(完整word)八年级一道几何题的一题多解发散思维
初二几何证明题的解题思路
初二几何证明题的解题思路一、题目11. 题目- 已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF。
求证：四边形DEBF是平行四边形。
2. 解析- 思路：要证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，可以从对边平行且相等入手。
- 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AB∥ CD。
- 又因为E、F分别是AB、CD的中点，所以BE=(1)/(2)AB，DF=(1)/(2)CD。
- 所以BE = DF。
- 且BE∥ DF（因为AB∥ CD）。
- 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形DEBF是平行四边形。
二、题目21. 题目- 已知：在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于F。
求证：AF=(1)/(2)FC。
2. 解析- 思路：过点D作DG∥ BF交AC于G，利用中位线定理和平行线分线段成比例定理来证明。
- 证明：过点D作DG∥ BF交AC于G。
- 因为AD是BC边上的中线，所以D是BC中点。
- 又因为DG∥ BF，根据中位线定理，可得G是FC中点，即FG = GC。
- 因为E是AD的中点，DG∥ BF，根据平行线分线段成比例定理，可得AF = FG。
- 所以AF=(1)/(2)FC。
三、题目31. 题目- 已知：在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠ BAD交BC于E，∠ CAE = 15^∘。
求∠ BOE的度数。
2. 解析- 思路：先求出∠ BAE的度数，进而得出 ABE的形状，再求出∠ ACB的度数，最后根据三角形的内角和求出∠ BOE的度数。
- 证明：- 因为四边形ABCD是矩形，AE平分∠ BAD，所以∠ BAE = 45^∘。
- 又因为∠ CAE=15^∘，所以∠ BAC=∠ BAE +∠ CAE = 45^∘+15^∘=60^∘。
- 在矩形ABCD中，AC = BD，OA=OC=(1)/(2)AC，OB =OD=(1)/(2)BD，所以OA = OB。
一题多解 发展思维——一道中考几何题的解法探究
一题多解发展思维——一道中考几何题的解法探究
刘钦娜
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】数学是思维的体操,如何通过解题活动培养学生的思维能力是数学教学的中心问题。
针对一道中考几何题,引导学生通过一题多解开阔思路、发散思维,同时借助多解归一加深对数学原理、通性通法的认识,帮助他们在变式中寻找通法、在探究中提升能力。
【总页数】3页(P57-59)
【作者】刘钦娜
【作者单位】河南省驻马店市泌阳县花园中心学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多解拓思维,数形结合来渗透——一道正方形几何证明解法探究
2.一题多解,提高学生思维与逻辑推理能力——2012年安徽省中考第23题的解法探究
3.关注一题多解强化思维训练--对一道中考几何题的探究
4.一题多解阔思路,发散思维形成中——对一道几何题多种解法的探索
5.一题多解,发散思维,多解归一,能力升华——以一道几何探究题为例
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初中几何多解题
初中几何多解题初中几何多解题是指在解决一个几何问题时，存在多种方法或角度可以得到正确答案的情况。
这些不同的解题方法可以帮助学生培养灵活的思维，深入理解几何概念，并且提高解答问题的能力。
下面我将通过几个具体例子来展示初中几何的多解题方法。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个直角三角形ABC，角C为直角，边AB为斜边。
我们要求AC的长度。
传统的解题方法是使用勾股定理：AC^2 = AB^2 + BC^2。
然而，我们也可以运用相似三角形的性质来解答。
由于角C为直角，所以三角形ABC和三角形ACD相似，其中D为直角三角形ABC的斜边AB上的任意一点。
根据相似三角形的性质，我们有AC/AB = AB/AD。
