华农概率论习题二解答
概率论及数理统计习题解答（第2章）.doc
概率论及数理统计习题解答（第2章）.doc习题⼆（A ）三、解答题1．⼀颗骰⼦抛两次，以X 表⽰两次中所得的最⼩点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．解: (1)分析：这⾥的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中⾄少有⼀点数为1，其余⼀个1⾄6点均可，共有1-612?C （这⾥12C 指任选某次点数为1，6为另⼀次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612?C 多算了⼀次）或1512+?C 种，故{}36113615361-611212=+?=?==C C X P ,其他结果类似可得.(2)≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红⾊球及⽩⾊球各5只，抽奖者交纳⼀元钱后得到⼀次抽奖的机会，然后从袋中⼀次取出5只球，若5只球同⾊，则获奖100元，否则⽆奖，以X 表⽰某抽奖者在⼀次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解：注意，这⾥X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,! }{>===λλΛk k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!==-∞=∑λλae k ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为(1) 求X 的分布函数；(2) 求}21{≤X P ，}2523{≤解：(1)≥<≤<≤-<=??≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13 2432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，(2) {}41121=-==≤X p X P 、 {}2122523===≤<x p="" x="" ,="" {}{}{}{}{}{}4<="" bdsfid="126">。
09-10华南农业大学《概率论》期末考试试卷(A卷)及答案
2009－2010 学年第1学期 概率论（A 卷）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（每空3分，共24分） 1.设两事件,A B 满足条件()()P A B P A B =，且()(01P A p p =<<，则()P B =________________.2.设1(),F x 2(),F x 3()F x 分别是随机变量1,X 2,X 3X 的分布函数，为使123()()()()F x a Fx b F xc F x=++是某一随机变量的分布函数，则a+b+c= . 3.设随机变量X服从泊松分布()P λ，且{1}{2P X P X ===，则λ=___________;{3}P X == .4. 设(0,1),21,X N Y X =+ 则{|1|2}P Y -<=______________.5. 若随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_______. 6. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[2,4]-上服从均匀分布，Y 服从参数为13的指数分布，则(2)E X Y -=_______________; (2)D X Y -=_______________.二、选择题（每小题3分，本题共15分）1. 对两事件A 和B ，下列命题成立的是( ). A 、如果A 、B 相容，则A B 、也相容； B 、如果P(AB)=0，则A 、B 不相容；C 、如果A 、B 相互独立，则()()P B A P B =成立；D 、如果A 、B 对立，则事件A 、B 相互独立.2. 设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，且()(),,f x f x x R -=∈又设X 的分布函数为()F x ，则对任意正实数,()a F a -等于( ).(A) 01();af x dx -⎰(B) 01();2a f x dx -⎰ (C) ();F a (D) 2() 1.F a -3. 当随机变量X 的可能值充满区间 时，则函数()cos()F x x =才可以成为随机变量X 的分布函数.( ) (A)0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (B),2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (C)[]0,π; (D)3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 4. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为10.30.7X P10.30.7YP则有( ).（A ）()0;P X Y == （B ）()0.5;P X Y == （C ）()0.58;P X Y == （D ）() 1.P X Y == 5. 随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x R x π=∈+，则Y=3X 的密度函数为( )A 、21,(1)y R y π∈+； B 、23,(9)y R y π∈+； C 、21,(1)9y R yπ∈+； D 、21,.(19)y R y π∈+ 三、解答题（15分）设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为：1,02()20,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他; 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.试求：(1) (X,Y)的联合密度函数；（4分） (2) (2)P Y X <；（5分） (3) ()2D X Y -.（6分）四、简答题（10分）某人考公务员接连参加同一课程的笔试和口试，笔试及格的概率为p ，若笔试及格则口试及格的概率也为p ，若笔试不及格则口试及格的概率为2p . (1)如果笔试和口试中至少有一个及格，则他能取得某种资格，求他能取得该资格的概率.(5分)(2)如果已知他口试已经及格，求他笔试及格的概率.(5分)五、解答题（15分）设平面区域为{}2(,)01,D x y x x y x =≤≤≤≤，二维随机变量(X,Y)在该区域上服从均匀分布；(1) 求(X,Y)的联合密度函数；（4分）(2) 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ，并问X 、Y 是否独立？（7分） (3) 求1().3P X ≤（4分）六、简答题（10分）某仪器装有三支独立工作的同型号电子元件，其寿命X （单位为小时）都服从同一指数分布，概率密度为6001,0()6000,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩， 求：（1）{200}P X <；(4分)（2）在仪器使用的最初200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率.（6分）七、简答题（11分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3。
华南农业大学2012-2013概率论与数理统计试卷 答案
12012-2013学年第 2学期《概率论与数理统计》试卷评分标准一、1.B ；2. A ；3. C ； 4. B ；5. B ；6.B ；7. D 二、1. 1 ； 2. 0，0.5；3.37；4. 0.4 5.（每空0.5分）6. 22,X X αα-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 7. 2(,),N n σμ或2(,)10N σμ 三、1.解：解：,1,)1(lim )(1=∴=-=+∞=-∞→A A e A F x x (3分)P{1≤X ≤3} =F(3)-F(1)=e -1-e -3, (3分)2.解： X 的概率密度为)()(x F x f '=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=，a x a x x a ,0,,343(2分)⎰⎰∞+∞+∞-==adx xa dx x xf X E 333)()( (3分) 23a=(1分) 3.解：解：设事件12,A A 分别为任取一件产品，产品是甲、乙厂生产的，事件B 为任取的一件产品为次品，则由已知条件可知1()0.6P A = ，2()0.4P A =，1(|)0.01P B A =，2(|)0.02P B A = （2分） 由贝叶斯公式可得10.60.013(|)0.60.010.40.027P A B ⨯==⨯+⨯，20.40.024(|)0.60.010.40.027P A B ⨯==⨯+⨯，（3分）由上两式知，任取一件为次品，该产品是乙厂生产的可能性最大。
（1分）4.解：解： (,)X Y 的概率密度为2（2分）（2分）同理可得\ （2分）5.解：由于总体差已知，因此用U 检验法，设0:53H μ= ，1:53H μ≠ （1分）由已知条件可知，51.3x =，3σ=，|| 1.7 1.96U ==< ， （3分） 所以在05.0=α不能拒绝0H 。
故认为该动物的体重平均值为53公斤。
（2分）四、1. 解：已知X 的概率密度函数为1,01,()0,.X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 的分布函数F Y (y )为11(){}{21}{}22Y X y y F y P Y y P X y P X F --⎛⎫=≤=+≤=≤= ⎪⎝⎭（4分） 因此Y 的概率密度函数为1,13,11()()2220,.Y Y X y y f y F y f ⎧<<⎪-⎛⎫'===⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩其它 （4分） 或用代公式法也可以解出答案。
概率论课后1-8章 习题解答
第一章习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
2《概率论与数理统计》期末考试_[B]答案
![2《概率论与数理统计》期末考试_[B]答案](https://img.taocdn.com/s3/m/2a9507e759f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e924ce.png)
2《概率论与数理统计》期末考试_[B]答案华中农业大学本科课程期末考试试卷B 卷答案考试课程：概率论与数理统计学年学期：考试日期：一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【】内。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
） 1. 设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是【(d)】.(a) A 与B 不相容； (b) A 与B 相容； (c) P(AB)=P(A)P(B)； (d) P(A -B)=P(A)． 2. 设随机变量序列X 服从N(μ,16), Y 服从N(μ,２５)，记p 1=P{X<μ-4},p 2=P{X>μ+5},则下列结论正确的是【(a) 】 .(a)对任何实数μ，都有p 1= p 2； (b) 对任何实数μ，都有p 1< p 2； (c) 对个别实数μ，才有p 1= p 2； (d) 对任何实数μ，都有p 1> p 2. 3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ未知，2σ已知，321X ,X ,X 是总体X 的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是【（d ）】．（a ）321X X X ++；（b ）)X ,X ,X m in(321；（c ）∑=σ31i 22i X ；（d ）μ+2X ．4．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是【（d ）】 .（a ）SSR 越大，SSE 越小；（b ）SSE 越小，回归效果越好；（c ）r 越大，回归效果越好；（d ）r 越小，SSR 越大．5．设随机变量X~F(n,m),欲使P{λ1<x<=""></xλ1的值可为【（a ）】 .（a ）),(2m n F α; （b ）),(2n m F α; （c ）12),(-αm n F ;（d ）12),(-αn m F ;………………………………… 装……………………………… 订……………………………… 线…………………………………二、填空题（将答案写在该题横线上。
