椭圆几条重要性质的应用
椭圆几个重要知识点总结
椭圆几个重要知识点总结椭圆的定义：椭圆是一个平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
椭圆还有一个重要的参数称为长轴，它是焦点之间的距离的二倍。
长轴的端点称为顶点，椭圆的中心点在长轴的中点上。
椭圆的性质：1. 椭圆的定义中提到了一个重要的参数——焦距。
焦距的大小决定了椭圆的形状，其值越大，椭圆越“扁”，越接近于一个圆形。
2. 椭圆具有镜像对称性，任意一点关于椭圆的长轴、短轴或中心对称。
3. 椭圆中心点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴。
4. 椭圆的焦点是其上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合，这意味着椭圆上不同点之间的距离具有特定的性质。
椭圆的方程：椭圆的标准方程为\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)为椭圆的中心点，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。
如果椭圆的中心点在原点上，则可简化为\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]椭圆的方程可以通过焦点和长轴的长度来确定，因此，通过方程可以推导出椭圆的性质和形状。
椭圆的参数方程为\[ x = a\cos t \]\[ y = b\sin t \]其中t为变量，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半，根据参数t的取值范围，可以得到椭圆的形状。
椭圆的极坐标方程为\[ r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta} \]其中r为点到椭圆焦点的距离，e为离心率，确定了椭圆的形状。
极坐标方程可以帮助推导椭圆的性质和形状。
椭圆的应用：1. 在天体力学中，椭圆常用来描述天体绕着其他天体运动的轨道。
2. 在工程学中，椭圆的形状和性质经常被用来设计机械零件、仪器零部件的运动轨迹和运动规律。
3. 在生物学和医学中，椭圆的形状和性质被用来描述细胞生长、器官血液循环等生物现象。
椭圆的常用性质的推导及其应用
ⅲ双曲线的内切圆
解： 令PF1 m, PF2 n
y
y
x z
x
2c
z
2a
y
a
c
切点为A, 所以xI a
变式练习
1、已知：1
m
4, F1, F2为曲线C：x42
y2 4m
1的左右焦点，点P为曲线C与x2
y2 m 1
1
在第一象限的交点，直线 l 为曲线 C 在点 P 出的切线，如 F2 PF2的内心为M，
⑥焦点三角形的面积
解：
m
2
n2
2mn cos
4c 2
4a 2
2mn1 cos
4c 2
m n 2a
mn
1
2b 2 cos
SБайду номын сангаас
1 mn sin 2
sin 1 cos
b2
b2
tan
2
双曲线焦点三角形面积为 S
b2
cot
2
⑦焦半径和离心率的关系
ⅰ、由④可知 cos 1 2e2 e2 1 cos e sin
PM PN , F2 M F2T , F1N F1T F1P PN F1F2 F2T F1P PN F2 N F2 F1 F2T F2 N 2a 2c 2F2T F2T a c T与A重合 ⅱ内切圆的性质 MI F1M F2 M F1M F2 M 2c e PI F1P F2 P F1P F2 P 2a
直线F1M与直线l交于N点，则M , N横坐标之差为 ____ 1
2、已知： x 2 9
y2 8
1的焦点为F1, F2 , P为椭圆上任意一点，PF1F2的内心为I，过I 作平行于
椭圆与双曲线性质
椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。
以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。
主轴的中点是椭圆的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。
3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。
4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。
以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。
主轴的中点是双曲线的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率大于1。
3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。
4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。
它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。
椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆十大性质
