全国名校高中数学题库--圆锥曲线
(完整版)高考圆锥曲线经典真题
高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
(word版)高中数学——圆锥曲线试题(含答案),文档
启智辅导高考圆锥曲线试题精选一、选择题：〔每题5分，计50分〕1、(2021x2y2的焦距为〔〕海南、宁夏文)双曲线1102A.32B.42332.〔2004全国卷Ⅰ文、理〕椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的4直线与椭圆相交，一个交点为P，那么|PF2|=〔〕A．3B．37D．4 2C．23．〔2006辽宁文〕方程2x25x20的两个根可分别作为〔〕Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．〔2006四川文、理〕直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，那么梯形APQB的面积为〔〕〔A〕48.〔B〕56〔C〕64〔D〕72.x2y21的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是5.(2007福建理)以双曲线169()A. B.C. D.6．〔2004全国卷Ⅳ理〕椭圆的中心在原点，离心率e 1，且它的一个焦点与抛物线y22 4x的焦点重合，那么此椭圆方程为〔〕A ．x2y2x2y2x2y21D．x22141B．61C．y 3824x2y22，有一个焦点与抛物线7．〔2005湖北文、理〕双曲线1(mn0)离心率为y2m n4x的焦点重合，那么mn的值为〔〕A．3B．3C．16D．8168x232316y1的左焦点在抛物线28.(2021重庆文)假设双曲线p2y=2px的准线上,那么p的值为3()(A)(B)3(C)4(D)4229．〔2002北京文〕椭圆x2y2和双曲线x2y23m212m21有公共的焦点，那么5n23n2双曲线的渐近线方程是〔〕A．x 15B．y15C．x3D．y3 y x y4x 22410．〔2003春招北京文、理〕在同一坐标系中，方程x2y2与ax by20(a b0)的曲线大致是a2b21y y y()yO O O Ox x x x A B C D高考圆锥曲线试题精选第1页共8页启智辅导二、填空题：〔每题 5分，计20分〕11.〔2005上海文〕假设椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是215,0，那么椭圆的标准方程是_________________________12．(2021江西文)双曲线x 2 y 21(a 0,b 0)的两条渐近线方程为 y3x ，a 2b 23假设顶点到渐近线的距离为 1，那么双曲线方程为．x 2 y 21的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的13.〔2007上海文〕以双曲线45抛物线方程是．14.(2021天津理)圆C 的圆心与抛物线y 24x 的焦点关于直线yx 对称.直线4x 3y20 与圆C 相交于A,B 两点，且 AB6,那么圆C 的方程为.三、解答题：〔15—18题各13分，19、20 题各14 分〕x 2 y 2 1(a b 0)的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，15.〔2006北京文〕椭圆C:2b 2a且PF 1F 1F 2,|PF 1| 4,|PF 2|14. 〔Ⅰ〕求椭圆 C 的方程；33(Ⅱ)假设直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C 于A,B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．〔2005重庆文〕中心在原点的双曲线 C 的右焦点为〔2，0〕，右顶点为 ( 3,0)〔1〕求双曲线 C 的方程； 〔2〕假设直线l:y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OAOB 2〔其中O 为原点〕.求k 的取值范围.高考圆锥曲线试题精选 第2页 共8页启智辅导(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P 〔0，-4〕作抛物线 G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足FA ·FB0,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2021辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)，(0，3) 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕写出C 的方程； uuu r〔Ⅱ〕设直线yuuuruuur kx1与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OAOB ？此时AB 的值是多少？高考圆锥曲线试题精选 第3页 共8页启智辅导22y〔2002广东、河南、江苏〕A、B是双曲线x－2＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点求直线AB的方程；如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？20.〔2007福建理)如图，点F〔1，0〕，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
圆锥曲线多选、填空题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题
14．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第14题
9．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ，即 ；
全国名校高中数学题库 圆锥曲线
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±2137e =由1273e e =得1133e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x y c x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422，Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN yk x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023一、选择题1. 下列不是圆锥曲线的是：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线2. 椭圆的离心率范围是：A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e = 03. 若双曲线的离心率为1.5，焦点到准线的距离为6，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$B. $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$C. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$D. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$4. 抛物线的焦点位于：A. 抛物线的顶点处B. 抛物线的准线上C. 抛物线的对称轴上D. 抛物线的焦点处5. 设双曲线的离心率为2，焦点到准线的距离为10，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$B. $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$C. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$D. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$二、填空题1. 椭圆的离心率等于：答案：$\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$2. 双曲线的焦点间距离等于：答案：$2ae$3. 抛物线的焦距等于：答案：$p = \frac{1}{4a}$4. 椭圆的离心率范围是：答案：$0 < e < 1$5. 双曲线的准线称为：答案：对称轴三、计算题1. 求椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标。
解答：椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a = 4$，$b = 3$。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