华农概率论习题解答关于
习 题 三 解 答1：设二维随变量（X ，Y ）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。
求此二维随机变量（X ，Y ）的分布列。
解：此二维随机变量（X ，Y ）的分布列是： Y X 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/30 1/6 0 0 25/12―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。
从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。
以X ，Y 分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X ，Y ）的概率分布。
解：由题意得：（X ，Y ）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。
则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12 P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12 P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。
则（X ，Y ）的联合分布列为：―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X ，Y 如下Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0⎩⎨⎧=品表示第一次取出的是次品表示第一次取出的是正10X⎩⎨⎧=品表示第二次取出的是次品表示第二次取出的是正1Y解：（1）所求联合概率分布为：X 0 10 25/365/36 15/361/36（2）所求联合概率分布为： X 010 45/6610/66 110/661/66―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为),(y x f =⎩⎨⎧>>+-其他,00,0,)43(y x ke y x（1）确定常数k ；（2）求（X ，Y ）的分布函数；（3）求P{0＜X ≤1，0＜Y ≤2}。
华南农业大学2016-2017学年第1学期期末概率论与数理统计考试试卷(A卷)+答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016-2017学年第1学期考试科目：概率论与数理统计考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三总分得分评阅人得分一选择题（每小题3分，共计15分）1、设A，B是两个互斥的随机事件，则必有_________ （）（A）P(A∪B)=P(A)+P(B) (B)P(A-B)=P(A)-P(B)(C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(A)=1-P(B)2、在1到100的自然数里任取一个数，则它能被2和5整除的概率为（）（A）错误!未找到引用源。
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3、设F（x）与G(x)分别为随机变量Χ与Y的分布函数，为使H（x）=aF(x)+bG(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数据中应取（）（A） a=0.3，b=0.2 （B）a=0.3，b=0.7 （C）a=0.4，b=0.5 （D）a=0.5，b=0.64、设X1,X2,...,Xn为取自总体N(0 ,σ^2)的一个样本，则可以作为σ^2的无偏估计量的是（）（A）(B) (C)(D)5.设x1，x2，···，x n为正态总体N（μ，4）的一个样本，错误!未找到引用源。
表示样本均值，则μ的置信度为1-α的置信区间为（）(A)（错误!未找到引用源。
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）. (B)（错误!未找到引用源。
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）.(C)（错误!未找到引用源。
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）参考答案：答案：1、A 2、B 3、B 4、5. D解答：因为正态分布总体方差已知，得错误!未找到引用源。
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概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
《概率论与数理统计》第02章习题解答.docx
P{ X = 1} = P[人(瓦U瓦)U孔A ] = 0.8(0.2 + 0.2-0.04) + 0.2 x (0.8)2
= 0.416
P{X=2} =P( £%為)=(0.8)3=0.512
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无 任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险是相互独立的)，问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率
解:(1)P{X>1}=f(x)dx=j"-(4-x2)dr = (-X- — X3)
"9927
（2）―叫刃’叩沟心］刃
22
27
10-R
£二0丄2,…，10
27■■
592
(3)P{y=2}=C^(—)2x(—)8=0.2998
s99s9?
p{r>2}= 1- p{r=0} - p{y=1}= 1-(—)° x(―)10- ^0(—)J(—)9= 0.5778
J；(0.2 + 1.2y)dy
—oo
y v _1
-1 < y < 0
0<y<\
0
0.2y + 0.2
0.6/+0.2j + 0.2
1
y <-1
0<y<l
沖1
P{0<Y<0.5} = F(0.5)-F(0) = 0.2+0.2x0.5 + 0.6x(0.5)2-0.2 = 0.25
P{y > 0.1} = 1-F(0」)=1一0.2-0.2x0」一0.6x0= 0.774
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．解：)0()()(000--==x F x F x X P ，∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为2．设k a k X P 32()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim)32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑，∴21=a ，此时，k k X P 32(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为求：(1)X 的分布函数；(2)21(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F ．(2)方法1：8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P ．方法2：8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P ．(3)方法1：1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P ．方法2：101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P ．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X 记这两种新药的年销售额，求X 的分布律．解：设=i A {第i 组取得成功}，2,1=i ，由题可知，1A ，2A 相互独立，且4.0)()(21==A P A P ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21A A ，21A A ，21A A ，21A A ，相对应的X 的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ，36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ，∴X 的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p ，直到射中为止，求：(1)射击次数X 的分布律；(2)脱靶次数Y 的分布律．解：(1)由题设，X 所有可能的取值为1，2，…，k ，…，设=k A {射击时在第k 次命中目标}，则k k A A A A k X 121}{-== ，于是1)1()(--==k p p k X P ，所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P ， ,2,1=k ．(2)Y 的所有可能取值为0，1，2，…，k ，…，于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P ， ,2,1,0=k ．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p ，10<<p ，以X 表示直至两个面都出现时的试验次数，求X 的分布律．解：X 所有可能的取值为2，3，…，设=A {k 次试验中出现1-k 次正面，1次反面}，=B {k 次试验中出现1-k 次反面，1次正面}，由题知，B A k X ==}{，=AB ∅，则)1()(1p p A P k -=-，p p B P k 1)1()(--=，p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ，于是，X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==， ,3,2=k ．7．随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，求)4(=X P 及)1(>X P ．X 100000060000400000P0.160.240.240.36解： )2()1(===X P X P ，∴2e e2λλλλ--=，∴2=λ或0=λ(舍去)，∴224e 32e !42)4(--===X P ．)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=．8．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-．0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求：(1)X 的概率密度；(2))2(≤X P ．解：(1)⎩⎨⎧<≥='=-．0,0,0,e )()(x x x x F x f x ；(2)2e 31)2()2(--==≤F X P ．9．设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-，求：(1)常数A ；(2))3ln 210(<<X P ；(3)分布函数)(x F ．