椭圆十大性质椭圆十大性质（一）任意相等，（二）中心对称轴是对称中心，（三）面积关系。
这里的“面积”指的是内接正六边形的面积，正六边形是特殊的等腰梯形，所以“正六边形的面积”是中心对称面积。
如果不相等，就违背了性质1：若两个角互补则它们的和大于180°。
（二）中心对称轴是对称中心，即它有一条对称轴。
这就好像“长方体”一样，四条棱的交点叫做中心，所以把中心定为原点。
当然，长方体的中心还有垂直于各条棱的线段与之相连，构成中心对称图形，另外还有中心点。
在同一平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
对称轴既不是直线也不是虚线，它是一条线段。
证明：设，，则得到。
这是任意的，当然可以是别的数。
这样就把椭圆的性质1和性质2证明完了。
但要注意，性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
在平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
椭圆的中心对称图形是由关于一条直线对称的两个部分组成的，其中对称轴是过椭圆两焦点的直线，另一部分是由关于该直线对称的两个椭圆组成的。
（四）单调有界不可能发生在椭圆上，我们先从长方形和正方形的性质来看：首先必须知道正方形面积的公式： s=a^2，而且s^2≥s，另外正方形的性质：正方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线；边中点连线平行对角线；有三条边平行，则此三角形全等。
根据上面的论述可得：面积≥边长（ a=b），长方形面积=长×宽，长方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线。
我们再从椭圆的性质来看：椭圆面积的公式： s=a^2，已经知道a^2≥s，根据性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
所以：1、性质1：，且a=b。
性质2：，且s=a^2；2、性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半；3、若s=s^2，那么面积也应该等于a^2，只不过s^2≥s，因为：，所以s=a^2。
椭圆的性质及其用法
椭圆的性质及其用法⑴椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=＞＞ 焦点为12(,0),(,0)F c F c -。
焦点为12(0,),(0,)F c F c -的椭圆的方程：22221y x a b+=(0)a b ＞＞ 122PF PF a +=。
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程（其中222b ac =-）。
例：已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点12,F F 所在直线为x 轴，线段12,F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程为： 22221(0)x y a b a b+=＞＞ 根据题意23a =，2 2.4c =即： 1.5a =， 1.2c =∴222221.5 1.20.81b a c =-=-=因此，这个椭圆的标准方程： 2212.250.81x y +=。
⑵椭圆的几何性质：①范围： 由方程22221x y a b+=可知，椭圆上任意一点的坐标(,)x y 都满足222211x y a b =-≤ 即：22x a ≤∴a x a -≤≤ b y b -≤≤②对称性：椭圆是关于x 轴、y 轴和原点都对称的图形，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，这说明点12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点；点12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点。
这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。
线段1212,,,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b 。
④离心率： 焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率，记为(0,1)e ∈。
当c a 越接近于0时，椭圆越接近于圆；当c a 越接近于1时，椭圆越扁，随着c a 的增大，椭圆越来越扁。
椭圆的知识点总结笔记
椭圆的知识点总结笔记一、椭圆的定义椭圆可以有多种定义方式，其中最常见的一种是：设定一个固定点F1和F2，椭圆定义为平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于一个常数2a的点的轨迹。
这两个点分别称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
另外一种定义方式是：设定一个固定点F和一条线段L，椭圆定义为平面上到这个点F距离的总和等于这条线段L的点的轨迹。