一、选择题：（60分）
1．椭圆 的离心率是（）
A. B. C. D.
2.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，并且长轴长为12，离心率为 ，则该椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
3.方程 所表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.线段D.圆
4.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率曲线的实轴长和虚轴长。
（2）若 ,点 是双曲线上的任意一点，求 的最小值。
20.已知双曲线 。
（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程。
(2)直线 分别交双曲线的两条渐近线与A,B两点，当 时，求实数 的值。
（A）(B)(C)(D)
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则三角形ABC的周长是（）
（A）2（B）6（C）4（D）12
6．已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 , ,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
7.曲线 与曲线 的（）
A. B. C. D.
二、填空题：（30分）
11.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
12.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的2倍，则求该椭圆的标准方程为。
13.已知椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上。若 ,则 的大小为
14.已知点 ，椭圆 与直线 交于点A,B,则 的周长为（）
15.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ，则 ( ), （）。
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
8.已知F是双曲线 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则 的大小不可能是（）
全国名校高考数学专题训练圆锥曲线
全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题一、选择题(本大题共60小题)1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上,横坐标为4(de)点到焦点(de)距离为5,则p(de)值为( )C. 2D. 42.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E(de)短轴长为6,焦点F到长轴(de)一个端点(de)距离等于9,则椭圆E(de)离心率等于( )3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1,F2是椭圆4x249＋y26＝1(de)两个焦点,P是椭圆上(de)点,且|PF1|：|PF2|＝4：3,则△PF1F2(de)面积为( )4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0(de)直线l过椭圆x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(de)右焦点F交椭圆于A,B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为( )A.钝角B.直角C.锐角D.都有可能5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b(de)椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大(de)矩形,其面积(de)取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e(de)取值范围是( )A.[53,32] B.[33,22] C.[53,22] D.[33,32]6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ,F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)(de)右顶点和左焦点,点B 为椭圆短轴(de)一个端点,若BF →·BA →＝0=0,则椭圆(de)离心率e 为( )7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)右焦点为圆心(de)圆经过原点,且被椭圆(de)右准线分成弧长为2:1(de)两段弧,那么该椭圆(de)离心率等于( )8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,抛物线C 2(de)顶点在原点,它(de)准线与双曲线C 1(de)左准线重合,若双曲线C 1与抛物线C 2(de)交点P 满足PF 2⊥F 1F 2,则双曲线C 1(de)离心率为( ) A. 2B. 3C.23329.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)中心,右焦点,右顶点,右准线与x 轴(de)交点依次为O ,F ,A ,H ,则|FA ||OH |(de)最大值为( )A.12B.13C.1410.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x (de)焦点F ,交抛物线于A ,B 两点,且点A 在x 轴上方,若直线l (de)倾斜角θ≥π4,则|FA |(de)取值范围是( )A.[14,32)B.(14,34＋22]C.(14,32]D.(14,1＋22]11.(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)两个焦点为F 1,F 2,点A 在双曲线第一象限(de)图象上,若△AF 1F 2(de)面积为1,且tan ∠AF 1F 2＝12,tan ∠AF 2F 1＝－2,则双曲线方程为( )－y 23＝1 －3y 2＝1 －12y 25＝1 －5y 212＝1 12.(北京市西城区高三抽样测试)若双曲线x 2＋ky 2＝1(de)离心率是2,则实数k (de)值是( )A.－3B.－13 D.1313.(北京市西城区高三抽样测试)设x ,y ∈R ,且2y 是1＋x 和1－x (de)等比中项,则动点(x ,y )(de)轨迹为除去x 轴上点(de)( )A.一条直线B.一个圆C.双曲线(de)一支D.一个椭圆14.(北京市宣武区高三综合练习一)已知P 为抛物线y ＝12x 2上(de)动点,点P 在x 轴上(de)射影为M ,点A (de)坐标是(6,172),则|PA |＋|PM |(de)最小值是( )B.192 D.21215.