解：(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰，∴π2=A ．(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 2103ln 210==+=<<⎰-x xx x X P ππ．(3)x xx x xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-．10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=．a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ，试求：(1)常数A ，B ；(2)概率密度)(x f ．解：(1) 2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ，1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π，∴21=A ，π1=B ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=．a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π．11．设随机变量X 的概率密度曲线如图所示，其中0>a ．(1)写出密度函数的表达式，求出h ；(2)求分布函数)(x F ；(3)求)2(a X aP ≤<．解：(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,)(a x x ah h x f 2d )(d )(10ahx x a h h x x f a=-==⎰⎰+∞∞-，∴ah 2=，从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,22)(2a x x a a x f ．y hO a x(2)0<x 时，0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ，a x <≤0时，220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-，a x ≥时，1)(=x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22．(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P ．12．设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他．,0,62,41)(x x f ，记3}{>=X A ，则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ，设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数，则Y ～43,3(B ，所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C ．13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，求：(1)}21{≤X 至少出现一次的概率；(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率．解：由题意知Y ～),3(p B ，其中81d 321(2102==≤=⎰x x X P p ，(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P ．(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P ．14．在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X 的分布函数．解：0<x 时，事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外，是不可能事件，此时0)()(=≤=x X P x F ；a x ≤≤0时，事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率，它与],0[x 的长度x 成正比，即x k x X P x F =≤=)()(，a x =时，1)(=≤x X P ，所以a k 1=，则此时axx F =)(；a x ≥时，事件}{x X ≤是必然事件，有1)(=x F ，综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=，a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(．15．设X ～),2(2σN ，又3.0)42(=<<X P ，求)0(>X P ．解：)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ，∴8.03.0)0()2(=+Φ=Φσ，∴8.0)2()2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P ．16．设X ～)4,10(N ，求a ，使得9.0)10(=<-a X P ．解：)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a，∴95.0)2(=Φa，查标准正态分布表知645.12=a，∴290.3=a ．17．设X ～)9,60(N ，求分点1x ，2x ，使得X 分别落在),(1x -∞，),(21x x ，),(2∞x 的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ，又1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ，∴25.041)(1==<x X P ，33.031)(21==<<x X x P ，125)(2=>x X P ，则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P ．25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ，查标准正态分布表知03601<-x ，∴03601>--x ，则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表，有7486.0)67.0(=Φ，7517.0)68.0(=Φ，75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ，∴675.0268.067.03601=+=--x ，即975.571=x ．5833.0360()360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ，查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ，∴21.03602=-x ，即63.602=x ．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X 为考生的数学成绩，则X ～)100,65(N ，于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律．解：Y 所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(====X P Y P ，307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ，51)2()4(=-===X P Y P ，3011)3()9(====X P Y P ，∴Y 的分布律为20．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)X Y ln 2-=的概率密度．解：由题设可知⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f ，(1)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，X 2-1-013P5161511513011X 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；e 0<<y 时，)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=，此时，yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=；e ≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,e 0,1)(y y y f Y ．(2)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=，此时，222e 21)e ()e ()()(yy y X Y X F y F y f ---='⋅'-='=；∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY ．21．设X ～)1,0(N ，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；(3)X Y =的概率密度．解：由题知22e 21)(x X xf -=π，+∞<<∞-x ，(1)0≤y 时，=≤=}e {y Y X ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=，此时，2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f yy y F y F y f -=='⋅'='=π；综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π．(2)1<y 时，=≤+=}12{2y X Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ；1≥y 时，21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时，0)(=y F Y ，故1≤y 时，0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ，此时，41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--．1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π．(3)0<y 时，=≤=}{y X Y ∅，∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0≥y 时，)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，0=y 时，0)(=y F Y ，∴0≤y 时，有0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 22)(22y y y f yY π．22．(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ，+∞<<∞-x ，求3X Y =的概率密度．(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他．,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度．解：(1)0=y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0≠y 时，)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=，3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-．0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y ．