第二章 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值

【思路点拨】(1)由y′＜0的解集为 ( 3 , 3 )， 确定a的取值
3 3
范围.(2)先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为 恒成立问题求解．
【规范解答】(1)选A.
≧ y 3a(x 2 1 ) 3a(x 3 )(x 3 ),
3 当 3 ＜ x＜ 3 3 3 3 3 3 3 因为函数y=a(x3-x)在 ( 3 , 3 ) 上是减少的， 3 3
考向 2
已知函数的单调性求参数的范围
3 3
【典例2】（1）若函数y=a(x3-x)的递减区间为 ( 3 , 3 )， 则a
的取值范围是( )
（A）a＞0
（C）a＞1
（B）-1＜a＜0
（D）0＜a＜1
(2)（2013·厦门模拟）若函数f(x)=x3-ax2+1在［1,2］上是 减少的，求实数a的取值范围．
(i)当a＞1时，1-2a＜-1,
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x
f′(x) f(x)
(-≦,1-2a)
+ 增加
(1-2a,-1)
减少
(-1,+≦)
+ 增加
由此得，函数f(x)的递增区间为(-≦,1-2a)和(-1,+≦)，递减 区间为(1-2a,-1).
(ii)由a=1时，1-2a=-1，此时，f′(x)≥0恒成立，且仅在x=
(1) f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.( )
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(
(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )
)
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是 极小值.( )
第十一节
导数与函数的单调性、 极值、最值
1.函数的单调性与导数的关系 （1）函数y=f(x)在（a，b）内可导
常数函数
（2）单调性的应用 若函y=f(x)在区间（a,b）上单调，则y=f′(x)在该区间上
不变号 _______.
2.函数的极值 （1）极大值 在包含x0的一个区间（a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数 点x0 小于或等于 值都___________x0点的函数值，称____为函数y=f(x)的极大
6 2 6
a 2
a 2
a 2
【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法 （1）方法一：①确定函数y=f(x)的定义域； ②求导数y′=f′(x)； ③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为递增区间；
④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为递减区间．
（2）方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;
大值可能比极小值大，也可能比极小值小.
(4)错误.对可导函数f(x)，f′(x0)=0只是x0点为极值点的必 要条件，如y=x3在x=0时f′(0)=0，而函数在R上为增函数，所 以0不是极值点． (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极 值. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
【变式备选】（1）函数y=xln x的递减区间是___________． 【解析】y ln x x 1 lnx 1， 令y′＜0，解得 x＜1，
x
e
又x＞0，≨y=xln x的递减区间是 (0, 1 )． 答案：(0, 1 )
e
e
(2)已知函数 f x 1 x 3 ax 2 bx, 且f′（-1）=0,
5．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，
则f(x)>x的解集是( （A）(0,1) （C）(1，＋∞) ) （B）(－1,0)∪(0,1) （D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】选C.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所 以F(x)是增函数，故易得F(x)>F(1)的解集，即f(x)>x的解集 是(1，＋≦)．
a 6
a 2
综上，当0<a≤2时，f(x)+g(x)在(-≦,-1)上是增加的; 当2＜a≤6时，f(x)+g(x)在 (, ） 上是增加的，在 ( , 1) 上是减少的; 当a＞6时，f(x)+g(x)在 (, ) 上是增加的，在 ( a , a ) 上 是减少的，在 ( a , 1) 上是增加的.
f(x)+g(x)当a＞0时，在区间（-∞，-1)上的单调性.
【解析】由本例解析知，当a＞0时，函数的递增区间是
a a a a (, ),( , )；递减区间为 ( , ). 2 6 2 6 a 1 即0＜a≤2时，f(x)+g（x）在(-≦，-1)上为增 ， 当 2
加的；
②求导数y′=f′(x)，令f′(x)=0，解此方程，求出在定义区
间内的一切实根;
③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的
各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
f(x)的定义区间分成若干个小区间;
④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个
相应区间内的单调性．
1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的递增区间为( （A）(0, 1 ) （C）(, 1 )
a
)
a
（B） 1 , ) (
a
（D）(-∞,a)
x a
【解析】选A.由 f x ＝ 1 －a 0， 得 0 x 1 ， ≨f(x)的递增
1 区间为 (0， )． a
2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值， 则下列点中一定在x轴上的是( （A）(a，b) （C）(b，c) )
考向 1
利用导数研究函数的单调性
1 2
【典例1】（1）（2012·辽宁高考）函数 y x 2 ln x 的递减
区间为(
)
（B）(0,1］
（A）(-1,1］
（C）［1,+∞)
（D）(0,+∞)
（2）（2012·北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),
g(x)=x3+bx. ①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值; ②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
3 2
≧a>0,≨x1<x2,
a a 由F′(x)>0得，x 或 x ； 2 6 a a 由F′(x)<0得， x . 2 6 a a ≨递增区间是 (, ),( , )； 2 6 递减区间为 ( a , a ). 2 6
【互动探究】在本例题(2)②中，若条件不变，讨论函数
)
（D）无最大值，但有最小值
【解析】选C.f′(x) =3x2-3,≧x∈(-1,1),≨f′(x)＜0,
≨f(x)在(-1,1)上是减少的，故f(x)无最大值，也无最小值.
4．已知f(x)＝x3－ax在［1，＋∞)上是增加的，则a的最大值 是( （A）0 ) （B）1 （C）2 （D）3
【解析】选D. f′(x)＝3x2－a≥0在［1，＋≦)上恒成立，即 a≤3x2在［1，＋≦)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3. ≨a≤3，故amax＝3.
【解析】（1）错误.f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之
不一定．如函数f(x)=x3在(-≦,+≦)上单调递增，但
f′(x)≥0．所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件，
但不是必要条件．
(2)错误．一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一
个.
(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极
时， 3 )(x 3 )＜0, (x
所以y′≤0，即a≥0，经检验a=0不合题意，≨a＞0．
(2)f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a). 方法一： 由f(x)在［1,2］上减少知f′(x)≤0，即3x2-2ax≤0在［1,2］
-1处f′(x)=0，故函数f(x)的递增区间为R.
(iii)当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得函数f(x)的递增区间为
(-≦,-1)和(1-2a,+≦)，递减区间为(-1,1-2a). 综上：当a＞1时，函数f(x)的递增区间为(-≦,1-2a)和 (-1,+≦)，递减区间为(1-2a,-1)； 当a=1时，函数f(x)的递增区间为R； 当a＜1时，函数f(x)的递增区间为(-≦,-1)和(1-2a,+≦)，递 减区间为(-1,1-2a).
2 x
-1≤x≤1，且x≠0，又函数的定义域为(0,+≦),故递减区间为 (0,1］.
（2）①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b，
f 1 a 1 c, 由已知可得 g 1 1 b c, 2a 3 b，
解得a=b=3.
a2 ②令 F x f x g x x ax x 1， 4 2 a a F x 3x 2 2ax ，令F′(x)=0，得 x1 ， 2 4 a x2 , 6
（2）求函数在闭区间［a,b］上的最值可分两步进行： 极值 ①求y=f(x)在(a,b)内的_____； ②将函数y=f(x)的各极值与区间［a,b］端点处的函数值f(a)， 最大的一个 最小的一个 f(b)比较，其中___________为最大值，___________为最小值.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y′≤0求
解.
(2)①利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等， 构造方程组求解；②构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求 单调区间. 【规范解答】（1）选B.由 y ( 1 x 2 ln x） x 1 0 ⇒