知识点094--分母有理化(填空题)
初二数学分母有理化题练习题
初二数学分母有理化题练习题解答：1. 将分数的分母有理化为整数：a) 将 $\frac{3}{5}$ 的分母有理化为10：$$\frac{3}{5} = \frac{3}{5}\times\frac{2}{2} = \frac{6}{10} $$b) 将 $\frac{2}{3}$ 的分母有理化为6：$$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\times\frac{2}{2} = \frac{4}{6} $$c) 将 $\frac{4}{7}$ 的分母有理化为35：$$\frac{4}{7} = \frac{4}{7}\times\frac{5}{5} = \frac{20}{35} $$2. 化简分式：a) 化简 $\frac{12}{18}$：首先，将12和18都除以它们的最大公约数6，得到\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$b) 化简 $\frac{24}{36}$：首先，将24和36都除以它们的最大公约数12，得到 $$\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$c) 化简 $\frac{16}{40}$：首先，将16和40都除以它们的最大公约数8，得到 $$\frac{16}{40} = \frac{2}{5}$$3. 求两个分数的和的结果：a) 计算 $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}$：分子相加，分母保持不变，得到$$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1b) 计算 $\frac{4}{7}+\frac{5}{7}$：分子相加，分母保持不变，得到$$\frac{4}{7} + \frac{5}{7} = \frac{9}{7}$$4. 求两个分数的差的结果：a) 计算 $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}$：分子相减，分母保持不变，得到$$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$b) 计算 $\frac{9}{10}-\frac{3}{10}$：分子相减，分母保持不变，得到$$\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$5. 求两个分数的乘积的结果：a) 计算 $\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$：分子相乘，分母相乘，得到$$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5} = \frac{8}{15}$$b) 计算 $\frac{3}{4}\times\frac{5}{8}$：分子相乘，分母相乘，得到$$\frac{3}{4}\times\frac{5}{8} = \frac{15}{32}$$6. 求两个分数的商的结果：a) 计算 $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$：将除法转换为乘法，即 $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3}\times\frac{5}{4}$，然后进行相乘，得到 $$\frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$b) 计算 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$：将除法转换为乘法，即 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} =\frac{5}{6}\times\frac{3}{2}$，然后进行相乘，得到$$\frac{5}{6}\div\frac{2}{3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$在初二数学中，我们经常会遇到需要将分数的分母有理化为整数、化简分式、进行分数的加减乘除等操作。
分母有理化-北京习题集-教师版
分母有理化（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2009春•东城区期末）由于1=，，，⋯，则1)(= ) A ．2007B ．2008C ．2009D ．20102．（2002( )A ．1B ．1C D3．（2019分母有理化的结果为( )ABC D 4．（2010的结果为( )A ．2B ．2C ．2-D ．2-二．填空题（共6小题）5．（2019秋•昌平区校级期中）观察下列等式：第1个等式：11a =，第2个等式：2a =第3个等式：32a ==4个等式：42a =，⋯⋯按上述规律，计算123900a a a a +++⋯⋯+= 6．（2015秋•昌平区期末）观察规律：1=======-= ；= (1n 的整数）；1)= ．7．（2009的关系是 ．8．（1997的结果是．9．（2009秋•北京校级期中）12的倒数是．10．（2008=．三．解答题（共3小题）11．（2019秋•昌平区校级期末）（1011(3)()2|2π---+-（2）解方程组230, 32512, 247; x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩12．（2018春•海淀区期末）已知2x=2y=22x xy y++的值．13．（2015的化简：==①=．②1===．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：1===．④（1）参照③=（2）参照④+．分母有理化（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）=，，，⋯，则1．（2009春•东城区期末）由于1=)1)(【分析】此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算．【解答】解：1)=+11)1)==-20091=．2008故选：B．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．2．（2002()A．1B．1C D【分析】将所给的式子进行分母有理化即可．【解答】解：原式===D．【点评】此题主要考查的是二次根式的分母有理化，正确的找出分母的有理化因式是解答此类题目的关键．3．（2019分母有理化的结果为()B C DA【分析】，化简即可得到结果．【解答】=，故选：A ．【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 4．（2010的结果为( )A ．2B ．2C ．2-D ．2-【分析】分子和分母都乘以2+，再求出即可．【解答】解：原式==2=+故选：A ．【点评】本题考查了分母有理化，关键是找出2 二．填空题（共6小题）5．