(北京市宣武区高三综合练习二)已知F 1,F 2是双曲线(de)两个焦点,Q 是双曲线上任一点(不是顶点),从某一焦点引∠F 1QF 2(de)平分线(de)垂线,垂足为P ,则点P (de)轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线16.(四川省成都市高中毕业班摸底测试)已知定点A (3,4),点P 为抛物线y 2＝4x 上一动点,点P 到直线x ＝－1(de)距离为d ,则|PA |＋d (de)最小值为( )5 －2317.(东北区三省四市第一次联合考试)椭圆(de)长轴为A 1A 2,B 为短轴一端点,若∠A 1BA 2＝120°,则椭圆(de)离心率为( ) A.33 B.63 C.32 D.1218.(东北三校高三第一次联考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率为3,且它(de)一条准线与抛物线y 2＝4x (de)准线重合,则此双曲线(de)方程为( )－y 26＝1 －2y 23＝1 －y 296＝1 －y 224＝1 19.(东北师大附中高三第四次摸底考试)已知椭圆x 29＋y 25＝1,过右焦点 F做不垂直于x 轴(de)弦交椭圆于A ,B 两点,AB (de)垂直平分线交x 轴于N ,则|NF |：|AB |＝( )A.12B.13C.23D.1420.(福建省莆田一中期末考试卷)已知AB是椭圆x225＋y29＝1(de)长轴,若把线段AB五等分,过每个分点作AB(de)垂线,分别与椭圆(de)上半部分相交于C,D,E,G四点,设F是椭圆(de)左焦点,则|FC|＋|FD|＋|FE|＋|FG|(de)值是( )21.(福建省泉州一中高三第一次模拟检测)过抛物线y2＝4x(de)焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点(de)横坐标为3,则|AB|等于( )22.(福建省厦门市高三质量检查)若抛物线y2＝2px(de)焦点与椭圆x26＋y22＝1(de)右焦点重合,则p(de)值为( )A.－2 C.－423.(福建省仙游一中高三第二次高考模拟测试)已知双曲线(de)中心在原点,离心率为3,若它(de)一条准线与抛物线y2＝4x(de)准线重合,则此双曲线与抛物线y2＝4x(de)交点到抛物线焦点(de)距离为( )A.2124.(福建省漳州一中期末考试)过抛物线y2＝4x(de)焦点F作直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1＋x2＝6,则|PQ|＝( )B. 625.(甘肃省河西五市高三第一次联考)已知曲线C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)是以F1,F2为焦点(de)椭圆,若以F1F2为直径(de)圆与椭圆(de)一个交点为P,且tan ∠PF 1F 2＝12,则此椭圆(de)离心率为( )A.12B.23C.13D.5326.(广东省惠州市高三第三次调研考试)椭圆满足这样(de)光学性质：从椭圆(de)一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆(de)另一个焦点.现在设有一个水平放置(de)椭圆形台球盘,满足方程：x 216＋y 29＝1,点A ,B 是它(de)两个焦点,当静止(de)小球放在点A 处,从点A 沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,再回到点A 时,小球经过(de)最短路程是( )D.以上均有可能27.(广东省揭阳市第一次模拟考试)两个正数a ,b (de)等差中项是92,一个等比中项是25,且a ＞b ,则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(de)离心率为( )A.53B.414C.54D.41528.(广东省揭阳市第一次模拟考试)已知：区域Ω＝{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤4－x2},直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同(de)交点,它们围成(de)平面区域为M ,向区域Ω上随机投一点A ,点A 落在区域M 内(de)概率为P (M ),若P (M )∈[π－22π,1],则实数m (de)取值范围为( ) A.[12,1] B.[0,33] C.[33,1]D.[0,1]29.(广东省汕头市潮阳一中高三模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b＞0)(de)左焦点,点E 是该双曲线(de)右顶点,过F 且垂直于x 轴(de)直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线(de)离心率e (de)取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,1＋2)30.(广东省韶关市高三第一次调研考试)椭圆x 2＋my 2＝1(de)焦点在y 轴上,长轴长是短轴长(de)两倍,则m (de)值为( )A .14 B.1231.(广东实验中学高三第三次阶段考试)过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线(de)两条切线,若切点分别为M ,N ,则直线MN 过定点( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,－1)D.(－1,0)32.(贵州省贵阳六中、遵义四中高三联考)设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴(de)两个端点为焦点,其准线过椭圆(de)焦点,则双曲线(de)渐近线(de)斜率为( )A .±2B .±43C .±12D .±3433.(贵州省贵阳六中、遵义四中高三联考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)离心率为e ＝21,右焦点为F (c ,0),方程ax 2＋bx －c ＝0(de)两个实根分别为x 1和x 2,则点P (x 1,x 2)( ) A.必在圆x 2＋y 2＝2内 B.必在圆x 2＋y 2＝2上 C.必在圆x 2＋y 2＝2外D.以上三种情形都有可能34.(安徽省合肥市高三年级第一次质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0),F 2(5,0)；(2)离心率为53,求得双曲线C (de)方程为f (x ,y )＝0.