正十七边形学生优秀教案
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几何尺规作图问题
七一班 陈安琪 21
问题导入
美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒 得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。几何尺规作图问题 就是其中之一。 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指 没有刻度只能画直线的尺。 “几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1. 化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆 2.三等分任意角 3.倍立方-求作一立方体使其体积是已知立方体的二倍 4.做正十七边形
不过年轻的高斯并不只有这一次闪光。15岁时，高斯进入卡罗利努 姆学院学习。18岁时来到著名的哥廷根大学，数学的领域里还有更广 阔的天地等待这位数学天才去探索。
高斯做出了正十七边形！
据说高斯在哥廷根大学时，有次有事迟到，赶到教室时几乎都已经下课了。高斯走进教室后，发现教师不在， 黑板上写着几道题。高斯以为这些题目是今天的作业题，便把题目记下来。当晚，他花了一整夜时间去研究这些数 学题，没想到的是，这些题目异乎寻常地难。高斯直到天亮也只解决了一道题，第二天他很沮丧地找到老师，把这 些都告诉了他。他的老师异常震惊：“这些可都是数学史上最著名的难题啊，你竟然只花一个晚上就解决了一道？” 而高斯解决的这道难题，就是困扰了数学家两千年之久的正十七边形尺规作图问题。那一年，高斯只有19岁！ 尺规作图，是从古希腊时期的几何学家们开始就一直在探讨的问题，作图所用的直尺，是没有刻度的，尺规作 图最简单的应用就是平分角。古希腊人很早就知道了许多正多边形的作图方法。显然，正2N边形（N>=2） 都是很用 以作出来的。正三边形能做出来，因此正2N×3边形（N>1）也一样能作出来。而正五边形和正十五边形也是能作出 来的。如此一来，边数较少的正多边形就只剩下正七、正九、正十一、正十三、正十七这些奇数多边形了。这些问 题一直没有解决。而高斯虽然没能解决正七边形作图等问题，但是却解决了正十七边形的作图问题。但数学家绝对 不会只满足于一个特例。正十七边形作图问题的解决，反而刺激了高斯思考更深入的问题：什么样的多边形是可以 用尺规作图作出来而什么样的不能？经过深入的思考，他得出了一个重要结论：一个正多边形，只要边数是质数的 费马数【注】，就可以用尺规作图将其作出。而这时的高斯，才不过24岁。在他的面前，不知道还有多少数学的秘 密等着他去发现…… 【注】：费马数：法国数学家费马曾经提出一个猜想： 必然是质数，这样的数被人们称为费马数。后来欧拉发 现，当N=5时，猜想便不成立。后来的人们也没有发现N更大时结果是质数。
http://www.bilibili.com/video/av207 6393/
一个正多边形，只要边数是质数的费马Байду номын сангаас 【注】，就可以用尺规作图将其作出。
（五）费马数 把 记为Fn，Fn即为费马数。 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：
前4个是质数因为第5个数实在太大了，费马认为这个数是质数。由此提出（费马没给出证明）， 形如 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如 的数叫费马数。 1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不 能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6= =274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的 例子，也就是说只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数n>4时， 费马数全是合数！
高斯的故事
数学史上，天才不计其数，就像天空中一颗颗明亮的恒星一样，照 耀和引导着人类的理性之路。在这万千群星中，最亮的一颗，无疑是 伟大的德国数学家——高斯。
在数学家当中，高斯作为天才的名气恐怕也是最大的，这是因为每 个上过小学的人恐怕都听说过高斯八岁时的展现自己数学天赋的故事： 高斯的小学老师给学生们出了一道题：算出从1到100这100个整数的 和。当同学们都在埋头苦算时，高斯却已经得到了正确的结果：5050。 原来，小高斯很快就发现1+100=101，2+99=101，3+98=101……100个 数的和就是50×101=5050。 这个原理也就是等差数列的求和公式，虽 然在此之前早已有人发现，但是只有8岁的高斯能够独立地发现这一 结论，足以证明其数学天赋惊人。
正十七边形的做法
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC=1/4OB， 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延 长线上E点使得∠DCE=45度 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A 点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一 圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之 第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶 点。 以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截 出正十七边形的所有顶点。
几何尺规作图问题的解决
以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可 能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为 生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十 七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定 分辨不出来。
高斯之墓与17
高斯的墓碑朴实无华，仅镌刻 “高斯”二字。为纪念高斯， 其故乡布伦瑞克改名为高斯堡。 哥廷根大学立了一个正十七棱 柱为底座的纪念像。在慕尼黑 博物馆悬挂的高斯画像上有这 样一首题诗：他的思想深入数 学、空间、大自然的奥秘，他 测量了星星的路径、地球的形 状和自然力，他推动了数学的 进展，直到下个世纪。