这个固定点称为椭圆的焦点，线段L称为椭圆的准线。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，即椭圆关于长轴对称和关于短轴对称。
2. 离心率：椭圆的离心率e是一个常数，表示焦点F到椭圆上任意一点P的距离与点P 到准线的距离的比值。
离心率的取值范围为0到1，当e=0时，是一个圆，当e=1时，是一个双曲线。
3. 焦点：椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等。
4. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b是长轴和短轴的长度。
5. 参数表示：椭圆上的点可以用参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
6. 周长和面积：椭圆的周长和面积公式分别为2πa(1-e^2)和πab。
三、椭圆的方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
如果方程可以化为标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，则表示这个方程描述的是一个椭圆。
四、椭圆的参数表示椭圆的参数表示是描述椭圆上的点的一种方式，参数方程为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
参数t的取值范围通常是0到2π。
五、椭圆的焦点和直径1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆的一个重要性质，它是椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等的点。
2. 直径：椭圆的直径是椭圆上的一个特殊直线段，它通过椭圆的中心并且与椭圆的两个端点相接。
六、椭圆的离心率椭圆的离心率e是描述椭圆形状的一个重要参数，它表示焦点到椭圆上任意一点的距离与这个点到准线的距离的比值。
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
椭圆的特点和应用领域
椭圆的特点和应用领域椭圆是数学中一个重要的几何曲线，它有着独特的特点和广泛的应用领域。
本文将探讨椭圆的特点以及在各个领域中的实际应用。
一、椭圆的特点椭圆是一个闭合曲线，有两个焦点和一个恒定的总长度之和。
椭圆的关键特点如下：1. 长短半轴：椭圆有两个主轴，其中较长的一条是长半轴，较短的一条是短半轴。
长短半轴的比例决定了椭圆的形状。
2. 焦距：椭圆有两个焦点，位于椭圆的主轴上。
椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于主轴的长度。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长半轴之比。
离心率越接近于0，椭圆越扁平，离心率越接近于1，则椭圆越趋向于圆。
二、椭圆的应用领域由于椭圆的独特形状和特点，它在许多领域都得到了广泛的应用。
以下是椭圆在一些领域中的应用范例。
1. 天文学：椭圆轨道是描述行星、卫星等天体运动的常见方式。
根据开普勒定律，椭圆轨道可以准确地描述天体运动的轨迹。
2. 电子学：椭圆极化是光学与电子学中常见的现象。
当电磁波中的电场矢量在一个平面内展开时，其振动轨迹为椭圆。
该现象被广泛应用于偏振光的产生和控制。
3. 机械工程：椭圆齿轮是一种用于传动系统的特殊齿轮。
与普通齿轮相比，椭圆齿轮具有更大的接触面积和更高的传动效率，因此在一些高精度传动装置中得到应用。
4. 地球科学：地球的形状可以近似为一个略扁平的椭圆体。
这种近似模型被广泛应用于测量地球表面的长度和面积，以及进行地理坐标定位。
5. 通信技术：在椭圆曲线密码学中，椭圆曲线被应用于保护通信数据的安全性。
椭圆曲线密码学具有较高的安全性和效率，被广泛应用于现代密码学算法中。
6. 美学艺术：椭圆是一种具有优美曲线和对称性的形状，因此在建筑设计、绘画和雕塑等艺术领域中得到广泛应用。
椭圆的形状常常被运用于打造独特的建筑外立面和艺术品。
总结：椭圆作为一种重要的数学曲线，在科学、工程和艺术中都有着广泛的应用。
椭圆的特点包括长短半轴、焦距和离心率等，它们决定了椭圆的形状和性质。
椭圆方程的基本性质及其应用
椭圆方程的基本性质及其应用椭圆方程是数学中一个重要的概念，它在不同领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆方程的基本性质以及其在实际问题中的应用。
一、椭圆方程的基本性质椭圆方程是指形如 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f =0$ 的二次方程，其中 $a,b,c,d,e,f$ 都是实数且 $a,b,c$ 不全为零。
其图像是一个椭圆或一个退化的椭圆，例如两条直线。
椭圆方程的基本性质包括：1. 椭圆方程的系数矩阵是一个实对称矩阵。
（这个可以通过对称性来证明）2. 椭圆方程对应的椭圆可以通过平移、旋转、缩放三个基本变换得到。
3. 椭圆方程的解法可以通过配方法，化为标准形式后求出$x$ 和 $y$ 的值。
4. 椭圆方程的根的个数在不同条件下是有区别的。
