高考数学方差必考知识点总结
高中概率方差知识点总结
高中概率方差知识点总结概率方差是数学统计学中常见的一个重要概念，它是描述随机变量分散程度的一个衡量指标。
在高中数学课程中，学生通常会接触到概率方差的计算和应用。
本文将对概率方差的相关知识点进行总结，包括概率方差的定义、计算公式、性质以及应用等方面的内容，希望能帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、概率方差的定义概率方差是描述随机变量分散程度的一个重要指标，它衡量了随机变量的取值在其期望值附近的离散程度。
直观上来说，方差越大，随机变量的取值分布越分散；方差越小，随机变量的取值分布越集中。
概率方差的计算公式如下：\[Var(X)=E[(X-E(X))^2]\]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望值。
上述公式可以理解为随机变量X的取值与其期望值的偏离程度的平均值。
通过计算这一平均值，就可以得到随机变量X的方差。
二、概率方差的计算公式在实际计算中，概率方差的计算分为离散型随机变量和连续型随机变量两种情况。
1.离散型随机变量的方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布往往可以表示为一个概率质量函数p(x)。
在这种情况下，概率方差的计算公式可以表示为：\[Var(X)=\sum_{i=1}^n p(x_i)(x_i - E(X))^2\]其中，n表示随机变量X的取值个数，p(x_i)表示随机变量X取值为x_i的概率，E(X)表示随机变量X的期望值。
通过计算上述公式，就可以得到离散型随机变量X的方差。
2.连续型随机变量的方差计算对于连续型随机变量X，其概率分布往往可以表示为一个概率密度函数f(x)。
在这种情况下，概率方差的计算公式可以表示为：\[Var(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)(x - E(X))^2 dx\]其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示随机变量X的期望值。
通过计算上述公式，就可以得到连续型随机变量X的方差。
三、概率方差的性质除了计算公式外，概率方差还有一些重要的性质，这些性质在实际应用中具有重要意义。
高一数学必修二方差的知识点
高一数学必修二方差的知识点方差是统计学中重要的概念之一，它用于衡量一组数据的离散程度。
在高中数学中，方差被列为必修内容之一，它不仅在数学中有着重要的应用，还广泛应用于其他学科以及实际生活中。
本文将介绍高一数学必修二中方差的相关知识点，包括定义、计算方法以及应用等内容。
一、方差的定义方差是用来度量一组数据的波动性或者离散程度的统计量。
对于一组包含n个观察值的数据集，记为x₁, x₂, ..., xn，方差的计算公式为：方差 = (x₁ - 平均值)² + (x₂ - 平均值)² + ... + (xn - 平均值)²其中，平均值是这组数据集的算术平均值。
方差的单位通常为观察值的单位的平方。
二、方差的计算方法计算方差有两种常用的方法：离差平方和法和公式法。
离差平方和法是最直接而常用的计算方差的方法。
它的计算思路是先计算每个观察值与平均值的离差，然后将所有离差的平方求和。
具体步骤如下：1. 计算平均值：先对给定的数据集进行求和，再除以观察值的个数，即可得到平均值。
2. 求每个观察值与平均值的离差：将每个观察值减去平均值得到离差。
3. 将离差的平方求和：对所有离差的平方进行求和操作。
公式法是一种简化计算步骤的方法。
它的计算公式为：方差 = (x₁² + x₂² + ... + xn²) / n - 平均值²这种方法可以在计算方差时避免计算每个观察值与平均值的离差，进而简化计算过程。
三、方差的应用方差在统计学中有着广泛的应用。
作为一种度量数据离散程度的指标，方差能够帮助我们判断数据的稳定性和波动性。
在实际生活中，方差也被广泛运用于各个领域。
1. 财务分析：方差可以用来分析个人或者企业的投资风险。
通过计算投资组合的方差，我们可以评估投资风险的大小，进而制定相应的风险管理策略。
2. 品质控制：在生产过程中，方差可以用于评估产品的品质。
通过对产品的测量数据进行方差分析，可以判断产品是否符合标准，从而进行相应的调整和改进。
苏教版数学高一苏教版必修3素材2.3.2方差与标准差
庖丁巧解牛知识·巧学一、样本方差与样本标准差1.极差（全距）是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2.方差是各数据与平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）平方的平均数.它反映了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，x 3，…，x n ，样本的平均数为x ，则方差s 2=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .3.标准差是各个样本数据到平均数的一种平均距离.一般用s 表示.标准差s=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .深化升华 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两人的成绩时，标准差小就意味着成绩稳定；在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定. 二、计算标准差的计算步骤 （1）算出样本数据的平均数；（2）算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）； （3）算出(x i -x )2（i=1，2，…，n ）；（4）算出(x i -x)2（i=1，2，…，n ）这n 个数的平均数，即为样本方差s 2=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- ；（5）算出方差的算术平方根，即为样本标准差s=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .说明：①标准差的大小受样本中每个数据的影响，如数据之间变化大，求得的标准差也大，反之则小.标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，反之，标准差、方差越小，数据的离散程度越小.②在计算标准差时，在各数据上加上或减去一个常数，其数值不变.③当每个数据乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a.④标准差的大小不会超过极差，其取值范围是［0，+∞），若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.⑤若对数据处理时的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键，使用时要看说明书（不同的计算机，参数可能不同）进入统计状态就可以求值了.因为方差与原始数据的单位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，但在解决实际问题时标准差应用广泛. 联想发散（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a=1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性； （2）方差的另一表示形式：s 2=n1(x 12+x 22+…+x n 2-2nx ). 三、对总体平均数、标准差的估计如何获得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断. 如要考察一批灯泡的质量，我们可以从中随机抽取一部分作为样本；要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目作为样本.误区警示 需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的.如一个总体包含6个个体，现在要从中抽出3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异.这就会影响到我们对总体情况的估计. 典题·热题知识点一 方差与标准差的计算例1 求下列各组数据的方差与标准差（结果保留到小数点后一位）： （1）1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）11，12，13，14，15，16，17，18，19； （3）10，20，30，40，50，60，70，80，90. 并分析由这些结果可得出什么一般的结论？思路分析：通过三组数据的特点总结出一般规律，利用方差、标准差求解. 解：（1）99321++++= x =5，s 2=91［(1-5)2+(2-5)2+…+(9-5)2］=6.7， s=7.6=2.6. （2）x =919131211++++ =15.s 2=91［（11-15）2+（12-15）2+…+（19-15）2］=6.7， s=7.6=2.6. （3）990302010++++= x =50.s 2=91［(10-50)2+(20-50)2+…+(90-50)2］=666.7， s=7.666=25.8.巧妙变式 一组数据加上相同的数后，方差、标准差不变，都乘以相同的倍数n 后，方差变为原来的n 2倍，标准差变为原来的n 倍.即一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，标准差为s ，则x 1+a,x 2+a, …,x n +a 方差为s 2，标准差为s ；nx 1,nx 2,…,nx n 方差为n 2s 2，标准差为ns. 知识点二 利用方差、标准差对样本进行分析例2 对自行车运动员甲乙在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如甲 273830373531 乙33 29 38 34 2836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.思路分析：可以从平均成绩及方差、标准差方面来考察样本数据的水平及稳定性. 解：他们的平均速度为：甲x =61（27+38+…+31）=33. 乙x =61(33+29+…+36)=33.他们的平均速度相同，再看他们的方差：s 甲2=61［(-6)2+52+（-3）2+42+22+(-2)2］=347. s 乙2=61［(-4)2+52+12+(-5)2+32］=337.则s 甲2＞s 乙2，即s 甲＞s 乙. 故乙的成绩比甲稳定. 所以选乙参加比赛更合适. 标准差、方差是反映数据波动程度的量,它们取值的大小,说明数据的离散程度.即样本数据对于平均数的平均波动幅度.例3 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-3-1：图2-3-1（1）求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； （2）比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.思路分析：首先由茎叶图读出数据，再利用科学计算器求出平均数、标准差，依据结果进行比较，并与茎叶图比较统计作用.解：（1）用科学计算器得甲x =87，s 甲=12.7，乙x =95，s 乙=9.7.（2）由甲x =87＜乙x =95，且s 甲=12.7＞s 乙=9.7，故甲的数学学习状况不如乙的数学学习状况.“从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是86.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.误区警示 通过以上实例分析，可以看出反映样本数据的基本特征量众数、中位数、平均数、标准差是从不同的方面或角度来“看待”样本数据的，对于不同的样本它们各有优、缺点.