三元一次方程组的一般解法

首先，给出三元一次方程的一般形式： a 1x+b 1y+c 1z=A （1）

a 2x+

b 2y+

c 2z=B （2）

a 3x+

b 3y+

c 3z=C （3）

对于其一般解法，先联立前两个式子，对（1）式两边同时乘a 2，对（2）式两边同时乘a 1 a 1a 2x+a 2b 1y+a 2c 1z=a 2A(4)

a 1a 2x+a 1

b 2y+a 1

c 2z=a 1A(5)

(4)-(5),得：

(a 2b 1-a 1b 2)y-(a 2c 1-a 1c 2)z=a 2A-a 1B （6）

由于其中除了y 和z 均为具体题目中的常数，故可以将（6）式视为关于y 和z 的二元一次方程。 我们用同样的方法可以得到关于x 和z 的方程以及关于x 和y 的二元一次方程。

这样，我们得到了一组新的三元一次方程，且每个方程中的未知数变成了两个。

假设得到的新方程组为

p 1x+q 1y=X(7)

p 2x+q 2z=Y(8)

p 3y+q 3z=Z(9)

联立（7）（8），p 2q 1y-p 1q 2z=p 2X-p 1Y(10)

联立（6）（10），得到一组关于y和z的二元一次方程组，可以解出y和z的值，带回任意含x 的方程即可解除x。

总结：解三元一次方程组的核心问题在于消元，常规的方法是通过联立其中的两个方程消除一

个未知数，最终转化为二元一次方程组。

备注：实际的习题中可能有变形，但问题的实质仍是通过消元转化为我们学过的方程形式求解，另外，许多题目通过细致的观察可以巧解，我们做一定量的习题培养自己的题感可以帮助我们

找到最便捷的解法。