当它有两个不同实根时，对应的椭圆方程图像是两条直线；当它有两个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个退化的椭圆；当它有两个不同实根和一个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个椭圆。
二、椭圆方程的应用椭圆方程在各个领域的问题中都有着广泛的应用，下面仅列出一些典型的例子。
1. 机械工程：在机械运动学中，椭圆方程可以用于描述转矩传递的行为。
例如，当一个椭圆形轮廓的齿轮与一个圆形轮廓的齿轮啮合时，它们之间的传递角速度可以通过椭圆方程来计算。
2. 电磁学：在电磁场中，椭圆方程可以用于描述电场和磁场的分布。
例如，当一个二元球对称的电场在两个直接相交的平面上被截面后，这两个截面形成的几何形状是一个椭圆。
3. 经济学：在经济学中，椭圆方程可以用于描述生产生态系统的生物量和体积之间的关系。
例如，如果一个生态系统中的物种的生物量是椭圆形的，那么它们之间的相互影响可以通过椭圆方程来描述。
4. 物理学：椭圆方程在物理学中也有着广泛的应用。
例如，当一个由两个质点组成的系统的轨迹是椭圆形时，它们之间的相互作用可以用椭圆方程来计算。
三、总结椭圆方程作为数学中一个重要的概念，在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
椭圆的性质大总结
椭圆的性质大总结椭圆是我们常见的几何图形之一，具有独特的形状和性质。
在数学和物理学中，椭圆的性质和应用非常广泛，涉及到许多重要的概念和定理。
在本文中，我们将对椭圆的各种性质进行总结，并探讨其在现实世界中的一些应用。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个特定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。
这两个特定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆还具有以下基本性质：1. 椭圆是对称图形，具有中心对称性。
即椭圆上的任意一点关于中心对称点都存在。
2. 椭圆的两个焦点和中心在同一条直线上，并且中心距离两个焦点的距离等于a，即椭圆的长轴长度。
3. 椭圆的离心率满足0<e<1的条件。
当离心率e=0时，得到一个圆；当离心率e=1时，得到一个拋物线。
二、椭圆的参数方程与极坐标方程椭圆的一种常用参数方程可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b为椭圆的长半轴和短半轴。
这个参数方程可以将椭圆表示为以原点为焦点的平面曲线。
而椭圆的极坐标方程可以表示为：r = (a * b) / √(a^2 * sin^2θ + b^2 * cos^2θ)其中r是距离原点的距离。
三、椭圆的周长和面积椭圆的周长可以通过积分计算得到，其公式为：C = 4a * E(e)其中E(e)是椭圆的柯西数，满足以下积分表达式：E(e) = ∫(0 to π/2) √(1 - e^2*sin^2θ) dθ椭圆的面积可以通过以下公式计算：S = π * a * b四、焦准线和近心点椭圆的焦准线是由椭圆上各点到两个焦点垂直于长轴的连线组成的直线。
这些焦准线在离心率不等于0的椭圆中可以证明是相交于椭圆的坐标轴的。
椭圆的近心点是离两个焦点距离之和与椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数的点。
近心点与椭圆的中心之间的距离等于离心率乘以椭圆的长轴长度。
五、椭圆的应用椭圆在生活和科学研究中有着广泛的应用。
椭圆和双曲线知识点
椭圆和双曲线知识点椭圆和双曲线是数学中的两种重要曲线，它们在几何学、物理学以及工程学等领域有广泛的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的定义、性质以及一些实际应用。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。
这两个点被称为焦点，而这个常数称为椭圆的离心率。
椭圆的形状与焦点之间的距离和离心率有关，当离心率为0时，椭圆退化为一个点，当离心率为1时，椭圆退化为一条线段。
椭圆的性质有很多，其中一些最重要的性质如下：1. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆两个焦点的直线段，短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段。
2. 椭圆的焦距：椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，它决定了椭圆的形状。
4. 椭圆的焦点定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
除了这些基本性质，椭圆还有很多其他的性质和定理，如椭圆的切线定理、椭圆的对称性等，它们在几何学中起着重要的作用。
二、双曲线的定义与性质双曲线是平面上满足到两个给定点的距离之差等于常数的所有点的轨迹。
与椭圆不同，双曲线有两个焦点和一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。
双曲线的形状与焦点之间的距离和离心率有关。
双曲线也有一些重要的性质：1. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是双曲线的特殊直线。