（2019秋•昌平区校级期中）观察下列等式：第1个等式：11a =，第2个等式：2a =第3个等式：32a ==4个等式：42a =，⋯⋯按上述规律，计算123900a a a a +++⋯⋯+1【分析】先根据等式的规律推导出n a n =为正整数），再代入到123900a a a a +++⋯⋯+，计算化简． 【解答】解：根据等式的规律可得，n a n =为正整数）， 123900a a a a ∴+++⋯⋯+，1=-+1=．1．【点评】本题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是找出等式的规律． 6．（2015秋•昌平区期末）观察规律：1=======-=(1n的整数）；1)=．【分析】仿照上述计算过程将原式变形，化简即可得到结果；原式括号中分母有理化后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】====，原式11)1)201612015 ===-=，；2015【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．7．（2009的关系是相等．【分析】【解答】解：=∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．8．（1997的结果是2+【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式2==+故答案为：2+【点评】此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是解本题的关键．9．（2009秋•北京校级期中）12【分析】根据互为倒数的定义，解答出即可；【解答】解：由题意得，112=；．【点评】本题主要考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式．10．（2008=． 【分析】根据二次根式的性质化简． 【解答】解：原式===． 【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式． 三．解答题（共3小题）11．（2019秋•昌平区校级期末）（1011(3)()2|2π---+-（2）解方程组230,32512,247;x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩【分析】（1）根据分母有理化、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可；（2）根据三元一次方程组的解题步骤进行消元，先化为二元一次方程组再化为一元方程进行计算即可． 【解答】解：（1）原式122=--1=--（2）23032512247x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩①②③①+②得，4812x z +=④ ②2⨯+③得，8917x z +=⑤ ④2⨯-⑤得，77z = 解得1z =，把1z =代入④得，1x =， 把1x =，1z =代入①得，2y =， 所以原方程组的解为：121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【点评】本题考查了分母有理化、零指数幂、负整数指数幂、解三元一次方程组，解决本题的关键是利用上述知识准确计算．12．（2018春•海淀区期末）已知2x =2y =22x xy y ++的值．【分析】将22x xy y ++变形为222x xy y xy ++-，得到原式2()x y xy =+-，再把2x =2y =可求解．【解答】解：2x =-，2y =22x xy y ∴++ 222x xy y xy =++- 2()x y xy =+-2(22(2=+-+1643=-+ 15=．【点评】考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键．13．（2015的化简：==①=．②1===．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：1===．④（1）参照③=（2）参照④+．【分析】（Ⅰ）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（Ⅱ）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）参照③==（2）参照④式化简====故答案是：=（Ⅱ）原式12 =11)2=+++⋯+11)2=．【点评】本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．。
专题1：分母有理化
专题1：分母有理化
【阅读材料】
阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．
333
=
再如：1)2
=，1)与1)的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．
于是进行二次根式的化简时，
这样的式子，其实我们还可以将
==；
1
===．
像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化．
【解决问题】
（1的有理化因式是；2的有理化因式是．
4的有理化因式是．
（2）化简：
=；=；
（3）化简：5.0
2
1
4
（4）化简：
22
（5）的倒数为．
（6
-
【小试牛刀】
1.把下列各式分母有理化：
；（2；（3；
（1
；（2；（3．
（1
3.将下列各式分母有理化：
；（2；（3；（4
（1
4.计算。
二次根式的运算之分母有理化(人教版)(含答案)
算
9.已知 ， ， ，…，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
10.计算： ( )
A. B.16
C. D.1
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的非负性
6.已知 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
二次根式的运算之分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
故选A
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
3. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的倒数
4.计算： ( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)
二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a=来确定,如：b a -与b a -等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定,如：a与a,等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方,再和分母约分。
