三角函数部分高考题(带答案)之欧阳学创编
三角函数部分高考题(带答案)
三角函数部分下考题之阳早格格创做πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）A ．背左仄移5π12个少度单位B ．背左仄移5π12个少度单位C ．背左仄移5π6个少度单位D ．背左仄移5π6个少度单位x a =与函数()sin f x x =战()cos g x x =的图像分别接于M N ，二面，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BC D ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x02,sin απαα≤≤，则α的与值范畴是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｄ）3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin y x =（x R ∈）的图象上所有面背左仄止移动3π个单位少度，再把所得图象上所有面的横坐标收缩到本去的12倍（纵坐标没有变），得到的图象所表示的函数是C（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<sin(2)3y x π=+的图象按背量α仄移后所得的图象闭于面(,0)12π-核心对于称，则背量α的坐标大概为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sinα=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532（B ）532(C)-54 (D)549.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按背量(,3)3π仄移得到图象F ',若F '的一条对于称轴是曲线4x π=,则θ的一个大概与值是AA.π125B. π125-C.π1211 D.1112π-2()sin cos f x x x x =正在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12+C.3211.函数02x π≤≤)的值域是B（A ）] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]12.函数f(x)=cosx(x)(x ∈R)的图象按背量(m,0) 仄移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m 的值不妨为AA.2πB.πC.－πD.－ 2π13.正在共一仄里曲角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象战曲线21=y 的接面个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-15.已知函数y =2sin(ωx+φ)(ω>0)正在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C.1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B. 22C. 2D.3217.函数f(x)＝3sin x +sin(2+x)的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对于边，背量m ＝（1,3-），n ＝（cosA,sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝ 6π.19.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=．10 ()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．π()sin (0)363f x x ff ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 正在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对于的边少分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）供tan cot A B 的值； （Ⅱ）供tan()A B -的最大值．剖析：（Ⅰ）正在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号创造，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）供sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的里积332ABC S =△，供BC 的少．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··················· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ······················································ 8分 又sin 20sin 13AB B AC AB C⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ·········································· 10分2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）供ω的值；（Ⅱ）供函数()f x 正在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的与值范畴．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．果为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．果为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，果此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的与值范畴为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.【解】：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-由于函数()216z u =-+正在[]11-，中的最大值为 最小值为故当sin 21x =-时y 博得最大值10，当sin 21x =时y 博得最小值622s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π．（Ⅰ）供ω的值；（Ⅱ）供函数()f x 的最大值，而且供使()f x 博得最大值的x 的集中．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、二角战的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的本量等前提知识，考查基础运算本领．谦分12分． （Ⅰ）解：由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，坐即()Z k k x ∈+=216ππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 博得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集中为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ．（Ⅰ）供函数()f x 的最小正周期战图象的对于称轴圆程 （Ⅱ）供函数()f x 正在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对于称轴圆程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 果为()sin(2)6f x x π=-正在区间[,]123ππ-上单调递加，正在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 与最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 与最小值2-所以 函数()f x正在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 28.已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为奇函数，且函数y ＝f(x)图象的二相邻对于称轴间的距离为.2π （Ⅰ）好洲f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f(x)的图象背左仄移6π个单位后，再将得到的图象上各面的横坐标舒畅少到本去的4倍，纵坐标没有变，得到函数y ＝g(x)的图象，供g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π)果为 f(x)为奇函数，所以 对于x ∈R,f(-x)=f(x)恒创造， 果此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π).即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整治得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.果为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos（ϕ-6π）＝0.