，这就是14乘以27的一个近似值。
这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的计算过程。
然而，这种方法的缺点是只能得到一个近似值，而不能得到精确的结果。
因此，在需要精确计算的情况下，我们还是需要使用传统的乘法算法。
二、快速估算除法的近似值除法计算也是我们经常遇到的计算问题之一。
与乘法类似，我们可以利用近似计算法来快速估算除法的结果。
一个常用的方法是“近似除法”。
举个例子，假设我们需要计算74除以9的结果。
我们可以先找到一个接近于9的整数，比如10。
然后，我们可以计算74除以10的结果，得到7.4。
最后，我们可以将这个结果乘以9，得到一个近似的结果66。
这种方法的优点是简单易行，可以快速得到一个近似的结果。
然而，这种方法的缺点是只能得到一个近似值，而不能得到精确的结果。
因此，在需要精确计算的情况下，我们还是需要使用传统的除法算法。
三、近似计算法的应用近似计算法不仅可以用于乘除法的估算，还可以应用于其他计算问题。
比如，在统计学中，我们常常需要对大量的数据进行计算和分析。
然而，由于数据量庞大，精确计算往往是非常耗时的。
这时候，我们可以利用近似计算法来快速估算结果，从而提高计算效率。
取近似值的三种方法
取近似值的三种方法
在数学和科学领域中，我们经常需要对一些复杂的数值进行近似计算。
近似值
的计算方法有很多种，但在本文中，我们将重点介绍三种常用的方法，四舍五入、截断和有效数字法。
首先，四舍五入是一种常见的取近似值的方法。
在四舍五入法中，我们将需要
近似的数值进行判断，如果小数部分大于等于0.5，则将整数部分加1；如果小数
部分小于0.5，则直接舍去小数部分。
这种方法简单直观，常用于日常计算和统计中。
其次，截断是另一种常用的取近似值的方法。
在截断法中，我们直接舍去需要
近似的数值的小数部分，只保留整数部分。
这种方法适用于对精度要求不高的计算，能够简化计算过程，提高计算效率。
最后，有效数字法是一种更加科学和严谨的取近似值的方法。
有效数字法要求
我们首先确定有效数字的位数，然后根据有效数字的位数对数值进行近似。
具体来说，我们应该将数值保留到有效数字的位数，并对末位数字进行判断，若末位数字大于等于5，则进位，若末位数字小于5，则舍去。
这种方法能够更好地保留原始
数据的精度，适用于科学实验和工程计算中。
综上所述，取近似值的三种方法中，四舍五入法简单直观，适用于日常计算；
截断法能够简化计算过程，提高计算效率；有效数字法能够更好地保留原始数据的精度，适用于科学实验和工程计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的计算要求选择合适的近似值方法，以保证计算结果的准确性和可靠性。
高中数学中的近似计算与误差分析
高中数学中的近似计算与误差分析数学是一门精确的学科，但在实际应用中，我们常常需要进行近似计算。
近似计算是指通过一定的方法，将一个复杂的问题简化为一个可以较容易计算的问题。
然而，近似计算也会引入误差，因此我们需要对这些误差进行分析。
本文将探讨高中数学中的近似计算与误差分析的相关内容。
一、近似计算的方法在高中数学中，我们经常使用的近似计算方法有四舍五入、截断、泰勒展开等。
四舍五入是指将一个数按照一定的规则进行近似取舍，比如将小数的第n+1位四舍五入为小数点后第n位。
截断是指将一个数按照一定的规则进行近似取舍，比如将小数的第n+1位及其后的所有位数全部舍去。
泰勒展开是一种将一个复杂函数近似为一个多项式的方法，通过截取多项式的前几项来进行近似计算。
二、近似计算的误差近似计算引入的误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指近似计算得到的结果与真实值之间的差值，用符号Δ表示。
相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值，用符号ε表示。
绝对误差和相对误差可以通过以下公式计算：绝对误差：Δ = 近似值 - 真实值相对误差：ε = Δ / 真实值近似计算的误差分析在高中数学中具有重要的意义。
通过对误差进行分析，我们可以评估近似计算的准确性，并确定误差的上界和下界。
这对于实际应用中的决策和判断非常重要。
三、误差传播与误差控制在进行复杂的数学运算时，误差会传播并累积。
误差传播是指由于近似计算的误差在计算过程中不断累积，导致最终结果的误差也会增大。
为了控制误差的传播，我们可以采取一些措施，比如增加计算的精度、优化计算的顺序等。
通过合理地选择计算方法和控制误差的传播，我们可以提高近似计算的准确性。
四、误差分析的应用误差分析在实际生活中有着广泛的应用。
比如在物理实验中，我们需要对测量结果进行误差分析，以确定测量的准确性和可靠性。
在金融领域中，误差分析可以用于风险评估和投资决策。
在工程设计中，误差分析可以用于评估设计的安全性和可行性。