在实际问题中平均值使用频率较高，但它受极端值的影响较明显，故容易掩盖实际情况，此时常常用标准差来进一步刻画样本数据的离散程度，以便更准确地反映样本数据的真实情况，在实际生活中，也往往利用这个道理来比较水平的高低、质量好坏等.由于平均数和标准差更容易刻画样本数据的数字特征，所以对求解样本数据的平均数、标准差的运算必须熟练，必要时可使用计算器.例4 甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm ）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4. （1）分别计算上面两个样本的平均数和方差； （2）若零件规定直径为20.0±0.5（mm ），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定.思路分析：此题数据较大，但发现所有数据都在某个数值上下摆动，可利用s 2=nx n x x x n])[(222221'-'++'+' .推导如下：一般地，如果将一组数据x 1,x 2，…，x n 同时减去一个数a ， 得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a, …，x n ′=x n -a, 所以x =n 1(x 1+x 2+…+x n )=n1(x 1′+x 2′+…+x n ′+na)=x '+a. 得公式s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' 可使计算简便.解：因为样本数据在20.0上下波动，故取a=20.0，列表如下 .甲x =0.02+20.0=20.02（mm ），乙x =0.02＋20.0=20.02（mm ），s 甲2=0.1×［0.34-10×0.022］=0.033 6（mm 2）， s 乙2=0.1×［0.52-10×0.022］=0.051 6（mm 2）. ∵s 甲2＜s 乙2，∴甲工人加工零件的质量比较稳定.巧解提示 比较两人加工零件的质量的稳定性，这里通过平均数比较不出来，需要使用方差来比较，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差和标准差通常用来反映一组数据的波动大小，在统计中，样本的方差和标准差通常用来估计总体数据的波动大小.当数据较大且数据都在某个数值上下摆动时可考虑利用s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' .计算方差可减少数据运算量. 问题·探究交流讨论探究 问题估计总体的数字特征过程中,我们经常用到样本均值与样本标准差,这两个有什么差别吗? 探究过程：学生甲：我认为它们两个在表达式上就不同,假设经过随机抽样得到样本为x 1、x 2, …,x n , 则样本均值nx x x x n+++=21.样本标准差s=2s =nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .学生乙：我看出来它们还有一些不同的地方,先来看下面的例子.(1)有两个学生A 和B,两个人两次连续考试的平均分都是60分,A 是40分和80分, B 是65分和55分.显然A 的成绩忽上忽下,而B 的成绩较稳定.(2)有两组学生(每组3人),一次数学考试成绩如下(单位：分)： 甲组3人得分分别为60 80 100 乙组3人得分分别为79 80 81显然,甲组学生和乙组学生的平均分都为80,但是这两组学生分数有很大的差异,甲组学生的成绩波动较大,相对于平均分数的差异很大,即分散程度(离中趋势)较大,而乙组学生的成绩波动较小,相对于平均分数的差异较小,即分散程度较小.因此,我们仅用平均值来描述这一组分数的特征是不够的,还要考虑一组分数相对于平均值的差异的大小.在考试研究中,均值反应了考生团体成绩集中的位置,根据以上分析,显然还需有一个刻画考生团体成绩离散程度的量,显然在刚才举的例子(1)中,B A x x =,但s A =2)6080()6040(22-+-=20,s B =2)6055()6065(22-+-=5.在(2)中,甲x =乙x ,甲组学生的s 甲=38003)80100()8080()8060(222=-+-+-. 乙组学生的s 乙=323)8081()8080()8079(222=-+-+-. 探究结论：明显地发现样本平均数能反映总体的水平，而标准差对于衡量分散程度很有用.。
方差高中数学公式
方差高中数学公式方差是概率论与统计学中一个重要的概念，用于衡量随机变量的离散程度。
在高中数学中，方差是一个常见的概念，下面将介绍方差的计算公式以及相关知识。
一、方差的定义方差是指随机变量与其数学期望之差的平方的期望值。
简单来说，方差衡量的是随机变量的取值与其平均值之间的差异程度。
方差越大，说明随机变量的取值离散程度越大；方差越小，说明随机变量的取值集中程度越高。
二、方差的计算公式设随机变量X的取值为x1，x2，...，xn，相应的概率为p1，p2，...，pn，其中p1+p2+...+pn=1。
则随机变量X的方差的计算公式如下：Var(X) = Σ(xi-μ)² * pi其中，μ为随机变量X的数学期望。
三、方差的性质1. 方差非负：方差始终大于等于零。
2. 方差与平移无关：如果随机变量X的方差为σ²，则随机变量X+a的方差也为σ²，其中a为常数。
3. 方差与线性变换相关：如果随机变量X的方差为σ²，则随机变量aX的方差为a²σ²，其中a为常数。
4. 方差的开平方即为标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量的离散程度。
四、方差的应用方差在实际问题中有着广泛的应用，特别是在金融领域和工程领域。
在金融领域，方差可以用来衡量股票或投资组合的风险程度。
方差越大，代表股票或投资组合的风险越高。
在工程领域，方差可以用来衡量产品的稳定性和可靠性。
方差越小，代表产品的稳定性和可靠性越高。
五、例题解析为了更好地理解方差的计算方法，下面通过一个例题进行解析。