分母有理化：22222222++⨯===有根式有根式总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例题 1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化,合并同类二次根式后,再按平方差公式计算。
答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。
故选C 。
点拨：考查二次根式的分母有理化。
主要利用了平方差公式,所以一般来说,二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。
例题2 与212171-最接近的整数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8解析：将原式进行分母有理化,再进行估算。
答案：解：原式=832171⨯-=22)8(83231+⨯-=2)83(1-=831-=83+=223+≈5.828。
与6最接近。
故选B 。
点拨：考查了无理数的估算,先利用完全平方公式将分母化简,再进行分母有理化是解题的关键。
有理化在方程中的应用示例 已知225x -－215x -＝2,则225x -+215x -的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题意,225x -－215x -＝2,变形为225x -＝2+215x -,两边平方得x 2=1243,代入求值即可。
二次根式分母有理化综合训练
二次根式分母有理化综合训练分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到132+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记：分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________.1、按要求填空： （1）把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()()b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1）121 （2）231 （3）541（4）52 （5） 812 （6）3273、较为复杂的分母有理化练习：（1）321+ （2）23321- （3）32347++（4）3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a --4、计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．7、观察以下各式： 343412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算：()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++7、阅读下面问题：12)12)(12()121211-=-+-⨯=+（ 2323)(23(23231-=-+-=+）252)52)(5(25251-=-+-=+ 试求：（1）n n ++11（n 为正整数）的值. （2）利用上面所揭示的规律计算：201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题： 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(23231-=-+-=+ 34)34)(34(34341-=-+-=+.…… 试求：（1）671+的值；（2）17231+的值；（3）n n ++11（n 为正整数）的值.。
2019八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题 (新版)青岛版
二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a a a =来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a b a b ，a b a b 与a x b y x b y 与等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
()23232366233212186623====---；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。
分母有理化：222232232374323232323++⨯+===+++总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
根号内含有分数或分式根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数21中根号内分子分母同乘以2；271中根号内分子分母同乘以3，而不是27分母中含有根式 分子分母同乘以能使分母化为整式的根式21中分子分母同乘以2，321中分子分母同乘以3而不是23分母中含有根式的和（差）分子分母同乘以有理化因式 能构成平方差的形式例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。
答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。
故选C 。
点拨：考查二次根式的分母有理化。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)
1
38
87
76
= 7+ 6， 1 = 6+ 5， 65
∴a=3+2 2 － 2 2 － 7 + 7 + 6 － 6 － 5 =3－ 5 ，又∵ 2＜ 5 ＜ 3，∴ 0＜ a
＜ 1。故选 B。
4. A 解析：∵ 5 5
3x +
7
x
(
=2，∴
5
6 72
(5
3x)( 5 6 )( 5
6)
+
6)
( 7 x)( 7 2) =2，即 30 － 5+3 2 x－ 15 x+ 1（ 7+ 14 － 7 x－ 2 x）=2，
答 案： ∵ 25 x 2 － 15 x 2 ＝ 2 ，∴ 25 x 2 ＝ 2+ 15 x2 ，两边平方得 25－
x 2=4+15－ x 2+4 15 x2 ，即 4 15 x 2 =6， 2 15 x2 =3，两边再平方得 4（ 15－ x 2） =9，
化简，得 x 2=12 3 ，把 x 2=12 3 代入 25 x2 + 15 x2 ，
二次根式分母有理化及应用
分析考点
一、分母有理化 1. 定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，
为有理化因式。 有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式 ：利用 a a a 来确定， 如： a与 a ， a
就说这两个代数式互
4
4
得
25
3 12 + 15
3
1
12 = 12 +
17 2=+
分母有理化专项练习题