由此可以得到AC^2 = AB*AD。
这是一个全新的解题方法，而且它不需要使用勾股定理。
接下来，我们来看一个更复杂一些的例子。
假设有一个梯形ABCD，AB平行于CD，AD与BC不平行，并且角BAD等于角CDA。
我们要证明角BCD等于角DAB。
这个问题可以使用多种方法来解答。
一种方法是使用平行线之间的性质。
由于AB平行于CD，所以角BAD和角CDA是同位角。
根据同位角定理，我们可以得出角BCD等于角DAB。
另一种方法是利用等腰三角形的性质。
可以观察到三角形BAD和三角形CDA是等腰三角形，因为它们的底边分别与平行于底边的线相交于同一点。
根据等腰三角形的性质，我们可以推导出角DAB等于角BDA，而角CDA等于角BCD。
进而，根据等腰三角形的唯一角性质，我们可以得到角BCD等于角DAB。
最后，我们来看一个涉及面积的几何问题。
假设有一个正方形ABCD，其中AB的长度为10。
我们要找到一个与正方形相似的矩形，使得其周长比正方形的周长小20，并且面积也比正方形的面积小20。
传统的解题方法是运用正方形和矩形的面积和周长公式来进行计算。
我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的周长为2(x+y)，面积为xy。
根据题目要求，我们可以列出如下方程组：2(x+y) = 4*10 - 20xy = 10*10 - 20通过解这个方程组，我们可以找到矩形的长和宽。
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。
通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。
【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。
例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。
例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。
由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。
而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。
案例3-一题多解,注意学生思维的发散
一题多解，注重学生思维的发散与发展在人教版七年级第三章《多姿多彩的图形》学习过程中，有这样一道题目：已知，如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=52°.求∠AOD的度数.ODAB C对于这道题目的解答方法，备课的时候我仅仅考虑了两种方法：第一种，是把∠AOD看成两个直角叠加之后再减去∠BOC（因为∠BOC被重复叠加了）的度数（即∠AOD=∠AOC﹢∠BOD﹣∠BOC=90°﹢90°﹣52°=128°）；第二种，是先求出∠AOB或者∠COD的度数，然后∠AOD就等于一个直角再加上∠AOB或者∠COD的度数（即∠AOD=∠BOD﹣∠BOC﹢∠AOC =90°﹣52°﹢90°=128°）.教师在备课的时候，之所以考虑这两种方法，是因为这两种方法浅显易懂，向学习有困难的学生比较好解释，不需要费太多的口舌。
可是等我站到讲台上讲到这道题目的时候，我的学生当堂就提出了其他的解法，其思维之灵活，思维之发散和开阔，都令我大吃一惊。
学生甲的看法：将OD反向延长得到射线OE，则∠AOE=∠BOC=52°.所以∠AOD=180°﹣∠AOE=180°﹣52°=128°.EODAB C学生说到这里的时候，我和其他同学都向他投去了赞许的目光，大家不由自主的鼓起掌来。
这种气氛很快感染了全班同学，大家的热情被调动起来了，我也趁热打铁的追问，“还有没有不一样的方法呢”？我看到班里的同学有的开始低头思考，有的则拿起铅笔开始画图，我就要求大家两个人一组开始讨论，希望得到更多的解法。
这个时候，一个平时不怎么喜欢回答问题的同学举起了手，我就赶快叫起了她。
学生乙的看法：认为根据“同角的余角相等”，∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，所以它们相等，都等于38°.然后可以用上面的方法求出∠AOD的度数。
数学人教版八年级上册专题学习“一题多解”
方法1：延长AD到点E，使 DE=AD，连结CE. 方法2：取AC的中点E，连 结DE.
B
D
.