例题：某班级有40名学生，他们的身高如下表所示，请计算学生身高的方差。
身高（cm）频数150-155 5155-160 7160-165 9165-170 8170-175 6175-180 5解析：计算身高的平均值：μ = (152.5*5 + 157.5*7 + 162.5*9 + 167.5*8 + 172.5*6 + 177.5*5) / 40 = 163.625 cm然后，根据方差的计算公式，计算方差：方差= (150-163.625)²*5/40 + (155-163.625)²*7/40 + (160-163.625)²*9/40 + (165-163.625)²*8/40 + (170-163.625)²*6/40 + (175-163.625)²*5/40 ≈ 45.57因此，学生身高的方差约为45.57。
方差知识点归纳总结
方差知识点归纳总结一、方差的概念与计算方法1.1 方差的概念方差是一组数据离散程度的一种度量，用于衡量数据的分散程度，反映了数据的波动程度。
方差越大，数据的波动程度越大，表示数据分散程度越大；方差越小，数据的波动程度越小，表示数据分散程度越小。
1.2 方差的计算方法设一组数据为x1, x2, ..., xn，它们的均值为x¯，则这组数据的方差可以通过以下公式计算得出：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]其中，σ2表示方差，n表示数据的个数，x¯表示数据的均值，xi表示第i个数据点。
这个公式的含义是：将每个数据点与均值的差的平方求和，然后除以数据的个数，得到方差的值。
二、方差的性质2.1 方差与均值的关系方差的计算方法中包含了均值的概念，在计算方差时要用到数据的均值。
同时，方差也可以用来衡量数据点与均值的偏离程度，从而很好地反映了数据的分散程度。
2.2 方差的平方与绝对值的关系方差是指数据点与均值的偏离程度的平方和的均值，因此它是一个非负数。
这个性质表明，方差是一个非负的数值，它可以很好地反映数据的分散程度。
2.3 方差的加法性如果有两组数据X和Y，它们的方差分别为σX2和σY2，且这两组数据是独立的，那么这两组数据的和的方差可以表示为：\[ \sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 \]这个性质表明，如果有两组独立的数据，它们的方差之和等于这两组数据的和的方差。
这个性质在进行数据处理和分析时非常有用。
2.4 方差的线性性如果有一组数据X和一个实数k，那么这组数据的方差乘以k的平方等于这组数据乘以k 后的方差，即：\[ \sigma_{kX}^2 = k^2\sigma_X^2 \]这个性质表明，对一组数据进行线性变换（乘以一个常数）后，它们的方差会变成原来的方差乘以这个常数的平方。
高考高中数学方差知识讲解
因此第iC5一o名py同r学ig的ht射2击0成04绩-2稳0定1性1 较As差i5p，o第se二P名t同y 学Lt的d.射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差
Profile
5.2
从C而oEpXyrig1h1t 220014-2301114As1po5se1 P6ty1Ltd3..5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
D(aX b) a2DX
Evaluation only. ted w（it2h）A方s差p的os几ne个.S恒li等de变s形for .NET 3.5 Client Profile 5.2
CDopXyrigh(txi20E0X4)-22p0i 11 Aspose Pty Ltd. i 1 E( X EX )2 EX 2 (EX )2
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
ted w第XPi二t2hC名Ao同0sp.学p50yo1击rsig中eh.目0tS.60标2lEi50d靶v0ea的4sl0u-环.f722ao数00tri1o.X1Nn2EA0的o.8T4sn分1pl3y布o..s5列e为C0P.93lit3eynLt tPdr.ofile 5.2
随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标
准差，记为 X
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
高中数学方差的两个公式
高中数学方差的两个公式方差的概念自古以来就被广泛地应用在统计学中，用于衡量一组数据的离散程度。
如今，它仍然是数学和统计学中最重要的工具。
许多科目的学习，如数据分析，概率统计，以及统计图形设计，都要求具备优秀的方差素养。
无论学位如何，方差都是统计分析最重要的概念。
方差可以分为总体方差和样本方差，其中总体方差是指研究的总体变量的数学期望和中心值之差的平方的期望，而样本方差指的是抽取的任何一个样本的数学期望和它的中心值的差的平方的期望。
两种方差都用来反映数据之间的变化，并用于衡量统计数据的变化情况。
两个最常用的方差计算公式是：1)体方差公式：S^2=Σ(x_i-μ)^2 / N其中：S^2：代表总体方差；Σ(x_i-μ)^2：代表数据与总体均值μ之间的差的平方和；N：代表总体中数据个数。
2)本方差公式：s^2=Σ(x_i-x_平均)^2 / n-1其中：s^2：代表样本方差；Σ(x_i-x_平均)^2：代表数据与样本均值之间的差的平方和；n：代表样本中数据个数，n-1代表样本总数减去1.计算一组数据的方差时，最重要的是正确地使用正确的公式，以便获得准确的结果。
总体方差和样本方差均可以用来衡量一组数据的变化程度，但前者是计算总体中数据变化的度量，后者是计算样本中数据变化的度量。
高中数学中的方差的计算公式已经被初中学生所承认，但它们在实际应用中仍然存在一定的差异。
例如，总体方差的计算方法要求对每个数据点进行计数，每个数据点的偏差都要被计算，而样本方差的计算要求样本中每个数据点的偏差和平均值进行比较。
另外，还要注意计算方差时，每个数据点都必须被正确地处理，以便获得较好的分析结果。