近似数及其计算方法
近似数及其计算方法江苏省泗阳县李口中学沈正中一、求近似数的三种方法1. 四舍五入法这是一种最常用的求近似数的方法，就是看确定保留数位的下一位数字，比5小的（即0、1、2、3、4），就把这个数字以及后面的所有数字舍去；如果这个数字比4大（即5、6、7、8、9），就把这个数字以及后面的所有数字舍去后，向前一位进一。
如64.96283，保留到万分位写为64.9628，即64.96283≈64.9628（以下类推），保留到千分位写作64.963，保留到百分位写作68.96，保留到十分位写作64.0，保留到整数写作64。
由此可以看出：“四舍”时，近似数比准确值小，“五入”时，近似数比准确值大。
2. 进一法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，只要下一位数字或后面的数字有不为0的（即1、2、3、……、9），都要向前一位进一。
如：同学们同时去划船，每只船上最多能载7个同学，17个同学至少需几只船？17÷7≈2.4，就是说17个同学需要2只船还余3人，这3人还需一只船，所以一共需要3只船。
即17÷7＝≈3 (只)。
由此可知：用进一法得到的近似数总比准确值大。
3. 去尾法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，不管下一位数字或后面的数字是几（即0、1、2、3、……、9），都不要向前一位进一。
如：用一根5m米长水管做成一批27cm长相同规格的水管，可以做成多少根？500÷27＝≈18（根）由此可知：用去尾法得到的近似数总比准确数小。
二、近似数的四则混合运算1. 近似数的加减法在一般情况下，近似数相加减的和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同，计算法则：（1）确定结果精确到哪一个数位（与已知数中精确度最低那个数精确数位相同）；（2）把已知数中的其它数，四舍五入到已知数中精确度最低那个数数位的下一位；（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。
【例1】求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。
增长型年金
增长型年金♦ 计算器计算：应用货币时间价值的5个功能键进行计算。
① 精确计算方法：✧ 例：期初增长型年金现值终值计算当r ≠g 时， 为实质报酬率，上述公式变为这与期初普通年金的现值公式形式上是完全一致的，因此，期初增长型年金现值可以用计算器精确计算。
方法为：PMT=C ，g BEG ，I = r*×100，n=T ，0FV ，PV 。
✧ 增长型年金精确计算总结以PV （R ，N ，PMT ，FV ，0/1）现值函数表示。
R 为折现率或贷款利率，N 为期数，PV 为现值，FV 为终值，0代表期末年金，1代表期初年金。
当r ≠g 时，r*=[(1+r)/(1+g)]-1期初增长型年金现值=PV(r*，n ，C ，0，1)期末增长型年金现值=PV(r*，n ，C ，0，1)/(1+r)期初增长型年金终值=PV(r*，n ，C ，0，1)×(1+r)^n期末增长型年金终值=PV(r*，n ，C ，0，1)×(1+r)^(n-1)其中，C 表示增长型年金的第一项，r 为投资报酬率， n 为期数。
PV 函数最后一项均为1表示不管所要求的年金是何模式，均首先用期初模式算出现值再进行计算。
当r=g 时期初增长型年金现值=TC期末增长型年金现值=TC/(1+r)期初增长型年金终值=TC ×(1+r)^T期末增长型年金终值=TC ×(1+r)^(T-1) 0 1 2 3 T-1… C C ×(1+g) C ×(1+g)2 C ×(1+g)T-1 C ×(1+g)3 T 2121212121(1)(1)(1)C (1)(1)(1) C (1)(1)(1)(1)(1)(1) C 111111 C 1111T T T T T C g C g C g PV r r r C C C r r r g g g C C C r r r g g g C C r g -----+++=++++++=+++++++++=+++⎛⎫+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦2111111111T C r r g g -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦*1r = 11r g ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭()()()21***C 111T C C C PV r r r -=++++++其中：T表示期间数，C表示增长型年金的第一项。
近似计算如何快速进行近似计算