若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线C (de)方程仍为f (x ,y )＝0,则下列四个条件中,符合添加(de)条件共有( ) ①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上(de)任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6；②双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(de)—条准线为x ＝253；③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上(de)点P 到左焦点(de)距离与到右准线(de)距离比为53；④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(de)渐近线方程为4x ±3y ＝0.个 个 个 个35.(河北衡水中学第四次调考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),被方向向量为k ＝(6,6)(de)直线截得(de)弦(de)中点为(4,1),则该双曲线离心率(de)值是( ) A.52 B.62 C.10336.(河北衡水中学第四次调考)设F 1,F 2为椭圆x 24＋y 23＝1(de)左,右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P ,Q 两点,当四边形PF 1QF 2面积最大时,PF 1→·PF 2→(de)值等于( ) 37.(河北省正定中学高三一模)已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上(de)点,F 1,F 2分别是椭圆(de)左,右焦点,若PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝12,则△F 1PF 2(de)面积为( )3 3 C. 3 D.3338.(河北省正定中学高三第四次月考)已知A ,B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上(de)两个点,O 为坐标原点,若|OA |＝|OB |且△AOB (de)垂心恰是抛物线(de)焦点,则直线AB (de)方程是( )＝p ＝3p ＝52p ＝32p39.(河北省正定中学高三第五次月考)AB 是抛物线y 2＝2x (de)一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C (de)横坐标是( )A. 2B.12C.32D.5240.(河南省濮阳市高三摸底考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),若过右焦点F 且倾斜角为30°(de)直线与双曲线(de)右支有两个交点,则此双曲线离心率(de)取值范围是( )A.(1,2)B.(1,233)C.[2,＋∞)D.[233,＋∞)41.(黑龙江省哈尔滨九中第三次模拟考试)P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点,F 是椭圆(de)右焦点,OQ →＝12(OP →＋OF →),|OQ →|＝4,则点P 到该椭圆左准线(de)距离为( )D.5242.(湖北省八校高三第二次联考)经过椭圆x 24＋y 23＝1(de)右焦点任意作弦AB ,过A 作椭圆右准线(de)垂线AM ,垂足为M ,则直线BM 必经过点( )A.(2,0)B.(52,0)C.(3,0)D.(72,0)43.(湖北省三校联合体高三2月测试)过双曲线M ：x 2－y2b2＝1(b ＞0)(de)左顶点A 作斜率为1(de)直线l ,若l 与双曲线M (de)两条渐近线分别相交于B ,C ,且|AB |＝|BC |,则双曲线M (de)离心率是( )A.10B. 5C.103D.5244.(湖北省鄂州市高考模拟)下列命题中假命题是( ) A.离心率为2(de)双曲线(de)两渐近线互相垂直B.过点(1,1)且与直线x －2y ＋3＝0垂直(de)直线方程是2x ＋y －3＝0C.抛物线y 2＝2x (de)焦点到准线(de)距离为1 ＋y 252＝1(de)两条准线之间(de)距离为25445.(湖北省鄂州市高考模拟)点P 是抛物线y 2＝4x 上一动点,则点P 到点A (0,－1)(de)距离与P 到直线x ＝－1(de)距离和(de)最小值是( )A. 5B. 3 D.2 46.(湖北省黄冈市秋季高三年级期末考试)双曲线(de)虚轴长为4,离心率为e ＝62,F 1,F 2分别是它(de)左,右焦点,若过F 1(de)直线与双曲线(de)左支交于A ,B 两点,且|AB |是|AF 2|与|BF 2|(de)等差中项,则|AB |＝( ) 2 2 247.(湖北省荆州市高中毕业班质量检测)已知m ,n ,s ,t ∈R ,m ＋n ＝2,m s ＋nt＝9其中m ,n 是常数,且s ＋t (de)最小值是49,满足条件(de)点(m ,n )是椭圆x 24＋y 22＝1一弦(de)中点,则此弦所在(de)直线方程为( ) －2y ＋1＝0 －y －1＝0 ＋y －3＝0 ＋2y －3＝048.(湖北省随州市高三五月模拟)设a ,b 是方程x 2＋x ·cot θ－cos θ＝0(de)两个不等(de)实数根,那么过点A (a ,a 2)和B (b ,b 2)(de)直线与椭圆x 2＋y 22＝1(de)位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.随θ(de)变化而变化49.(湖北省武汉市武昌区高中毕业生元月调研测试)设θ是三角形(de)一个内角,且sin θ＋cos θ＝15,则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示(de)曲线为( )A.焦点在x 轴上(de)椭圆B.焦点在y 轴上(de)椭圆C.焦点在x 轴上(de)双曲线D.焦点在y 轴上(de)(de)双曲线50.(湖南省长沙市一中高三第六次月考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)(de)半焦距为c ,直线l 过A (a ,0),B (0,b )两点,若原点O 到l (de)距离为34c ,则双曲线(de)离心率为( ) A.233或2C.2或233D.23351.(湖南省雅礼中学高三年级第六次月考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,过焦点F 2且垂直于x 轴(de)弦为AB ,若∠AF 1B ＝90°,则双曲线(de)离心率为( )A.12(2－2)B.2－1C.2＋1D.12(2＋2)52.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)Q 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点,F 1,F 2为左,右焦点,过F 1作∠F 1QF 2外角平分线(de)垂线交F 2Q (de)延长线于P 点.当Q 点在椭圆上运动时,P 点(de)轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线53.