分母有理化专项练习题1、【知识链接】(1)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式.例如：V2的有理化因式是V2；1-"+2的有理化因式是1+”+工.(2)分母有理化：分母有理化又称宥理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的.【知识运用】(1)填空：2\石的有理化因式是;a+的有理化因式是;-G T“---v阴+1的有理化因式是.(2)把下列各式的分母有理化：I氓+躯①重+\行；②V--.2、阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如H,r这一类式子，通常可以这样进行化简古汪：i♦然V亏JvFi万法一：=r——==避出黑迷522｛禽-1)2(4-Q===；-1.这种化简步骤叫分母有理化.方法二：浦+1还可以用下面方法化简23-I(V^)2-P(⑸-1)(通-I)方+1=v?+l=、行+1=V；-1=t,；，-1.请用上面的两种方法化简3、观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：1-—1母收—I例11嘤-1=：¥"口：；•/：'f==I=--1.111例2:禽=¥'：1-¥'?,V4+V3=V1-V?v'5+v Z4=v15-V1利用以上结论解答以下问题:(1)=1]]1⑵应用上面的结论，求下列式子的值.v15+i++而+…+，而-5而1111 (3)拓展提高，求下列式子的值.l+v9+总+1行+凤1+…+永有+/^而？.4、观察下列运算①由(\*~t~1)(V2-1)=1,得施+1=«?_[；]②由()(V：｛-)=1,得5t+\，2=%,'：，一v12；1③由(v4+v3)(v4-v3)=1,得W+\x=vl-d*；]④由(\/5+v-i)(V-l)=1,得vh+v^=v5V-l；…(1)通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来.(2)利用你发现的规律，计算[+[+]+[]温+i将.(+T而H+…+商定赢.5、观察下列等式：]6-I①'=一/三+1：.：./工-..==、/工-1；1C-瓜③v3+通=(v'7+v1^jl、・叮7aHVW；…回答下列问题：1(1)利用你观察到的规律：化简：v'5I+V^=1111(2)计算：1+6+04代+逐+'2+…+"丽+0亩.。
分母有理化知识点总结
分母有理化知识点总结首先，我们来介绍一下有理化学的基本概念。
有理化学是一种通过变换和化简来消除不合适数形式的化学运算法则。
在化学中，我们常常会遇到一些不方便进行计算的式子，比如分母中含有开根号的式子、含有复数的式子等等。
有理化学就是通过一些变换和化简的方法，将这些不方便计算的式子化为符合我们计算需要的形式，从而更方便进行计算和分析。
接下来，我们来总结一下分母有理化的知识点。
分母有理化主要包括以下几个方面的内容：1. 分母有理化的基本理论：分母有理化主要是通过变换和化简的方法，将不合适的数形式化为合适的数形式。
要实现分母有理化，首先要了解和掌握有理函数的概念和特点，理解和掌握有理函数的基本性质，掌握分式的乘除、加减的基本运算法则以及有理函数的相加减思想等基础知识。
2. 分母有理化的基本方法：分母有理化主要包括几种基本的方法，比如分子除法法、最小公倍数法、分解因式法等。
要实现分母有理化，首先要根据式子的形式和特点选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
3. 分母有理化的具体案例：分母有理化主要包括一些具体的案例，比如分母含有平方根的式子、含有复数的式子、含有多项式的式子等等。
要实现分母有理化，首先要根据具体的案例选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
接下来，我们来提供一些学习分母有理化的方法和技巧。
1. 理清概念，掌握基础：要学习分母有理化，首先要理清分母有理化的基本概念，了解有理函数的概念和特点，熟练掌握有理函数的基本性质，熟练掌握分式的乘除、加减的基本运算法则以及有理函数的相加减思想等基础知识。
2. 理解方法，掌握技巧：要学习分母有理化，需要理解和掌握分母有理化的基本方法，比如分子除法法、最小公倍数法、分解因式法等。
要根据式子的形式和特点选择合适的有理化方法，然后通过具体的变换和化简步骤进行分母有理化。
3. 多练习，善总结：学习分母有理化，需要多进行一些分母有理化的练习，通过练习可以加深对分母有理化的理解和掌握，并且可以总结一些分母有理化的常见规律和技巧，从而更好地应用和运用这些规律和技巧。
分母有理化专项练习题
分母有理化专项练习题
1、【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1-的有理化因式是
1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
（1）填空：2的有理化因式是______ ；a+的有理化因式是______ ；--的有理化因式是______ ．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．
2、阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如、这一类式子，通常可以这样进行化简
方法一：==
===-1．这种化简步骤叫分母有理化．
方法二：还可以用下面方法化简====-1．
请用上面的两种方法化简．
3、观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：====-1．
例2：=-，=-，=-
利用以上结论解答以下问题：
（1）= ______
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．+++…+
（3）拓展提高，求下列式子的值．+++…+．
4、观察下列运算
①由（）（）=1，得=；
②由（）（）=1，得=；
③由（）（）=1，得=；
④由（）（）=1，得=；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来．
（2）利用你发现的规律，计算：
+…+．
5、观察下列等式：
①==-1；
②==；
③==-；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律：化简：= ______ ；
（2）计算：+++…+．。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习09 分母有理化