近似计算如何快速进行近似计算近似计算是一种广泛应用于科学、工程和计算等领域的数值计算方法。
它通过使用近似的方式和简化的模型来对复杂的问题进行求解，从而在较短的时间内得到比较准确的结果。
在本文中，将介绍近似计算的基本原理、常见的近似计算方法以及如何快速进行近似计算。
1. 近似计算的基本原理近似计算是以折中的方式解决复杂问题的方法。
它通过对问题进行简化和逼近，以降低计算的复杂度和提高计算效率。
近似计算的基本原理是在允许一定误差的情况下，用更简单的方式来近似表示原始问题，从而在时间和空间上减少计算成本。
2. 常见的近似计算方法2.1. 插值法插值法是一种基于已知数据点之间的曲线或曲面插值的方法。
它通过在给定的数据点之间构造一个逼近函数，从而估计出未知点的数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
2.2. 近似求解法近似求解法是通过将原始问题转化为更简单或更适合求解的数学模型来进行计算。
常见的近似求解法包括最小二乘法、线性规划和非线性规划等。
这些方法在处理大规模问题和高维数据时能够发挥出很好的效果。
2.3. 数值积分法数值积分法是一种通过将连续函数曲线分割为若干小区间，并在每个小区间上进行近似计算的方法。
常见的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
这些方法可以在一定误差范围内近似计算出原始函数的积分值。
2.4. 近似统计法近似统计法是一种利用概率和统计理论来估计未知量的方法。
它通过采样、抽样和模拟等技术，根据得到的样本数据进行推断和估计。
常见的近似统计法有蒙特卡洛法、置信区间法和贝叶斯估计等。
3. 快速进行近似计算的技巧为了快速进行近似计算，可以考虑以下技巧：3.1. 数据优化在进行近似计算之前，可以对原始数据进行优化和预处理。
例如，可以采用数据降维、特征选择和离群点检测等技术，以减少计算的复杂度和提高计算速度。
3.2. 并行计算并行计算是通过将计算任务划分为多个子任务，并在多个处理器或计算节点上同时进行计算的方法。
高等数学：第四讲 微分的近似计算
时，有
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
近似计算公式
03.近似计算举例
例1 计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
解
设 f (x) sin x, 则 f (x) cos x,
x0 30
多少克（铜的密度为8.9g/cm3）.
解
球的体积公式
V
4 πr3, 3
则
V 4πr2 ,
r 1cm, r 0.01cm
V dV V r 4π 12 0.01 0.13
因此每只球需要铜大约：
m 8.9g / cm3 0.13cm3 1.16g.
04.常用的近似计算公式
由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , 特别地， 取 x0 0, x x ( x 很小), 得到一些工程上常用的近似 计算公式:
即：sin x x.
谢谢
微分的近似 计算
目录
01
引例
02 近似计算的原理
03
近似计算举例
04 常用的近似计算公式
01.引例
计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
sin 30 0.5 sin 31 0.5??
02.近似计算的原理
设函数 y f (x)可微，且在x0 有 f (x0) 0 ，当改变量 | x |很小
π, 6
Hale Waihona Puke x 1 π , 180f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
sin 31 sin π cos π π 6 6 180
0.5 3 3.1416 2 180
原创2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（探究式）
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1
D.f(x)= −x2+2x+2
[解析] 对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
答案：A
课堂练习
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
3.计算f(x1)
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a)·f(x1)<0，则此时零点x0∈ (a, x1) ；
若f(x1)·f(b)<0，则此时零点x0∈ ( x1,,b) ；
4.判断是否达到精确度ε，即若 |a−b|< ε 则得到零点近似值a(或b),
否则重复2~4.