又果为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f(x)＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得.2,222 ＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f(x)=2cos2x. 果为.24cos 2)8(==ππf （Ⅱ）将f(x)的图象背左仄移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸少到本去的4倍，纵坐标没有变，得到)64(ππ-f 的图象. 当 2kπ≤32ππ-≤2 kπ+ π(k ∈Z),即 4kπ＋≤32π≤x≤4kπ+38π (k ∈Z)时，g(x)单调递减.果此g(x)的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k(k ∈Z)29.如图，正在仄里曲角坐标系xoy 中，以ox 轴为初边干二个钝角α,β，它们的末边分别与单位圆相接于A,B 二面，已知A,B 的横坐标分别为105．（Ⅰ）供tan(αβ+)的值； （Ⅱ）供2αβ+的值．由条件的cos 105αβ==，果为α,β为钝角，所以sin α=10β=果此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)= tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为钝角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34πABC ∆中，角,,A B C 所对于应的边分别为,,a b c，a =tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，供,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos 22C C C C +=∴14sin cos22C C=∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -=∴B C = 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得 （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）供函数()g x 的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域战三角函数的本量等基础知识，考查三角恒等变更、代数式的化简变形战运算本领.（谦分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin1cos x xg x x xx x--=+++ 2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜sin t 正在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，正在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为删函数，又5535sin sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦）， 即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜，故g(x)的值域为)2,3.⎡-⎣2()2sin cos 444x x xf x =-．（Ⅰ）供函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x fx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，推断函数()g x 的奇奇性，并证明缘由． 解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =+-sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 博得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 博得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是奇函数．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对于边分别为a,b,c ，且A=60，c=3b.供：（Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cotB+cot C 的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得＝2221117()2,3329c c c cc +-=故a c =（Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C+＝sin()sin ,sin sin sin sin B C A B C B C+=由正弦定理战（Ⅰ）的论断得故cot cot B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的论断有故sin B ===共理可得进而cos coscot cot sin sin 9B C B C BC+=+== 34.已知背量m=(sinA,cosA),n=1)-，m·n ＝1，且A 为钝角.（Ⅰ）供角A 的大小；（Ⅱ）供函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.本小题主要考查仄里背量的数量积估计、三角函数的基础公式、三角恒等变更、一元二次函数的最值等基础知识，考查运算本领.谦分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=由A 为钝角得,.663A A πππ-== （Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+果为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，果此，当1sin 2x =时，f(x)有最大值32.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所供函数f(x)的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像通过面π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）供()f x 的剖析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，供()f αβ-的值．（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将面1(,)32M π代进得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=.ABC △中，内角A B C ，，对于边的边少分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，供ABC △的里积．本小题主要考查三角形的边角闭系，三角函数公式等前提知识，考查概括应用三角函数有闭知识的本领．谦分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又果为ABC △1sin 2ab C =4ab =．4分 联坐圆程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ··················· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ············································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联坐圆程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的里积1sin 2S ab C ==． ·························· 12分。
(2021年整理)三角函数部分高考题(带答案)
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22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．(Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； (Ⅱ)由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34。
23。
在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．(Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长． 解:（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ········· 5分 （Ⅱ)由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由(Ⅰ)知33sin 65A =,故65AB AC ⨯=， ······················· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．··················· 10分24。
解三角形难题汇编之欧阳体创编
