十字相乘法的方法
十字相乘法的用法
十字相乘法“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。
它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为 2 -53 ╳ 5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/3用十字相乘法解一些比较难的题目：例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y7 ╳ -2y所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7 y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=01 -b2 ╳ +bx²- 3ax +（2a+b）（a-b）=01 -（2a+b）1 ╳ -（a-b）[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0所以 x1=2a+b x2=a-b两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式．利用配方法，把二次函数的一般式变形为：Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]应用平方差公式对右端进行因式分解，得Y=a[x+b/2a+√b2-4ac/2a][x+b/2a-√b2-4ac/2a]=a[x-(-b-√b2-4ac)/2a][x-(-b+√b2-4ac)/2a]因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c= 0的两个根因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1，0），（x2，0）的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式．在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
十字相乘法
十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.例1：二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）（2）（3）（4）见解析（1）；（2）（3）；（4）例2：二次项系数不为1的二次三项式分解因式：（1）（2）见解析（1）；（2）.例3：待定系数法求字母的值若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B.C.D. 2C，，分以下两种情况考虑：由①可得m＝1，故选C.例4：解决几何类问题已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，求此长方形的面积.15或15.75又解得，∴长方形的面积为15或15.75.例5：十字相乘法综合求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.见解析证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，∵x、m也是整数，∴49的倍数.巩固练习一．选择题1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）Ax2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），故选：A．2．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）DA、4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2＝xy（10x﹣5y）＝5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．3．下列多项式不能分解的是（）A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2B．x2﹣y2﹣6x+9C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5D．x2+2x+4DA．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2＝（a2+c2）（b2+d2），故本选项能分解；B．x2﹣y2﹣6x+9＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y），故本选项能分解；C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5＝（x+y﹣1）（x﹣3y+5），故本选项能分解；D．x2+2x+4不能分解，故本选项符合题意；故选：D．4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）C（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．二．填空题5．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．9由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．6．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝．（x﹣4y）（x+y）x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），7．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．3∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：m＝﹣2，n＝﹣5，则m﹣n＝﹣2+5＝3.8．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．﹣1∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1.9．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）（2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为．﹣5，﹣1，1，5∵﹣6＝﹣1×6＝﹣2×3＝1×（﹣6）＝2×（﹣3），∴m＝﹣1+6＝5或m＝﹣2+3＝1或m＝1+（﹣6）＝﹣5或m＝2+（﹣3）＝﹣1.10．多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝，m＝．9，3∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，∴，解得：.三．解答题11．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．（x﹣26）（x﹣34）x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．12．李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．经过思考，他给出了下列解法：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，或，解得x＞3或x＜﹣1．聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．x＞3或1＜x＜2由题意知x﹣1、x﹣2、x﹣3中负数的个数为偶数个，则①，解得：x＞3；②，解得：1＜x＜2；∴x＞3或1＜x＜2．13．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2甲：2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18，乙：2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16，∵甲同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，乙同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，∴原多项式为2x2﹣12x+18，将其分解因式为：2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2．