第二章习题解答

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0 y 1

F[
1
ln(1
y)]
( 1 ln(1 y))
1e
y
Y 1 eX ~ U (0,1) .
, ,因此
FY ( y)
P{X
1
ln(1
y)}
0 , y 0 ,
FY (
y)
y, 0 y所 以1 ,
1 , y 1 ,
解答题(B类)
1.解
⑴令
pk
P{X
k}
1 ,k kk 1
选择题
1.解 F (x) 1 sgn x 在点 x 0 处不右连续; F (x) x2 不是单调不减函数
2
x2 ex
(如 F (1) 1 F (0) 0 ); F (x) 1 则有 lim F (x) 1 , lim F (x) 0 ,所以
1 e
1 ex
x
x
(A)(B)(C)均不正确,选(D).
x
x1
F
(x)
1
1, x
0,
x 1, 进而 P{1 X 2} F (2) F(1) 1 0 1 .
x 1,
22
2.解 设 i 表示第一枚骰子出现的点数, j 表示第二枚骰子出现的点数,则样本空间为
3 {(i, j) i, j 1, 2,3, 4,5, 6}. 并且每个样本点 (i, j) 出现的概率均为 1 , i, j 1, 2,3, 4,5, 6 .





Y





P{Y k P k} X k { k1exdx ek1 e1} k k
.( 1
6.解 当 y (0, 4) 时,FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{X
在 (0, 4) 内的概率分布密度为
fY
( y)
FY( y)
1 4y

y} y ,所以Y 2
6}
C6 500
(
1 365
)6
(1
1 )494 365

由于 500
1
近似
1.3699 ,采用泊松定理,有 X ~ P(1.3699) ,故
365
P{X 6} 6 e 1.36996 e1.3699 0.0023.
6!
6!
5. 解 ⑴ 因 为 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 处 处 连 续 , 所 以 F(1 0) F(1 0) F(1) ,即 k 1 1 ,故 k 1.
2 2 0.9987 0.0026 .
11.解 ⑴ P{X 20} ( 20 50) (3) 1 (3) 1 0.9987 0.0013 ; 10
⑵ P{X 70} 1 P{X 70} 1 (70 50) 1 (2) 1 0.9772 0.0228 ; 10
⑶ P( X a) ( a 50) 0.90 ,查表得 (1.28) 0.90 ,且 (x) 为单调增加函数, 10
f1(x)
f2 (x) 不是密度函数,选(C).
另外,由密度函数的性质或直接验证可知, 2 3
f1
(
x)
1 3
f
2
(
x)

1 3
f1(x)
2 3
f2 (x) 以及
2 f2 (x) f1(x) 均是密度函数.
4.解 ①由 P( AB) 0 ,不能得出 AB ,所以 A, B 未必互不相容.
② P(B A) 1 P( AB) P( A) P( AB) 0 ,不能得出 AB A B ,所以 A B 未必成立.
③由于 AB A A B, AB B A B ,所以 A B A B AB .
因为 P( A B) P(AB) P(A B AB) 0 ,不能得出 A B AB ,即不能 得 A B AB ,故不能得出 A B .
i 10
36 36 36 36 18
3.解

X
的分布律为 X
~
0
a
1 b
2 c
,则由分布律的性质和题设知
a b c 1,
ab
2c,
a c b,
0 1 2
解得 a
1,b 6
1 ,c 2
1 ,所以 3
X
的分布律为 X
~
1 6
1 2
1 3

0,
x 0, 0, x 0,

X
的分布函数为
互独立,且
P( Ai ) P{X 150}
150
100 x2
dx
2 3
,
i 1, 2,3 ,
所 以 使 用 150 小 时 后 , 三 个 电 子 管 都 不 需 要 更 换 的 概 率 为
P( A1A2
A3 )
P( A1)P( A2 )P( A3)
( 2 )3 3
8 27

8.解
令 p P{X 1},则 p
1, 2,
.显然 pk 0 , k 1, 2,
.由于
n
k 1
pk
n k 1
1 kk 1
n1
k 1 k
1 k 1
1
1, n 1

k 1
pk
1 lim n
1 n 1
1 ,所以 P{X
k}
1 2k
,k
1, 2,
⑵ X 取偶数的概率为
为 X 的分布律.
P{X 2k}
1
1
1 2
2xdx
1
.因此 Y
服从参数为
1
的几何分布,即
2
0
4
4
Y ~ G(1) ,故Y 的分布律为 P{Y k} 1 ( 3)k1 , k 1, 2,3, .
4
44
1 ( 3)k1
P{Y
5Y
2}
P{Y 5,Y P{Y 2}
2}
P{Y P{Y
5} 2}
k 5
44 1 ( 3)k1
10.解 ⑴ P{0.02 X 2.33} (2.33) (0.02) 0.9901 0.5080 0.4821 ;
⑵ P{X 2} (2) 1 (2) 1 0.9772 0.0228 ;
⑶ P{ X 3} P{X 3} P{X 3} (3) 1 (3) 2 2(3)
( y)
FY( y)
3(1 y)2 [1 (1 y)6 ]
,
y

13.证
X
的分布函数为 F (x)
1 ex ,
x 0, Y 的分布函数为
0, x 0.
FY ( y) P{Y y} P{1 eX y} .
当 y 0 时, FY ( y) 0 ;当 y 1时, FY ( y) 1;
所以 a 50 1.28 ,解得 a 62.8 . 10
12.解 Y 的分布函数为
FY ( y) P{Y y} P{1 3 X y} P{X (1 y)3}
1 dx 1 [ arctan(1 y)3] , y ,
(1 y)3 (1 x2 )
2
故得 Y
的密度函数为
fY
0 2 5
故X
的分布律为 X
~
1
1
1

