椭圆几条重要性质的应用

椭圆几条重要性质的应用 椭圆的性质表述了椭圆的曲线特征，在解题中有重要的作用.如果在解题中能抓住问题的实质，利用椭圆的性质，常常能简化解题过程.下面就椭圆的几条重要性质的应用举例分析.

一﹑变量范围的应用

椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)中，|x|≤a,|y|≤b. 例1椭圆x 24

＋y 2=1与圆(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)有公共点，则r 的最大值与最小值分别为( )

A.3，63

B.3，62

C.2，63

D.2，62 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2=1 ①(x －1)2＋y 2＝r 2 ②

消去y 得r 2＝14(3x 2－8x ＋8)＝34(x －43)2＋23， 由于－2≤x ≤2，则当x ＝－2时，r 2的最大值为9，当x ＝43时，r 2的最大值为23

， 所以r 2的最大值为3，当x ＝43时，r 2的最大值为63

，故选A. 点评：本题涉及最值问题，此类问题一般需要建立目标函数，再求函数的最值.但要注意函数的自变量的范围.上述解法中所涉及的函数的自变量是x ，因此x 的范围是－2≤x ≤2.

二、通径的应用

过焦点垂直于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)于P 1P 2，则|P 1P 2|＝2b 2a

， 例2设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率为_____________.

解析：∵PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2为等腰三角形，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，则2c ＝b 2

a

， ∴2ac ＝b 2＝a 2－c 2，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.

点评：本题运用了方程的思想求离心率.同时提醒我们，记住一些常用结论，有助于快速解题，如焦点三角形面积公式、定值结论等.这里用到椭圆的通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）.

三、焦半径的应用

椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径，当焦点在x 轴上时，设椭圆上任一点P(x 0,y 0)，则|PF 1|＝a ＋ex 0,|PF 2|＝a －ex 0.

例3椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当已知∠F 1PF 2为钝角，点P 的横坐标的取值范围为____________．

解：由已知，a ＝3，b ＝2，∴c ＝5，e ＝53

， 设点P 的横坐标为x P ，则由椭圆焦半径公式|PF 1|＝3＋

53x P ，

|PF 2|＝3－53

x P ，又cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＜0， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＜0，即109x 2P －2＜0，∴x 2P ＜95，∴－355＜x P ＜355

得解． 点评：本题的靓点是以焦点三角形F 1PF 2为基础，紧紧抓住∠F 1PF 2是钝角，利用余弦定理得到一个不等式，再结合焦半径就不难求出点P 的横坐标了，真是太妙了．

四﹑中点弦的斜率公式的应用

设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上不同的两点，M(x 0，y 0)是弦AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝－b 2a 2.若椭圆方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ·k OM ＝－a 2

b

2. 例4中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点M 横坐标为12

，求椭圆的方程. 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(50，0)得a 2－b 2＝50 ①，

由直线的方程得点M(12，－12

)，则k OM ＝－1， 又已经直线的斜率为3，由性质知3×(－1)＝－a 2

b

2，即a 2＝3b 2 ②. 由①②解得a 2＝75，b 2＝25.

故所求椭圆的方程为：x 275＋y 2

25

＝1. 点评：本题解答如果利用常规法，需要结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式，其过程较为繁琐.同时启示我们：如果涉及到弦的中点及直线的斜率，那么利用此条性质则可以起到简化作用.