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度
1.5625.
0.01)为________．
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)
[解析] 初始区间（2，3），且f(2) < 0, f(3) > 0，列表：
区间(a,b)
中点值m
f(a)
f(b)
f(m)近似值 精确度|a−b|
（2，3）
利用泰勒多项式近似计算的两种方法
利用泰勒多项式近似计算的两种方法近似计算是数学中常用的一种方法，它可以通过简化复杂的计算过程，得到近似的结果。
泰勒多项式是一种常用的近似计算方法，它可以用来近似求解各种函数的值。
在本文中，我们将介绍两种利用泰勒多项式进行近似计算的方法。
第一种方法是使用泰勒级数展开式。
泰勒级数是一种将函数展开成无穷级数的表达式，通过截断级数，我们可以得到函数的近似值。
泰勒级数的公式如下所示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示要计算的函数，a表示展开的中心点，f'(a)表示函数在a点的导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
使用泰勒级数展开式进行近似计算的步骤如下：1.选择合适的展开中心点a。
2.计算函数在展开中心点a处的导数值f'(a)、f''(a)、f'''(a)等。
3.将导数值代入泰勒级数公式中，计算出要近似的函数的值。
第二种方法是使用泰勒多项式的截断误差进行近似计算。
泰勒多项式的截断误差是指使用泰勒多项式近似计算得到的结果与真实值之间的差值。
泰勒多项式的截断误差公式如下所示：Rn(x) = f(x) - Pn(x)其中，Rn(x)表示截断误差，f(x)表示真实函数的值，Pn(x)表示泰勒多项式的值。
利用泰勒多项式的截断误差进行近似计算的步骤如下：1.选择合适的展开中心点a。
2.计算函数在展开中心点a处的导数值f'(a)、f''(a)、f'''(a)等。
3.根据泰勒多项式的展开公式，计算出泰勒多项式的值Pn(x)。
4.计算截断误差Rn(x)，即计算f(x)与Pn(x)之间的差值。
通过比较两种方法，我们可以发现它们的区别和特点。
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船体的大部分曲线事实上是与抛物线相近的，因此辛浦生法 的计算结果精度较高，得到广泛应用。
张 远 双
09.03.2021
8
hL/n
船 2、近似计算公式
舶 性
1）辛浦生一法
能
将积分间距（长为L）n等分（等分间距长l =L/n），相邻两个
计
间距的原曲线分别用二次抛物线代替。
算
y
E
F
G
D
C A2
A4
--- A n
计
面积A可表示为：
算
A 8 3 l y 0 3 y 1 3 y 2 2 y 3 3 y 4 3 y 5 2 y 6 2 y n 3 3 y n 2 3 y n 1 y n
A S L . M . y 0 3 y 1 3 y 2 2 y 3 3 y 4 3 y 5 2 y 6 2 y n 3 3 y n 2 3 y n 1 y n
即 A 0 nyd x[i n 0yi1 2(y0yn)]
n
式中： '＝ y i （各纵坐标）修正前总和
i0
张
= 1 (y y ) ：修正值
远
20
n
双
' （各纵坐标）修正后总和
09.03.2021
Hale Waihona Puke 5船3、近似计算表格
舶 性 能 计
梯形法在近似计算中， 常采用规范格式表格的进行 计算，一般格式如表所示，
y0 y1 y2 y3 y4 ---
y n-1 y n
张
远 双
c
e
f
d
x0 x1 x2 x3 x4 --- x x-2 x x-1 x n
x
ll
L
09.03.2021
9
hL/n
船
舶
根据辛浦生一法的基本原理，结合数学推导得：
性
能
1 A2 (y04y1y2)
计
3
算
y
E
F
G
D
C A2
A4
--- A n
y0 y1 y2 y3 y4 ---
算
变上限积分时表格格式以后
学习。
张 远 双
09.03.2021
4、注意事项
