上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_试卷_(180学时)

2007级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（180A 卷）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 若二阶连续可微函数(,)f x y 在点(,)a b 处取得极小值，则有 （ ）.

（A ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≤ （B ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≥

（C ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≥ （D ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≤

2. 质点在变力F yzi xzj zk =-++ 作用下沿螺旋线:cos ,sin ,C x t y t z t ===从

点()11,0,0M 运动到点2(1,0,)M π-，则变力F 所做的功为 （ ）.

（A ）π （B ）2π （C ）212π （D ）313π

3. 设有向曲面∑：222(1)1(1)x y z z ++-=≥，方向为上侧，则

22x y d y d

z y d z d x

z d x d y ∑--=⎰⎰ （ ）. （A ）53π-

（B ）23π

- （C ）3π- （D ）3π 4. 设n

n a =，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）. （A ）1(1)n n n a ∞=-∑ （B ）11n n n a a ∞+=∑ （C ）11()n n n a a ∞+=-∑ （D ）11()n n n a a ∞+=+∑

5. 设三角级数1sin n n b nx ∞

=∑在(0,)π内收敛到函数()1f x x =+，则此三角级数

在3x π= 处收敛于 （ ）.

（A ）1+π （B ）1+2π （C ）1+3π （D ）0

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 设区域22222{(,)|(),,R }D x y x y x y x y =+≤-∈，则2D

xy dxdy =⎰⎰ .

7. 设平面曲线C 为圆221x y +=，则曲线积分()2223C x xy y ds -+=⎰ .

8. 微分方程2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++=的通解为： .

9. 设23F yzi xzj xyk =-+ , 则()div rot F = .

10. 若幂级数1(1)n n n a x ∞=+∑在3x =-处条件收敛，则幂级数11(1)n n n n a x ∞+=+∑的收

敛半径R = .

三、计算下列各题（每小题8分，共16分）

11. 设32x u e yz =，其中(,)z z x y =是由方程230z x y e xyz +-+=所确定的隐函数，求

(0,1,1)u x -∂∂.

12. 解 计算积分2111xy x I dx ye dy =⎰⎰.

四、计算下列各题（每小题10分， 共30分）

13.

计算曲线积分[2ln(C x y x dy +++⎰

, 其中有向曲线C

：y =()5,0到点()1,0.

14.

求抛物柱面y =

0z =,z y =和1y =所截部分的面积.

15. 计算32S

xdydz ydzdx zdxdy --⎰⎰，其中S 是曲面22z x y =+(02z y ≤≤)的下

侧.

五、（本题8分）

16. 求级数1220(1)32()212n n n n x

n x +∞=--++∑

的收敛域.

六、（本题8分）

17. 求级数()()21113n

n n n n ∞=-+∑的和.

七、（本题8分）

18. 设数列{}n a 满足 12111,(2,3)n n n a a a a a n +-===+= 且.

（1）证明: 当3n >时, 22n n a -<;

（2）证明: 当1

2x <时, 级数 11n n n a x ∞

-=∑收敛, 并求其和函数.