如果准备不足，方差的计算很难完成，并且结果可能会受到严重影响。
总之，通过使用正确的公式及正确的数据，可以准确地计算出方差值，而根据方差值的大小，可以正确地衡量一组数据的变化程度，从而得出合理的结论。
正确地使用方差，不但可以帮助我们更好地理解数据，还可以提供丰富的数据统计信息，从而实现对数据的更准确的分析和处理。
高中方差知识点总结
高中方差知识点总结一、方差的定义方差是用来衡量数据偏离其平均值的程度的统计量。
它是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值。
对于一组数据集合X={x1,x2,x3,...,xn}，其均值为μ，则方差的计算公式为：\[S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]其中，S^2表示方差，n表示数据的个数，xi表示第i个数据，μ表示数据的平均值。
方差的单位是原数据单位的平方，它的值越大表示数据的变异程度越大，反之亦然。
二、方差的性质1. 方差永远大于0方差是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值，所以方差永远大于等于0。
当方差等于0时，表示数据集合中的所有数值都等于其均值，即数据没有任何偏离。
2. 方差的大小决定了数据的分散程度方差的值越大表示数据偏离均值的程度越大，数据的分散程度越大；而方差的值越小表示数据偏离均值的程度越小，数据的集中程度越大。
3. 方差与原数据单位相关方差是原数据单位的平方，所以在比较不同数据集合的方差时，应当考虑数据单位的影响。
通常情况下，可以使用标准差来度量数据的变异程度，它是方差的平方根，单位与原数据一致。
三、方差的应用1. 评价数据集的稳定性方差可以用来评价数据集的稳定性，当数据的方差较小时，表示数据的稳定程度较高，反之较低。
2. 比较不同数据集的分散程度方差可以用来比较不同数据集的分散程度，当数据的方差较大时，表示数据的分散程度较高，反之较低。
3. 帮助进行统计推断在统计推断中，方差可以用来帮助进行假设检验和置信区间估计，它是许多统计量的基础。
四、方差的计算在实际应用中，方差的计算可以分为两种情况：总体方差和样本方差。
1. 总体方差的计算总体方差的计算公式是：\[σ^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - μ)^2\]其中，σ^2表示总体方差，N表示总体的数据个数，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值。
高中数学方差的两个公式
高中数学方差的两个公式数学中的方差具有重要的概念性意义，可以衡量一组数据的离散程度。
它的量化描述比平均数更能反映数据的变化情况，是统计学中重要的指标。
方差经过演变，最终形成了两个公式，在高中数学中都可以应用到。
从方差的定义可以看出，它是一个描述数据离散程度的量，用偏离它的程度来衡量。
所以，方差的计算就可以用偏离的平均程度的平方和来表示，也就是所谓的“期望”公式：偏方差 =（X-X）/n其中，Σ表示求和符号，X表示每一个样本的值，X表示样本的均值，n表示样本的数量。
期望公式可以用来表示高中统计中的方差，也可以用于实验中算出数据的方差。
此外，也有另一种方法来计算方差，这种方法是用“加权平均法”，也就是所谓的“离差平方和除以总数”，公式如下：离方差 =（Xi-X）/n其中，Xi表示每一个样本的值，X表示样本的均值，n表示样本的数量。
离差平方和除以总数是各个样本和总体均值的差距，乘以样本数量后得到的结果就是当前数据的方差。
很明显，方差有着两种，它们都可以在高中数学中使用，有着不同的应用范围。
例如，在高中数学计算中，可以用期望公式来衡量实验结果的离散程度，以便比较不同实验结果的变动程度，也可以采用离差平方和除以总数的方法来确定样本数据的分布模式，从而量化总体数据的变化情况。
此外，在学习过程中，学生也可以使用方差的计算方法，为自己的实验结果提供一个更全面的分析：可以计算出方差的大小，从而更清楚地分析数据的变化范围，这样就可以更有效地实现学习目标。
通过以上介绍，可以看出，高中数学中的方差有着两种计算公式，期望公式可以应用于实验结果的分析，离差公式可以应用于检验数据分布特征，从而为学生提供了一种更全面的数据分析方法。
同时，学生在学习过程中，可以应用方差的计算方法，从而更加清晰地分析数据的变动范围，更好地实现学习目标。
高三数学知识点总结方差
高三数学知识点总结方差方差是统计学中的一个重要概念，用于衡量一组数据的离散程度。
在高三数学中，方差是一个重要的知识点，在考试中也经常出现。
本文将对高三数学中有关方差的知识点进行总结。
一、方差的定义方差是一组数据的离散程度的度量。
它是每个数据与平均值之差的平方的平均数。
设一组数据为x1,x2,...,xn，其平均值为m，那么该组数据的方差用σ^2或s^2表示，计算公式如下：σ^2 = ( (x1-m)^2 + (x2-m)^2 + ... + (xn-m)^2 ) / ns^2 = ( (x1-m)^2 + (x2-m)^2 + ... + (xn-m)^2 ) / (n-1)二、方差的性质1. 方差是一个非负数，即方差大于等于0。
2. 如果一组数据的方差为0，则说明该组数据的值完全相同。
3. 方差的计算结果受数据单位的影响，因此不能直接比较两组数据的方差大小。
三、方差的计算步骤计算一组数据的方差通常需要以下步骤：1. 求出数据的平均值。
2. 将每个数据与平均值之差的平方相加。
3. 将上一步骤得到的结果除以数据的个数（或个数减1）。
四、方差的应用方差在各个领域都有广泛的应用，特别是在统计学和概率论中。
它可以用于衡量数据的离散程度，判断数据是否具有一定的稳定性。
在实际生活中，方差常被用来分析股票市场的波动性、评估商品价格的稳定性等。
五、常见方差的计算问题类型在高三数学考试中，方差的计算通常涉及以下几个问题类型：1. 给定一组数据，要求计算其方差。
2. 给定一组数据和一个新的数据，要求计算加入新数据后的方差。
3. 给定一组数据，要求计算其中某一部分数据的方差。
六、方差的计算实例为了更好地理解方差的计算过程，我们来看几个实例。