(2)由于02≥=X Y ，故当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，有0)()(=≤=y Y P y F Y ；当0≥y 时，有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=；因为当0=y 时，0)0()0()(=--=X X Y F F y F ，所以当0≤y 时，0)(=y F Y ．将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=．，；，000)](([21)(y y y f y f y y f X X Y ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-．0,0,0),e e (21y y yyy ．23．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度．解：由于X 在),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(，在Y 的可能取值区间之外，0)(=y f Y ；当10<<y 时，使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ，于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y ．故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2，上式两边对y 求导，得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ；综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,12)(2y y y f Y π．。
华农-2008-2009概率论与数理统计期末试卷解答
华南农业大学2008（1）概率论与数理统计A 试卷参考答案一、填空题（'63⨯=18分）1. 0.9762. 0.3753. 21e --4. 175. 16. 8二.选择题（'63⨯=18分）1. D2.B3.A4.D5.D6.A 三.（5分）解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125X P26355EX =⨯=……………1分 231835525DX =⨯⨯=四、（10分）解 设B ＝{此人出事故}，A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人 由已知，有1()0.3P A =，2()0.7P A =，1()0.05P B A =，2()0.01P B A =，（1）由全概率公式有1122()()()()()0.30.050.70.010.022P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式有111()()0.30.0515()0.682.()0.02222P A P B A P A B P B ⨯===≈答：从两类人中任意抽取一人，此人一年内出事故的概率为0.022； 若已知此人出事故，此人来自第一类人的概率约为0.682. 五、（10分） 解：（1）222001()(1)()222a f x dx ax dx x x a +∞-∞==+=+=+⎰⎰ 12a ∴=-（2）X 的分布函数为200,0,0,0,()()(1),02,,02,241,2.1, 2.x xx x x u F x f u du du x x x x x -∞≤⎧≤⎧⎪⎪⎪⎪==-<≤=-<≤⎨⎨⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰（3）32111(13)()(1)24x P x f x dx dx <<==-=⎰⎰六、（14分）解：区域D 的面积2211ln 2e e D S dx x === 1,(,),(,)20,x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它.（1）122011,1,,1,()(,)220,.0,.x X x e dy x e f x f x y dy x +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它22221122111(1),1,1,22111,1,1,()(,)2220,0,e y Y e y e dx y e e y dx e yf y f x y dx y --+∞---∞⎧⎧-≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪-<≤<≤===⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰其它其它（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立. （3）2(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-⎰⎰22112xdx dy -=⎰⎰1113110.752244=-⨯=-==七、（10分）解： 矩估计：()11()E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰由()X E X ==得，矩估计量为2X ()1Xθ=- 极大似然函数为 111211(,,,;)nnn i i L x x x xθ====∏两边同时取对数，得1ln 1)ln nii L n x ==∑令ln ln 02nix d L n d θθ==∑ 故极大似然估计量为21()ln nii nxθ=-=∑八、（10分）解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 其中，X 表示样本均值，S 表示样本标准差，n 表示样本容量，又0.05125, 2.71,7,0.1,(6) 1.943X S n t α=====所以μ的置信度为90%的置信区间为（123，127） （2）本问题是在0.10α=下检验假设 01:124,:124,H H μμ=≠ 由于正态总体的方差2σ未知，所以选择统计量X T =，由题意知，在0H 成立的条件下，此问题的拒绝域为2||0.976(1)T t n α==>-这里显然0.050.976 1.943(71)t <=-，说明没有落在拒绝域中，从而接受零假设0H ，即在显著性水平0.10下，可认为这块土地的平均面积μ显著为124平方米。
专业概率论考题及答案2006[1].7A_1_
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第二学期 考试科目： 概率论考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（第1题每空1分，2、3、4小题每空3分,本题满分24分）2．设ξ是[]01，上的连续型随机变量，且(0.38)0.56P ξ≤=,如果1ηξ=-，使得()0.44P k η≤=，则k =。
3．设二维随机变量ξ和η的联合概率分布为：4．设二维随机变量(,)ξη的联合密度函数为：601(,)0xx y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩，其它，则{}1P ξη+<= 。
二、选择题（每小题3分，本题共12分）1．对于任意二事件A 和B ，与A B B =不等价的是( )。
()()()();;;.A A B B B A C AB D AB φφ⊂⊂==2．设ξ服从正态分布(,16)N a ，η服从正态分布(,25)N a ， {}14P P a ξ=≤- {}25P P a η=≥+，则有（ ）。
（A ）对任意实数a ，有12P P =； （B ）对任意实数a ，有12P P <； （C ）对任意实数a ，有12P P >； （D ）只对部分实数a ，有12P P =； 3．设ξη，相互独立，且~(1,4)N ξ-，~(2,9)N η，即它们的标准差分别为 2ξσ=和3ση=，则2ξη-的分布为（ ）。
(A), )1,4(-N , (B), )5,4(-N , (C), )11,4(-N , (D), (4,25)N -4．设随机变量ξ表示100次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概 率为0.2,则2ξ的数学期望是（ ）。
（A ） 20. （B ）16. （C ）400. （D ）416.三、计算题：（第3题12分，第6题10分，其余均为8分，本题满分54分） 1．在电源电压不超过200V ，在200～240V 和超过240V 三种情况下，某种电 子元件损坏的概率分布为0.1，0.001和0.2，假设电源电压ξ服从正态分布(220,25)N ,求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时电压在200～240V 的概率β。
概率论答案(中国农业出版社)
第1章 随机事件与概率1.123123123123123(1);(2);(3);A A A A A A A A A A A A A A A2. ()0.6P AB =.3. ()0.7P B =.4. 58. 5. ()0.7()0.8()0.1.P ABAB P AB P A B ===，，6. ()0.8P AB =，()0.3P A B -=，()0.1P A B -=.7. (1)0.175；(2)0.1；(3)0.825.8. 0.8..9. (1)7348232524=A A A C ；(2)%3383355424≈⋅⋅⋅⋅C . 10.57!58!8⋅=. 11. 0.8. 12.(1)3601!62=；(2)151!6!42=⋅；(3) 31!6!2!5=. 13. (1)671；(2)6676；(3)6711-. 14. 0379.09!7C 779≈⋅. 15. 各个杯子中的球数最大值为1的概率为：834!3334=⋅C ；各个杯子中的球数最大值为2的概率为：169434323=⋅⋅C ；各个杯子中的球数最大值为3的概率为：161443=. 16. 834322=⨯. 17. 289!3333639222426=⋅C C C C C C . 18.(1)45.010*******=⨯⨯⨯；(2) 9.01010101094=⨯⨯⨯；(3)0486.0109C 4224=⨯； (4)2916.0109C 4314=⨯.19.π2. 第2章 条件概率与独立性1.12. 2. 2n . 3. ()P AB a ab =-. 4. 1()4P AB =；7()12P A B =；3(|)4P A B =.5. 1(|)4P B A B =. 6. 130. 7. (1) 0.27；(2) 0.15. 8. 3170. 9. 512. 10. 0.44.11. (1)0.016；(2)14. 12. 0.75. 13. 0.998. 14. 0.9. 15. 略. 16. 34=a 或35.17. (1)0.98； (2) 0.26. 18. 0.009. 19.0.104. 20.91216. 21.35. 22. 31=p .23. 964. 24. 6364. 25.7.35%≈. 26.0.7008.第3章 一维随机变量及其分布1. 1a =.2. 2135()(3,4,5)k C P X k k C -===或分布函数为0,31,3410()132,45101051331,510105x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪=⎨+=≤<⎪⎪⎪++=≥⎪⎩.3. 1414{}(),1,2,k k P X k k -====. 或4. 5.2(2)0.01753!kk P X e k λλ∞-=≥≈≈∑.(查表)6. 第二种方案明显优于第一种方案.7. (1) 12A =. (2) 1110011(01)()(1)22x P X f x dx e dx e --<<===-⎰⎰.(3) X 的分布函数为1,02()11,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ .8. (1) 0,1A B ==. (2) 1(11)(1)(1)1e P X F F e--<<=--=+.(3) 2(),(1)xx e f x x e =-∞<<+∞+. 