E C
E
谢谢！ 再见！
专题学习
----几何证明中常见 “一题多解”方法
乐加初中 王刚
典例: 如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
证明：在BC上截取BF=AB，连接E,F ∵ BE、CE均是角平分线 ∴ ∠ABE= ∠FBE ∠BCE= ∠DCE 解法 1.在BC上截取BF=AB 在△ABE与△FBE中 AB=BF : 构造了 ∠ABE= ∠FBE 全等的三角形 BE=BE ∴ △ABE ≌ △FBE ∴ ∠A= ∠BFE BF=AB CF=CD 从而证得： ∵ ∠A= ∠D =90o 进而得证： BC=AB+CD. ∴ ∠A= ∠BFE = ∠CFE= ∠D =90o 在△FCE与△DCE中 ∠FCE= ∠DCE ∠CFE= ∠D CE=CE ∴ △FCE ≌ △DCE ∴CF=CD ∵ BC=BF+ CF BF=AB CF=CD ∴ BC=AB+CD
如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
练习:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC. 解法1：在AB上截取AE=AC，连接E,D 构造了: 解法2:过点E作DE⊥AB，垂足为E. 全等的直角三角形 从而证得： DC=DE =BE 构造了 : 解法3：延长AC至E使CE=DC，连接E,D E 进而得证：AB=AC+DC 全等的直角三角形 从而证得： AC=AE DC=BE 构造了: B 进而得证： AB=AC+DC 全等的三角形 从而证得：AB=AE 进而得证：AB=AC+DC
(完整版)八年级一道几何题的一题多解发散思维
题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．【方法一】在AB上取一点G使得AG＝CE，易得△BGE为等腰直角三角形，再证明△AGE≌△ECF（ASA）即可．【方法二】过点E作EG⊥BC交FC的延长线于点G，证明△AEC≌△FEG（ASA）即可．【方法三】延长AC至点G使得CG＝CF并连接EG，证明△ECF≌△ECG（SAS），再得∠ECA＝∠G（提示：外角的性质）即可．【方法四】分别延长AB，FC交于点G，并连接EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），再证∠EGC＝∠F（提示：外角的性质）即可．【方法五】延长AB至点G，使得BG＝BE，并连接EG，CG，证明△ABE≌△CBG （SAS），再证明四边形EGCF为平行四边形即可（两组对边分别平行）．【方法六】连接AC，过点E作EG⊥BC，交AC于点G，证明△AEG≌△FEC（ASA）即可．【方法七】如图，分别过点E，F作EG∥CF，FG∥CD和FH∥BC，EG分别与FG，FH 交于点G，H，易得四边形ECFH为平行四边形，再证明△ACE≌△EGF （ASA）即可．【方法八】过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，则BE＝a－x，根据△ABE∽△EGF得AB：BE＝EG：GF，即a：（a－x）＝（x＋y）：y，得ay＝ax＋ay－x2－xy，得x（a－x－y）＝0，即a＝x＋y，所以AB＝EG，BE＝FG所以AE＝EF．【总结】本题还有许多其他构造辅助线的方法来证明，有的是同种类型的不同构法，异曲同工。
欢迎大家讨论！当然，除了一题多解之外，大家也可以考虑把条件和结论对调进行证明，要不试试看？题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的平分线CF上取一点F使得AE＝EF．求证：∠AEF＝90°．。
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。
一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。
本文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。
关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。
教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的数学能力至关重要。
一、数学课程中的一题多解数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维的广阔性和慎密性。
在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。
二、圆的一题多解问题探析在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。
本文将课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。
一道数学题的解决策略------通过一题多解，一题多变培养学生思维
一道数学题的解决策略------通过一题多解，一题多变培养学生思维发布时间：2021-09-28T05:30:57.540Z 来源：《中小学教育》2021年15期作者：薛发楷[导读] 九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。
薛发楷四川省成都市双流区胜利初级中学 610200九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。
不管哪一年级的数学复习，每次考试下来之后常常听到老师在抱怨，这些题都做了千遍万遍了，学生还是做不起，没有达到老师预设的效果，尤其是几何题的复习，收效更是甚微，只要遇到辅助线的添法，无论上课怎么讲，课下刷了多少题，一到考试学生拿到这样的题还是束手无策，于是我就在反思，导致这样的结果到底是什么，我想无非就是老师为了赶进度，在讲解几何题的辅助线的添法时，往往是按照老师预设的方法去引导学生，学生说出了辅助线的添法，但不能举一反三。
我们不得不承认理科学习一定要刷一定数量的题，但知识没有理性化，没有悟出其中的数学方法，学生永远是门外汉，并没有真正掌握理解，如果每做一道题都让学生探索其解题的思想方法，拓展其外延，总结其规律，这样学生的复习就会融会贯通，达到事半功倍的效果。
在现代数学教学中，教师应按照数学思维的规律和方式方法，去启发引导学生思考，让学生的一些重要想法、符合情理的思维过程都展现出来，还学生一个真实而科学的思维过程并究其原因。
注重学生一题多解，一题多变，培养学生思维的深刻性，拓展学生的思路，发展学生的思维，有利于学生创造性的发挥。
初二发散思维
发散思维
1在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN
2设△ABC三边a,b,c的长度为为自然数，且周长不大于30，满足
222
（-b）+（-c）+（-c），问满足条件的三角形有多少个？（注：全等三角形算一
a a b26
个）
3在非钝角三角形ABC内一点P，使得PA+ PB+ PC的值最小时，求∠APB,∠BPC,∠CPA的度数。
（点P为费马点时最小）
4小明有四匹马，第一匹从A到B地，需要1小时，第二匹要2小时，第三匹要4小时，第四匹要6小时，现在一次只可以带两匹马走，快马一定要跟一匹慢马走,你去的时候回来必需骑一匹马.请问最少多少小时可以全部马到达B地?
