直线与椭圆的位置关系(2课) 椭圆弦长公式)

代数法
----求解直线与二次曲线有 关问题的通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
例1： 直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y
由韦达 定理
x1 x1
x2 x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
1.(作业本26页3题） y=kx+1与椭圆 x2 y2 1有公共点,
则m的wk.baidu.com围( C )
本节课,我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
直线与椭圆的位置关系的判定
问题2：椭圆与直线的位置关系？
Ax+By+C=0 由方程组： x2 y2
1 a2 b2 mx2+nx+p=0（m≠ 0）
M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为 2 ，且
弦长公式：
| AB | 1 k2 | xA xB |
1 k 2 （xA xB )2 4xAxB
例3:已知椭圆 x2 y2 1，过点P（2，1）作一弦， 16 4
使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程。
弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
5m
A、（0，1）
B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+∞） D、（1，+ ∞）
2.
x2 y2 1 45 36
3.作业本27页9题中心在原点,一个焦点为F(0，5 2 )的
椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭 圆方程。
4.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
|AB| = 通法
1 k 2 ·x1 x2 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 1 k2
•
y1 y2
1
1 k2
•
（y1
y2）2 4 y1y2
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
l
l1
l2
第二课时 直线与椭圆的位置关系
复习
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆）
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
练习：已知椭圆 x2 y2 1 ，求 16 4
（1）以P（2，-1）为中心的弦所在的直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
（3）过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨 迹方程。
5.椭圆 x2
45
y2
20
1的两个焦点为F1 、F2 ,过左焦点
作直线与椭圆交于A，B 两点,若△ AB F2 的面积为20，
例 4:已知椭圆 x2 8 y2 8 ,直线 x y 4 0 ,求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式.
d x0 y0 4 且 x02 y02 1
2
81
尝试遇到困难怎么办?
求直线的方程。
y
A（x1 , y1）
o
F1
F2
x
B（x2 , y2）
变题：假如直线过原点,其它条件不变,求直线方程。
6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线
y=x+1与该椭圆交于点P，Q，OP•OQ 0
且 PQ
10 2
, 求椭圆的方程。
7.若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点，
练习.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2（只适用于圆）
椭圆的简单几何性质(三)
直线与椭圆的位置关系
椭圆的简单几何性质(三)
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质,可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用,其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理.
当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力.
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为 ∆>0 ，所以方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
弦长公式： | AB | 1 k2 | xA xB |
1 k2 （xA xB )2 4xAxB
直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
问：当直线斜率不存在时，弦长为？
l 2
r d
A（x1,y1）
B（x2,y2）
设而不求
例
2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆
x2 2
y2 1
1 的左、右
焦点，过
F2
作倾斜角为
4
的直线交椭圆于
A、B
两点，
求 △F1 AB 的面积.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组