华农概率论习题二解答

习 题 二 解 答

1． 五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。随即抽取其中三张，设随机变量X 表示取出三张卡片上的最大号码。 （1） 写出X 的所有可能取值；（2）求X 的分布率。 解：（1）显然是：3，4，5。 （2） X 的分布律

2． 下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律 （1） （2）

答：（1）是 （2）不是

3．一批产品共有N 件，其中M 件次品。从中任意抽取n(n<=M)件

产品，求这n 件产品中次品数X 的分布律。（此分布律为超几何分布）

解：抽取n 件产品的抽法有n

N

C 种，抽取到次品的抽法有

k

n M

N k C --M C 种，所以所求概率为：

P ()k X ==n N

k

n M

N

k M C C C --,k=0,1,2,3……..n

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4.设随机变量X 的分布律为P ＝{X=k}=15

k ,k=1,2,3,4,5.

求：（1）P{X=1或X=2}； （2）P{2

52

1<

解：（1）P{X=1或X=2}＝P{X=1}＋ P{X=2}＝15

215

1＋＝5

1。

（2）P{2

52

1<

2151＋＝

5

1

。

（3）P{21≤≤X }＝P{X=1}＋ P{X=2}＝15

215

1＋＝5

1。

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5．一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中

每次任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1）每次取后不放回； （2）每次取后放回。

解：（1）,30

7

91073)2(,10

7

)1(=⨯⨯=

===X P X P ,120

7

8910

723)3(=⨯⨯⨯⨯==X P

(2) {}1

103107-⎪

⎭

⎫

⎝⎛==k k X P （k =1，2，…）

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6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8，现相互独立地射击5发

子弹， 求：（1）命中目标弹数地分布律； （2）命中目标的概率。

解：（1）设X 为命中目标的弹数，则其分布律为 P{X=K}=k

C 5

()k 8.0()k

-52.0,(k=0,1,2,3,4,5).

(2)P{命中目标}＝1-P{X=0}=1－05

C ()08.0()0

52.0-＝0.99968

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7．设随机变量X 服从泊松分布P(λ),且P{X=1}=P{X=2},求

P{X=4}.

解：由P{X=1}=P{X=2}得：

!

11

λe λ

-＝

!

22

λe λ-

解得：λ＝2或λ＝0（舍

弃）。

故：P{X=4}=

!

424

e 2

-= 3

2e 2

-

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8.设随机变量X 的分布律为： （1）P{X=k}=N

a ,k=1,2,…..N

(2) P{X=k}=a !

k k

λ,k=0,1,2,……

试确定常数a

解：（1）由∑==N

k k X P 1

}{＝1 得：N *N

a =1,解得：a=1

(2) 由∑+∞==0

}{k k X P ＝1 得：∑+∞

=0

k a

!

k k

λ＝1，解得：a= e λ-

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9. 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。如果每台

设备发生故障得概率是0.01且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01（利用泊松定理近似计算）。 解：设X 为发生故障设备得台数，则)1()01.0,100(~P ≈B X ，即X 近似

服从参数为1=λ的poisson 分布。设设备需要N 个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01”，则

01.0!1)(1

!

<=

>-∞

+=∑

e k N X P N k

查表得5≥N

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10.设随机变量X 的密度函数为f(x)=c e x

- (-∞

（1）常数c; (2)X 落在区间（0，1）内的概率； （3）P{5≥X

}

解：（1）因为⎰

+∞∞

-dx

x f )(⎰

∞

-0

)(dx x f ＋⎰

+∞

)(dx x f ＝1

即：⎰∞

-0

dx ce x +⎰+∞-0

dx ce x ＝1， ce x

+∞-∞

--0

x

ce =1,解得：c ＝2

1

(2)P{10≤≤X }=⎰10

)(dx x f =⎰

-1

021dx e x =e

e 21

-

(3)P{5≥X

}=P{5X 5≥-≤或X }=⎰-∞-5

)(dx x f +⎰+∞

5)(dx x f

=⎰

-∞-5

21dx e x

+⎰+∞-52

1dx e x = e 5- ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

11．设随机变量X 的密度函数为,(0,1)

()0cx x f x ∈⎧=⎨

⎩，其他

，求 （1）常数c; (2)P{0.3

P{X>a}=P{Xb}=0.64; (5)X 分布函数。 解：(1) ⎰

+∞∞

-dx x f )(=00dx -∞⎰+10cxdx ⎰+00dx +∞

⎰

=⎰1

cxdx

=1 所以，解得 C=2

(2) P{0.3

.02xdx

=2x

7.03

.0

=0.49-0.09