14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2．（1）原式＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝（x+y）（x﹣3y）（1）原式＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝x2﹣2xy+y2﹣4y2＝（x﹣y）2﹣4y2＝（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）＝（x+y）（x﹣3y）．15．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．见解析x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．16．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．见解析x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）．。
十字相乘法公式技巧
十字相乘法公式技巧
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：
（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：
用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：
（1）、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
（2）、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
（3）、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：
例1把m+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1-21╳6所以m+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x+6x-8
分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为╳-4所以5x+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3：解方程x-8x+15=0
分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为1-31╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3x2=5。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法技巧
十字相乘法技巧
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那
么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
快速学习十字相乘法
做一做
十字相乘法解题实例： 十字相乘法解题实例：
-12可以分为分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2, 可以分为 12， 12×1.当 12分成 分成-12×1.当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m +4m 12=（ +4m）（m+6 m+6） 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2、 、
解法一、10x -27xy-28y²-x+25y解法一、10x²-27xy-28y -x+25y-3 =10x²- 27y+1） 28y²-25y+3） =10x -（27y+1）x -（28y -25y+3） =10x²- 27y+1） 4y- ）（7y =10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） +（ =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] +1）（ ）（5x =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y 25y+3用十字相乘法分解为 4y28y²用十字相乘法分解为（ 说明：在本题中先把28y -25y+3用十字相乘法分解为（4y-3） ），再用十字相乘法把10x²- 27y+1） 再用十字相乘法把10x 4y- ）（7y （7y -1），再用十字相乘法把10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y 分解为[2x +（ 1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
回顾思考
• 十字相乘法虽然比较难学,但是─旦学会了它,用它来解题, 十字相乘法虽然比较难学,但是─旦学会了它,用它来解题,会给外们带来 非常多方便,以下是对十字相乘法提出的一些见解。 非常多方便,以下是对十字相乘法提出的一些见解。 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数， 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于 常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法的用处：（ ：（1 用十字相乘法来分解因式。（ 。（2 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字 相乘法来解一元二次方程。 相乘法来解一元二次方程。 十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快， 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约 时间，还运用算量不大，不容易出错。 时间，还运用算量不大，不容易出错。 十字相乘法的缺陷：（ ）、有些题目用十字相乘法来解比较简单 ：（1 有些题目用十字相乘法来解比较简单， 4、十字相乘法的缺陷：（1）、有些题目用十字相乘法来解比较简单， 但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。（ ）、十字相乘法只适 。（2 但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。（2）、十字相乘法只适 用于二次三项式类型的题目。（ ）、十字相乘法比较难学 。（3 十字相乘法比较难学。 用于二次三项式类型的题目。（3）、十字相乘法比较难学。
十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧
十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧十字相乘法口诀十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数具体步骤：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数原理：运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)实质：二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
十字相乘顺口溜竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
步骤注释①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
【十字相乘法的方法】十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