5有三个弟兄想买气球，那个卖气球的对他们说：我总共有7个气球，我把他们免费送给你们，老大拿一半，老二拿1/4，老三拿1/8。
三弟兄一听就很高兴过来要分气球，结果没有办法来按照比例分气球。
于是老大想了一会儿，想出一个办法把气球分开了，卖气球不得不把这7个气球分给他们。
请问这位老大想到了什么办法呢？
6填满数独。
中考数学 发散思维__一题多解
发散思维一题多解题目：某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩..分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1.凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105.答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩解之得：x y z ++=105.2.主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z=-05505..∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x=+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y=-=-005112..，∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3.“消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩...∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩....∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩....∴++=x y z 105.4.参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5.待定系数法解10.设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
八年级上 数学几何典型例题 及 解题思路
数学几何是初中数学的一个重要部分，也是学生们比较容易感到困惑的一个知识点。
通过典型例题的学习，可以帮助学生掌握数学几何的解题方法，提高他们的解题能力。
下面就一些典型的数学几何例题进行详细讲解，希望能够对广大学生有所帮助。
【例题一】已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。
解题思路：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过其两条直角边的长度求得。
2. AC的长度即为三角形ABC的斜边长度，可以使用勾股定理求解。
具体步骤：1. 根据勾股定理，AC的长度可以通过AB和BC的长度求得，即AC²=AB²+BC²。
2. 代入数据，得到AC²=5²+12²=25+144=169。
3. 开平方，得到AC=√169=13cm。
AC的长度为13cm。
离心力计算题：一杯长10cm，杯口宽4cm的杯子内装满水，该杯子立在旋转盘上，旋转盘以每秒200转的角速度匀速旋转，求杯口边缘的水滴的离心力。
解题思路：1. 离心力是一个物体在旋转运动时产生的一种惯性力，可以通过公式计算得出。
2. 对于杯口边缘的水滴，可以看作是在旋转盘上做匀速圆周运动，因此可以利用离心力的公式进行计算。
具体步骤：1. 离心力的公式为F=mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r 为旋转半径。
2. 首先计算出水滴的质量，然后根据旋转盘的角速度和杯子的半径计算出离心力的大小。
这里就不再罗列具体计算步骤，具体计算过程略。
最后得出水滴的离心力为XXX。
【例题三】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，P是AB的中点，E是BC 上一点，使得PE⊥AB，求PE的长度。
解题思路：1. 首先利用矩形的性质和垂直平分线的性质进行分析。
2. 利用相似三角形的性质，通过比较辅助线的长度来求解PE的长度。
具体步骤：1. 由矩形的性质可知，AD=BC=6cm，同时由垂直平分线的性质可知，PE=EC，且PE⊥AB。
(完整word版)初二数学经典几何题型及答案
初二数学经典几何题型1．已知：如图， P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．证明以下。
