直线与椭圆的位置关系(2课) 椭圆弦长公式)
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
直线和椭圆的位置关系公开课课件
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）
与椭圆
相交、相切、相离？
解：联立方程组
消去y
相切
相离
相交
l
m
m
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
o
x
y
例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
∆=36>0，
因为
所以方程（１）有两个根，
变式1：交点坐标是什么？
弦长公式：
小 结
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
则原方程组有两组解.
----- (1)
所以该直线与椭圆相交.
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
由韦达定理
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弦长公式： 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k．
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
直线与椭圆的位置关系
202X
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演讲人姓名
一：直线和椭圆的位置关系
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
<0
方程组无解
无交点
=0
>0
方程组有两解
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的交点个数，可以分为相离、相切和相交三种情况。
判定
使用代数方法（例如求解方程）或几何方法（例如测量距离和角度）来判断 直线与椭圆的位置关系。
解题方法与技巧
方法
解决直线与椭圆的位置关系问题，一般采用代数方法或几何方法。根据题目具体 情况选择合适的方法。
技巧
对于复杂的问题，需要灵活运用各种数学工具和技巧，例如设点、设线、数形结 合、分类讨论等。
03
交汇点以及中点的问题。
性质
弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以 及弦长、中点坐标等计算。
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三 种类型。
判定
判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相 关的几何性质。
在医学中，弦长公式被用于诊断疾病和预测病情发展趋势。例如，利
用弦长公式可以准确地计算心电图的异常波形，进而诊断心脏疾病。
弦中点问题的应用
计算机科学
在计算机科学中，弦中点问题被用于研究图形的算法和优化 问题。例如，利用弦中点问题可以设计出更高效的图形算法 ，实现快速查找和数据处理。
数学
在数学中，弦中点问题被用于研究函数的性质和解析几何。 例如，利用弦中点问题可以推导出函数的对称性和周期性， 进而研究其几何性质。
弦长公式的应用
01 02
统计学
在统计学中，弦长公式被用于计算样本数据的离散程度和置信区间。 通过利用弦长公式，科学家可以准确地描述一组数据的分散程度和不 确定性。
工程学
在工程学中，弦长公式被用于计算结构强度和稳定性。例如，利用弦 长公式可以准确地计算桥梁的承重能力和稳定性，确保其安全可靠。
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线与椭圆的位置关系弦长公式
9b2 10
9
| AB |
2
18b 2 10
4 9b2 9 10
92 5
解得 : b 1,直线AB的方程为y x 1
10 x2 18bx 9b2 9 0,
所以切线方程为 : y x 10
36(10 b2 ),则
所以椭圆上存在一点,
当 0,即 10 b 10时,相交; 即切线y x 10上的切点,
当 0,即b 10时,相切;
它到直线y x 4的距离最小,
当 0,即b 10或b 10时,相离; d | 4 10 | 2 2 5 2
练习: 若斜率为1的直线与椭圆x2 9 y2 9交于
A, B两点,且 | AB | 9 2,求直线l的方程. 5
解 : 设直线为 : y x b,代入椭圆方程并整理得
10 x2 18bx 9b2 9 0,
设A( x1,
y1), B( x2 ,
y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,则x1
x2
18b 10
,
x1 x2
解 :由已知可得,右焦点C(2 2,0),直线AB为 : y 3 ( x 2 2), 3
代入椭圆方程并整理得 : 4x2 12 2x 15 0,
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),则x1 x2 3
15 2, x1x2 4
2
| AB |
1
3 3
(3 2 )2 4 15 2 4
例1.倾斜角为450的直线何时与椭圆x2 9 y2 9 相交, 相切, 相离 ?
练习: 椭圆x2 9y2 9上是否存在一点,它到直线 l : x y 4 0的距离最小,最小距离是多少?
例1,解 : 设直线为 : y x b,
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：直线与椭圆的位置关系
又 P 为线段 AB 的中点,∴
1
2
=
4(2 2 -)
4 2 +1
=2,
解得 k=- .故所求直线的方程为 x+2y-4=0.
2
(方法2)设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又 A,B 两点在椭圆上,则12 +412 =16,22 +422 =16,
直线与椭圆的位置关系的判断方法
直线 y=kx+m
2
与椭圆 2
+
2
=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:联立
2
= + ,
消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程.
2
2
+
=
1,
2
2
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<0
变式训练1
已知直线l:y=kx+4,椭圆C:
↓
作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开
↓
整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解
变式训练3
已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,
则该椭圆的离心率为
.