【十字相乘法的用处】(1)用十字相乘法来分解因式。
(2)用十字相乘法来解一元二次方程。
因式分解的一般步骤(1) 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2) 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3) 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4) 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。
在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。
以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。
解二元一次方程“十字交叉法”
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：例1把m²+4m -12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m -12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x -8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解： 因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x -8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x 的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以1x =3 2x =5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x 的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法完整版
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十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
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十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
十字相乘法的运算技巧
十字相乘法的运算技巧十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。
“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q++【2()x a b x ab+++】的因式分解：即：一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b+++=++．这就是说，对于二次三项式2x Px q++，若能找到两个数a、b，使,, a b p a b q+=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b++=+++=++．（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个．．．．．．．．数的积，且其和等于一次项系数，．．．．．．．．．．．．．．．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。
）对于首项系数不是1的二次三项式：十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。
一、十字相乘法的特点：1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。
②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
二、十字相乘法的应用举例：例1. 十字相乘法的图解及待定系数已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：8-5=3=-m解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20∴-m=3m=-3（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)再如例2：把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）请观察比较例题中的各题，你能发现把常数q分解成两个整数a、b之积时的符号规律吗？⑴若q＞0，则a、b同号．当p＞0时a、b同为正，当p＜0时a、b同为负．⑵若q＜0，则a、b异号．当p＞0时a、b中的正数绝对值较大，当p＜0时a、b中的负数绝对值较大．⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．例3、因式分解与系数的关系若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )A.5个B.6个C.8个D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n 为整数)因为16=2×8，16=(-2)×(-8)16=4×4，16=(-4)×(-4)16=1×16，16=(-1)×(-16)所以k=±10，±8，±16答案：B(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大) 例4.分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例5.换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.再如、例6、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)例6.因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12求：x2+y2的值解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。
十字相乘法的步骤
十字相乘法的步骤
十字相乘法是一种数学运算方法，它可以用于解决两个数的乘法运算，尤其是在计算较大的数的乘法时，这种方法可以大大减少计算量。
下面将介绍十字相乘法的步骤。
第一步，将两个数分别写在两条竖线上。
例如，我们要计算12和13的乘积，就可以将12写在左侧的竖线上，将13写在右侧的竖线上。
第二步，将每一位上的数相乘，然后将结果写在相应的位置上。
例如，第一位上的数是1和3，它们的积是3，我们就将3写在左上角的位置上；第二位上的数是1和1，它们的积是1，我们就将1写在左下角的位置上。
第三步，将每一位上的数相加，然后将结果写在相应的位置上。
例如，左上角的3加上右下角的2，它们的和是5，我们就将5写在中间的位置上；左下角的1加上右上角的3，它们的和是4，我们就将4写在中间的位置上。
第四步，将结果合并，得到最终的乘积。
例如，我们将中间的5和4合并，得到54，这就是12和13的乘积。
十字相乘法的步骤非常简单，但是需要注意的是，每一位上的数相乘和相加都要仔细计算，否则会导致结果错误。
此外，十字相乘法只适用于两个数的乘法运算，当需要计算多个数的乘积时，需要采用其他方法。
总之，十字相乘法是一种非常实用的数学运算方法，可以大大减
少计算量，提高计算效率。
学生们可以在课堂上学习并掌握这种方法，以便在解决数学问题时更加得心应手。
七年级知识点十字相乘法
七年级知识点十字相乘法在初中的数学学习中，我们必须会掌握乘法，而十字相乘法作为乘法的一种常用方法，也需要我们掌握和熟练使用。
一、十字相乘法的定义和原理十字相乘法是一种简便的乘法法则。
具体来说，就是将两个乘数分别的每一位上的数字相乘后在竖式上错位排列，最后再把各项之和就即等于乘积。
具体步骤如下：1. 将被乘数和乘数按照各位数值的大小写成竖式。
2. 将被乘数每一位上的数字与乘数每一位上的数字相乘。
3. 将结果横放在竖式上，错位排列。
4. 将所有交叉相乘的结果相加即可得到乘积。
二、十字相乘法的应用场景一般来说，十字相乘法主要适用于两位数相乘的情况。