4 2 4
2.解 由 c k e 1,而 k e , c(1 0 e ) 1 ,所以 c (1 e )1.
k 1 k !
k0 k !
0!
3.解 设命中次数为 X ,则 X ~ B(10, 0.2) ,所以
P{X 2} 1 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 0.810 C110 0.2 0.89
④若 A B ,则 AB , A B ,必有 AB AB .
因为 P( AB) P(AB) 1 P( AB AB) 1 ,不能得出 AB AB ,从而未必有 A, B 互为对立事件.
综上可知以上命题均不正确,选(A).
5. 解
由f (x)dx kexdx 1 得k e
,所以
ex , f (x)
0,
P{ X a} a exdx 1 ea ,选(B).
x , 故 x ,
6.解
由于
F
(
x)
1
e
1 2
x
,
x 0,
3
所以 P{X 3} 1 F(3) e 2 ,利用指数分布
0, x 0,
3
的无记忆性,即性质 3.2 得 P{X 6 X 3} P{X 3} e 2 .选(B).
36 又 X 可能的取值为 2,3,…,12,根据古典概型计算得 X 的分布律为
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36

P{X 9} 12 P{X i} 4 3 2 1 5 .
字,且
P( A) P( A) 1 , P(B A) P{X 0} e1, P(B A) P{Y 0} e2 . 2
故由对立事件概率公式和全概率公式,得
P(B) 1 P(B) 1[P( A)P(B A) P( A)P(B A)]
0,

X
的分布函数为
F ( x)
x
2
,
1,
x 0, 0 x 1, 故
x 1,
P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4 .

X
的密度函数为
f
(x)
F ( x)
2x,
0,
0 x 1, 其它.
6.解 ⑴ ce x dx 2c exdx 2c 1,因此 c 1 .
2.解 P{X 1} F (1) F (1 0) (1 e1) 1 1 e1,选(C). 22
),
3.解
由题意知
f1 ( x)
1, 0,
0
x 1, 其它,
f
2
(
x)
1 2
,
0 x 2, 可计算得当1 x 2
0, 其它,
时, 2
f1(x)
f2 ( x)
1 2
0 ,所以 2
第二章习题解答 填空题
1.解 由 F (x) 的表达式可知 X 为离散型随机变量,并有 0, 2,5 三个可能的取值.由于
P{X 0} F(0) F(0 0) 1 , P{X 2} F (2) F (2 0) 3 1 1 ,
4
44 2
P{X 5} F(5) F (5 0) 1 3 1 , 44
1 1 11 1
1 ln 2 .
k 1
k1 2kk 1 k1 2k 2k 1 2 3 4 5
2.解 由题意知, P{X k} 1 e1 , P{Y k} 2k e2 , k 0,1, 2, .
k!
k!
设 A 表示打开甲书, B 表示该页上有错字,则 A 表示打开乙书, B 表示该页上没有错
( 3 )3 4
27 64

k2 4 4
9.解
P{X
110
10} e 5
e2 ,故Y
~
B(5, e2 ) ,其分布律为
P{Y k} C5k (e2 )k (1 e2 )5k , k 0,1, 2,3, 4,5 . P{Y 1} 1 P{Y 0} 1 (1 e2 )5 0.5167 .
1
2
1
2
1 1
1 2
,得 1
2
.选(A).
8..解 Y 的分布函数为
FY ( y)
P{Y
y}
P{4 X
1
y}
P{X
y 1} 4
y 1
4 f (x)dx ,
所以 Y
的密度函数为
fY ( y)
FY( y)
f
( y 1) 1 44
1 4
f
( y 1) ,选(D). 4
解答题(A类)
1.解 由 lim F (x) 1 得 a 1;由 lim F( )x F(1) ,即 a b 0 ,所以 b a 1 .故
1 0.810 10 0.2 0.89 1 2.8 0.89 .
4.解 由于 f (x)
1
x2 4x4
e 6
1
(x2)2
e 2( 3)2 , x ,因此 X 服从正
6
2 3
态分布,且 2 , 2 3 ,即 X ~ N (2,3) .
5.解 随机变量Y 的所有可能取值为 0,1, 2, ,所以Y 为离散型随机变量.因此Y 的
F ( x)
0 1
1 6, 61 2,
0 x 1, 1 x 2,
1 2
6, 3,
0 x 1, 1 x 2,
1 6 1 2 1 3, x 2 1,
x 2.
4.解 每一个人的生日在元旦的概率为 p 1 ,则该团队中,生日同在元旦的人数 365
X
~
B(500, 1 ) .依题意要求 P{X 365
0
2
⑵ P{0 X 1} 1 1 exdx 1 (1 1) .
02
2e

F(x)
x
f (t)dt
x 1 e t dt 2
x 1 etdt 2 0 1 etdt 2
1 ex, 2
x 1 etdt 02
1
1 ex, 2
x 0, x 0.
7.解 设 Ai 表示使用 150 小时后,第 i 个电子管不需要更换,i 1,2,3 ,则 A1, A2 , A3 相
7.解 由于 X 1 ~ N (0,1) , Y 2 ~ N (0,1) ,故
1
2
P
X u1
1
P
X 1 1
1 1
2( 1 1
)
1

P
Y u2 1
P
X 2 2
1 2
1 2(
2
)
1

由题意知 2( 1 ) 1 2( 1 ) 1 ,得 ( 1 ) ( 1 ) .又 (x) 为单增函数,所以有
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