9. (1) P {乘客等车时间不超过5分钟} = P (1015X ≤≤ 或2530X ≤≤)1530102511130303dx dx =+=⎰⎰； (2) P {乘客等车时间超过10分钟} = P (05X ≤≤或1520X ≤≤)52001511130303dx dx =+=⎰⎰.10. P {进行三次独立观测至少有两次观测值大于3}=(2)P Y ≥2027=.11. P {该电子仪器在1000小时内恰有两个损坏} =21231235(2)(1)10(1)P Y C e e e e ----==-=-.12. (1)0.80.80360.8(0.8036)()0.0030.003X P X P --≤=≤(1.2)0.8846=Φ≈. (2)0.80.006(|0.8|0.006)(||)0.0030.003X P X P --<=<(2)(2)2(2)10.9544=Φ-Φ-=Φ-≈.(3)0.80.80.8()()()0.0030.0030.003X c c P X c P ---≤=≤=Φ,由于(1.645)0.95Φ≈,所以当0.81.6450.003c -≤时,满足()0.95P X c ≤≤.即0.8049c ≤时,满足()0.95P X c ≤≤. 13. (1) 由于2~(,0.5)T N d ,如果d =90,那么908990(89)()0.50.5T P T P --≤=≤(2)0.0228=Φ-≈. (2) 由于要求80(80)()0.50.5T d dP T P --≥=≥80801()1()0.990.50.50.5T d d dP ---=-<=-Φ≥,所以需要80()0.010.5d-Φ≤.查表( 2.33)0.01Φ-=,所以当80 2.330.5d-≤-时,即81.165d ≥时,液体的温度至少为80C 的概率不低于0.99. 14.15.16. 1,1()0,Y x e yf y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.17. 33()660,V a b v f v ππ≤≤=⎩其它. 第4章 多维随机变量及其分布1.3. (1) 33C R π=. (2) 223,1(1)1,1R P X Y R R ⎧>⎪+≤=⎨⎪≤⎩.4. (1) 0,0,0(1cos )(1cos ),0,022(,)1cos ,,0221cos ,0,221,,22x y x y x y F x y y x y x x y x y ππππππππ⎧⎪<<⎪⎪--≤≤≤≤⎪⎪⎪=->≤≤⎨⎪⎪-≤≤>⎪⎪⎪>>⎪⎩. (2) 22022()(,)sin sin 24xx y P X Y f x y dxdy dx x ydy ππππππ-+≥+≥===⎰⎰⎰⎰.5. (1) 由220(,)21a y R f x y dxdy dx xe dy a +∞-===⎰⎰⎰⎰可得1a =(舍负)；(2) P {二次方程022=+-Y Xt t 有实根}=2()P X Y ≥22110(,)2x y R f x y dxdy dx xe dy e --===⎰⎰⎰⎰；(3) 20,00(,)(1),01,01,1,0yy x y F x y x e x y e x y --≤≤⎧⎪=-<<>⎨⎪-≥>⎩或. 6. (1) 214C =. (2) 2621(),11()80,X x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 527,01()20,Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.7. (1) 222221()(,)(1)X f x f x y dy dy x y x y π+∞+∞-∞-∞==+++⎰⎰222211(1)(1)(1)dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰ x -∞<<+∞,222211(1)(1)(1)dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰y -∞<<+∞. (2) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =,所以X 与Y 相互独立.8. (1)0.51,0()(,)0,0x X e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩, 0.51,0()(,)0,0y Y e y F y F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩,所以(,)()()X Y F x y F x F y =⋅. 因此X 和Y 相互独立.(2) P {两个部件的寿命都超过100小时}=P (X >0.1, Y >0.1)= P (X >0.1)P (Y >0.1)=(1-(0.1)X F )((1-(0.1)Y F )) =0.1e -.9. 证 X 和Y 的分布律分别为11(),0,1,2,!kP X k e k k λλ-===,22(),0,1,2,!kP X k e k k λλ-===.Z 的所有可能取值为0,1,2,k =.所以1212()()12120()1!!k k r r k r k r e C e k k λλλλλλλλ-+-+-=+==∑. 故随机变量Z 服从参数为21λλ+的泊松分布.10. ,01()2,120,Z z z f z z z ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.第5章 随机变量的数字特征1. 8(),3E X =20(),9D X =2(1)5E X -=．2. 随机变量X 的分布律为5.01.04.0101PX-．3．() 2.5,() 1.875E X D X ==．4．1()3E X =．5. 4()2,()3E X D X ==． 6．3,12,12=-==c b a ．7．（1）8=c ；（2）4(),5E X =2()75D X =；811(),()15225E Y D Y ==． 8. 263． 9．1,11XY ρ=-5()36D X Y +=．10. （1）1(),3E Z=()3;D Z=（2）0XZρ=．第6章大数定律和中心极限定理1．至少应检验121只．2．至少应该有2110个座位．3．（1）0；（2）0.9952；（3）60000元．4．按切比雪夫不等式确定需要至少做250次试验；按中心极限定理确定需要至少做68次试验．。
概率论(华南农业大学)智慧树知到课后章节答案2023年下华南农业大学
概率论（华南农业大学）智慧树知到课后章节答案2023年下华南农业大学第一章测试1.设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=( )。
A:{1,2,3,5,6,7,8,9,10} B:{1,2,4,5,6,7,8,9,10} C:{1,2,5,6,7,8,9,10}D:{1,2,5,6,7,9,10} 答案:{1,2,5,6,7,8,9,10}2.同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为( )。
A:0.375B:0.25 C:0.325 D:0.125 答案:0.3753.假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。
A:B: C: D:答案: 4.设A，B为任意两个事件，则下式成立的为( ) 。
A: B: C: D:答案:5.设则＝（）。
A:0.32 B:0.24 C:0.48 D:0.30 答案:0.306.设A与B互不相容，则结论肯定正确的是 ( )。
A: B: C: D:与互不相容答案:7.已知随机事件A, B满足条件，且，则（）。
A:0.7 B:0.6 C:0.3 D:0.4 答案:0.78.若事件相互独立，且，则( )。
A:0.875 B:0.95 C:0.775 D:0.665 答案:0.7759.A: B:C:D:答案:10.不可能事件的概率一定为0。
（） A:错 B:对答案:对11.A:对 B:错答案:错12.贝叶斯公式计算的是非条件概率。
（）A:对 B:错答案:错第二章测试1.下列各函数中可以作为某个随机变量X的分布函数的是( )。
A: B: C:D:答案:2.设随机变量，随机变量, 则 ( )。
A: B: C: D:答案:3.设随机变量X服从参数为的泊松分布，则的值为（）。
A: B: C: D:答案:4.设随机变量X的概率密度函数为，则常数（）。
A: B:5 C:2 D:答案:55.如果随机变量X的密度函数为，则（）。
华南农业大学概率论考题及答案2009A(最终)
华南农业大学期末测验试卷〔 A 卷〕2021-2021学年第 2 学期测验类型：〔闭卷/开卷〕测验测验科目：概率论测验时间：120 分钟学号姓名二年级专业题号得分一三四五六总分评阅人一、〔15 分〕填空题〔每空分，共15 分〕31. 设A、B 为两个事件，P( A) ，P(B) ，P(A B) ，那么P(A B)2. 某人持续射击 3 次，记A 为“第次射击命中目标〞，＝1，2，3，又设此人命i ii中率为0.7, 各次射击互不影响，那么他恰好只在第三次命中的概率为。
3. 设随机变量X 从命[ 2 , 4上] 的均匀分布，随机变量Y 3 2X ，那么方差4D(Y) 。
3X ~ N (2, 2 ), P(2 X 4) ，那么P(X 0) 。
4. 随机变量5. 设随机变量X 与Y 彼此独立，且X ~ N (0,1) ，Y ~ N (3,6) ，令Z 2X 3Y，那么E(Z 2 )139二、〔12 分，每题6 分，〕发报台别离以概率和发出信号“0〞和“1〞，由于通讯系统受到干扰，当发出“0〞时，收报台别离以概率和收到“0〞和“1〞；当发出“1〞时，收报台分别以概率和收到“1〞和“0〞。
试求：〔1〕收报台收到“1〞的概率；〔2〕当收到“1〞时，发报台确实发出“ 1〞的概率.解 ：设发出信号“ 0〞为事件 A, 发出信号“ 1〞为事件 A ，接收到信号“ 0〞为事件 B ， 接收到信号“ 1〞为事件 B 。
由题意有P( A) 0.6,P(A) 0 .4,P(B | A) 0.8,P(B | A)P(B | A) 0. 9,P(B | A)〔1〕 求概率 P(B ) 。
由全概率公式P (B ) P(B | A)P( A) P(B | A)P(A )〔2〕求概率 P(B | B ) 。
由贝叶斯公式，所求概率为P (B | A)P(A)3 P( A | B )P(B )4三、〔15 分， 每题 5 分〕 设( , ) 的密度函数为1 xxe, x 0, y 0,2f (x, y)(1 y)0,其他，求〔1〕 的边缘密度 f (x) ；〔2〕 的边缘密度 f ( y)；〔3〕判断 与 的独立性。
《概率论与数理统计》习题二答案解析