2. 双曲线的极限点：双曲线的极限点是离焦点最近的点，它们与焦点之间的距离等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的对称性：双曲线关于两个焦点和中心都有对称性。
双曲线也有很多其他的性质和定理，如双曲线的切线定理、双曲线的拐点等。
三、椭圆和双曲线的应用椭圆和双曲线在实际应用中有广泛的应用。
在天体力学中，行星的轨道通常是椭圆或近似椭圆的；在电磁波传播中，天线的辐射范围可以用双曲线来描述；在光学中，镜面反射和折射也与椭圆和双曲线有关。
此外，椭圆和双曲线还可以用于数据拟合、信号处理、图像处理等领域。
椭圆几何公理知识点总结
椭圆几何公理知识点总结椭圆是一个非常重要的几何概念，它在数学中具有广泛的应用。
椭圆的性质可以通过一系列几何公理来描述和推导，这些公理包括椭圆的定义、性质、以及与其他几何对象之间的关系。
本文将对椭圆的几何公理进行总结，并详细介绍每一条公理的含义和应用。
一、椭圆的定义椭圆可以通过以下几何公理来定义：1. 两个焦点F1和F2和到这两个焦点的距离之和等于定值2a的点P的轨迹；2. 焦点F1和F2到椭圆上一点P的距离之和等于定值2a。
这两条公理描绘了椭圆的基本特征，即椭圆是焦点与到焦点的距离之和等于定值的点的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别表示椭圆的两个半轴的长度。
二、椭圆的性质椭圆具有以下几个重要的性质：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1；2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于定值2a；3. 椭圆的两个焦点和半长轴之间的关系为：c^2 = a^2 - b^2，其中c表示焦点之间的距离；4. 椭圆的焦距等于2a；5. 椭圆的直径所在的任意两个点与椭圆焦点的连线之和等于定值2a。
这些性质揭示了椭圆的独特特征，帮助我们理解椭圆的本质和特点。
三、椭圆与其他几何对象的关系椭圆与其他几何对象之间有着密切的关系，包括与抛物线、双曲线、圆等的关系。
其中，椭圆与圆之间的关系尤为重要。
椭圆可以看作是一个圆在一定方向上进行拉伸而形成的，因此椭圆与圆具有很多相似的性质，比如焦点和离心率的性质都与圆相关。
此外，椭圆还与抛物线和双曲线有着一些相似之处，比如椭圆的定义和焦点之间的距离之和等于定值的性质与抛物线和双曲线的定义和性质有着类似之处。
总之，椭圆与其他几何对象之间有着丰富的联系，通过研究这些联系可以更好地理解椭圆的性质和特点。
四、椭圆的应用椭圆在数学和物理等领域中有着广泛的应用，其中的一些典型应用包括：1. 相位椭圆：在光学中，椭圆被用来描述偏振光的性质，通过椭圆的长轴、短轴和离心率等参数可以描述光的偏振状态；2. 卫星轨道：椭圆被广泛应用于描述卫星的轨道，通过椭圆的焦点和半长轴等参数可以描述卫星的运行轨道；3. 太阳能椭圆镜：椭圆在太阳能领域也有着重要的应用，椭圆形的镜面可以更好地捕获太阳能，并将其集中到一个点上，提高太阳能利用效率；4. 椭圆积分：在数学分析中，椭圆积分是一类特殊的积分形式，它在计算物体的质心、转动惯量等问题中有着重要的应用。
椭圆的应用领域总结
椭圆的应用领域总结1. 数学领域椭圆是数学中的一个重要概念，在许多数学分支和应用中都有广泛的应用。
以下是几个椭圆在数学领域中的应用领域总结：- 几何学：椭圆是一个平面图形，通过其几何性质，我们可以研究和解决与椭圆相关的几何问题，如椭圆的离心率、焦点、对称性等。
- 解析几何学：椭圆在解析几何学中起着重要的作用，它们被用来描述曲线和图形的特征，以及它们之间的关系。
- 微积分：椭圆曲线在微积分中有广泛的应用，尤其是在曲线的积分和导数计算中。
- 线性代数：椭圆在线性代数中也有许多应用，如椭圆方程的矩阵表示和矩阵运算。
2. 物理学领域椭圆在物理学中也有许多应用，下面是几个例子：- 光学：光的波动在空间中可以被描述为椭圆的振动，在光学中，椭圆极化是一个重要的概念。
- 天体物理学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，研究和描述它们的运动轨迹需要使用椭圆的相关理论。
- 电磁场：电磁波的传播和衍射也可以通过椭圆的参数来描述和计算。
- 力学：椭圆在力学中也有重要的应用，如行星运动的模拟和分析。
3. 工程领域椭圆在工程领域中也有广泛的应用，下面是几个例子：- 通信工程：调制解调技术中使用的星座图就是由一组椭圆形点构成的。
- 电子工程：椭圆滤波器被广泛用于信号处理和电子电路设计中。
- 机械设计：椭圆齿轮被用于传动系统中，具有较好的传力和传动特性。
- 控制系统：控制系统中的稳定性分析和控制器设计也会使用椭圆的相关理论和方法。
综上所述，椭圆在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
通过理解和应用椭圆的相关理论和方法，我们可以解决许多实际问题并推动科学技术的发展。
椭圆的基本性质与应用
椭圆的基本性质与应用椭圆是一种常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨椭圆在不同领域的应用。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合来定义。