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题09 分母有理化一、单选题1A ．3BC ．D ．2．如果a =2b =，那么a 与b 的关系是（） A ．0a b +=B ．a b =C ．1a b=D ．a b <3．下列计算正确的是（）A =BC ．D=24．下列运算中，错误的是（）A =B2=C ．=D 3=-5．已知，a+b+ab 的值为（）A ．B ．C ．-5D ．36．下面计算中正确的是（ ）A =B ．（2=36 C 1= D ．7．下列各组中互为有理化因式的是（）A B ．2-2CD8( )A1. B1CD9时，甲、乙两位同学的解答如下：()x y-==()()()22x y-=--.22-===关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错10．下列运算中错误的是 ( )AB2C．＋D＝411A．2 B．C．12D．212===；小娟：7===．对于两位同学的解法，正确的判断是（）A．小燕、小娟的解法都正确B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确C．小燕、小娟的解法都不正确D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确13．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式14．已知a=1+则a与b的关系是( )A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数15．下列计算正确的是（）．A=B．3=C．(21-=D1=16．下列式子中，与互为有理化因式的是（）A．B．C+D17A．B．2C．12D．218．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式19．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东AC方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则BO的长为（）A．200B．400C．200D．40020．若x ，2y =，则x 与y 的关系是（） A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．1xy =21A B CD22．已知a =，b=，那么a 与b 的关系为( ) A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．a 是b 的平方根23．计算（1-）﹣（1+ ）A ．12B C D ．224．下列说法中，正确的是（）AB ．方程23x x =的解是x =C ．方程2(3)16x -=的解为7=±xD ．若方程20ax bx a -+=有两个实数根，则这两实数根互为倒数25))1111==)))1112⎡⎤=+=⎣⎦)))1113⎡⎤=++=⎣⎦从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：)···的值为（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020260=，那么yx的值为（）A ．1B ．-1C ．5D ．5-27==5=，④2=-；其中运算正确的有（）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个28．已知a =2b =a 与b 大小关系是（） A ．a b ≥B ．a b ≤C ．a b <D ．a b =29．已知，在ABC 中，D 是BC 边上一点，30,45ABC ADC ∠=∠=．若D 是BC 边的中点，则ACB ∠的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°30．已知三个数2，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（）．A ．B ．2C ．D ．，2或31．下列运算正确的有（）个.①6-==7==2=④=⑤=5==A ．1B ．2C ．3D ．432．已知a =，b =，则a 与b 的大小关系是（）．A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定33．已知1a =，b =a 与b 的关系为（） A ．a b = B ．1ab = C ．=-a b D ．1ab =-34．若a =，2b =+a b 的值为（）A ．12B ．14CD 35．已知√3+√2<x <√5−√3，那么满足上述条件的整数x 的个数是（）. A ．4B ．5C ．6D ．736．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x==-=，解得x=，即=（）A．5+B．5+C．5D．5-37．若a＝3235++，b＝2+610-，则ab的值为（）A．12B．14C．321+D38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2=a；（32；（4）（5）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题39．化简：=______．40=__________．41=______．42=_______．43=______．44=_______．45．已知函数()f x =，那么()5f =______．46的有理化因式是___________．47=_________．48．2的一个有理化因式是__________．49．实数2_____． 50．已知x =a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba=______．51=______．52_____________．53．不等式(21x -<的解集是____________．54．关于x >+_________．55．不等式1x ≤的解集是__________56．已知11,x y ==，则22232x xy y ++的值是_____．57．已知函数y ＝1xx -，当x 时，y ＝_____． 58．已知a b ==，则223a ab b -+的值为__________．59＝__． 60．已知a，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．61．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______三、解答题 62．计算（12|--；（225|2-．6311()(34---6465．化简并求值：2256•32m m m m m m m -+⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，其中m =66(33)+；1016(3.5)2π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭67．先化简，再求值：2321(2)236m m m m m -++-÷++，其中1m =. 68．计算：(1)(2)已知2x =，2y =+，求22x xy y ++的值. 69．观察下列等式：第一个式：1a ==第二个式：2a ==第三个式：3a ==按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第四个等式：a 4=___________=_________ ； （2）利用以上规律计算：a 1+a 2+a 3+…+a 11；（3）求+的值。
九年级数学思维培训第二讲 分母有理化
第二讲 分母有理化
一、知识要点与思维方法
把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化,又称有理化分母,是数学上的专有名词,指的是在二次根式中分母原为无理数,而将该分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去.