《概率论与数理统计》习题及答案习题2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 X 的分布律.2.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；（3）13 3P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1 <X <—}2 22【解】X =0,1,2.1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量 【解】X =3,4,5 1 P(X =3) C ；P(X =4)=|3C5c 2P(X =5)卡C5= 0.1 = 0.3 = 0.6P{1 cX C2}.P(XP(X P(X0) C 133C151) C 2C 23T 一 C 135=2)=企=丄 ^22 35 _ 12 "35C 15 35x>3P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896(2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x )22当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)=3534 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35当x >2时，F 故X 的分布函数(X )=P (X w x ) =10, 22X v 0135 ' F(x) =*353435,1,1<xc2 x>2兰 2)=F (1)=2|,2 2 353 3 34 34P (1cX <：) = F(：)-F(1) =晶一；；^=02 2 35 353 3 12P(1 < X < —) = P(X =1) + P(1 c X < —)= —2 2 35341P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-—一一 =0.P(X 3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P( X =0) =(0.2)3=0.0081 2 P (X =1) = C 3O.8(O.2) =0.096 P (X =2)=C 3(0.8)20.2 = 0.384 P( X =3) =(0.8)3=0.512故X 的分布律为 X P分布函数0 0.0081 0.0962 0.3843 0.5120,0.008, F(x) =<0.104,0.488, X <0 0<x<1 1<x v2 2<x<3 L 1,(2)由分布律的性质知N1=2 P(X=k)=送—=a k=3 k=1 N即a=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，贝y X~b (3，0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +P(X =3, Y =3)331212= (0.4) (0.3) + C 30.6(0.4) C 30.7(0.3) +2 2 2 23 3C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)= 0.32076(2) P(X A Y) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2) 1 2 3 2 2 3= C 30.6(0.4) (0.3) + C 3(0.6) 0.4(0.3) +(0.6)3(0.3)3+C 2(0.6)20.4C ；0.7(0.3)2 +(0.6)3C 10.7(0.3)^(0.6)3C 2(0.7)20.3=0.2434. (1)设随机变量X 的分布律为kAP {X=k}= a ——,k!其中k=0, 1, 2,…，入＞0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…，N ,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知□c =Z P(Xkz0□c - k=k 2a S?k r a L'6.设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落 )? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道， 则有 P(X A N) cO.01 200 Z c k 00(0.02)k (0.98)200上 c0.01 k =N H 1 利用泊松近似 A = np = 200 X 0.02 =4.比e 仃 p (x >N )L S -------------- <0.01k 少*H k ! 查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)？ 【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001) P(X >2) =1 - P(X =0) -P(X =1) … _0.1 C /I VZ -0.1 = 1-e -0.1xe 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为 P ,则 c 5p (1 - P )4 =c5 p 2(1- p)3 所以 1 P(^4^C 5(1)4- = 3 3 243 10 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 . (1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6( 5，0.3) 5P(X >3)=S c 5(0.3)k(0.7)i =0.16308kz3⑵ 令丫表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b (7, 0.3)7P(Y >3)=送 C k (0.3)k(0.7) 3 =0.35293k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计) .(1)求某一天中午12时至下午(2)求某一天中午12时至下午3【解】(1) P(X =0)=訐3时没收到呼救的概率；5时至少收到1次呼救的概率.5 ⑵ P(X >1)=1- P(X =0)k k 2 _k11.设P{X=k}= C2P (1 - p) , k=0,1,2E、z 1 m m.. \4_mP{ Y=m}= C4 p (1 一p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量X, Y的概率分布，如果已知P{X> 1}=-，试求P{Y> 1}.95 4【解】因为P(X>1)=故P(Xc1)=—.9 9P(X c1) = P(X =0)=(1 -p)2故得(1-P)24 "9,"3.从而P (Y>1)=1-p(Y=0) =1-(1-P)465止0.80247810.001,试求在这2000册书中12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2P(X=5“虫=0.00185!3 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2J||,k,|||P(X =2)+P(X =4)+)H+P (X =2k )+111+4)3 3 +…+ (丄)22 3+…4 4 4 4 4 414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002 ,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1) (2) 【解】以 (1) 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000 X >30000) = P(X >15) =1 - P(X <14)由于n 很大，p 很小，^=np=5,故用泊松近似，有14 e-55kP( X A 15) " -S ------------ 止 0.000069k 竺k!⑵P(保险公司获利不少于 10000)=P(30000 -2000X >10000) = P(X <10)10e ^5k止送巳上-止0.986305 krn k!141—(4)2_1=5即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 - 2000 X > 20000) = P( X < 5) 5 e 55k 上 S ----- 止 0.615961kzs k! 即保险公司获利不少于 15.已知随机变量 X 的密度函数为 lx|f(x)=Ae , 亠 <x<+ g , 求：(1) A 值；(2) P{0< X<1}; (3) F(x). 由 J f (x)dx =1 得 20000元的概率约为62% 【解】(1) 处 _L X 处 jAe 叫x=2.0 Ae 和x=2A A 」.21 1 1 1 , p(0<X <1)=2 J 0rdx 二(1-ejx 1 1当 x<0 时，F (X )= f - e xd^ =- e x*2 2保险公司亏本的概率；保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.“年”为单位来考虑.在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元.x<017. 在区间［0, a ］上任意投掷一个质点，以 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】 由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (X )=0当 0< x w a 时 F(x)=X11 X 1当 X >0 时，F(x)=f-e Xdx+f-e 」dx'远2 ■^-oc 2』0 2=1—b 2 F (X ^!I1 Xc-e , X c0 2 1 」-丄e 」x>0 2 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 ［100 f(x)= {= L 0,求：(1)(2)(3) 【解】2 , X>100,X X c100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F ( X ).150100132 3 8 P 1=[ P( X A 150)]3=(2)3=27(2)P 2 乂33(1)2= 9⑶当 x<100 时 F (X )=0X当 x > 100 时 F(x)=[ f(t)dtJ-O C100 X¥dt 十100 t 2•100X 的密度函数为X 表示这质点的坐标，设这质点落在［X 的分布函数.0, a :f (X )= < a'10,其他当 x>a 时，F (X )=1 即分布函数「0,XF(x)才—, l ai 1,18. 设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布.现对 值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即故所求概率为p 七(l4+c 3(|4|719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以丫表示一个月内他未等 P {Y > 1}.该顾客未等到服务而离开的概率为Y ~b(5,e')，即其分布律为P (Y =k) =c 5(ed k(1-er 5二k =0,123,4,5P(Y >1)=1 -P(Y = 0) =1 -(l-e ，)5=0.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间(1) 若动身时离火车开车只有 (2)又若离火车开车时间只有【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则f(X^H ,10,2<x<5其他x>aX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行 到服务而离开窗口的次数，试写出丫的分布律，并求【解】依题意知X ~ E(1)，即其密度函数为1 f(x)=<E e【0,X -5X >0 x<0X5dx =e-2.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N (50，42).1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？<x -4° 60 -40]=①⑵=0.97727 10丿若走第二条路，X~N ( 50，42)，则< 60-50 L ①(2.5) = 0.9938 ++4丿故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若 X~N (40, 102),则P(X <45) =P「X-50W 45~50L Q (_1.25)I 4 4丿 = 1—0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些221•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X <5}, P{*<X <10}, (2)确定 c 使 P{X >c}= P{X < c}.P(|X |A 2) = P(X >2) + P(X <—2)V 2 q 卩】+1—①但〕 l 2丿l 2丿= 0.6915 +1 -0.9938 =0.6977P(X<60) = P (帀P(X c60) = p (X-50I 4'X -40 ,10若 X~N ( 50 , 42),贝UP(X <45)= P<〒U (0.5)=0.6915 P{ I X I > 2}, P{X > 3};了2 -3 I 解】(1)P(2<x^= P bX -3 < ------- 2(1〕 = 0.8413-1 +0.6915 =0.5328 = Q (1)_1 +①(1〕 f _4_3 P(—4 <X <10) =I 2 X —3< -------2=0亿L ① 12丿 0.9996I 2丿=P g — V 2 2 h —① f-1 1V 2丿+ P 3 二丿I 2 2a I 2丿P(X >3)= P(弓)=1-①(0)=0.5⑵c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05± 0.12内为合格品， 求一螺栓为不合格品的概率.