这两个定点称为焦点，记为F1和F2。
椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
椭圆的中心为焦点连线的中点O，称为圆心。
椭圆的长轴为焦点连线的长度2a，短轴为焦点连线垂直中分线的长度2b。
椭圆的离心率e定义为焦点连线长度的一半与短轴长度的比值，即e=a/b。
椭圆具有以下基本性质：- 对称性：椭圆相对于它的长轴和短轴具有对称性。
- 焦半径定理：椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于长轴长度（2a）。
- 焦点定理：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这个性质可以用来定义椭圆。
- 内切圆和外切圆：椭圆的内切圆与椭圆的外切圆均与椭圆的长轴和短轴相切。
2. 椭圆的应用椭圆具有广泛的应用，下面我们将介绍椭圆在不同领域的一些应用。
- 物理学：在天体力学中，行星和卫星的运动轨迹常常被建模为椭圆。
椭圆轨道方程可以帮助科学家预测和计算行星和卫星的运动。
- 通信领域：在卫星通信和无线通信中，天线的辐射范围通常被建模为一个椭圆。
这有助于工程师设计和优化无线通信系统的覆盖范围和传输效果。
- 光学：椭圆曲线具有特殊的反射性质，因此在镜面技术中得到广泛应用，如天文望远镜、车辆的后视镜和照明灯的反射面等。
- 地理学：椭圆经纬线也被广泛用于精确测量地球表面上的位置，如GPS定位系统和地图制作中的坐标系统。
总结：椭圆是一种重要且常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。
椭圆的性质和特点可以帮助我们理解和分析许多自然和人造系统的运动和行为。
通过了解椭圆的定义、基本性质和应用，我们可以更好地应用它们在实际问题中进行计算和建模。
椭圆在天体力学、通信领域、光学和地理学等不同领域中都发挥着重要的作用，对实际应用具有重要的指导意义。
椭圆归纳总结
椭圆归纳总结在数学中，椭圆是一种常见的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
通过归纳总结，我们可以更深入地理解椭圆，并在各个方面应用它们。
本文将对椭圆的定义、性质、公式以及实际应用进行详细讨论。
一、椭圆的定义与性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹定义。
定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆有以下基本性质：1. 椭圆是平面上的一个封闭曲线，且具有对称性；2. 椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并通过椭圆的中心点；3. 椭圆的离心率小于1，且离心率越接近于0，椭圆越趋近于圆形；4. 椭圆的离心率决定了其扁平程度。
二、椭圆的参数方程与标准方程椭圆的参数方程由以下两个方程给出：x = a*cosθ,y = b*sinθ,其中a和b分别代表长轴与短轴的一半，θ为参数。
标准方程是描述椭圆的另一种形式，可由以下方程表示：((x-h)²/a²) + ((y-k)²/b²) = 1,其中(h,k)为椭圆的中心点坐标。
通过参数方程和标准方程，我们可以方便地描述和画出椭圆。
三、椭圆的周长与面积椭圆的周长和面积是我们在实际问题中常常需要计算的指标。
1. 椭圆的周长公式为：C = 4*a*E(e),其中E(e)为椭圆的第一类椭圆积分，e为离心率。
2. 椭圆的面积公式为：S = π*a*b，其中a和b分别代表长轴和短轴的一半。
四、椭圆的应用椭圆具有广泛的应用领域，下面我们将以几个具体的实例来说明椭圆在实际中的应用。
1. 天体运动：开普勒定律描述了行星围绕太阳运动的规律，其中椭圆轨道是行星运动的基础。
2. 抛物物体轨迹：若有一个物体在一个平面上沿抛物线轨迹运动，那么当物体的初始速度和投掷角度给定时，该轨迹是一个椭圆。
3. 天文测量：椭圆是描述天体轨道的最常见形状之一，对于行星、卫星、彗星等天体的轨道参数测量和计算，椭圆方程是非常重要的工具。
4. 圆椎曲线应用：椭圆是一种圆锥曲线，因此在光学领域应用广泛，如椭圆镜、椭圆透镜等。
关于椭圆的相关知识点
2023年椭圆的相关知识点椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，在数学和物理中都有广泛的应用。
它是一个闭合的曲线，由一个动点和两个固定点以及与这两个固定点的距离之和相等的所有点构成。
本文将介绍椭圆的定义、性质、方程以及一些常见的应用。
一、定义椭圆是平面上与两个固定点F1和F2的距离之和为常数2a的所有点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，而常数2a称为椭圆的长轴的长度。
椭圆的中心是焦点连线的中点，而短轴则是焦点连线的垂直平分线。
二、性质1. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个表示椭圆形状的重要参数，它等于焦点距离与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c是焦距，a是长轴的一半。