实例1：已知一组数据为2，4，6，8，10，求其方差。
解：首先计算平均值m=(2+4+6+8+10)/5=6。
然后计算每个数据与平均值之差的平方，并将结果相加。
(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2 =20+4+0+4+20=48最后将结果除以数据的个数，得到方差为48/5=9.6。
高中必修二数学方差公式
高中必修二数学方差公式高中数学中，方差是一个重要的概念。
方差是用来描述一组数据的分散程度的统计量。
在高中必修二数学中，我们学习了方差的计算方法，即方差公式。
方差公式是通过计算每个数据与平均值之差的平方，并求平均得到的。
方差公式的具体表达为：方差=每个数据与平均值之差的平方的和除以数据个数。
在实际问题中，方差的计算可以帮助我们对数据进行分析和比较。
下面我们通过几个例子来说明方差的应用。
例1：某班级的学生参加了一次数学考试，他们的成绩如下：80，85，90，92，95。
求这组数据的方差。
解：首先，我们需要计算这组数据的平均值。
将这些数据相加后除以数据个数，即(80+85+90+92+95)/5=88.4。
所以平均值为88.4。
然后，我们计算每个数据与平均值之差的平方，并求和。
计算得到的结果为((80-88.4)^2+(85-88.4)^2+(90-88.4)^2+(92-88.4)^2+(95-88.4)^2)=165.2。
我们将这个和除以数据个数，即165.2/5=33.04。
所以这组数据的方差为33.04。
例2：某班级的学生参加了两次数学考试，他们的成绩如下表所示。
求这组数据的方差，并比较两次考试的分散程度。
第一次考试：80，85，90，92，95第二次考试：83，86，88，90，95解：首先，我们分别计算两次考试的平均值。
第一次考试的平均值为(80+85+90+92+95)/5=88.4，第二次考试的平均值为(83+86+88+90+95)/5=88.4。
然后，我们分别计算每个数据与平均值之差的平方，并求和。
第一次考试的结果为165.2，第二次考试的结果为38.8。
我们分别将这个和除以数据个数，得到第一次考试的方差为33.04，第二次考试的方差为7.76。
通过比较两次考试的方差，我们可以发现第二次考试的分数相较于第一次考试更加集中，分散程度更小。
方差公式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，方差可以用来度量投资组合的风险；在质量管理中，方差可以用来衡量产品质量的稳定性；在社会调查中，方差可以用来分析数据的差异等等。
高三知识点总结方差
高三知识点总结方差方差是统计学中常用的一种测量数据分散程度的方法，它能够给出数据的离散程度。
在高三阶段，方差是常见的数学概念之一，理解和掌握方差的计算方法对于解决实际问题和应对考试至关重要。
本文将总结高三阶段相关的知识点，并深入讨论方差的计算原理和应用。
一、方差的定义方差用于描述一组数据的离散程度，它是各个数据与平均数之差的平方和的平均值。
方差的计算公式如下所示：方差 = (x1-平均数)^2 + (x2-平均数)^2 + ... + (xn-平均数)^2 / n二、方差的计算步骤1. 计算平均数：首先需要计算数据的平均数，即将所有数据累加后除以数据的个数。
2. 求差平方：将每个数据与平均数之差进行平方。
3. 求和：将所有差平方的结果进行累加。
4. 求平均值：将累加的结果除以数据的个数，即可得到方差。
三、方差的应用场景方差在实际问题中具有广泛的应用，以下列举了几个常见场景：1. 股票投资：用方差来衡量股票的风险，方差越大，意味着股票价格波动越剧烈，风险越高。
2. 质量控制：方差可用于评估产品的质量稳定性，方差越小，产品质量越稳定。
3. 教育评估：方差可用于评估学生的成绩分布情况，方差越大，意味着学生的成绩分布越不集中，表现出较大的差异性。
四、方差的特性1. 方差非负：方差的计算结果必定大于等于零。
2. 相同数据的方差为零：如果所有数据都相等，则它们的差平方和为零，因此方差为零。
3. 方差的单位和原始数据单位相乘：由于方差是差的平方和的平均值，所以方差的单位是原始数据单位的平方。
五、常见的方差计算方法1. 总体方差：适用于给定总体数据，方差计算公式中的n表示总体中的数据个数。
2. 样本方差：适用于给定样本数据，方差计算公式中的n-1表示样本中的数据个数减1，用来修正因样本带来的偏差。
六、方差与其他统计指标的关系方差与标准差和均方差密切相关。
标准差是方差的平方根，用来度量数据的分散程度。
均方差是数据的平方差的平均值，也是测量数据分散的一种指标。
高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美
EX)2 的期望，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX . 方差越小，则随机变量的取值就越 集中 在其均值周 围；反之，方差越大，则随机变量的取值范围就越 分散．
2．常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布，则 EX＝ p ，DX＝ p(1－p) ； (2)若 X～B(n，p)，则 EX＝ np ，DX＝ np(1－p) ； (3)若 X 服从参数为 N，M，n 的几何分布，则 EX＝ nM N .
0.56<DX，乙稳定．
5．(2011· 上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表： x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？
请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处完全无法看 清， 且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数 值相同．据此，小牛给出了正确答案 Eξ＝________.
[答案]
2
[解析]
nM 4×5 EX＝ N ＝ 10 ＝2.