=1 -①(2) + ①(-2) = 2[1 -①(2)] = 0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, I),若要求P{120 < X W 200 => 0.8，允许I 最大不超过多少？ 【解】P(120cX <200) = p f 20"16024.设随机变量X 分布函数为(2) P(X <2) =F (2) =1 —e "P(X >3) =1-F(3) =1-([-©少)=e ；人「- —)x ⑶ f (x)=F '(x)=f 0, x <025.设随机变量X 的概率密度为|x,f (x )=<2 —X,I I 0,求X 的分布函数F (X ),并画出f ( X )及 F ( X ).【解】p (|X -10.05^0.12) = Pd x -10.050.12)0.06> -----0.06丿X -160 200-160 < ----------- <c1.29= 31.25F (x )屮十Be ,I 0,x" x<0.仏 >0),求常数A , B ;求 P{X W 2} , P{X > 3}; 求分布密度f (x ).i xi mF (x H 1(1) (2) (3)【解】(1)由 < 片得严1x>00 <x <1, 1<x C 2,其他.【解】当x<0时F (X )=0X 0 X f f(t)dt = J f(t)dt+.0 f(t)dt._oC・ _oC7XX珥 tdt=—当 x < 0 时 F (X )= J f (x)dx = J-当 1 <x<2 时 F(x)=Xu f(t)dt0 1;_^f(t)d^ J 0f(t)dt + L f(t)dt1X珂tdt + [ (2-t)dt 1 X 23 =-+2x-— 一一 2 2 22X+2X-1 2X当 x >2 时 F(x M.c f(t)d ^10, X 2X c0F(x) ={2 22x-1,I 2I 1,1<xc2 x>226.设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae —凶，入 >0； bx, 12，X .0,a,b ,并求其分布函数 F (X ).J f(x)dx=1 知 1 ⑵ f(x)= f —试确定常数 【解】(1)由 即密度函数为0 v x €1, 1 <x <2, 其他. □c 5 叫X = 2a f>dxf (X )才2 l 2e2ax<0当 0<x<1 时 F(x)=X 0 i r x X i r x当 x>0 时 F (X )= (x)dx = ‘尹冰 + J o 专Eclx故其分布函数27.求标准正态分布的上 a 分位点,(1) a =0.01，求 Z j ； (2) a =0.003，求 Z x ，Z 陀. 【解】(1) P(X A z J =0.01F(x)2 1 >X -e , .2X A O X <01(2)由 1 = f^f(x)d^ bxdx + f — dx oC得即X 的密度函数为山 2 勺Xb=1b=一 +2 2当 X < 0 时 F (X )=0|x, II 1 f(x)十,X 0,1 <x c2 其他当 0<x<1 时 F(x) = J f(x)dx= J f(x)dx + J f (x)dx*■ -CC*■ -CC *"0X=4xdx当 1 < X<2 时 F (X )= J f (x)dx 斗 0dx3 1=———2 X当 X > 2 时 F (X )=1 故其分布函数为F(x)P0, 2Xx<0 2 3 21,0 <x c 1 1 <xc2 x>22i q (z 』=0.01①（Za ）=0.09Z —33(2)由 P(X >Z a )=0.003得1-①(Za )= 0.003①(去)=0.997% =2.75由 P(X A Za /2)=0.0015 得1-①(Z^/2)=0.0015①(Za /2)=0.9985Zo /2 = 2.9628.设随机变量X 的分布律为求Y=X 2的分布律.【解】丫可取的值为0, 1 , 4, 9P(Y =0) =P(X =0) J5P(Y = 1) = P (X = -1) + P( X =1)」+丄6 15 301P (Y =4) =P (X = —2)=-5 11P(Y =9) =P( X =3)=30故丫的分布律为0 1 4 1/57/301/51 k29•设 P{X=k}=( —) , k=1,2,…，令I 1,当X 取偶数时 Y = 5[-1,当X 取奇数时.X P k-21/5 一1 0 1/6 1/51 1/153 11/30查表得查表得Y P k9 11/30⑶ p (Y >0)=1当 y w 0 时 FY (y) = P(Y <y) =0求随机变量X 的函数丫的分布律.【解】P(Y =1) = P( X =2) +P(X =4) +)||+P (X =2k)+H|= G )2+([)4 +川+ (1)2k+川 2 2 2 1 1 14 4 3P (丫 =_1) = 1- P (丫 =1) = 230•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度；(2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求丫= I X I 的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y) = P(Y <y)=0x当 y>0 时，FY (y) =P(Y <y)= P(e <y) =P(X <ln y)In y=Lc f x (x )dxdF Y (y)1 1 1 Jn2y/2f Y (y^^=7f x (Iny ^7；72n e ，y >0(2) P(Y = 2X 2 +1 >1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P(Y <y) =0Q当 y>1 时 F Y (y) =P(Y <y)= P(2X +1<y)=P W 詈卜P卜呼卡:Ji (y 4)/2「L E f X (x )dx故 f Y (y )=；^F Y (y)二1』一2dy4 V4"f = + 、ff x4y 4)/4—e , y A 1当 y>0 时 F Y (y) = P(|X Uy) = P(-y <X <y)y=J 」f x(x)dx故 TR —n2』2/2K ,y >031. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e X 的分布函数及密度函数； (2)Z=/lnX 的分布函数及密度函数.【解】(1) P(0 cX <1)=1y W1 时 F Y (y) = P(Y <y) =01<y<e 时 F Y (y) = P(e X < y) = p(x <ln y)rj^ X当 y 》e 时 F Y (y)= P(e < y) =1 即分布函数,p-0,F Y (y) = <ln II 1,y, y <11 c y cey 工e 故丫的密度函数为1f Y (y) i y ，0, 其他(2)由 P ( 0<X<1) =1知P(Z A0) =1当 Z W 0 时，F Z (z) = P(Z <z)=0当 z>0 时，F Z (z) = P(Z <z) = P(-2ln X <z)=P(lnX <-彳)=P(X Ke"/2)1当y w 0时, F Y (y)= P(Y <y)=0 当0<y<1时,F Y (y) = P(Y <y) = P(sinx <y)=P(0 <X <arcsin y) + P( n — arcs in y 兰 X < narcsin y2x n-y dx + 7C=1( arcs iny) n 2 .=—arcsiny n2x^, —dx‘ n_arcsin y丘+1- 4( n - arcsiny )2nF Y (y) 9故Y 的密度函数为10,其他33.设随机变量X 的分布函数如下:F(x)F1+x 2'i (2),< (1)试求Y=sinX 的密度函数. 【解】P(0 c Y <1)=1试填上(1),(2),(3)项.即分布函数故Z 的密度函数为32. 设随机变量X 的密度函数为Udx-1-/2F z (Z 」0, .z/2U -eI 1 j/2f z (z 」尹L 0,f(x)=l 学L 0,0< Xz<0 z 》0Z A O z<0其他.【解】由lim F （x ） =1知②填1。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
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习 题 二 解 答1． 五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。
随即抽取其中三张，设随机变量X 表示取出三张卡片上的最大号码。
（1） 写出X 的所有可能取值；（2）求X 的分布率。
解：（1）显然是：3，4，5。
（2） X 的分布律2． 下面表中列出的是否时。
某个随机变量的分布律 （1） （2）答：（1）是 （2）不是3．一批产品共有N 件，其中M 件次品。
从中任意抽取n(n<=M)件产品，求这n 件产品中次品数X 的分布律。
（此分布律为超几何分布）解：抽取n 件产品的抽法有nNC 种，抽取到次品的抽法有kn MN k C --M C 种，所以所求概率为：P ()k X ==n Nkn MNk M C C C --,k=0,1,2,3……..n―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设随机变量X 的分布律为P ＝{X=k}=15k ,k=1,2,3,4,5.求：（1）P{X=1或X=2}； （2）P{2521<<X }; (3)P{21≤≤X }.解：（1）P{X=1或X=2}＝P{X=1}＋ P{X=2}＝152151＋＝51。
（2）P{2521<<X }＝P{21≤≤X }＝P{X=1}＋ P{X=2}＝152151＋＝51。
（3）P{21≤≤X }＝P{X=1}＋ P{X=2}＝152151＋＝51。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――5．一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。
从该批产品中每次任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X 的分布律。
（1）每次取后不放回； （2）每次取后放回。
解：（1）,30791073)2(,107)1(=⨯⨯====X P X P ,12078910723)3(=⨯⨯⨯⨯==X P(2) {}1103107-⎪⎭⎫⎝⎛==k k X P （k =1，2，…）―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8，现相互独立地射击5发子弹， 求：（1）命中目标弹数地分布律； （2）命中目标的概率。
解：（1）设X 为命中目标的弹数，则其分布律为 P{X=K}=kC 5()k 8.0()k-52.0,(k=0,1,2,3,4,5).(2)P{命中目标}＝1-P{X=0}=1－05C ()08.0()052.0-＝0.99968―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――7．设随机变量X 服从泊松分布P(λ),且P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}.解：由P{X=1}=P{X=2}得：!11λe λ-＝!22λe λ-解得：λ＝2或λ＝0（舍弃）。