⑴在计算二次根式除法时,当被开方数不能恰好为整数时,常用分母有理化的方法化简.
⑵分母有理化的依据是:分式的基本性质和二次根式的性质()()()0,022≥=≥=a a a a a a .
二、例题选讲
例1、 化简 ①671
- ②32347++
③5326
2-+ ④355353--
⑤()()75537
523-+-+
⑥x x x x x x x x -++++++-+1111
例2、 已知2231
+=x ，求3262-+-x x x 的值.
例3、 解不等式x x 332<
-
三、课堂练习
1、 化简 ①
22341+ ②y x y x 3232-+
③()()()()13123322---+ ④5325
32+++-
2、 计算
③
154510-- ② 221111x x x x +-+++
③494747491
75571
53351
331
++++++++。
初中数学常考的知识点：分母有理化
初中数学常考的知识点：分母有理化初中数学常考的知识点：分母有理化导语：一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。
下面是小编为大家整理的关于初中数学的学习方法，希望对大家有所帮助，欢迎阅读，仅供参考的，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的栏目!分母有理化I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式可以利用平方差公式如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算1、幂的运算法则(m,n是整数)：(1)a×a=a²;(2)a²÷a=a;(a≠0)(3)(a)²=a²(4)(ab)²=a²b²2、整式的运算(略)3、乘法公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3(三)多项式的因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解1、提公因式法;2、公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
二次根式专项训练-最简根式分母有理化
二次根式专项训练-最简根式分母有理化.txt二次根式专项训练-最简根式分母有理化介绍这份文档是关于二次根式最简根式分母有理化的专项训练。
最简根式分母有理化是一种将二次根式分母中的无理数化简成有理数的方法。
在本文档中，我们将提供一些练题来帮助您熟练掌握这一技巧。
练题以下是一些二次根式最简根式分母有理化的练题，请您尝试解答：1. 将 $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ 的分母有理化。
2. 将 $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ 的分母有理化。
3. 将 $\frac{1}{\sqrt{7}-3\sqrt{2}}$ 的分母有理化。
4. 将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$ 的分母有理化。
5. 将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ 的分母有理化。
请注意，这些练题的目的是让您熟悉最简根式分母有理化的方法和步骤。
在解答时，请留意化简的规律和技巧。
答案以下是练题的答案：1. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}$2. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}$3. $\frac{\sqrt{7}+3\sqrt{2}}{7-3\cdot 2}$4. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2-5}$5. $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}$以上答案均为经过最简根式分母有理化后的结果。
总结通过这些练习题，您可以更好地掌握二次根式最简根式分母有理化的方法。
理解和熟练运用这一技巧将有助于您在数学问题中简化计算并得到更简洁的答案。
希望这份文档对您的学习有所帮助！。
分母有理化练习题
分母有理化练习题分母有理化练习题分母有理化是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的一项基础知识。
通过对分母有理化的练习题的研究和探索，我们可以更好地理解和掌握这一概念，提高解题的能力。
一、分母有理化的基本原理在分数的运算中，如果要进行加减运算，通常需要找到相同的分母，然后再进行运算。
而有时候，我们会遇到分母不同的情况，这就需要进行分母有理化的操作。
分母有理化的基本原理就是将分母转化为有理数的操作。
具体来说，就是通过乘以适当的有理数，将分母转化为有理数。
二、分母有理化的练习题1. 将分数1/2和1/3的分母有理化为6。
解答：首先，我们可以观察到2和3的最小公倍数是6。
所以，我们可以将1/2乘以3/3，得到3/6；将1/3乘以2/2，得到2/6。
这样，我们就将分母有理化为6。
2. 将分数3/4和2/5的分母有理化为20。
解答：观察到4和5的最小公倍数是20。
所以，我们可以将3/4乘以5/5，得到15/20；将2/5乘以4/4，得到8/20。
这样，我们就将分母有理化为20。
3. 将分数1/7和2/9的分母有理化为63。
解答：观察到7和9的最小公倍数是63。
所以，我们可以将1/7乘以9/9，得到9/63；将2/9乘以7/7，得到14/63。
这样，我们就将分母有理化为63。
通过以上的练习题，我们可以看到分母有理化的基本原理和操作方法。
在解题过程中，我们需要观察分母的关系，找到最小公倍数，然后通过乘以适当的有理数，将分母有理化为相同的数。
三、分母有理化的应用分母有理化不仅仅是数学中的一个概念，更是我们在实际生活中的一种思维方式和解决问题的方法。
例如，我们在购物时，经常会遇到不同商家的价格单位不同的情况。
这时，我们可以通过分母有理化的思维方式，将价格单位统一，方便进行比较和选择。
再比如，在工作中，我们常常需要将不同的数据进行比较和分析。
而这些数据往往具有不同的单位和尺度。
通过分母有理化的思维方式，我们可以将这些数据转化为相同的单位，从而更好地进行分析和决策。
分母有理化(人教版)(含答案)