(吉林省吉林市高三上学期期末)设斜率为2(de)直线l ,过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)右焦点,且与双曲线(de)左,右两支分别相交,则双曲线离心率e (de)取值范围是( )＞ 5 ＞ 3 ＜e ＜ 3 ＜e ＜5 54.(江西省鹰潭市高三第一次模拟)若直线y ＝32x 与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)交点在实轴上射影恰好为双曲线(de)焦点,则双曲线(de)离心率是( )A. 2 255.(宁夏区银川一中第六次月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率是62,则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(de)离心率是( )A.12B.33C.22D.3256.(山东省聊城市第一期末统考)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点,过F 1且垂直于x 轴(de)直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABF 2是锐角三角形,则该双曲线离心率(de)取值范围是( ) A.(1＋2,＋∞) B.(1,1＋2) C.(1,3) D.(3,22)57.(山东省实验中学高三第三次诊断性测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0,n ＞0)有相同(de)焦点(－c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m (de)等比中项,n 2是2m 2与c 2(de)等差中项,则椭圆(de)离心率是( )A.33 B.22 C.14 D.1258.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知对称轴为坐标轴(de)双曲线(de)两条渐近线方程为y＝±bax(a＞0,b＞0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|＜a|y0|,则双曲线焦点( )A.在x轴上B.在y轴上C.当a＞b时,在x轴上D.当a＜b时,在y轴上59.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知对k∈R,直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点,则实数m(de)取值范围是( )A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)∪(5,＋∞)D.[1,5)60.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知A,B是抛物线y2＝2px(p ＞0)上异于原点O(de)两点,则“OA→·OB→＝0”是“直线AB恒过定点(2p,0)”(de)( )A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件二、填空题(本大题共40小题)61.(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线y2＝a(x＋1)(de)准线方程是x＝－3,那么抛物线(de)焦点坐标是 .62.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切,又与定直线l：x＝1相切,那么动圆(de)圆心P(de)轨迹方程是 .63.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知P为双曲线x216－y29＝1(de)右支上一点,P到左焦点距离为12,则P到右准线距离为 .64.(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)(de)左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线(de)右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线(de)离心率e(de)取值范围为 .65.(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(de)左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一点,且∠PF1F2＝30°,∠PF2F1＝60°,则椭圆(de)离心率e＝ .66.(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)(de)一条渐近线方程为3x－2y＝0,则a＝ .67.(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a,b∈R＋)(de)离心率e∈[2,2],则一条渐近线与实轴所构成(de)角(de)取值范围是 .68.(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点A(1,0),B(b,0),若抛物线y2＝4x上存在点C使△ABC为等边三角形,则b＝ .69.(北京市宣武区高三综合练习一)长为3(de)线段AB(de)端点A,B分别在x,y轴上移动,动点C(x,y)满足AC→＝2CB→,则动点C(de)轨迹方程是 .70.(北京市宣武区高三综合练习二)设抛物线x2＝12y(de)焦点为F,经过点P(2,1)(de)直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB(de)中点,则|AF|＋|BF|＝ .71.(四川省成都市高中毕业班摸底测试)与双曲线x 29－y 216＝1有共同(de)渐近线,且焦点在y 轴上(de)双曲线(de)离心率为 .72.(东北区三省四市第一次联合考试)过抛物线y 2＝4x (de)焦点F (de)直线交抛物线于A ,B 两点,则1|AF |＋1|BF |＝ .73.(东北三校高三第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率(de)取值范围是e ∈[233,2],则两渐近线夹角(de)取值范围是 .74.(东北师大附中高三第四次摸底考试)若抛物线y 2＝2px (de)焦点与椭圆x 28＋y 24＝1(de)右焦点重合,则p (de)值为 . 75.(福建省南靖一中第四次月考)过椭圆x 236＋y 225＝1(de)焦点F 1作直线交椭圆于A ,B 二点,F 2是此椭圆(de)另一焦点,则△ABF 2(de)周长为 .76.(福建省泉州一中高三第一次模拟检测)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(de)渐近线与方程为(x －2)2＋y 2＝3(de)圆相切,则此双曲线(de)离心率为 .77.