离心率的取值范围在0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个圆；当离心率接近于1时，椭圆变得更加扁平。
2. 椭圆的拉伸变形：如果将椭圆的长轴拉伸或缩短，那么椭圆的形状也会随之改变。
当长轴与短轴的比值变大时，椭圆会变得更加扁平；当比值变小时，椭圆则变得更加圆形。
3. 椭圆的焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，焦点F1和F2到点P的距离之和等于固定值2a。
这个性质被广泛应用于天文学中的开普勒定律和定点式定位系统的原理中。
4. 椭圆的切线性质：椭圆上的每一点都有且只有一条与椭圆相切的切线。
这个性质对于曲线的研究和计算具有重要意义。
三、方程椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半。
根据椭圆的长轴与短轴的方向，我们可以得到不同形式的方程。
1. 椭圆的水平形式：当椭圆的长轴与x轴平行时，其标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
此时，a表示椭圆的半长轴长度，b表示椭圆的半短轴长度。
2. 椭圆的垂直形式：当椭圆的长轴与y轴平行时，其标准方程为(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1。
椭圆几何性质的总结方法
椭圆几何性质的总结方法摘要本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。
通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。
引言椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。
它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。
椭圆的基本定义椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。
通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。
1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
总结方法为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。
1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
2. 数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
椭圆的知识点方法总结
椭圆的知识点方法总结椭圆是数学中的一种非常重要的几何图形，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从椭圆的定义、性质、方程、应用等方面进行探讨，为读者提供一份较为系统的椭圆知识积累。
一、椭圆的定义及性质椭圆是一个平面上的封闭曲线，它是由到两个定点之和等于定长的点的轨迹组成的。
通常将这两个定点称为椭圆的焦点，该定长称为焦距。
椭圆还具有以下基本性质：1. 椭圆的中心：椭圆的焦点连线的垂直平分线，即为椭圆的中心。
2. 椭圆的两个半轴：椭圆的主轴和次轴，分别与两个焦点连线垂直，其中长度较长的轴称为主轴，长度较短的轴称为次轴。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e是一个重要参数，它是椭圆焦点与中心距离之比的一半。
由此可以推得，圆的离心率为0，而当e=1时，椭圆退化成一条线段。
对于常用的椭圆来说，0<e<1。
4. 周长和面积：椭圆的周长和面积分别为2πa和πab，其中a和b分别为主轴和次轴的半径长度。
二、椭圆的方程椭圆的方程有多种表示方法，下面先介绍三种比较常用的表达方式。
（1）直角坐标方程：椭圆的直角坐标方程形式为：[(x-h)²/a²] + [(y-k)²/b²] = 1，其中（h,k）为椭圆的中心坐标，a和b分别为主轴和次轴的半径长度。
（2）参数方程：椭圆的参数方程形式为：x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数，a和b分别为主轴和次轴的半径长度。
（3）极坐标方程：椭圆的极坐标方程形式为：r = [a(1-e²)] / [1+e cos(θ)]，其中r为极距，e为离心率。
三、椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程等领域中都有广泛应用，以下列出一些典型的应用场景。
1. 椭圆轨道：天体的运动轨迹中，椭圆是一种比较常见的形状，如地球的公转轨道、火星的椭圆轨道等。
利用椭圆轨道，科学家可以精确计算天体的运动状态和时间。
2. 椭圆天线：在无线电通信中，椭圆天线可以实现对信号的定向传输和接收，提高通信质量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆几条重要性质的应用 椭圆的性质表述了椭圆的曲线特征，在解题中有重要的作用.如果在解题中能抓住问题的实质，利用椭圆的性质，常常能简化解题过程.下面就椭圆的几条重要性质的应用举例分析.