1．在△ABC中，a，b，c辨别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足sin Bsin A＝1－cos Bcos A，若点O是△ABC 外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB 面积的最年夜值是()A.8＋534 B.4＋534C．3 D.4＋52A[由已知得sin(A＋B)＝sin A⇒sin C＝sin A⇒c＝a，又b ＝c，∴等边三角形ABC，∴AB2＝5－4cos θ，SOACB＝12×1×2sinθ＋34AB2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋543≤2＋543＝8＋534选A.]2．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E辨别是边AB，AC上的点，且DE＝2，则S四边形BCED S△ABC的最小值即是________．23[设AD＝x，AE＝y(0<x≤4，0<y≤3)，则因为DE2＝x2＋y2－2xycos 60°，所以x2＋y2－xy＝4 ，从而4≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以S四边形BCEDS△ABC＝1－S△ADES△ABC＝1－12xysin 60°12×3×4sin 60°＝1－xy12≥1－412＝2 3.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边辨别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2＋b2＋c2＝43，则△ABC面积的最年夜值为________．55[由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝43得，7a2＋2b2＝43，即2b2＝43－7a2，由余弦定理得，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2b，所以sin C＝1－cos2C＝4b2－a22b＝83－15a22b，则△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12ab×83－15a22b＝14a 83－15a2＝14a2（83－15a2）＝14×11515a2（83－15a2）≤14×115×15a2＋83－15a22 ＝14×115×43＝55，当且仅当15a2＝83－15a2取等号，此时a2＝4315，所以△ABC 的面积的最年夜值为55，4．如图，△ABC 中，sin 12∠ABC ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433.(1)求BC 的长；(2)求△DBC 的面积．解 (1)因为sin 12∠ABC ＝33，所以cos ∠ABC ＝1－2×13＝13.△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－4a 3①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB ＝4b2＋163－41633b， cos ∠BDC ＝b2＋163－a2833b. 因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ， 所以有4b2＋163－41633b ＝－b2＋163－a2833b， 所以3b2－a2＝－6，②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.(2)由(1)得△ABC 的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC的面积为223.5．已知O(0,0)，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，若kOA→＋(2－k)OB →＋OC →＝0(0<k<2)，则cos(α－β)的最年夜值是________．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边辨别为a ，b ，c.已知cosA －3cosC cosB＝3c －a b . (1)求sinC sinA 的值；(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值规模．[解析](1)由正弦定理，设a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝k ，则3c －a b ＝3ksinC －ksinA ksinB ＝3sinC －sinA sinB， 所以cosA －3cosC cosB ＝3sinC －sinA sinB， 即(cosA －3cosC)sinB ＝(3sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝3sin(B ＋C)．又A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝3sinA ，因此sinC sinA ＝3.(2)由sinC sinA ＝3得c ＝3a.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c>b a2＋c2<b2，又b ＝10，所以52<a<10.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边辨别为a ，b ，c ，若b2＋c2－a2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不成能是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形[谜底]D[解析]由cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sinB sinA ＝2sinB ＝3，可得sinB ＝32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π6＝A ，则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不成能为锐角三角形，故应选D.8．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最年夜值为( ) A.21B.3214C.212D ．321[谜底]B[解析]设角A 、B 、C 所对的边辨别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bccosA ＝a ＝3.又cosA ＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc ＝1－3cosA 2，∴cosA≥25，∴0<sinA≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最年夜值为3214.9．已知在△ABC 中，C ＝2A ，cosA ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cosB 的值；(2)求AC 的长度．[解析](1)∵C ＝2A ，∴cosC ＝cos2A ＝2cos2A －1＝18，∴sinC ＝378，sinA ＝74.∴cosB ＝－cos(A ＋C)＝sinAsinC －cosAcosC＝74×378－34×18＝916.(2)∵AB sinC ＝BC sinA ，∴AB ＝32BC.∵2BA →·CB →＝－27，cosB ＝916，∴|BA →||CB →|＝24，∴BC2＝16，AB ＝6，∴AC ＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB ＝16＋36－2×4×6×916＝5.。
高中数学必修4第1章《三角函数》单元测试题之欧阳学文创作
必修4第1章《三角函数》单元测试题欧阳学文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若点(,)P x y 是330︒角终边上异于原点的一点，则y x的值为（）A B .C .3D .3-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（ ）A .3πcm B .23πcm C .23πcm D .223πcm 3.已知1sin cos 2αα-=，且(0,)απ∈，则sin cos αα+=（）A .2B .2-C .2±D .12± 4.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .3D .3-5.函数12cos[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π6.下列各点中，能作为函数tan()5y x π=+（x ∈R 且310x k ππ≠+，k ∈Z ）的一个对称中心的点是（）A .(0,0)B .(,0)5πC .3(,0)10πD .(,0)π7.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（）A .1sin()23y x π=+B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-8.函数sin (0)y b a x a =+<的最大值为1-，最小值为5-，则tan(3)y a b x =+的最小正周期为（）A .29πB .9π C .3πD .23π 9.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A .24sin()33x y π=+B .224sin()33x y π=- C .24cos()33x y π=+D .224cos()33x y π=-10.在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（ ）A .(,)4ππB .5(,)44ππC .5(,)(,)424ππππ⋃D .53(,)(,)442ππππ⋃二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知tan α=，则α的取值集合为___________________________． 12.已知()cos2n f n π=，则(1)(2)f f ++…(2010)(2011)f f ++=___________________．