A. B.
C. D.5
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
答案：C
解题思路：∵
故选C．
分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1. 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
∴a=b
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
9.已知 ， ， ，……，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
10.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
3.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
4. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
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一、填空题（共82小题）1、（2009•上海）分母有理化：= ．考点：分母有理化。
分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以．解答：解：==．点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法．2、（2008•上海）化简：= 2+ ．考点：分母有理化。
分析：本题只需将原式分母有理化即可．解答：解：==2+．点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．3、（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：= 2006 ．考点：分母有理化。
专题：规律型。
分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+…+=，然后利用平方差公式计算．解答：解：∵，，，…∴原式=（+…+）（）=（）（）=2008﹣2=2006．故本题答案为：2006．点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．4、（2007•厦门）计算= ．考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．解答：解：原式==．点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．5、（2006•厦门）计算：（）0+•（）﹣1= 2 ．考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。
分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）0=1，（）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简．解答：解：（）0+•（）﹣1=1+•=1+1=2．点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简．6、（2006•黄冈）化简：= ．考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：根据最简二次根式的方法求解即可．解答：解：==，故填．点评：本题主要考查了二次根式的化简方法．7、（2004•郑州）计算：= ．考点：分母有理化；负整数指数幂。
分析：按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化．解答：解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．点评：涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化．8、（2002•浙江）分母有理化：= ．考点：分母有理化。
分析：分子分母同乘以有理化因式2﹣．解答：解：==2﹣．点评：要将+中的根号去掉，要用平方差公式（+）（﹣）=a﹣b．9、（2004•江西）化简：= 1﹣ ．考点：分母有理化。
分析：由于5=，将分子提，与分母约分即可．解答：解：==1﹣．点评：当分子分母有公因数时，可约去公因数化简．10、（2002•湛江）分母有理化= +1 ．考点：分母有理化。
分析：分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．解答：解：==．点评：要正确使用平方差公式，去掉分母中的根号．11、（2001•乌鲁木齐）计算的结果为 ．考点：分母有理化；负整数指数幂。
分析：根据负整数指数幂的定义变成分式的形式，再分母有理化．解答：解：原式==2+．故本题答案为：2+．点评：解答此题要熟知：实数的负指数幂等于实数的正指数幂的倒数．12、（2001•陕西）化简的结果是 ﹣ ．考点：分母有理化。
分析：先找分子分母的公因式，约分，再化简．解答：解：原式===﹣．点评：当分子分母有公因式时，可约去公因式化简．13、（2001•常州）（﹣2）0= 1 ；（）﹣1= 2 ；= ﹣1﹣ ．考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。
分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：（﹣2）0=1；（）﹣1==2；==﹣1﹣．故本题答案为1；2；﹣1﹣．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．14、（2000•昆明）化简的结果是 ﹣2 ．考点：分母有理化。
分析：根据二次根式的性质把分母有理化即可．解答：解：原式==﹣2．点评：应先进行分母有理化，再计算．15、（1999•温州）已知，则= ﹣4 ．考点：分母有理化。
分析：首先求出a和的值，然后再代值求解．解答：解：由题意，知：a===﹣（+2），=﹣2；故a+=﹣（+2）+﹣2=﹣4．点评：此题主要考查的是二次根式的分母有理化，能够准确的找出分母的有理化因式是解答此类题的关键．16、（1999•上海）化为最简根式= ．考点：分母有理化。