1）必须等分积分距间L。 2）等分数n：在船体计算 中，对于水线面等的等分数 一般为10或20（即垂线间长 的等分数），对于横剖面等 的等分数为水线间距数。 3）等分间距大小l ：在 船体计算中，等分间距大小 在不同要素计算中可以是站 距、水线间距等。
三、小结
梯形法
代替曲线 折线
代替程度 整体代替
是否等分 是
n值 任意
辛浦生一法 二次抛物线 每相邻两个距间分段代替
是
偶数
辛浦生二法 三次抛物线 每相邻三个距间分段代替
张 远 双
是
3的倍数
09.03.2021
14
合作愉快
MARKETING
15
式中：
1）纵坐标前的系数【 1，3，3，2，3，3，2，… ，2，3，3，
1 】 称为辛氏乘数。
张 远 双
2）∑S.M.记为辛氏系数之和，即括号内各纵坐标前辛氏乘数 的总和，且∑S.M.＝8n/3。
3）辛浦生二法，简称【 1，3，3，1 】 法。
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13
hL/n
船 舶 性 能 计 算
y n-1 y n
张
远 双
c
e
f
d
x0 x1 x2 x3 x4 --- x x-2 x x-1 x n
x
ll
L
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10
hL/n
船 舶 性 能 计 算
张 远 双
对于原来整条曲线所围的总面积：A=A2+A4+…+A n可表示为：
A 1 3 ly 0 4 y 1 2 y 2 4 y 3 2 y n 2 4 y n 1 y n
y
E
F
G
D
C A2
A4
--- A n
y0 y1 y2 y3 y4 ---
y n-1 y n
c
e
f
d
x0 x1 x2 x3 x4 --- x x-2 x x-1 x n
x
ll
L
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11
hL/n
船 舶 性
A 1 3 ly 0 4 y 1 2 y 2 4 y 3 2 y n 2 4 y n 1 y n
4）∑S.M.记为辛氏系数之和，即括号内各纵坐标前辛氏乘数的
张
总和，且∑S.M.＝3n。
远 双
5）辛浦生一法，简称【 1，4，1 】 法。
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12
hL/n
船 2）辛浦生二法
舶
性
将积分间距（长为L）n等分（等分间距长l =L/n，n为3的倍
能
数），相邻三个间距的原曲线分别用三次抛物线代替。原曲线所围
6
船
4）被积函数y的含义：计算不同要素时有不同的含义，如：
舶
（1）计算水线面或中横剖面面积时为半宽值y。
性 能
（2）计算排水体积时为水线面面积AW。
计
（3）计算水线面面积惯性矩时，可以是x2y、y3。
算
等等，被积函数y的含义视计算不同要素而定。
5）近似计算公式中，“0”表示积分的起点，“n”表示积分的终
船 舶 性 能 计 算
张 远 双
张 远 双
张 远 双
船
舶
曲线y=f(x)所围面积A被分
A
性
割为A1、A2、… 、An 。
能
计
A 10 .5(y0y1 )
A1 A2 A3
An
算
A 2 0 .5(y 1 y2 )
＋
A n 0 .5(y n 1 y n )
A A 1 A 2 A n 0 . 5 ( y 0 2 y 1 2 y 2 2 y n 1 y n )
能 计
A S L . M .y 0 4 y 1 2 y 2 4 y 3 2 y n 2 4 y n 1 y n
算 式中：
1）l：等分间距。 2）L：所求面积底边总长（即积分间距长），L=nl ，n为偶数。
3）纵坐标前的系数【 1，4，2，4，2，… ，2，4，1 】 称为 辛氏乘数。
点。应用此公式时具体问题具体分析，例如：
用梯形法近似计算下图所示的半宽水线面面积Aw，若不考虑端点
修正，计算结果可表示为 ：A
10
[
yi 1(y1y10)]。
i1
2
张
水线y=f(x)
远
双
09.03.2021
7
hL/n
船
舶
性
能
二、辛浦生法
计
1、基本原理
算
以二次或三次抛物线近似代替原积分曲线。
以二次抛物线近似代替原曲线的计算方法称为辛浦生一法，以 三次抛物线近似代替原曲线的计算方法称为辛浦生二法。