但在实际运用中，如果我们熟练掌握了这种方法，也可以用于更多位数相乘的计算。
具体来说，十字相乘法应用于以下情景：1. 两个多位数的乘法计算。
2. 分解多项式的乘法计算。
3. 求解数字因子中的根。
三、十字相乘法的计算步骤1. 将两个乘数分别的每一位数字相乘，将结果写在竖式上。
2. 求出所有竖式中的相乘结果。
3. 每一项的结果相加即可得到最终乘积。
具体计算步骤如下：例如，计算23×17的乘积。
首先，将23和17按照个位、十位分别写于竖式两侧。
23× 17=根据十字相乘法则，计算出每个竖式中的结果，放在竖式中的相应位置。
23× 17=2149最后，将所有交叉相乘的结果相加即可得到最终结果。
23× 17= 391因此，23×17=391。
四、十字相乘法的优点十字相乘法是一种简单又实用的乘法方法，具有以下优点：1. 可以快速计算两位数的积，缩短计算时间。
2. 可以避免手算中的繁琐乘法步骤，降低计算错误率。
3. 可以适用于多项式、因式分解等部分数学题型的计算，拓展应用范围。
五、十字相乘法的练习方法熟练使用十字相乘法需要长时间的练习和掌握。
以下是一些十字相乘法的练习方法：1. 从简单的一位数乘一位数练习起，逐渐提高难度。
可以用练习册、习题集等教材进行练习。
数学十字相乘法公式
数学十字相乘法公式摘要：一、引言二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义2.公式结构三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程2.求解多项式因式分解四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程2.关键步骤解析五、总结正文：一、引言数学十字相乘法公式是数学中一种非常实用的公式，广泛应用于一元二次方程和多项式因式分解的求解。
本文将对其进行详细介绍，包括公式的定义、结构、应用以及推导过程。
二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义数学十字相乘法公式，又称“双十字相乘法”，是一种求解一元二次方程和多项式因式分解的方法。
它利用两个十字交叉相乘的形式，将方程的系数与常数项分别填入，从而得到两个括号的形式，进一步求解方程。
2.公式结构数学十字相乘法公式具有简洁的结构。
它包含两个部分：一元二次方程的系数与常数项。
通过这两个部分的交叉相乘，我们可以得到一个双括号的形式，即(ax + b)(cx + d)，其中a、b、c、d 分别代表方程的系数与常数项。
三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程数学十字相乘法公式可以用于求解一元二次方程。
假设我们有一个一元二次方程：ax + bx + c = 0，其中a、b、c 分别为方程的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而进一步求解方程。
2.求解多项式因式分解数学十字相乘法公式同样适用于求解多项式因式分解。
假设我们有一个多项式：f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c 分别为多项式的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将多项式的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而实现多项式的因式分解。
四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程数学十字相乘法公式的推导过程相对简单。
首先，我们需要将一元二次方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)。
十字相乘法推导过程
十字相乘法推导过程
摘要：
1.十字相乘法的概念
2.十字相乘法的推导过程
3.十字相乘法的应用
正文：
十字相乘法是一种常用的乘法技巧，它可以帮助我们快速地计算两个数的乘积。
这种技巧的核心思想是将两个数拆分成两个因数，然后通过交叉相乘再相加的方式得到结果。
下面我们将详细介绍十字相乘法的推导过程。
1.十字相乘法的概念
十字相乘法，顾名思义，就是将两个数拆分成两个因数，然后通过交叉相乘再相加的方式得到结果。
例如，计算23×17，我们可以将其拆分为(20+3)×(10+7)，然后通过交叉相乘再相加，即20×10+20×7+3×10+3×7，最后得到结果391。
2.十字相乘法的推导过程
要推导十字相乘法，我们可以先从最简单的情况开始，即两个数的乘积可以被10 整除。
这种情况下，我们可以将两个数分别表示为10 的倍数和个位数，例如12×15，我们可以表示为10+2 和10+5。
然后通过交叉相乘再相加，即10×10+10×5+2×10+2×5，最后得到结果180。
对于不能被10 整除的情况，我们可以将其中一个数拆分为10 的倍数和个位数，例如23×17，我们可以表示为20+3 和10+7。
然后通过交叉相乘再相加，即20×10+20×7+3×10+3×7，最后得到结果391。
3.十字相乘法的应用
十字相乘法在实际应用中可以帮助我们快速地计算两个数的乘积，尤其是在没有计算器的情况下。
这种技巧在数学竞赛、快速计算等领域有着广泛的应用。
解一元二次方程的方法十字相乘法
解一元二次方程的方法十字相乘法一、什么是一元二次方程？一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x为未知数，a≠0。
二、十字相乘法的思路十字相乘法（也叫配方法）是解一元二次方程的一种常用方法。
其思路是通过把x的系数b拆分成两个因数，每个因数与a相乘得到两个新的乘积，然后再寻找这两个乘积的和能否与c相加得到0，如果能，则把方程拆分成两个一次方程进一步求解。
三、详细步骤1. 将一元二次方程的形式化表示为ax² + bx + c = 0。
2. 将b拆分成两个数p和q，满足p + q = b，且p和q的积等于ac。
3. 列出一个新的二次方程(ax² + px) + (qx + c) = 0；这个新方程的实质是把原方程中的bx项分解成px和qx两项，把原来的一元二次方程变成两个一次方程。
4. 分别解出新方程中的两个一次方程。
5. 根据结果确定原方程是否有实数根，如果有，则输出解集；如果没有，则说明原方程的解是纯虚数。
四、举例说明假设要求解一元二次方程2x² + 5x - 3 = 0，按照十字相乘法的步骤，我们可以这么做：1. 把方程的形式化表示为2x² + 5x - 3 = 0。
2. 拆分系数b为2个数，即2和3，同时满足2 + 3 = 5，且2 × 3 = 6 =2 × 1 × 3。
3. 根据拆分得到的2个系数1和3，重写原方程为2x² + x + 3x - 3 = 0。
4. 把新方程转化成2个一次方程：(2x² + x) + (3x - 3) = 0。
5. 分别解出这两个一次方程：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0，即(2x + 1)(x + 3) = 0。
6. 根据解出的方程得到x = -3/2或x = -1/2，所以原方程的解集为{-3/2，-1/2}。
十字相乘法
一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式方法叫做十字相乘法。
即对于二次三项式x²+bx+c，若存在p+q=b，pq=c ，则x²+bx+c=(x+p)(x+q)
1.在对x²+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号，若c<0，则p、q异号，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号。
2.若x²+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止。
二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax²+bx+c (a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，
把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：
若a₁c₂+a₂c₁=b，即ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