7．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值．
[解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 则 Eξ＝p＝0.6. (2)由题意，重复 5 次投篮，命中次数 η 服从二项分布， 即 η～B(5,0.6)．则 Eη＝5×0.6＝3. 0 0.4 1 0.6
课堂典例讲练
离散型随机变量的均值
[例 1]
袋中有同样的 5 个球， 其中 3 个红球， 2 个黄球，
现从中随机且不返回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球 都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 X 为此时已摸球的次 数． (1)求随机变量 X 的概率分布列； (2)求随机变量 X 的均值． [分析] 解题的关键是确定随机变量的取值和应用排列
常用方差公式
常用方差公式方差这个概念在数学学习中可是个挺重要的家伙呢！咱们先来说说啥是方差。
简单来讲，方差就是一组数据离散程度的度量。
比如说，有几个同学的考试成绩分别是 80 分、90 分、85 分、95 分和 100 分。
那这组成绩的方差就能告诉我们，这些同学的成绩相互之间差别大不大。
方差的公式有好几种呢，咱们常用的那个是这样的：$S^2 =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 。
这里的 $n$ 表示数据的个数，$x_i$ 表示第 $i$ 个数据，$\overline{x}$ 表示这组数据的平均数。
举个例子哈，咱就说有一组数：3，5，7，9，11。
先算平均数，（3 + 5 + 7 + 9 + 11）÷ 5 = 7 。
然后算方差，（3 - 7）² + （5 - 7）² +（7 - 7）² + （9 - 7）² + （11 - 7）² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 ，再除以5 ，得到方差是 8 。
那为啥要学方差呢？前几天我去菜市场买菜，就发现方差这东西还真有用。
我那天想买点苹果，有两个摊位在卖。
一个摊位的苹果大小都差不多，价格也还合适。
另一个摊位的苹果，有大有小，价格倒是便宜点。
我心里就琢磨开了，这第一个摊位的苹果大小的方差小，比较整齐；第二个摊位的苹果大小方差大，参差不齐。
我要是自己吃，买第二个摊位的倒也无所谓，挑挑拣拣能选到合适的。
但要是送朋友，那还是第一个摊位的好，看着漂亮整齐。
你看，这方差在生活中是不是还挺有用？再说说方差在数据分析中的作用。
比如说，工厂生产零件，要保证零件的质量稳定，那就得关注零件尺寸的方差。
如果方差太大，说明零件尺寸差异大，质量不稳定，可能就会影响产品的性能和可靠性。
还有啊，在体育比赛中，比如跳水、体操这些打分项目，多个裁判给运动员打分。
高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章 第8讲 离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析
第8讲 离散型随机变量的均值与方差最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1__(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( )解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修2－3P68T1改编)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B.4 C.－1 D.1解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 答案 A3.已知某离散型随机变量X 的分布列如下表，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A.19B.29C.13D.23解析 由已知得m ＋2m ＝1得m ＝13，由于X 服从两点分布，所以D (X )＝m ·2m ＝29. 答案B4.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于________. 解析∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 答案 85.(2015·广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析 由于X ～B (n ，p )，且E (X )＝30，D (X )＝20. 所以⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20.解之得p ＝13.答案 136.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示).解析 随机变量X 只能取0，1，2三个数，因为P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121，故E (X )＝1×1021＋2×121＝47.答案 47考点一 一般分布列的均值与方差【例1】(2017·台州调研)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124， 两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13， 两人都付80元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124； P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14； P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512； P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14； P (ξ＝160)＝14×16＝124. ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80. D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.【训练1】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.解(1)由条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋2D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P（300≤X<900）P（X≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.考点二与二项分布有关的均值、方差【例2】(2017·北京海淀区模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415， 所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2). 由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45， 因此E (2X 1)＝2E (X 1)＝83， E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：∴E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83， E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125， 因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大. 规律方法 二项分布的期望与方差.(1)如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b ).【训练2】(2017·诸暨模拟)甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为25，甲、丙都考不上的概率为625，乙、丙都考上的概率为310，且三人能否考上相互独立.(1)求乙、丙两人各自考上的概率；(2)设X 表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望.解 (1)设A 表示“甲考上”，B 表示“乙考上”，C 表示“丙考上”， 则P (A )＝25，且⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25[1－P （C ）]＝625，P （B ）P （C ）＝310，解得P(C)＝35，P(B)＝12.∴乙考上的概率为12，丙考上的概率为35.(2)由题意X的可能取值为1，3，P(X＝1)＝25×12×25＋35×12×25＋35×12×35＋25×12×25＋25×12×35＋35×12×35＝1925，P(X＝3)＝25×12×35＋35×12×25＝625，∴X的分布列为：EX＝1×1925＋3×625＝3725.考点三均值与方差在决策中的应用【例3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤x≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【训练3】(2017·贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.[思想方法]1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)，D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.[易错防范]1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案C2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400解析设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.答案B3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n＝4，p＝0.6B.n＝6，p＝0.4C.n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.1解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案 B4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A.6，2.4B.2，2.4C.2，5.6D.6，5.6解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝610＝35，所以E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 B 二、填空题6.设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)＝________；D (X )＝________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243，D (X )＝np (1－p )＝6×13×23＝43.答案 80243437.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25. 答案258.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元. 解析 由题意知a ＋2a ＋4a ＝1，∴a ＝17，∴获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，∴所获奖金的期望是E (X )＝17×7 000＋27×5 600＋47×4 200＝5 000(元). 答案 5 000 三、解答题9.已知从某批产品中随机抽取1件是二等品的概率为0.2.