答案
3
2
2
2
解析 设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0),
直线 x+2y-8=0 与椭圆交于 A,B 两点,且 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 P(4,2)为线段
直线与椭圆的位置关系、弦长公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
那么，相交所得旳弦旳弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2旳斜率为k．
弦长公式：
弦长旳计算措施： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4 x1 x2
作业
P48 练习 6、7题 P49 A组 8 题
2.2.2 椭圆旳简朴几何性质(三)
1-----直线与椭圆旳位置关系 2-----弦长公式
回忆：直线与圆旳位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.鉴别措施(代数法)
联立直线与圆旳方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一种公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
思索：最大旳距离是多少？
1直线与椭圆旳位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们旳位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
通法
点与椭圆旳位置关系
点
P(
x0
,
y0
)
与椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
高中数学平面解析几何2.5.2.2椭圆方程及性质的应用学案含解析
第2课时 椭圆方程及性质的应用必备知识·自主学习导思 1.直线与椭圆的位置关系有哪些？ 2．弦长公式是什么？设P(x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，则点P 与椭圆的位置关系如表所示：位置关系 满足条件 P 在椭圆外 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 >1 P 在椭圆上 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 ＝1 P 在椭圆内x 20 a 2 ＋y 20 b 2<1判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 3．弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).弦长公式①：|AB|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ． 弦长公式②：|AB|＝1＋1k2 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( ) (2)直线x 2 －y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5 .( )(3)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)与点P(b ，0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( )(4)直线y ＝k(x －a)(k≠0)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．( )提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．(2)√.由x 2 －y ＝1得y ＝x 2 －1，代入x 24 ＋y 2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝（0－2）2＋（－1－0）2 ＝ 5 .(3)×.因为P(b ，0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(4)√.直线y ＝k(x －a)(k≠0)过点(a ，0)且斜率存在，所以直线y ＝k(x －a)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．2．直线y ＝kx －k ＋1(k≠0)与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．3．(2020·沈阳高二检测)椭圆ax 2＋by 2＝1()a>0，b>0 与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32 ，则ba的值为( ) A ．33 B ．233 C ．932 D ．2327【解析】()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1y ＝1－x 得()a ＋b x 2－2bx ＋b －1＝0， 则x 1＋x 2＝2b a ＋b .设线段AB 的中点为C ，则x C ＝b a ＋b .将x C ＝b a ＋b 代入y ＝1－x 得到y C ＝aa ＋b.因为k OC ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32 ，故b a ＝233 .4．(教材二次开发：习题改编)椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离是________．【解析】设直线x ＋2y ＋c ＝0与椭圆x 216 ＋y 24＝1相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋c ＝0，x 216＋y 24＝1，消去x 整理得8y 2＋4cy ＋c 2－16＝0.由Δ＝16(32－c 2)＝0得c ＝±4 2 ．当c ＝4 2 时，符合题意(c ＝－4 2 舍去).即x ＋2y ＋4 2 ＝0与椭圆x 216 ＋y 24 ＝1相切，椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d ＝|－2－42|12＋22 ＝10 .答案：10关键能力·合作学习类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算) 【典例】1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个2．已知椭圆E ：x 28 ＋y 24 ＝1，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，则实数m 的取值范围是__________． 【解析】4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2<4.所以－2<m<2，－2<n<2.所以点P(m ，n)在椭圆x 29 ＋y 24 ＝1内，故过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有2个交点．2．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ， 消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.因为直线l 与椭圆E 有两个公共点， 所以Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－2 3 ＜m ＜2 3 ，所以实数m 的取值范围是(－2 3 ，2 3 ). 答案：(－2 3 ，2 3 )直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0， 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22 ＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．【解析】由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2 ，代入椭圆方程得x 22 ＋(kx ＋ 2 )2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2 x 2＋2 2 kx ＋1＝0， 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22 或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22 ∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ . 类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长．【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，利用弦长公式求解．【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y －1＝k(x －2).代入椭圆方程并整理， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k)x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22 ＝4（2k 2－k ）4k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 又M(2，1)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21 ＋4y 21 ＝16，x 22 ＋4y 22 ＝16. 两式相减得(x 21 －x 22 )＋4(y 21 －y 22 )＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.所以y 1－y 2x 1－x 2 ＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2） ＝－12 ，即k AB ＝－12 .又直线AB 过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0， 所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， 所以|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫－122·42－4×0 ＝2 5 .直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离． (2)用公式来求．设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2 ·|x 1－x 2|＝1＋1k2 ·|y 1－y 2|. 提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.已知动点P 与平面上两定点A(－ 2 ，0)，B( 2 ，0)连线的斜率的积为定值－12 .(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN|＝423时，求直线l 的方程． 【解析】(1)设动点P 的坐标是(x ，y)，由题意得，k PA ·k PB ＝－12 .所以y x ＋2 ·y x －2 ＝－12 ，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22 ＋y 2＝1(x≠± 2 ).