（1）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”。
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分组处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解即先对题目进行分组，然后再分解因式。
十字相乘法_非常非常好用
x x
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
利用十字交叉线来分解系 数，把二次三项式分解因 式的方法叫做十字相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
例1： 分解因式:
(x+3)(x+1) x2+4x+3=＿＿＿＿＿＿＿
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项. 3.符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
用十字相乘法进行因式分解：
1.x2-x- 6 = (x+2)(x-3) 2.x2+2x-15= (x-3)(x+5) 3.x2-3x-10= (x+2)(x-5) 4.x2-9x+20= (x-5)(x-4) 5.x2-3x-28= (x-7)(x+4) 6.x2-2x-8= (x+2)(x-4) 7.x2-4x+3= (x-1)(x-3) 8.x2+7x+12= (x+3)(x+4) 9.x2+5x+6= (x+2)(x+3) 10.x2+4x-21=(x-3)(x+7) 11.x2+13x+12= (x+1)(x+12) 12.x2-11x-12= (x-12)(x+1) 13.y2+9y-36= (y+12)(y-3) 14.y2-11y-60= (y+4)(y-15)
x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 2+x-6 x 7.(x-2)(x+3)= 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
初中数学十字相乘法
初中数学十字相乘法摘要：一、十字相乘法概念二、十字相乘法步骤1.首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式2.其次，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间3.接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果4.最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果三、十字相乘法应用与实际问题四、总结与回顾正文：初中数学十字相乘法是一种计算多项式乘积的方法，它通过将两个多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间，最后将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果并相加，得到最终结果。
这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。
首先，我们需要了解十字相乘法的概念。
十字相乘法是一种计算两个多项式乘积的方法，其核心思想是将多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间。
这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。
其次，我们需要了解十字相乘法的具体步骤。
首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式。
例如，对于多项式3x^2 + 6x + 4，我们可以将其写成(3x^2 + 6x) + 4的形式。
接下来，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间。
在这个例子中，我们可以得到以下十字相乘法：```3x^2 6xx 3x^2 6x------- ----3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果。
在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果。
在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 8x^2+ 9x^2 18x------- ----12x^2 26x```因此，多项式3x^2 + 6x + 4与多项式2x + 4相乘的结果为12x^2 + 26x + 16。
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十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：
1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为1 -2
1 ╳6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解：因为1 2
5 ╳-4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为1 -3
1 ╳-5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为2 -5
3 ╳5
所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
所以x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因为2 -9y
7 ╳-2y
所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -3
7y ╳-1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3）2 x -7y 1
5 x - 4y ╳-3
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳+b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳-（a-b）
所以x1=2a+b x2=a-b
两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式
交点式．
利用配方法，把二次函数的一般式变形为
Y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2]
应用平方差公式对右端进行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+√b^2-4ac/2a][x+b/2a-√b^2-4ac/2a]
=a[x-(-b-√b^2-4ac)/2a][x-(-b+√b^2-4ac)/2a]
因一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1，2=(-b±√b^2-4ac)/2a
所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax^2+bx+c=0的两个根
因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1，0），（x2，0）的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式．
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便．
二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：
设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1，x2
根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),a/c=x1x2
∴y=ax^2+bx+c=a[x^2+b/a*x+c/a]
=a[x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)。