第一， PA=PD，∠ PAD=∠ PDA=（180° - 150°）÷2=15°，∠PAB=90° - 15°=75°。
A D 在正方形ABCD以外以 AD为底边作正三角形ADQ，连结PQ，则P∠P DQ=60°+15°=75°，相同∠ PAQ=75°，又 AQ=DQ,，PA=PD，因此△PAQ≌△ PDQ，那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°，在△ PQA中，∠A PQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB，于是 PQ=AQ=AB，明显△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠ PBC=90° - 30°=60°，因此△PBC是正三角形。
BC2.已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延伸线交 MN于 E、F．求证：∠ DEN＝∠ F．F证明 : 连结 AC,并取 AC的中点 G,连结 GF,GM.又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)又 AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.3、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形的中点．求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．EN CDA BMACDE和正方形CBFG，点 P 是 EF证明：分别过 E、 C、 F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、 O、 N，在梯形 MEFN中， WE平行 NF由于 P为 EF 中点， PQ平行于两底因此 PQ为梯形 MEFN中位线，因此 PQ＝（ ME＋ NF） /2又由于，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO因此角 OCB=角 NBF而角 C0B＝角 Rt＝角 BNFCB=BF因此△ OCB全等于△ NBF△MEA全等于△OAC（同理）因此 EM＝ AO， 0B＝ NF因此 PQ=AB/2.4、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠DGCEP FA Q BPAB＝∠ PCB．过点 P作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，二者订交于点E；连结 BE由于 DP//AE， AD//PE因此，四边形 AEPD为平行四边形A D 因此，∠ PDA=∠AEP已知，∠ PDA=∠PBAP因此，∠ PBA=∠AEP因此， A、 E、 B、 P 四点共圆B C因此，∠ PAB=∠PEB由于四边形 AEPD为平行四边形，因此：PE//AD，且 PE=AD而，四边形 ABCD为平行四边形，因此：AD//BC，且 AD=BC因此， PE//BC ，且 PE=BC即，四边形 EBCP也是平行四边形因此，∠ PEB=∠PCB因此，∠ PAB=∠PCB5.P 为正方形ABCD内的一点，而且PA＝ a， PB＝ 2a， PC=3a正方形的边长．解：将△ BAP绕 B 点旋转 90°使 BA 与 BC重合， P 点旋转后到 Q点，连结 PQ 由于△ BAP≌△ BCQ因此 AP＝ CQ， BP＝ BQ，∠ ABP＝∠ CBQ，∠ BPA＝∠BQC 由于四边形 DCBA是正方形因此∠ CBA＝90°，因此∠ ABP＋∠ CBP＝90°，因此∠ CBQ＋∠ CBP＝90°即∠ PBQ＝90°，因此△ BPQ是等腰直角三角形因此 PQ＝√ 2*BP，∠ BQP＝ 45由于 PA=a， PB=2a， PC=3a因此 PQ＝2√2a， CQ＝ a，因此 CP^2＝ 9a^2， PQ^2＋CQ^2＝ 8a^2＋ a^2＝9a^2因此 CP^2＝ PQ^2＋ CQ^2，因此△ CPQ是直角三角形且∠ CQA＝90°因此∠ BQC＝90°＋ 45°＝ 135°，因此∠BPA＝∠ BQC＝135°作 BM⊥ PQ则△ BPM是等腰直角三角形因此 PM＝ BM＝PB/√2＝2a/ √2＝√ 2a因此依据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋ BM^2＝(√2a＋ a)^2 ＋( √2a)^2＝[5 ＋2√2]a^2A DPBC因此 AB＝[ √(5 ＋2√2)]a6.一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管灌水。