(福建省厦门市高三质量检查)点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2(de)一个交点,且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1,其中F 1,F 2是双曲线C 1(de)两个焦点,则双曲线C 1(de)离心率为 .78.(福建省厦门市高三质量检查)已知动点P (x ,y )在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点(de)坐标为(3,0),|AM →|＝1且PM →·AM →＝0,则|PM →|(de)最小值是 .79.(福建省漳州一中上期期末考试)双曲线x 29－y 216＝1(de)两个焦点为F 1,F 2,点P 在该双曲线上,若PF 1→·PF 2→＝0,则点P 到x 轴(de)距离为 .80.(甘肃省兰州一中高三上期期末考试)已知P (x ,y )是抛物线y 2＝－8x (de)准线与双曲线x 28－y 22＝1(de)两条渐近线所围成(de)三角形平面区域内(含边界)(de)任意一点,则z ＝2x －y (de)最大值为 . 81.(广东省汕头市澄海区高三第一学期期末考试)经过抛物线y 2＝4x (de)焦点F 作与x 轴垂直(de)直线,交抛物线于A ,B 两点, O 是抛物线(de)顶点,再将直角坐标平面沿x 轴折成直二面角,此时A ,B 两点之间(de)距离为 ,∠AOB (de)余弦值是 .82.(广东省五校高三上期末联考)若抛物线y 2＝2px (de)焦点与双曲线x 26－y 23＝1(de)右焦点重合,则p (de)值为 .83.(河北衡水中学第四次调考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)两个焦点为F 1,F 2,点P 为椭圆上(de)点,则能使∠F 1PF 2＝π2(de)点P (de)个数可能有个.(把所有(de)情况填全)84.(河北省正定中学高三第四次月考)已知m ,n ,m ＋n 成等差数列,m ,n ,mn成等比数列,则椭圆x 2m ＋y 2n＝1(de)离心率是 .85.(河北省正定中学高三第五次月考)椭圆x 29＋y 24＝1(de)焦点为F 1,F 2,点P为椭圆上(de)动点,当PF 1→·PF 2→＜0时,点P (de)横坐标(de)取值范围是 .86.(河南省濮阳市高三摸底考试)已知椭圆x 216＋y 24＝1(de)左右焦点分别为F 1与F 2,点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上.当∠F 1PF 2取最大值时,|PF 1||PF 2|(de)值为 .87.(湖北省三校联合体高三2月测试)设中心在原点(de)双曲线与椭圆x 22＋y 2＝1有公共(de)焦点,且它们(de)离心率互为倒数,则该双曲线(de)方程是 .88.(湖北省黄冈市秋季高三年级期末考试)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上(de)动点,点P 在y 轴上(de)射影是M ,点A (de)坐标是(4,a ),则当|a |＞4时,|PA |＋|PM |(de)最小值是 .89.(湖北省荆门市高三上学期期末)椭圆x 23＋y 22＝1(de)右焦点为F ,过左焦点且垂直于x 轴(de)直线为l 1,动直线l 2垂直于直线l 1于点P ,线段PF (de)垂直平分线交l 2于点M ,点M (de)轨迹为曲线C ,则曲线C 方程为 ；又直线y ＝x －1与曲线C 交于A ,B 两点,则|AB →|等于 .90.(湖北省荆州市高中毕业班质量检测)已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0,b＞0)(de)左,右焦点,P为双曲线左支上(de)一点,若|PF2|2|PF1|＝8a,则双曲线(de)离心率(de)取值范围是 .91.(湖北省武汉市武昌区高中毕业生元月调研测试)过椭圆x29＋y24＝1内一点P(1,1)作弦AB,若AP→＝PB→,则直线AB(de)方程为 .92.(湖南省十二校高三第一次联考)若双曲线x24－y2b2＝1(de)一条准线与抛物线y2＝4x(de)准线重合,则双曲线(de)渐近线方程是 . 93.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)过定点P(1,4)作直线交抛物线C：y＝2x2于A,B两点, 过A,B分别作抛物线C(de)切线交于点M,则点M(de)轨迹方程为 .94.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)设P是曲线y2＝4x上(de)一个动点,则点P到点A(－1,2)(de)距离与点P到x＝－1(de)距离之和(de)最小值为 .95.(湖南省株洲市高三第二次质检)直线l交抛物线y2＝2x于M(x1,y1),N(x2,y2),且l过焦点,则y1y2(de)值为 .96.(江苏省南京市高三第一次调研测试)已知抛物线y2＝mx(m≠0)(de)准线与椭圆x26＋y22＝1(de)右准线重合,则实数m(de)值是 .97.(江苏省南通市高三第二次调研考试)过抛物线y2＝2px(p＞0)(de)焦点F(de)直线l交抛物线于A,B两点,交准线于点C.若CB→＝2BF→,则直线AB(de)斜率为 .98.(江苏省前黄高级中学高三调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)(de)焦点F (de)直线交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C (B 在FC 之间),且|BC |＝2|BF |,|AF |＝12,则p (de)值为 .99.(江苏省南通通州市高三年级第二次统一测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上(de)双曲线(de)一条渐近线为mx －y ＝0,若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值,使得双曲线(de)离心率大于3(de)概率是 .100.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2＋y 2(10－a )2＝1(5＜a ＜10)(de)两个焦点,B 是短轴(de)一个端点,则△F 1BF 2(de)面积(de)最大值是 .全国名校高考专题训练——圆锥曲线解答题1.(河北省正定中学高三第五次月考)已知直线l 过椭圆E ：x 2＋2y 2＝2(de)右焦点F ,且与E 相交于P ,Q 两点.(Ⅰ)设OR →＝12(OP →＋OQ →)(O 为原点),求点R (de)轨迹方程； (Ⅱ)若直线l (de)倾斜角为60°,求1|PF |＋1|QF |(de)值.2.(河南省开封市高三年级第一次质量检测)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,点A 在双曲线(de)右支上,点B 在双曲线左准线上,F 2O →＝AB →,OF 2→·OA →＝OA →·OB →. (Ⅰ)求双曲线(de)离心率e ；(Ⅱ)若此双曲线过C (2,3),求双曲线(de)方程；(Ⅲ)在(Ⅱ)(de)条件下,D 1,D 2分别是双曲线(de)虚轴端点(D 2在y 轴正半轴上),过D 1(de)直线l 交双曲线M ,N ,D 2M →⊥D 2N →,求直线l (de)方程.3.