故：P{X=4}=!424e 2-= 32e 2-―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――8.设随机变量X 的分布律为： （1）P{X=k}=Na ,k=1,2,…..N(2) P{X=k}=a !k kλ,k=0,1,2,……试确定常数a解：（1）由∑==Nk k X P 1}{＝1 得：N *Na =1,解得：a=1(2) 由∑+∞==0}{k k X P ＝1 得：∑+∞=0k a!k kλ＝1，解得：a= e λ-―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――9. 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。
如果每台设备发生故障得概率是0.01且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01（利用泊松定理近似计算）。
解：设X 为发生故障设备得台数，则)1()01.0,100(~P ≈B X ，即X 近似服从参数为1=λ的poisson 分布。
设设备需要N 个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01”，则01.0!1)(1!<=>-∞+=∑e k N X P N k查表得5≥N―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10.设随机变量X 的密度函数为f(x)=c e x- (-∞<x<+∞),求：（1）常数c; (2)X 落在区间（0，1）内的概率； （3）P{5≥X}解：（1）因为⎰+∞∞-dxx f )(⎰∞-0)(dx x f ＋⎰+∞)(dx x f ＝1即：⎰∞-0dx ce x +⎰+∞-0dx ce x ＝1， ce x+∞-∞--0xce =1,解得：c ＝21(2)P{10≤≤X }=⎰10)(dx x f =⎰-1021dx e x =ee 21-(3)P{5≥X}=P{5X 5≥-≤或X }=⎰-∞-5)(dx x f +⎰+∞5)(dx x f=⎰-∞-521dx e x+⎰+∞-521dx e x = e 5- ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――11．设随机变量X 的密度函数为,(0,1)()0cx x f x ∈⎧=⎨⎩，其他，求 （1）常数c; (2)P{0.3<X<0.7}; (3)常数a ，使得P{X>a}=P{X<a}; (4)常数b,使得P{X>b}=0.64; (5)X 分布函数。
解：(1) ⎰+∞∞-dx x f )(=00dx -∞⎰+10cxdx ⎰+00dx +∞⎰=⎰1cxdx=1 所以，解得 C=2(2) P{0.3<X<0.7}=⎰7.03.02xdx=2x7.03.0=0.49-0.09=0.4 (3)由}{}{a X P a X P <=>得：当a < 0时，()()0,()()2011a aP X a f x dx P X a f x dx xdx ∞-∞<==>=+=+=⎰⎰⎰，当a > 1时，()0,()1P X a P X a >=<=故，a 不可能小于0或大于1；当0≤a ≤1时，1220{}()21,{}()2aa aaP X a f x dx xdx a P X a f x dx xdx a +∞-∞>===-<===⎰⎰⎰⎰所以，221a a =-，即得：a ＝22（4）由题设可知，b 的取值范围为：0≤b ≤112{}()210.64bbP X b f x dx xdx b +∞>===-=⎰⎰，所以b ＝0.6（5）当x < 0时，F(x)＝0；当0≤x ≤1时，F(x)＝2022x xdx xdx xx==⎰⎰∞-当x > 1时，F(x)＝1221==⎰⎰∞-xdx xdx x20,0(),011,1x F x x x x ≤⎧⎪∴=<≤⎨⎪>⎩――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 12.解：由题设可知，把X 的分布函数的取值范围分为四段： 当x ≤ -1时，F(x)＝0；当-1 < x ≤0时，F(x)＝61； 当0 < x ≤ 1时，F(x)＝213161=+当x > 1时，F(x)＝10,11,106()1,0121,1x x F x x x ≤-⎧⎪⎪-<≤⎪∴=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 13.解：（1）P{X ≤2} ＝ F(2) ＝ 1－e －2 ＝0.8647 ； P{X > 2} ＝ 1－P{X ≤2}＝1-0.8647＝0.1353； （2）设X 的密度函数为f(x). 当X<0时，f(x)＝)(x F '＝0； 当X ≥0时，f(x)＝x x e e x F --='-=')1()(；⎧⎪⎨⎪⎩≥∴<-x e , x 0f(x)=0 ,x 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――——――14.解：（1）)arctan (lim x B A x ++∞→＝1；即：12=+B A π ① ；)arctan (lim x B A x +-∞→＝0；即：02=-B A π ② ；由①②式得：A ＝21，B ＝π1（2）P{-1≤X ﹤1}＝F(1)－F(-1)＝（21＋π1×4π）－（21－π1×4π）＝21（3）X 的密度函数： f(x)＝211.1)arctan 121()(x x x F +='+='ππ)1(1)(2x x f +=∴π ，（+∞<<∞-x ）―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――15.解：当x<2π-时，F(x)＝⎰dx x f )(＝0；当2π-≤x ≤2π时，F(x)＝⎰∞-xdx x )cos 21(＝⎰-xdx x 2)cos 21(π＝[]xx 2sin 21π-＝21（sin x ＋1） 当x ＞2π时，F(x)＝⎰∞-xdx x )cos 21(＝⎰-22)cos 21(ππdx x ＝[]22sin 21ππ-x ＝1 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<≤≤-+>=∴2,022,)1(sin 212,1)(ππππx x x x x F图如下：题15的图：――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 16.解：（1）由⎰+∞∞-=1)(dx x f 得，1)(0==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=--=+∞-∞+-∞+-⎰⎰θθθθθθθc e c xd e c dx e c x xx所以，θ1=c（2）因为P{X > a}＝1－P{X < a}＝θθθaaxedx e --=-⎰011＝21所以，1ln ln 22a θθ=-=――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――17.解：设乘客候车时间为X 分。
由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽车每隔5分钟通过车站一次，所以，X 在区间[0,5]内均匀分布。
所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,050,51)(x x f所以，乘客候车时间不超过3分钟的概率为：⎰==35351)(dx x F ＝0.6―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――18.解：因为X 在[-2 , 5]上服从均匀分布，所以，X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,052,71)(x x f而要方程02X X 442=+++μμ有实根，则要求△＝0)2(16162≥+-X X ，即得：X ≤-1或X ≥2即，方程有实根的概率为：P{X ≤-1}+P{X ≥2}＝7471715212=+⎰⎰--dx dx ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――19.解：)1,0(~3.02N X - （1）12{1}1{1}1()1( 3.33)(3.33)0.3P X P X ->=-≤=-Φ=-Φ-=Φ＝0.9996（2） 1.2212{1 1.2}{ 1.2}{1}()()( 2.67)(10)0.30.3(10)(2.67)10.99620.0038P X P X P X ----≤<=<-<-=Φ-Φ=Φ--Φ-=Φ-Φ=-= ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 20.解：（1）{}()()2()10.8P k X k k k k μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-= ， 所以()0.9k Φ= 查表可得：k 的最大取值为：k=1.28（2）{}1{}1()0.95P X k P X k k μσμσ>+=-<+=-Φ= ， 所以()0.95k Φ-= 查表可得：k 的最大取值为：k=－1.65――――――――――――――――― 21.解：由题设得：}{}{1}{c X P c X P c X P ≤=≤-=>，即：21}{=≤c X P ，即：31()22c -Φ=查表得：23-c ＝0，所以c=3―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――22.解：（1）)1,0(~5000N X Y σ-= 5500500045005000{45005500}{5500}{4500}()()500500500()()2()10.9P X P X P X σσσσσ--<<=<-<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=即：500()0.95σΦ=； 查表并计算得：σ＝303（2）4000500010001000{4000}1{4000}1()1()()0.95P X P X σσσ-≥=-<=-Φ=-Φ-=Φ=查表并计算得：σ＝606―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――23.解：要该种配件是合格品，那么，该配件的长度X 的范围应该在：9.93≤X ≤10.17 （单位：cm ） 所以，生产该种配件是合格品的概率为：10.1710.059.9310.05{9.9310.17}{10.17}{9.93}()()(2)(2)2(2)10.060.06P X P X P X --≤≤=≤-<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-查表得：(2)0.9773Φ=，所以概率为：0.9546――――――――――――――――――― 24.解：―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 25.解：因为Y ＝1－X 是严格单调的函数，所以： 当0＜y ＜1时，即，0＜x ＜1时，2)1(3)1()1()(y y y f y f X Y -='--= 当Y 为其他值时，即，X 在区间〔0，1〕外时，0)1()1()(='--=y y f y f X Y 所以：Y ＝1－X 的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y或：解 Y=1-X 的分布函数()YF y 为),1(1)1(1)1()1()()(y F y X P y X P y X P y Y P y F XY --=-≤-=->=<-=<= 其中)(x F X 是X 的分布函数，它满足)()()(x f dxx dF x F X X X=='，而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 26.解：（1）由题设可得：1505015050{150}{150150}()()100100(1)(2)10.84130.9772510.81855P X P X ---<=-<<=Φ-Φ=Φ+Φ-=+-=（2）由（1）可知误差的绝对值不超过150cm 的概率为：p ＝0.81855 那么在三次测量中至少有一次的概率：9940.0)81855.01(1)1(133003=--=--p p C（3）由题设可得：50{0}1{0}1()(0.5)0.6915100P X P X ≥=-<=-Φ-=Φ=（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。