初二三角形一题多解
初二三角形一题多解摘要：1.题目概述2.三角形的基本概念和性质3.初二三角形一题多解的解题方法4.举例说明5.总结正文：1.题目概述初二三角形一题多解，是指在初中二年级数学课程中，关于三角形题目的解答有多种方法。
三角形作为几何图形的基本元素，其相关题目在数学考试中占有很大比重，熟练掌握三角形的解题技巧对于学生的学习具有重要意义。
2.三角形的基本概念和性质三角形是由三条边和三个顶点组成的平面几何图形。
三角形的基本性质包括：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，以及三角形内角之和等于180 度。
掌握这些基本性质，对于解决三角形题目至关重要。
3.初二三角形一题多解的解题方法初二三角形一题多解的解题方法主要包括以下几种：（1）直接法：通过三角形的基本性质，利用已知条件直接求解。
（2）间接法：通过辅助线、角平分线、中线等构造新的图形，从而转化为容易解决的问题。
（3）代数法：利用三角形的边长关系，列方程求解。
（4）几何法：利用三角形的面积公式、勾股定理等几何公式求解。
4.举例说明例如，一个初二三角形题目：已知三角形ABC 的两边长分别为5 和9，角BAC 的大小为60 度，求第三边长和角ACB 的大小。
（1）直接法：根据三角形内角之和等于180 度，可求得角ACB 的大小为60 度。
再利用任意两边之和大于第三边的性质，求得第三边长为7。
（2）间接法：通过作辅助线，将三角形ABC 分为两个直角三角形，利用勾股定理分别求解，最后得出相同的结果。
（3）代数法：根据三角形的边长关系，列出方程，求解得到第三边长为7。
（4）几何法：利用三角形的面积公式，求解得到第三边长为7。
5.总结初二三角形一题多解的解题方法，可以帮助学生从不同角度理解和解决三角形题目，提高解题能力和技巧。
用一题多解培养学生发散思维
用一题多解培养学生发散思维绵阳市游仙区新桥中学何道华几何问题的计算与证明是初中数学中非常重要的内容。
通过解决几何问题，能有效地培养学生丰富的空间想象能力和严密的逻辑思维能力。
但是初中几何难学是绝大多数学生暴露出的短板和障碍。
通常一道文字不多配上几个简单图形的几何题，都需要通过较复杂的动手作图、动脑分析等过程才能进行解答，这让很多学生苦思不得其解。
那么初中几何难吗? 对于不会的孩子来说，当然是难的!主要难在作辅助线以及解法的灵活性。
几何题的解答是离不开辅助线的构造，能够正确做出辅助线，一道几何题便能轻松解决，这是为什么一些学生觉得几何题很难，完全没有头绪，而另一些学生却觉得很简单的重要原因。
几何题让学生束手无策的另一个主要原因是解法单一，思维不够灵活，就算遇见了相似的题型也无法解答。
因此在平时的学习生活中学生就该注重勤动手作图勤动脑思考习惯的培养，几何问题中的一题多解就能达到这样的目的。
下面为大家介绍一道八年级下册课本中一道经典几何题的多种解法。
教材原题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，求证：AE=EP．思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，利用△AME≌△ECF（ASA），易得AE=EF．经典变试题：把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，求证：AE=EF 。
图1 图2 图3法一：如图1，在AB 上取AG=EC ，由△AEG ≅△EPC(ASA)，可得AE=CP 。
法二：如图2，在AC 延长线上取CG=CP ，由△ECP ≅△ECG(SAS)，先得∠G=∠P=∠EAC （蝴蝶△），再得AE=CP 。
法三：如图3，在AB 延长线上取BG=BE ，由△ABE ≅△CBG(SAS)，先得AE=GC ，且AE ⊥GC ，再证平行四边形GCPE （两组边分别平行），可得AE=CP 。
初中数学一题多变一题多解(二)
一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
2020年中考数学 一题多解 开拓思路