13.函数sin(4)6y x π=-的单调增区间为________________________________． 14.函数7cos(2)2y x π=+的图象的对称轴方程是________________________． 15.已知1sin sin 3αβ+=，则2sin cos αβ-的最大值为_____________________．三、解答题（本大题共6小题，1619每题12分，20题13分，21题14分，共75分） 16.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．17.已知tan 3α=，求下列各式的值：（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+；（2）212sin cos cos ααα+． 18.求证：1sin cos 2sin cos sin cos 1sin cos αααααααα+--=-+- ．19.求函数224sin 4cos y x x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．20.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求,ϕω的值．21.已知函数()cos()f x x ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图象，如图所示．（1）求函数解析式；（2）若方程()f x m =在13[,]612ππ-有两个不同的实根，求m 的取值范围．必修4第1章《三角函数》单元测试题参考答案15 DCAAC 610CBBAB11.|,3k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z12.1-13.5|,26212k k x x x ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 14.24k x ππ=+，k ∈Z15.491.解析：由三角函数定义tan330y x︒=，知3y x =-，故选D ．说明：本题主要是训练学生对三角函数的定义的理解． 2.解析：由||lRα=，知22||1201803l R ππαπ==⨯⨯=，故选Ｃ．说明：本题主要是考查弧长公式和弧度制与角度值之间的换算公式．3.解析：由222(sin cos )sin cos 2sin cos αααααα-=+-，22sin cos 1αα+=，1sin cos 2αα-=，知32sin cos 04αα=>，再根据(0,)απ∈，∴sin 0α>，∴cos 0α>，∴sin cos 0αα+>，故sin cos 2αα+===．故选Ａ．说明：本题主要是训练学生对同角三角函数公式22sin cos 1αα+=的理解与应用．要注意对角的范围进行取值． 4.解析：由()362πππαα-=+-，知1sin()sin[()]cos()36263ππππααα-=+-=-+=．故选Ａ．说明：本题主要训练学生对诱导公式的运用及角的构造． 5.解析：由112cos[()]2cos()34312y x x ππ=+=+及2||T πω=，知6T π=，2A =，12πϕ=．故选Ｃ．说明：本题主要训练学生对cos()y A x ωϕ=+中周期公式，振幅及初相的理解。
三角函数综合测试题(卷)含答案解析之欧阳歌谷创编
三角函数综合测试题欧阳歌谷（2021.02.01）（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ）A ．)3,1(B ．)1,3(-C．)3,1(--D ．)3,1(-2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（）A ．47B ．169-C ．329-D ．3293、下列函数中，最小正周期为2π的是（）A ．)32sin(π-=x yB ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x yD ．)64tan(π+=x y 4、等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（）A ．924-B ．924C ．97-D ．975、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( )A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π6、50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于() A ．3 B ．33C ．33-D ．3-7．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上）9.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为；10.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________11.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______． 12.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为__________．13.关于三角函数的图像，有下列命题： ①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称；②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称；其中正确命题的序号是___________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。
三角函数部分高考题(带答案)[1]
![三角函数部分高考题(带答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/209720db998fcc22bcd10de3.png)
三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．24.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈10.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12+ C.3213.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-18.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 26.知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ． 27.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 2sin 2cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 28.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos （ϕ-6π）＝0.又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得 .2,222 ＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为 .24cos2)8(==ππf（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z)31.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos xxg x xxx x--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x xxx x--∴=+-- sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣34.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得,.663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.36.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ······················· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ················· 12分。
(完整版)三角函数高考题及练习题(含答案),推荐文档
16
，
又 k∈Z，知 k＝5，由此可知在闭区间 4 4 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x＝ 3 .
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例 3 把函数 f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0)，
17π
所得函数的图象关于直线 x＝ 8 对称． (1) 求 m 的最小值；
例 2 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求 f(0)的值；
[ ]π
我去人(2也) 若就0<φ<有π，人求函！数 为f(x)在U区R间扼0，腕3 入上的站取值内范围信． 不存在向你偶同意调剖沙
建议解收：(1)由藏题图可下知 A＝载2，本文，以便随时学习！
8
8 上是减函数．所以当 x1、x2∈ 8
8 ，且 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
f（x1）－f（x2）
从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率 k＝ x1－x2 <0.