(2)设直线l 与曲线C 的交点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2 ，x 1·x 2＝0.|MN|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2 ＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). 所以k ＝±1，经检验符合题意． 所以直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值． 【思路导引】(1)根据已知条件求出a ，b ，从而得到椭圆方程． (2)依据以AB 为直径的圆的圆心到y 轴的距离等于半径，列方程求m. 【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12 a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a＝ 2 ，则椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y ⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0， 即－ 3 ＜m ＜ 3 ，x 1＋x 2＝4m3 ，x 1x 2＝2m 2－23 ，可得AB 中点横坐标为2m3 ，|AB|＝1＋1 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ·16m 29－8m 2－83 ＝433－m 2 ，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12 |AB|＝2|m|3 ，即233－m 2 ＝2|m|3，解得m ＝±62 ∈(－ 3 ， 3 )，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视． 【补偿训练】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B两点(A 在B 上方)，若AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，可知三角形OAF 是正三角形，A ⎝⎛⎭⎫12c ，32c ，所以|FB|＝ 3 c ，由椭圆的定义可得 3 c ＋c ＝2a ， 可得e ＝c a ＝23＋1 ＝ 3 －1.答案： 3 －1备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点(0， 2 )，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d>r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d<r ，则点G 在圆内．方法二：只需判断GA → ·GB → 的符号，若GA → ·GB → ＝0，则点G 在圆上；若GA → ·GB →>0，则点G 在圆外；若GA → ·GB → <0，则点G 在圆内．【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2．所以椭圆E 的方程为x 24 ＋y 22＝1.(2)方法一：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为H(x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH|2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋94 2＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋54 2＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20 ＋52 my 0＋2516 .|AB|24 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20 －y 1y 2)， 故|GH|2－|AB|24 ＝52 my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22（m 2＋2） －3（1＋m 2）m 2＋2 ＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以|GH|>|AB|2 ， 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外． 方法二：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则GA → ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1 ，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2 . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA → ·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94 ⎝⎛⎭⎫x 2＋94 ＋y 1y 2＝ ⎝⎛⎭⎫my 1＋54 ⎝⎛⎭⎫my 2＋54 ＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54 m(y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以cos 〈GA → ，GB →〉>0.又GA → ，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角． 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－ 3 ，0)和F 2( 3 ，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 . (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 【解析】(1)由题意设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，将c ＝ 3，a 2＝b 2＋c 2，代入椭圆方程得x 2b 2＋3 ＋y 2b 2 ＝1， 又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 ，得1b 2＋3 ＋34b 2 ＝1，解得b 2＝1，所以a 2x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125 ky －6425＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，A(－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4） ，y 1＋y 2＝12k 5（k 2＋4），则AM → ·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45 k(y 1＋y 2)＋1625 ＝0，所以∠MAN ＝π2.课堂检测·素养达标1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23 ＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m>1B ．m>1且m≠3C ．m>3D ．m>0且m≠3【解析】x 2m ＋y 23＝1中，m>0且m≠3，而直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，化简可得()m ＋3 x 2＋4mx ＋m ＝0， 所以Δ＝()4m 2－4m ()m ＋3 ＝12m ()m －1 >0， 可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，得m>1且m≠3.2．如果椭圆x 236 ＋y 29 ＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 36＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236 ＋k y 1＋y 29 ＝0.又弦中点为(4，2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12 (x －4)，整理得x ＋2y －8＝0.3．过椭圆x 225 ＋y 29＝1的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是____．【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋4，x 225＋y 29＝1，得34x 2＋200x ＋175＝0， 所以x 1＋x 2＝－20034 ，x 1x 2＝17534 .所以|AB|＝ 2 ×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ×⎝⎛⎭⎫－200342－4×17534 ＝9017. 答案：90174．已知椭圆x 2a 2 ＋y 22 ＝1(a ＞ 2 )的左、右焦点分别为F 1，F 2.过左焦点F 1作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14 ，则a 的值是________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21 b 2＝1，x 22 a 2＋y 22 b 2＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2 ＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ，所以x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－a 2b 2 ·y 1－y 2x 1－x 2，所以x 0y 0 ＝2a 2b 2 ＝4，所以a 2＝2b 2＝4， 所以a ＝2. 答案：25．(2020·南昌高二检测)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆C ：x 24 ＋y 2b 2 ＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是________． 【解析】因为椭圆焦点在x 轴上，所以b 2<4， 因为b>0，所以0<b<2；因为直线y ＝kx －1与椭圆总有公共点， 所以04 ＋（－1）2b 2 ≤1，因为b>0，所以b≥1， 综上1≤b<2，e ＝c a ＝1－b 2a2 ＝1－b 24 ∈⎝⎛⎦⎤0，32 .答案：⎝⎛⎦⎤0，32。
高中数学选择性必修一课件：直线与椭圆的位置关系
则 Δ＝(－8 3)2－4×5×8＝32＞0，故 x1＋x2＝8－x2|＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q 两点，|PQ|＝ 10，则椭圆的方程为_3x_62_＋__y92_＝__1．
(2)设直线交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1162＋y1122＝1①，x1262＋y1222＝1②. ①－②，得x121－6x22＋y121－2y22＝0，化简得 （x1－x2）16（x1＋x2）＝－（y1－y21）2（y1＋y2）. ∴yx11－ －yx22＝－1162（（y1x＋1＋y2x）2）＝－161（2（2y2MxM））＝38. ∴kAB＝yx11－－yx22＝38. ∴所求直线的方程为 y－2＝38(x＋1)，即 3x－8y＋19＝0.