(1)若从该产品中有放回地抽取产品2次，每次抽取1件，设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，求P (A )；(2)若该批产品共有20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)记A0表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A1与A0互斥，且A＝A0＋A1，∴P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－0.2)2＋C12×0.2×(1－0.2)＝0.96.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，该产品共有二等品20×0.2＝4(件)，P(X＝0)＝C216C220＝1219，P(X＝1)＝C116C14C220＝3290，P(X＝2)＝C24C220＝395，∴X的分布列为：E(X)＝0×1219＋1×3295＋2×395＝25.10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望. 解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝C14C25＝25，P(B)＝C24C35＝35，∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝25×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝P (A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝325. P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＝1950，P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325， ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85B.65 C.45D.25解析 由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 B12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( ) A.16 B.13C.12D.23解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23. 答案 D13.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则E (ξ)＝1×x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 答案 214.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.15.(2017·绍兴调研)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
高一方差的计算公式
高一方差的计算公式在我们高中数学的学习中，方差可是一个重要的概念呢。
说起方差，它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数据分布的秘密之门。
方差的计算公式是：$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2]$ 。
这里的$n$表示样本数量，$\overline{x}$表示样本的平均数，$x_i$表示第$i$个样本值。
咱们来举个例子理解一下这个公式哈。
比如说，有一组同学的数学考试成绩分别是 85 分、90 分、95 分、100 分、105 分。
首先，咱们得算出这组成绩的平均数，也就是把这几个数加起来再除以 5 。
（85 + 90 + 95 + 100 + 105）÷ 5 = 95 分，这个 95 分就是平均数$\overline{x}$ 。
接下来，咱们就用方差公式来算方差。
第一个成绩 85 分，它与平均数的差是 85 - 95 = -10 ，平方一下就是(-10)^2 = 100 。
第二个成绩 90 分，与平均数的差是 90 - 95 = -5 ，平方就是 (-5)^2 = 25 。
第三个成绩 95 分，与平均数的差是 95 - 95 = 0 ，平方还是 0 。
第四个成绩 100 分，与平均数的差是 100 - 95 = 5 ，平方就是 5^2 = 25 。
第五个成绩 105 分，与平均数的差是 105 - 95 = 10 ，平方就是 10^2 = 100 。
然后把这些平方差加起来：100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 。
最后，再除以样本数量 5 ，得到方差就是 250÷5 = 50 。
这就意味着这组同学的成绩分布相对比较集中还是分散呢？通过方差的值我们就能判断出来啦。
再比如说，前段时间我们班组织了一次物理实验，测量同一物体在不同条件下的长度。
高考数学方差必考知识点总结
高考数学方差必考知识点总结高考数学方差必考知识点总结有哪些内容呢？我们一起来看看吧！以下是小编为大家搜集整理提供到的高考数学方差必考知识点总结，希望对您有所帮助。
欢迎阅读参考学习！高中数学知识点之方差定义方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的`和的平均数。
高中数学知识点之方差性质1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y相互独立时，，故第三项为零。
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 高中数学知识点之方差的应用计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.答：极差为100-50=50.平均数为2017年高考数学方差必考知识点一.方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X: 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y: 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72.平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动二.方差的性质1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);证：特别地 D(-X ) = D(X )， D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)3.若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。
高中方差公式
高中方差公式高中方差公式是在数学中的一种概念，它用来度量一组数据值分布的离散程度。
它的定义如下：方差（variance）: 是指一组数据值中各个数据值与平均值之间的差值的平方和除以数值的个数所得的值。
公式：总体方差：$σ^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$样本方差：$S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$其中：$N$：数据的个数$x_i$：单个数据中的每个数值$\bar{x}$：数据平均值方差公式的本质是用来度量一组数据的离散程度的，也可以理解为数据的离散程度：当两个数字相距较近时，他们的差值较小，故方差较小；当两个数字之间的差值较大时，方差就会较大。
它与均值，标准差和原始数据分布紧密相关，在平均水平分析和样本分析方面有着重要的应用价值。
一、高中方差公式是什么1、定义：方差（variance）: 是指一组数据值中各个数据值与平均值之间的差值的平方和除以数值的个数所得的值。
2、公式推导：总体方差：$σ^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$样本方差：$S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$其中：$N$：数据的个数$x_i$：单个数据中的每个数值$\bar{x}$：数据平均值3、应用：方差公式的本质是用来度量一组数据的离散程度的，也可以理解为数据的离散程度。
它与均值，标准差和原始数据分布紧密相关，在平均水平分析和样本分析方面有着重要的应用价值。
二、如何计算方差1、理解公式：首先要理解方差公式中的变量，例如，$N$ 是表示数据的个数，$x_i$ 是表示单个数据中的每个数值，$\bar{x}$ 是数据平均值等。
2、计算步骤：（1）求平均值：将所有数据相加，再除以数据个数得到平均值。
（2）求每个数据与平均值的差值：遍历数据集，对每个数据减去对应的平均值，得到每个数据与平均值的差值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学方差必考知识点总结
高考数学方差必考知识点总结
高中数学知识点之方差定义
方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
高中数学知识点之方差性质
1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);
2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为
当X、Y相互独立时，，故第三项为零。
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：
平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n
(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
高中数学知识点之方差的应用
计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).
50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.
答：极差为
100-50=50.
平均数为
2017年高考数学方差必考知识点
一.方差的概念与计算公式
例1两人的5次测验成绩如下：
X:50，100，100，60，50E(X)=72;
Y:73，70，75，72，70E(Y)=72.
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X)：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里是一个数。
推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的`平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动
二.方差的性质
1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);
2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
证：
特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)(方差无负值)
3.若X、Y相互独立，则
证：
记则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为
当X、Y相互独立时，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：
平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
三.常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布
X~B(n，p)
引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数，服从两点分布)
3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布
另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
7.t分布：其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2);
正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律，计算得到工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。
方差的定义：。