( )π
2
2x＋
(3) 解：令 f(x)＝1，所以 cos 4 ＝－ 2 .
( ) π π 9π ， 因为 x∈(0，π)，所以 2x＋4∈ 4 4 .
T 7π π π
7π
3π
∵ 4＝12－3＝4，∴ ω＝2.又 2×12＋φ＝2kπ＋ 2 ， π
∴ φ＝2kπ＋3(k∈Z)，
( )π 6
2kπ＋
∴ f(0)＝ 2sin
3＝2.
(2)
( ) π
π
π
π
三角函数部分高考题(带答案)
三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BCD ．23.()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 549.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是A.π125 B. π125- C. π1211D. 1112π-10.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1 C.3211.函数f(x)02x π≤≤) 的值域是（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]12.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为A.2πB.πC.－πD.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ） A. 1 B. 2C. 1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ ）A.12B.2C. 2D.217.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是18.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
高考数学-三角函数大题综合训练之欧阳体创编
2017三角函数大题综合训练时间：2021.02.03 创作：欧阳体一．解答题（共30小题）1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx （x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围．24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．26．（2015•历下区校级四模）已知向量，，若．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）若S △ABC=3+，求a，c．29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f （B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．三角函数大题综合训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由S=bcsinA=bc•=bc=5，得bc=20．又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA•sinA=•sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x ）=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）∵b=2，△ABC的面积，∴=，解得a=3．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，所以．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以．…（5分）因为 AD=1，CD=3，所以△ACD的面积．…（7分）（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以．…（9分）因为，，…（11分）所以．所以 AB=4．…（13分）【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；②利用正弦定理解之．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．【专题】函数的性质及应用；解三角形．【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A ﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．【专题】解三角形．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】解三角形．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．【解答】解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA 即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx （x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形．【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．【解答】解：（I）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（Ⅱ）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出S．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），∴函数f（x）=•=cos（2x﹣）+cos2x﹣sin2x=cos（2x﹣）+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=，得sin（2A+）=，∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，解得：A=，又a=2，B=，∴由正弦定理=，得b==，∵A=，B=，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积S=absinC=×2××=．【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，。
三角函数恒等变换含答案及高考题之欧阳法创编
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab 确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==x xx ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值．解：原式3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx x x所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ． (Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xx y cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x所以最小正周期为π． (Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及练习题（含答案）1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质．2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1. 函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin2x.2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π4.4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．答案：34解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.题型二 三角函数定义及应用问题例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，求f(θ)的值；(2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出 f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π3，f (θ)max ＝2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx ＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求：(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．解：由题意得cos α＝210，cos β＝255，α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.(1) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，所以α＋2β＝3π4.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1)由题图可知A ＝2，∵ T 4＝7π12－π3＝π4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，∴ φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴ f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝62.(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asin ωx ＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f(x)max ＝2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512.又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3 把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x ＝17π8对称．(1) 求m 的最小值；(2) 证明：当x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x2＝cos2x －sin2x＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，得到g(x)＝2⎣⎡⎦⎤2（x ＋m ）＋π4＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x ＝17π8对称，所以2⎝⎛⎭⎫17π8＋m ＋π4＝k π，即m ＝（2k －9）4π(k ∈Z )． 因为m>0，所以m 的最小值为π4.(2) 证明：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，所以－4π<2x ＋π4<－7π2，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8上是减函数．所以当x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，且x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，从而经过任意两点(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的直线的斜率k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.(3) 解：令f(x)＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22.因为x ∈(0，π)，所以2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4.