高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修1-1.ppt

所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0 )叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 ，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
18
【总结提升】
思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
x
x0, y
y0 2
,
相关点法
因为点P（x0,y0）在圆
2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程
1
2
3
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. （重点、难点）
5
实验操作
(1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距 离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.
解：设椭圆的标准方程为 m x 2 n y 2 1 (m 0 ,n 0 ,m n ),
则有
(
3 2
)2
m
(
5 2
)2
n
1，
( 3)2 m ( 5)2 n 1，
解得
m
1 6
,n
1. 10
所以，所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 . 6 10
23
例2 如图，在圆 x 2 y 2 4 上任取一点P，过点P
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
21
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a 2 b2 1 (a b 0).
又∵焦点的坐标为 (2, 0), (2, 0)，
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ),
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x2
y2
a2 a2 c2 1.
16
请看图片：你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 (a b 0),
椭圆 线段 不存在
在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后，我 们怎样用方程来 表示呢？
10
探究点2 椭圆的标准方程 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点 （2）写出点集 （3）列出方程 （4）化简方程 （5）检验
结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗？
11
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 建立坐标系的原则是：对称，简洁
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到方案二椭圆的方程
为 y2 a2ຫໍສະໝຸດ x2 b21(ab
0).
17
1.我 们 把 形 如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也 把 形 如
a2 b2 4. ①
又
由
已
知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1， ②
联立①②, 解 得 a 2 1 0， b 2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为:
x2 y2 1.
10 6
22
【变式练习】
已知椭圆经过两点 ( 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ，求椭圆的 22
标准方程.
注意这种设法适用的情况
19
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点
53 ( , )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0).
待定 系数 法
由椭圆的定义知
2a
5 (
2)2
(
3 )2
5 (
2)2
(
3 )2
2
10
2
2
2
2
20
所以 a 1 0 .
6
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？
7
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系？
结合实验及上面的 问题，你能给椭圆 下一个定义吗？