2019-2020学年天津市武清区新高考高一数学下学期期末联考试题
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（1）若f（θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；
（2）求函数f（x）的最小正周期T及单调递增区间．
18．已知向量 与 不共线，且 ， .
（1）若 与 的夹角为 ，求 ；
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
19．（6分）某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.
5．A
【解析】
【分析】
由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果.
【详解】
设长方体 从一个顶点出发的三条棱的长分别为 ，且 ， ， ，则 ， ， ，所以长方体 中线段 的长等于 .
【点睛】
本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型.
6．B
【解析】
【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得 ，结合 ， 为锐角，可得 ，利用三角形内角和定理即可求 的值．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求证： ∥平面 ；
（Ⅲ）求证： 平面 .
21．（6分）设二次函数f(x)＝ax2＋bx.
(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
22．（8分）已知数列 满足 ， ．
9．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长 ”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率 存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则 =（）
A． B． C． D．
最喜欢的球类运动
足球
篮球
排球
乒乓球
羽毛球
网球
人数
a
20
10
15
b
5
（1）求 的值；
（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.
20．（6分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 与 交于点 ， ， 分别为 ， 的中点.
A． B． C． D．
5．如图，若长方体 的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段 的长是（）
A． B． ຫໍສະໝຸດ Baidu．28D．
6．在 中，内角 所对的边分别是 ．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ，则 （）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ， ，则 （）
A． B．2C． D．
∵△ABC为直角三角形，
依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，
∴∠AOF1≥45°，
∴tan∠AOF1 1，
整理得：（ ）2 1≥0，即e2﹣e﹣1≥0，
解得：e ．
即双曲线离心率e的最小值为： ．
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF1≥45°是突破口，属于中档题．
所以 ，选A
3．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
在 中，已知 ，∴由正弦定理得 ，
即 ，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .
∵ ，∴ 的面积 ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
2．A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）
【详解】
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得： ，
，故 为锐角，可得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
7．D
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
2．设等比数列{ }的前n项和为 ，若 =3，则 =
A． B．2C． D．3
3．在 中，已知 ，且满足 ，则 的面积为（）
A．1B．2C． D．
4．过曲线的左焦点 且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得 ,则双曲线离心率e的最小值为（）
（1）若 ，求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求 ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（ ）
A．20B．28C．36D．4
11．在 中， 分别为 的对边，如果 成等差数列， ， 的面积为 ，那么 （）
A． B． C． D．
12．向量 ， ，若 ，则 （）
A．5B． C． D．
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数 ，该函数零点的个数为_____________
4．C
【解析】
【分析】
设双曲线的方程为： ，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1 ，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．
【详解】
设双曲线的方程为： ，（a＞0，b＞0），
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c， ），B（﹣c， ），
14．已知 ， 为单位向量，且 ，若向量 满足 ，则 的最小值为_____.
15．在数列 中， ， ， ，则 _____________．
16．在等比数列 中，若 ，则 等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量 （ cosx+sinx，1）， （sinx， ），函数 ．
（2）求函数f（x）的最小正周期T及单调递增区间．
18．已知向量 与 不共线，且 ， .
（1）若 与 的夹角为 ，求 ；
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
19．（6分）某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.
5．A
【解析】
【分析】
由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果.
【详解】
设长方体 从一个顶点出发的三条棱的长分别为 ，且 ， ， ，则 ， ， ，所以长方体 中线段 的长等于 .
【点睛】
本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型.
6．B
【解析】
【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得 ，结合 ， 为锐角，可得 ，利用三角形内角和定理即可求 的值．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求证： ∥平面 ；
（Ⅲ）求证： 平面 .
21．（6分）设二次函数f(x)＝ax2＋bx.
(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
22．（8分）已知数列 满足 ， ．
9．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长 ”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率 存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则 =（）
A． B． C． D．
最喜欢的球类运动
足球
篮球
排球
乒乓球
羽毛球
网球
人数
a
20
10
15
b
5
（1）求 的值；
（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.
20．（6分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 与 交于点 ， ， 分别为 ， 的中点.
A． B． C． D．
5．如图，若长方体 的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段 的长是（）
A． B． ຫໍສະໝຸດ Baidu．28D．
6．在 中，内角 所对的边分别是 ．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ，则 （）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ， ，则 （）
A． B．2C． D．
∵△ABC为直角三角形，
依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，
∴∠AOF1≥45°，
∴tan∠AOF1 1，
整理得：（ ）2 1≥0，即e2﹣e﹣1≥0，
解得：e ．
即双曲线离心率e的最小值为： ．
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF1≥45°是突破口，属于中档题．
所以 ，选A
3．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
在 中，已知 ，∴由正弦定理得 ，
即 ，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .
∵ ，∴ 的面积 ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
2．A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）
【详解】
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得： ，
，故 为锐角，可得 ，
，故选 ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
7．D
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
2．设等比数列{ }的前n项和为 ，若 =3，则 =
A． B．2C． D．3
3．在 中，已知 ，且满足 ，则 的面积为（）
A．1B．2C． D．
4．过曲线的左焦点 且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得 ,则双曲线离心率e的最小值为（）
（1）若 ，求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求 ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（ ）
A．20B．28C．36D．4
11．在 中， 分别为 的对边，如果 成等差数列， ， 的面积为 ，那么 （）
A． B． C． D．
12．向量 ， ，若 ，则 （）
A．5B． C． D．
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数 ，该函数零点的个数为_____________
4．C
【解析】
【分析】
设双曲线的方程为： ，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1 ，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．
【详解】
设双曲线的方程为： ，（a＞0，b＞0），
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c， ），B（﹣c， ），
14．已知 ， 为单位向量，且 ，若向量 满足 ，则 的最小值为_____.
15．在数列 中， ， ， ，则 _____________．
16．在等比数列 中，若 ，则 等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量 （ cosx+sinx，1）， （sinx， ），函数 ．