所以2x ＋π4＝3π4或2x ＋π4＝5π4，即x ＝π4或x ＝π2.因为x 1、x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1) 若y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2) 令ω＝2，将函数y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，区间[a ，b](a ，b ∈R 且a<b)满足：y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b －a 的最小值．解：(1) 因为ω>0，根据题意有 ⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)＝2sin2x ，g(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，g(x)＝0sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12x ＝k π－π3或x ＝k π－712π，k ∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin （ωx ＋φ）－12cos （ωx ＋φ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x ，因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所以g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f(x)取得最大值3；当x ＝712π时，f(x)取得最小值－3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1) 由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又 －π<φ<π，∴ φ＝π3，∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴ 函数f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z.(3) 由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个根．∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴ 2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.∴ m －16∈⎣⎡⎦⎤－32，1，∴ m ∈[1－33，7)．1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值范围是________．答案：a ≥2解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f(x)|≤2，所以a ≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是________．答案：－223. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则|φ|＝________．答案：5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________． 答案：π解析：由f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，函数f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，函数f(x)的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋2π3＝7π12，设函数f(x)的最小正周期为T ，所以12T ≥π2－π6，即T ≥2π3，所以7π12－π3＝T 4，解得T ＝π. 5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；(2) 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22. (2) 因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为G(A)．(1) 设t ＝sinx ＋cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)；(2) 求G(A)．解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，∴ 1≤t ≤2，即t 的取值范围为[1，2]．(3分)(另解：∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x ∈[0，π]得0≤sin2x ≤1，∴ 1≤t ≤2)∵ t ＝sinx ＋cosx ，∴ sinxcosx ＝t 2－12，(5分)∴ m(t)＝a·t 2－12－t ＝12at 2－t －12a ，t ∈[1，2]，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：① 当1a <1＋22，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝12a －2； (10分)② 当1a ≥1＋22，即0<a ≤2(2－1)时，G(A)＝m(1)＝－ 2.(13分)∴ G(A)＝⎩⎪⎨⎪⎧12a －2，a>2（2－1），－2，0<a ≤2（2－1）.(14分)1. 若π4＜x ＜π2，则函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________．答案：－8解析：令tanx ＝t ∈(1，＋∞)，y ＝2t 41－t 2，y ′(t)＝－4t 3（t ＋2）（t －2）（1－t 2）2，得t ＝2时y 取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ，求：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2) f(x)的最大值和最小值．解：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1，1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1.3. 已知A 为△ABC 的内角，求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围．解： y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 2＝1＋cos2A 2＋12⎝⎛⎭⎫cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A＝1＋12⎝⎛⎭⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3.∵ A 为三角形内角，∴ 0＜A ＜π，∴ －1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1，∴ y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围是[12，32]．4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式；(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3 ＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3－3t ＋3.(2) g′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1. 列表如下： Z ] Z 由此可见，g(t)在区间⎝⎭⎫－1，－12和⎝⎭12，1上单调增，在区间⎝⎭⎫－12，12上单调减，极小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝2，极大值为g ⎝⎛⎭⎫－12＝4.。
高三文数三角函数专练(含答案)之欧阳学创编
1. （本小题满分13分）时间：2021.03.03创作：欧阳学已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,22A ππωϕ>>-<<),其部分图象如图所示. (I)求()f x 的解析式;(II)求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 最大值及相应的x 值.2.（本小题满分12分）已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值.3．（本小题满分13分）设函数2()3sin cos cos f x x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值． 4.（本小题共12分） 在ABC ∆中，角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，满足sin2A =，且ABC ∆的面积为2．（Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．5. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin 5A =. （Ⅰ）求cos A ，sin B 的值；（Ⅱ）若ab =a ，b 的值.6.（本小题共13分）已知函数()2cos 2sin 2cos 2sin 222x x x x a x f -+=（∈a R ）.（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）当2=a 时，在()0=x f 的条件下，求x x2sin 12cos +的值.参考答案1.（本小题满分13分） 解：（I）由图可知，A=1 …………1分,24π=T 所以π2=T ……………2分所以1=ω……………3分又1)4sin()4(=+=ϕππf ，且22ππϕ-<< 所以4πϕ=……………5分所以)4sin()(π+=x x f . ……………6分（II ）由（I ）)4sin()(π+=x x f ，所以)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g =sin()sin()4444x x ππππ++⋅-+ sin()sin 2x xπ=+……………8分cos sin x x =⋅……………9分1sin 22x =……………10分因为]2,0[π∈x ，所以],0[2π∈x ，]1,0[2sin ∈x 故：]21,0[2sin 21∈x ， 当4π=x 时，)(x g 取得最大值21. …………… 13分2、解：（Ⅰ）1tan tan()41tan πααα++=-，…………………2分所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-，所以1tan 3α=.…………………5分（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………10分又α为锐角，所以10sin α=所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=.…………………12分3. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）311()sin 2cos 222f x x x =--1sin(2)62x π=--．…………………………………………………6分22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π.…………………………7分（Ⅱ）因为 ≤≤x 02π，所以65626πππ≤-≤-x ．………………………………………………9分所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12，……………11分当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-．……………………13分4.（共12分） 解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0∴cos2A =.∴4sin 2sincos 225A A A ==.∵2sin 21==∆A bc S ABC ，∴5=bc . --------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A∴532sin 21cos 2=-=A A .∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=. ∴52=a . -----------12分5.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为34C π=，sin A =，所以cos A ==.由已知得4B Aπ=-.则sin sin()sin cos cos sin 444B A A Aπππ=-=-22==. ……………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin B =，根据正弦定理sin sin b aB A =,得a =.又因为a b ⋅=2a =，b = . …………………………………13分6.（本题满分13分）解：（Ⅰ）()x f x x cos sin -=（一个公式1分） 2分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=4sin 2x （角、模各1分） ………………4分最小正周期为2π， ………………5分 由24π+π=π-k x ，得()Z k k x ∈π+π=43.（标注1分）……………7分 （Ⅱ）当()0=x f 时解得21tan =x ………9分x x2sin 12cos +=222)sin (cos sin cos x x x x +-……………10分x x x x sin cos sin cos +-=………11分=x x tan 1tan 1+-……12分31=。