分析：当一个二次根式含有分母时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化．本题中，分子、分母同乘以2x即可．解答：解：∵＞0，∴x＞0，∴=．点评：主要考查了二次根式的化简，属于基本题型．17、（1998•宁波）分母有理化= ．考点：分母有理化。
分析：分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为，因此将分子、分母同乘以，消去分母中的根式即可．解答：解：==．点评：本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式解决此类题的关键．18、方程（+1）x=+2的解是 ．考点：分母有理化；解一元一次方程。
专题：计算题。
分析：本题可右边提两边约分，得到解；也可先将方程的左右两边同时乘以﹣1，可将方程简化．解答：解：方程右边提得（+1）x=（+1）两边同除以（+1），得x=．点评：本题方程左右两边都乘以﹣1，就可使方程得到简化．类似的方程也可找出相应的关系来化简方程，以便求解．19、与的关系是 相等 ．考点：分母有理化。
分析：把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．解答：解：∵=，∴的关系是相等．点评：正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．20、计算：= 1+ 考点：分母有理化。
分析：根据分式的基本性质，分子提，再与分母约分即可．解答：解：==+1．点评：主要考查二次根式的分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式分母有理化．21、写出一个无理数使它与的积是有理数 （答案不唯一） ．考点：分母有理化。
专题：开放型。
分析：利用平方差公式可得，所求无理数为，答案不唯一．解答：解：与的积是有理数的无理数可以是：．（答案不唯一）．点评：本题是一道开放题只要符合题意即可．22、已知，比较：a = b（填“＞、＜或=”）．考点：分母有理化。
专题：计算题。
分析：先对a进行分母有理化，然后与b比较即可．解答：解：∵a==2﹣，b=2﹣∴a=b．点评：解答此题应当找到2+的有理化因式，再进行分母有理化．23、计算：= +1 ．考点：分母有理化。
分析：根据二次根式的乘法法则，分子提，再与分母约分即可．解答：解：==+1．点评：主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．24、观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．= 2009 ．考点：分母有理化。
专题：规律型。
分析：先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．解答：解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2009．点评：本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．25、计算= ，= 2﹣ ．考点：分母有理化；二次根式的性质与化简。
分析：（1）分母有理化即可；（2）判断出和2的大小，再进行计算即可．解答：解：（1）==+；（2）=2．点评：主要考查了二次根式的化简和平方差的运用．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．26、写出一个式子，使它与﹣1之积不含二次根式 +1 ．考点：分母有理化。
专题：开放型。
分析：本题实际是求﹣1的有理化因式，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．解答：解：与﹣1之积不含二次根式的式子为：+1．点评：此题主要考查二次根式的有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．27、化简= ．考点：分母有理化。
分析：被开方数的分子分母都乘3即可化简．解答：解：==．点评：这类题主要是把分母变成平方的形式开平方即可．28、计算：= ．考点：分母有理化。
分析：根据二次根式的除法法则计算．解答：解：=．点评：主要考查了二次根式的除法运算．除法法则=（a＞0，b≥0）．29、观察下列等式：①；②；③；…，请用字母表示你所发现的律： ．考点：分母有理化。
专题：规律型。
分析：本题求的是分母有理化的计算方法，先找出分母的有理化因式，然后利用平方差公式进行求解即可．解答：解：===．点评：本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解题的关键．30、的倒数是 2+ ，= ﹣ ．考点：分母有理化。
分析：（1）根据倒数的概念写出2﹣的倒数，再把其分母有理化即可；（2）根据二次根式有意义的条件解答即可．解答：解：（1）根据倒数的概念可知，的倒数是==2+；（2）∵3＞2，∴＞，∴原式=|﹣|=﹣．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知以下概念：（1）倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数叫互为倒数；（2）二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．31、计算：﹣= ﹣ ．考点：分母有理化。
分析：被开方数为平方数，根据开平方的性质计算．解答：解：﹣=﹣=﹣．点评：化简二次根式要注意观察被开方数，若被开方数为分式形式，要注意利用分式性质化简；若被开方数是整式或整数形式，要用分解因式或因数．然后把能开的尽方的因数或因式开出来．32、计算：= ．考点：分母有理化。
分析：此题考查了二次根式的除法，．解答：解：==．点评：此题比较简单，解题时要细心，注意运算法则的应用．33、=7x，则x= ．考点：分母有理化。
专题：常规题型。
分析：解题时首先把=7x进行分子有理化，然后求出x的值．解答：解：分子有理化得：，∵x≠0，∴两边平方化简得：再平方化简得：点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．34、化简：= ．考点：分母有理化。