七一班 陈安琪 21
问题导入
美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒 得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。几何尺规作图问题 就是其中之一。 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指 没有刻度只能画直线的尺。 “几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1. 化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆 2.三等分任意角 3.倍立方-求作一立方体使其体积是已知立方体的二倍 4.做正十七边形
不过年轻的高斯并不只有这一次闪光。15岁时，高斯进入卡罗利努 姆学院学习。18岁时来到著名的哥廷根大学，数学的领域里还有更广 阔的天地等待这位数学天才去探索。
高斯做出了正十七边形！
据说高斯在哥廷根大学时，有次有事迟到，赶到教室时几乎都已经下课了。高斯走进教室后，发现教师不在， 黑板上写着几道题。高斯以为这些题目是今天的作业题，便把题目记下来。当晚，他花了一整夜时间去研究这些数 学题，没想到的是，这些题目异乎寻常地难。高斯直到天亮也只解决了一道题，第二天他很沮丧地找到老师，把这 些都告诉了他。他的老师异常震惊：“这些可都是数学史上最著名的难题啊，你竟然只花一个晚上就解决了一道？” 而高斯解决的这道难题，就是困扰了数学家两千年之久的正十七边形尺规作图问题。那一年，高斯只有19岁！ 尺规作图，是从古希腊时期的几何学家们开始就一直在探讨的问题，作图所用的直尺，是没有刻度的，尺规作 图最简单的应用就是平分角。古希腊人很早就知道了许多正多边形的作图方法。显然，正2N边形（N>=2） 都是很用 以作出来的。正三边形能做出来，因此正2N×3边形（N>1）也一样能作出来。而正五边形和正十五边形也是能作出 来的。如此一来，边数较少的正多边形就只剩下正七、正九、正十一、正十三、正十七这些奇数多边形了。这些问 题一直没有解决。而高斯虽然没能解决正七边形作图等问题，但是却解决了正十七边形的作图问题。但数学家绝对 不会只满足于一个特例。正十七边形作图问题的解决，反而刺激了高斯思考更深入的问题：什么样的多边形是可以 用尺规作图作出来而什么样的不能？经过深入的思考，他得出了一个重要结论：一个正多边形，只要边数是质数的 费马数【注】，就可以用尺规作图将其作出。而这时的高斯，才不过24岁。在他的面前，不知道还有多少数学的秘 密等着他去发现…… 【注】：费马数：法国数学家费马曾经提出一个猜想： 必然是质数，这样的数被人们称为费马数。后来欧拉发 现，当N=5时，猜想便不成立。后来的人们也没有发现N更大时结果是质数。
http://www.bilibili.com/video/av207 6393/
一个正多边形，只要边数是质数的费马Байду номын сангаас 【注】，就可以用尺规作图将其作出。
（五）费马数 把 记为Fn，Fn即为费马数。 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：
前4个是质数因为第5个数实在太大了，费马认为这个数是质数。由此提出（费马没给出证明）， 形如 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如 的数叫费马数。 1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不 能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6= =274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的 例子，也就是说只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数n>4时， 费马数全是合数！
高斯的故事
数学史上，天才不计其数，就像天空中一颗颗明亮的恒星一样，照 耀和引导着人类的理性之路。在这万千群星中，最亮的一颗，无疑是 伟大的德国数学家——高斯。
在数学家当中，高斯作为天才的名气恐怕也是最大的，这是因为每 个上过小学的人恐怕都听说过高斯八岁时的展现自己数学天赋的故事： 高斯的小学老师给学生们出了一道题：算出从1到100这100个整数的 和。当同学们都在埋头苦算时，高斯却已经得到了正确的结果：5050。 原来，小高斯很快就发现1+100=101，2+99=101，3+98=101……100个 数的和就是50×101=5050。 这个原理也就是等差数列的求和公式，虽 然在此之前早已有人发现，但是只有8岁的高斯能够独立地发现这一 结论，足以证明其数学天赋惊人。
正十七边形的做法
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 作C点使OC=1/4OB， 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延 长线上E点使得∠DCE=45度 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A 点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一 圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之 第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶 点。 以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截 出正十七边形的所有顶点。
几何尺规作图问题的解决
以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可 能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为 生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十 七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定 分辨不出来。
高斯之墓与17
高斯的墓碑朴实无华，仅镌刻 “高斯”二字。为纪念高斯， 其故乡布伦瑞克改名为高斯堡。 哥廷根大学立了一个正十七棱 柱为底座的纪念像。在慕尼黑 博物馆悬挂的高斯画像上有这 样一首题诗：他的思想深入数 学、空间、大自然的奥秘，他 测量了星星的路径、地球的形 状和自然力，他推动了数学的 进展，直到下个世纪。