三角函数部分高考题(带答案)之欧阳学文创编之欧阳家百创编
三角函数部分高考题欧阳家百（2021.03.07）1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BC D ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6.设5sin7a π=，2cos7b π=，2tan7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sinα=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532(C)-54 (D)54 9.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C.π1211 D.1112π- 10.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12C.3211.函数(02x π≤≤)的值域是B（A ）] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]12.函数f(x)=cosx(x)(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m 的值可以为AA.2π B.π C.－π D.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C.1/2D. 1/316.203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B. 22C. 2D.3217.函数f(x)＝3sin x +sin(2+x)的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cosA,sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝ 6π.19.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．π 21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. 23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ······················ 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ····························································· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ················································· 10分 24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
高考数学理真题分项解析：专题04 三角函数与三角形之欧阳育创编
专题四三角函数与三角形时间：2021.02.04 创作：欧阳育1.【2015高考新课标1，理2】 =( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】原式= ==，故选D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位【答案】B【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )(A) (B)(C)(D)【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，先利用五点作图法列出关于方程，求出，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求使解题的关键.4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）【答案】A【解析】对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】由已知，＝，选C.【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值．7.【2015高考安徽，理10】已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. Equation Section (Next)【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.【2015高考上海，理13】已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2015高考天津，理13】在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.【答案】【解析】因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角的正弦值，再由三角形面积公式求出，解方程组求出的值，用余弦定理可求边有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则.【答案】．【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由得出或时，结合三角形内角和定理舍去．[来源:学优高考网gkstk]10.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．【答案】1【解析】考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值. 11.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为．【答案】2【解析】因为所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
高中三角函数习题解析精选(含详细解答)之欧阳体创编
三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=02.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ） B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x成立的x 取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π）B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3）D.（0，1）∪（1，3）7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos x D.y =－cot x8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）图4—19.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ）A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ） 13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（ ） A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π）D.（4π，2π）15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ）A.sin xB.cos xC.sin2xD.cos2x16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π）17.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ ）18.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z }B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z } D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z }19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ）A.［－43π，4π］ B.［－2π，2π］ C.［－4π，43π］ D.［0，π］ 20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C.32π D.3π 21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ）A.322B.－322 C.32D.－3222.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ ）A.2B.－2C.1D.－123.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan 2θ>cot 2θB.tan 2θ<cot2θ C.sin 2θ>cos 2θD.sin 2θ－cos2θ 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝.25.（2002北京文，13）sin 52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是.26.（1997全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是.29.（1995上海，17）函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在（－2π，2π）内的递增区间是.30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是.31.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值.34.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21， 求tan （α－2β）的值.35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间 38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ）⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。