一﹑变量范围的应用
椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中，|x|≤a,|y|≤b. 例1椭圆x 24
＋y 2=1与圆(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)有公共点，则r 的最大值与最小值分别为( )
A.3，63
B.3，62
C.2，63
D.2，62 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2=1 ①(x －1)2＋y 2＝r 2 ②
消去y 得r 2＝14(3x 2－8x ＋8)＝34(x －43)2＋23， 由于－2≤x ≤2，则当x ＝－2时，r 2的最大值为9，当x ＝43时，r 2的最大值为23
， 所以r 2的最大值为3，当x ＝43时，r 2的最大值为63
，故选A. 点评：本题涉及最值问题，此类问题一般需要建立目标函数，再求函数的最值.但要注意函数的自变量的范围.上述解法中所涉及的函数的自变量是x ，因此x 的范围是－2≤x ≤2.
二、通径的应用
过焦点垂直于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)于P 1P 2，则|P 1P 2|＝2b 2a
， 例2设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率为_____________.
解析：∵PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2为等腰三角形，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，则2c ＝b 2
a
， ∴2ac ＝b 2＝a 2－c 2，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.
点评：本题运用了方程的思想求离心率.同时提醒我们，记住一些常用结论，有助于快速解题，如焦点三角形面积公式、定值结论等.这里用到椭圆的通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）.
三、焦半径的应用
椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径，当焦点在x 轴上时，设椭圆上任一点P(x 0,y 0)，则|PF 1|＝a ＋ex 0,|PF 2|＝a －ex 0.
例3椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当已知∠F 1PF 2为钝角，点P 的横坐标的取值范围为____________．
解：由已知，a ＝3，b ＝2，∴c ＝5，e ＝53
， 设点P 的横坐标为x P ，则由椭圆焦半径公式|PF 1|＝3＋
53x P ，
|PF 2|＝3－53
x P ，又cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＜0， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＜0，即109x 2P －2＜0，∴x 2P ＜95，∴－355＜x P ＜355
得解． 点评：本题的靓点是以焦点三角形F 1PF 2为基础，紧紧抓住∠F 1PF 2是钝角，利用余弦定理得到一个不等式，再结合焦半径就不难求出点P 的横坐标了，真是太妙了．
四﹑中点弦的斜率公式的应用
设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上不同的两点，M(x 0，y 0)是弦AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝－b 2a 2.若椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ·k OM ＝－a 2
b
2. 例4中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点M 横坐标为12
，求椭圆的方程. 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(50，0)得a 2－b 2＝50 ①，
由直线的方程得点M(12，－12
)，则k OM ＝－1， 又已经直线的斜率为3，由性质知3×(－1)＝－a 2
b
2，即a 2＝3b 2 ②. 由①②解得a 2＝75，b 2＝25.
故所求椭圆的方程为：x 275＋y 2
25
＝1. 点评：本题解答如果利用常规法，需要结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式，其过程较为繁琐.同时启示我们：如果涉及到弦的中点及直线的斜率，那么利用此条性质则可以起到简化作用.。