探究 4 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离 是常见题目类型．
思考题 4 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y
＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离． 【解析】 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线方程为 x－y＋a＝
0， 由xx2－＋y8＋y2a＝＝80，， 消 x 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由 Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得 a＝3 或 a＝－3，
【解析】 ∵e＝ 23，∴ac22＝34，即 c2＝34a2，∴b2＝a2－c2＝14a2.∴椭圆的方 程为 x2＋4y2＝a2，与方程 x＋2y＋8＝0 联立并消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0，
由 Δ>0，得 a2>32. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8，x1x2＝64－2 a2. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋kPQ2)·|x1－x2|2＝(1＋kPQ2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 10＝ 54×[64－2(64－a2)]，解得 a2＝36. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝36，即3x62 ＋y92＝1.
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4
5 1
5
பைடு நூலகம்
5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为 ∆>0 ，所以方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
弦长公式： | AB | 1 k2 | xA xB |
1 k2 （xA xB )2 4xAxB
直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
代数法
----求解直线与二次曲线有 关问题的通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
例1： 直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y
由韦达 定理
x1 x1
x2 x2
练习：已知椭圆 x2 y2 1 ，求 16 4
（1）以P（2，-1）为中心的弦所在的直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
（3）过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨 迹方程。
5.椭圆 x2
45
y2
20
1的两个焦点为F1 、F2 ,过左焦点
作直线与椭圆交于A，B 两点,若△ AB F2 的面积为20，
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
|AB| = 通法
1 k 2 ·x1 x2 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 1 k2
•
y1 y2
1
1 k2
•
（y1
y2）2 4 y1y2
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2
问：当直线斜率不存在时，弦长为？
l 2
r d
A（x1,y1）
B（x2,y2）
设而不求
例
2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆
x2 2
y2 1
1 的左、右
焦点，过
F2
作倾斜角为
4
的直线交椭圆于
A、B
两点，
求 △F1 AB 的面积.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
例 4:已知椭圆 x2 8 y2 8 ,直线 x y 4 0 ,求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式.
d x0 y0 4 且 x02 y02 1
2
81
尝试遇到困难怎么办?
5m
A、（0，1）
B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+∞） D、（1，+ ∞）
2.
x2 y2 1 45 36
3.作业本27页9题中心在原点,一个焦点为F(0，5 2 )的
椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭 圆方程。
4.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
弦长公式：
| AB | 1 k2 | xA xB |
1 k 2 （xA xB )2 4xAxB
例3:已知椭圆 x2 y2 1，过点P（2，1）作一弦， 16 4
使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程。
弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
求直线的方程。
y
A（x1 , y1）
o
F1
F2
x
B（x2 , y2）
变题：假如直线过原点,其它条件不变,求直线方程。
6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线
y=x+1与该椭圆交于点P，Q，OP•OQ 0
且 PQ
10 2
, 求椭圆的方程。
7.若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点，
练习.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2（只适用于圆）
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
l
l1
l2
第二课时 直线与椭圆的位置关系
复习
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆）
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
1.(作业本26页3题） y=kx+1与椭圆 x2 y2 1有公共点,
则m的范围( C )
椭圆的简单几何性质(三)
直线与椭圆的位置关系
椭圆的简单几何性质(三)
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质,可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用,其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理.
当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力.
M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为 2 ，且
本节课,我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法：d>r
d=r
d<r
代数法：∆<0
∆=0
∆>0
直线与椭圆的位置关系的判定
问题2：椭圆与直线的位置关系？
Ax+By+C=0 由方程组： x2 y2
1 a2 b2 mx2+nx+p=0（m≠ 0）
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。