解三角形高考大题-带答案之欧阳育创编
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD==， 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠．6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=12⨯==．12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；B AC DE（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=()，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠， 故10cos OB θ= 又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以OA OB ===所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤ （2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ=046ππθθ≤≤∴= 当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y 是θ的增函数； 所以当6πθ=时，min 120101010y -⨯== 此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB km 处。
高中数学三角函数练习题之欧阳学文创作
高中数学必修四三角函数检测题欧阳学文一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列不等式中，正确的是（）A．B．C2.A3.A.4.A. B.度单位C. D.度单位5．三角形ABC中角C为钝角，则有（）A.sinA>cosBB. sinA<cosBC. sinA=cosBD. sinA与cosB大小不确定6RB.C.07.8）BCD9C．D10.AB ．CD ．11.）12. .区间的简图是（二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．三．13．若，则的取值范围是四．14.．已知sin （700+α）cos = .五．15.已知函数若对任意都有____________.六．16. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，那么 _____.七．三、解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题13（1 （2 （3）变换得到.18．（本小题第16题（1（2.19(且y（1（2a的值. 20．（本小题14分）（1）求函数的解析式；（2数m的取值范围和这两个根的和。
21值..高一数学必修四三角函数检测题参考答案一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。
）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
） 1314 15、2； 16三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）列表x得x（2.20．解：（1）显然A＝2，又图象过（0，1的点（2）如图所示，在同一坐标系中画的图象，由图可知，不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。
值.。
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三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BC D ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x（Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｄ）3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c << 7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sinα=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532(C)-54 (D)549.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C.π1211D.1112π-10.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12C.3211.函数(02x π≤≤)的值域是B（A ）[-2,02] (B)[-1,0] （C ）[-2,0] （D ）[-3,0]12.函数f(x)=cosx(x)(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m 的值可以为AA.2π B.π C.－πD.－2π13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C.1/2D. 1/316.203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B. 22C. 2D.3217.函数f(x)＝3sin x +sin(2+x)的最大值是 2 18.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cosA,sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝ 6π. 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．π21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143 22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ····················· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ························································· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ·············································· 10分 24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
【解】：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为 最小值为故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值626.知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ． 27.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[,1]2-28.已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）美洲f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π)因为 f(x)为偶函数，所以 对x ∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos（ϕ-6π）＝0.又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f(x)＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得 .2,222 ＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f(x)=2cos2x. 因为.24cos 2)8(==ππf （Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象. 当 2kπ≤32ππ-≤2 kπ+ π(k ∈Z), 即 4kπ＋≤32π≤x≤4kπ+38π (k ∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k(k ∈Z)29.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B ．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．由条件的cos 10αβ==α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)= tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π 30.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos22C C C C+=∴14sin cos 22C C =∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -=∴B C = 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得 31.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）求函数()g x 的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin1cos xxg x x xxx--=+++2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦）， 即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜，故g(x)的值域为)2,3.⎡-⎣32.已知函数2()2sincos 444x x xf x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x fx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：（Ⅰ）2()sin 2sin )24x x f x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==．当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．33.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60，c=3b.求： （Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cotB+cot C 的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得＝2221117()2,3329c c c c c +-=故3a c = （Ⅱ）解法一：cot cot B C + ＝cos sin cos sin sin sin B C C BB C +＝sin()sin ,sin sin sin sin B C AB C B C+= 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得故cot cot B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有故sinB ===同理可得 从而cos coscot cot sin sin 9B C B C B C +=+== 34.已知向量m=(sinA,cosA),n=1)-，m·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=由A 为锐角得,.663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f(x)有最大值32.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 35.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。