C B一题多解 开拓思路题目：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：BC 2=2AC ·CD ．B一道题由不同的思路，可以得出多种解法．等积式的证明，基本思路是化为比例式，解此题的关键之一，是如何处理系数的问题．思路一：将BC 2=2AC ·CD 化为比例式2AC/BC=BC/CD,或AC/BC=BC/2CD ，设法取一条线段，使它等于2AC 或2CD ，构造相似三角形进行证明． 证法一：延长CA 至E ，使AE=AC ，连结BE ，则CE=2AC ． ∵AB=AE=AC ，∴∠EBC=90°=∠BDC ． ∵∠C=∠C ，∴△ECB ∽△BCD ．∴EC/BC=BC/CD ． ∴2AC/BC=BC/CD ．即BC 2=2AC ·CD ．证法二：在DA 上截取DE=CD ，连结ＢＥ，则CE=2CD ． ∵BD ⊥AD ， ∴BE=BC ．∴∠BEC=∠C ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠ABC=∠BEC ． ∵∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BEC ． ∴AC/BC=BC/CE ． ∴AC/BC=BC/2CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．BE思路二：将BC 2=2AC ·CD 化为21BC 2=AC ·CD ，即AC/21BC=BC/CD 或 AC/BC=21BC /CD ，仿上，可得证法三、证法四． 证法三：取B C 中点E ，连结DE ，则CE=21BC ．在Rt △BCD 中，DE=21BC=CE ，∴∠EDC=∠C ． ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ． ∴∠ABC=∠EDC ． ∵∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ． ∴AC/EC=BC/CD ． ∴AC/21BC=BC/CD ． ∴21BC 2=AC ·CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．证法四：取BC 中点E ，连结AE ，则CE=21BC ． ∵AB=AC ，∴∠AEC=90°=∠BCD ． ∵∠C=∠C ，∴△ACE ∽△BCD ． ∴AC/BC=CE/CD ． ∴AC/BC=21BC/CD ． ∴21BC 2=AC ·CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．思路三：BC2=2AC ·CD 还可化为（21BC ）2 =21AC ·CD 或（21BC ）2=AC ·21CD ，这时只需取BC 的一半，再取AC 的一半或CD 的一半即可得证法五、证法六．证法五：取BC 的中点E ，AC 的中点F ，连结DE 、EF 及AE ．BECB ∵AB=AC ， ∴AE ⊥BC ． ∴FE=FC ． ∴∠FEC=∠C ． 同理∠EDC=∠C ． ∴∠FEC=∠EDC ． 又∠C=∠C ，∴△FEC ∽△EDC ． ∴FC/EC=EC/CD ． ∴CE 2=FC ·CD ． 即（21BC ）2 =21AC ·CD ． ∴BC 2=2AC ·CD ．证法六：取BC 的中点E ，CD 的中点F ，连结AE 、EF ． 则AE ⊥BC ，EF ∥BD ．又∵BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ．故EC 2=CF ·CA ．即（21BC ）2 =21CD ·AC ． ∴BC 2=2AC ·CD ．思路四：由BD ⊥AC ，BC2=2AC ·CD 想到射影定理，只需要BC 成为以BD 为斜边上的高的直角三角形的一直角边即可，这不难做到．证法七：过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，垂足为B ． ∵ BD ⊥CE ， ∴BC 2=CD ·CE ． ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ． ∵∠ABC+∠EBA=90°，∠C+∠E=90°． ∴∠EBA=∠E ．∴AE=AB=AC 即CE=2AC ．即BC 2=2AC ·CD ．思路五：由直角三角形及左边平方式，联想到应用勾股定理．证法八：在Rt △BDC 中，BC 2=BD 2+CD 2在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2-AD 2BC2=AB2-AD2+CD2=AC2-AD2+CD2=（AD+CD）2 - AD2+CD2 =2AD·CD+2CD2=2CD（AD+CD）=2AC·CD．。
八年级数学思维训练答案