(河南省濮阳市高三摸底考试)直线AB 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)(de)焦点F ,并与其相交于A ,B 两点,Q 是线段AB (de)中点,M 是抛物线(de)准线与y轴(de)交点,O 是坐标原点. (Ⅰ)求MN →·MB →(de)取值范围；(Ⅱ)过A ,B 两点分别作此抛物线(de)切线,两切线相交于N 点.求证：MN →·OF →＝0,NQ →∥OF →.4.(河南省许昌市高三上期末质量评估)已知椭圆x 22＋y 2＝1(de)左焦点为F ,O 为坐标原点.(Ⅰ)求过点O ,F ,并且与椭圆(de)左准线l 相切(de)圆(de)方程；(Ⅱ)设过点F (de)直线交椭圆于A ,B 两点,并且线段AB (de)中点在直线x ＋y ＝0上,求直线AB (de)方程.5.(黑龙江省哈尔滨九中第三次模拟考试)已知P (－3,0),点R 在y 轴上,点Q 在x (de)正半轴上,点M 在直线RQ 上,且PR →·RM →＝0,RM →＝－32MQ →. (Ⅰ)当R 在y 轴上移动时,求M 点(de)轨迹C ；(Ⅱ)若曲线C (de)准线交x 轴于N ,过N (de)直线交曲线C 于两点AB ,又AB (de)中垂线交x 轴于点E ,求E 横坐标取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)中,△ABE 能否为正三角形.6.(湖北省八校高三第二次联考)已知A ,B 是抛物线x 2＝2py (p ＞0)上(de)两个动点,O 为坐标原点,非零向量OA →,OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|.(Ⅰ)求证：直线AB 经过一定点；(Ⅱ)当AB (de)中点到直线y －2x ＝0(de)距离(de)最小值为255时,求p (de)值.7.(湖北省三校联合体高三2月测试)已知半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0),动圆M 与此半圆相切且与x 轴相切.(Ⅰ)求动圆圆心M (de)轨迹方程；(Ⅱ)是否存在斜率为13(de)直线l ,它与(Ⅰ)中所得轨迹由左到右顺次交于A ,B ,C ,D 四个不同(de)点,且满足|AD |=2|BC |若存在,求出l (de)方程,若不存在,说明理由.8.(湖北省鄂州市高考模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)左、右焦点分别是F 1(－c ,0),F 2(c ,0),Q 是椭圆外(de)动点,满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆(de)交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT (Ⅰ)设x 为点P(de)横坐标,证明1||c F P a x a=+；(Ⅱ)求点T(de)轨迹C(de)方程；(Ⅲ)试问：在点T(de)轨迹C 上,是否存在点M,使△F 1MF 2(de)面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2(de)正切值；若不存在,请说明理由．。
2024年全国一卷数学新高考题型细分S13圆锥曲线解答题3
2024年全国一卷新高考题型细分S13——圆锥曲线 大题31、试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。
其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。
2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。
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3、题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。
4、《圆锥曲线——大题》题目主要按长短顺序排版，具体有：短，中，长，涉后导数等，大概206道题。
每道题目后面标注有类型和难度，方便老师备课选题。
1. （2024年冀J12大数据应用调研）19. 已知圆()()22:4,1,0,1,0O x y B C +=-.点M 在圆O 上，延长CM 到A ，使CM MA =，点P 在线段AB 上，满足()0PA PC AC +⋅=.（1）求点P 的轨迹E 的方程；（①）（2）设Q 点在直线1x =上运动，()()122,0,2,0D D -.直线1QD 与2QD 与轨迹E 分别交于G H ，两点，求OGH 面积的最大值.（椭圆，中下；面积，最值，中档；）2. （2024年冀J16邯郸三调）18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（②）（2）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值． （椭圆，基础；面积，最值，中档；）3. （2024年冀J11衡水一模）17. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（③）（2）求AB 的范围.（椭圆，基础；长度，范围，中档；）4. （2024年粤J105湛江二模）18. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点(D 到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线C 的方程，（④）（2）已知()(),3,03,0A B -，过点()5,0的直线l 与C 交于,M N （异于,A B ）两点，直线MA 与NB 交于点P ，试问点P 到直线2x =-的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由， （双曲线，易；距离，定值，中档；）5. （2024年粤J104名校一联考）16. 现有一“v ”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A 点．物件可绕A 点在平面内旋转．AP 间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．（1）在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP 间距离最短为多少；（⑤）（2）为了使椭圆物件能自由绕A 点自由转动，AP 间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性． （椭圆，距离最值，中档；距离最值，中档；）6. （2024年闽J13厦门二检）17.