浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期

《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）

课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场

考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟

诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！

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考生姓名： 学号： 所属院系： _

一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )

1. 2

()(03)sin lim

.x y xy x

→，，求： 222

2

()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，

2. (122)

().f x y z gradf

=

，，设，，

23(122)

(122)

(122)

(122)

11

..27

22

.2727

1

{122}.27

f x x f

r x r r r x f

f

y

z gradf

∂∂==-⋅=-=-

∂∂∂∂=-

=-

∂∂=-

，，，，，，，，令，则：则：

同样，

，因此，，，

3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，

，处的法线方程.

222()2320246.321(321){686}.

343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：

4. 2

221.(2).4C

x C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222

(2)(44)44.=0.C

C

C

C

x y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰

⎰⎰其中：

5.

02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)

(2).dS dxdy ∑

∑

⎰⎰⎰⎰；

22224

.

4.

x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑

+≤∑

+≤===

=

==-=-⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

由于因此，

二、 计算题：（每题8分，共56分）

1. 2

2()2()()()2

x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的

2

11

.n Fourier n

+∞

=∑

级数，并计算的和

22222

020022112

2

222

11

(1)()20.

2

522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)

65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n n

n n n n n f x b x x a dx a nxdx n n

f x nx x R n

x f n n π

πππππππππππ∞

=-+∞∞

===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12

22222

11111

2

212

2

2

22211

.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.

6511(*)2..

266n n n n n n n n n n n n n n n

x n n σσπσππππππ-+∞

+∞+∞+∞∞

=====+∞

=+∞+∞

==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：

2. 211(2)1

.44

n n n

n n x n n +∞

+∞

==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222

112221111

211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)121

04.44(04).

(2)(2)()()4n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞

+∞+∞+∞

====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1

222

111

.(11).

1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.

14(3)3ln .4

3n n n

n n

n t t x x S t t x x n x x n ∞

=+∞

=+∞

==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝

⎭<<==⋅∑∑∑

其中：故，所以，其中：上式中令，可得，

2111112211

(2)lim lim 141(1)1

1.11.

(2)(2)[11).110444.(04)n n

n n n n n n n n n n n

n n n a x t n t t n a n n t t n n

t x x x n n ∞∞

+→∞→∞==∞

∞

==∞

+∞

==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑

【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..

下面与上同

3. 22

2

()2.y z z

z f x y f x x x y

∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，

12221112221222221112222232(1)

2.111(2)22221

4(2).

z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

=+---