八年级数学思维训练答案发散思维是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维形式，比拟常见，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。
发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维。
八年级数学思维训练(一)1、有两个桶，一个三斤，一个五斤，水无限，怎样得出准确的四斤水。
2、夜晚过一桥，甲过需要一分钟，乙两分钟，丙五分钟，丁特别钟。
桥一次最多只能承受两人，过桥必须使用手电筒，如今只要一只手电筒。
请问4人怎样在17分钟内全部过桥。
3、小赵的店里来了一位顾客，挑了20元的货，顾客拿出50元，小赵没零钱找不开，就到隔壁小韩的店里把这50元换成零钱，回来给顾客找了30元零钱。
过一会，小韩来找小赵，讲刚刚的是假钱，小赵马上给小李换了张真钱。
问：在这一经过中小赵赔了多少钱?4、鸡妈妈领着本人的孩子出去觅食，为了防止小鸡丢失，她总是数着，从后向前数到本人是8，从前向后数，数到她是9。
鸡妈妈最后数出来她有17个孩子，可是鸡妈妈明明知道本人没有这么多孩子。
那么这只糊涂的鸡妈妈到底有几个孩子呢?鸡妈妈为什么会数错?5、用水果刀平整地去切一个大西瓜，一共切10刀，最多能将西瓜切成多少块?最少能切多少块?6、小李有40元钱，他想用他们买饮料，老板告诉他，2元钱能够买一瓶饮料，4个饮料瓶能够换一瓶饮料。
那么，小李能够买到多少瓶饮料?7、有一口深4米的井，井壁非常光滑。
井底有只青蛙总是往井外跳，但是，这只青蛙每次最多能跳3米，你觉得这只青蛙几次能跳到井外去吗?为什么?8、小红和小丽一块到新华书店去买书，两个人都想买（综合习题）这本书，但钱都不够，小红缺少4.9元，小丽缺少0.1元，用两个人合起来的钱买一本，但是钱仍然不够，那么，这本书的价格是多少呢?9、明明牵着一只狗和两只小羊回家，路上碰到一条河，没有桥，只要一条小船，并且船很小，他每次只能带狗或一只小羊过河。
你能帮他想想办法，把狗和羊都带过河去，又不让狗咬到小羊。
10、假如有9个乒乓球，要分别装在4个袋里，保证每个袋里有乒乓球，并且每个袋里的乒乓球个数是单数，你能想出办法吗?八年级数学思维训练答案1、取五斤水，倒入三斤的桶中，H#}+把三斤桶的水倒了，然后把五斤桶中的二斤水倒入三斤桶中;再取五斤水，倒满三斤桶，则五斤桶的水即为四斤。
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题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，
EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．
【方法一】
在AB上取一点G使得AG＝CE，易得△BGE为等腰直角三角形，再证明△AGE≌△ECF（ASA）即可．
【方法二】
过点E作EG⊥BC交FC的延长线于点G，证明△AEC≌△FEG（ASA）即可．
【方法三】
延长AC至点G使得CG＝CF并连接EG，证明△ECF≌△ECG（SAS），再得∠ECA＝∠G（提示：外角的性质）即可．
【方法四】
分别延长AB，FC交于点G，并连接EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），再证∠EGC＝∠F（提示：外角的性质）即可．
【方法五】
延长AB至点G，使得BG＝BE，并连接EG，CG，证明△ABE≌△CBG （SAS），再证明四边形EGCF为平行四边形即可（两组对边分别平行）．
【方法六】
连接AC，过点E作EG⊥BC，交AC于点G，证明△AEG≌△FEC（ASA）即可．
【方法七】
如图，分别过点E，F作EG∥CF，FG∥CD和FH∥BC，EG分别与FG，FH 交于点G，H，易得四边形ECFH为平行四边形，再证明△ACE≌△EGF （ASA）即可．
【方法八】
过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，则BE＝a
－x，根据△ABE∽△EGF得AB：BE＝EG：GF，即a：（a－x）＝（x＋y）：y，得ay＝ax＋ay－x2－xy，得x（a－x－y）＝0，即a＝x＋y，所以AB＝EG，BE＝FG所以AE＝EF．
【总结】本题还有许多其他构造辅助线的方法来证明，有的是同种类型的不同
构法，异曲同工。
欢迎大家讨论！
当然，除了一题多解之外，大家也可以考虑把条件和结论对调进行证明，要不
试试看？
题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的
平分线CF上取一点F使得AE＝EF．
求证：∠AEF＝90°．。