（15分）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点T在C 上.（1）求C 的方程；（⑥）（2）设圆O ：222x y +=上任意一点P 处的切线交C 于M 、N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.（双曲线，基础；圆切线，定点，中档；）7. （2024年湘J42岳阳三检）18．已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(⑦)(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=； (2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值． （斜率，中下；中点，定值，中档；）8.（2024年湘J47长沙雅礼二模）17．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程；（⑧） （2）求PAB 的面积. （椭圆，易；面积，中下；）9. （2024年鲁J46烟台二模）19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ． (1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（⑨）(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值． （椭圆，定直线，中档；长度，中档；）10. （2024年鲁J38济宁三模）18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P . (1)求椭圆E 的标准方程；（⑩）(2)过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.（椭圆，基础；角度，直线，中档；）11. （2024年鲁J42青岛二适）16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1． (1)求椭圆E 的方程；（11）(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程． （椭圆，中下；直线，中档；）12. （2024年浙J40台州二评）18．已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x -交椭圆于M ，N 两点，T为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标；（12） (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长. （椭圆，易；圆，中下；圆切线，周长，中档；）13. （2024年浙J31五校联考）16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离11． (1)求该椭圆的方程；（13）(2)对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+； (3)过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值． （椭圆，中下；椭圆，基础；面积最值，中档；）14. （2024年苏J35南京二模）18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧). (1)求E 的渐近线方程；（14）(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围． （双曲线，基础；范围分析，中档；）15. （2024年粤J138汕头金南三模）19．已知动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；（15）(2)设过点P 且斜率为1）中的曲线交于A 、B 两点，求AOBS ；(3)设点(,0)N a 是x 轴上一定点，求M 、N 两点间距离的最小值()d a ． （抛物线，中下；面积，中下；距离最值，中档；）16. （2024年粤J137梅州二模）15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且经过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程：（16）(2)求椭圆C 上的点到直线l ：2y x =的距离的最大值． （椭圆，基础；最值，中下；）17. （2024年粤J136茂名高州一模）21．已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为抛物线的焦点，,P Q 其为准线上的两个动点，且PF QF ⊥.当2PF QF =时，5PQ =. (1)求抛物线C 的标准方程；（17）(2)若线段,PF QF 分别交抛物线C 于点,A B ，记PQF △的面积为1S ，ABF △的面积为2S ，当129S S =时，求PQ 的长.（抛物线，基础；面积，长度，中档；）18. （2024年粤J135茂名二测）17．已知椭圆22:12x C y +=，右焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于,A B 两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求AB ；（18）(2)记线段AB 的垂直平分线交直线=1x -于点M ，当AMB ∠最大时，求直线l 的方程. （椭圆，常规，基础；最值求直线，中档）19. （2024年粤J133江门开平忠源）18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆2215x y +=的焦点重合，其渐近线方程为y =. (1)求双曲线C 的方程；（19）(2)若,A B 为双曲线C 上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x =过AB 的中点，求直线AB 的斜率.（双曲线，常规，基础；直线中点，斜率，中下）20. （2024年冀J47唐山二模）18．已知椭圆C 的右焦点为()1,0F ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为ABDE 内接于椭圆C ． (1)求椭圆C 的标准方程；（20）(2)（ⅰ）坐标原点O 在边AB 上的投影为点P ，求点P 的轨迹方程； （ⅰ）求菱形ABDE 面积的取值范围．（椭圆，基础；轨迹，中档；面积范围，中上）①【答案】（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由题意可得PA PC =，再根据M 为AC 的中点，可得12OM AB =，再根据PB PC PB PA AB +=+=，结合椭圆的定义即可得解；（2）设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，根据1,,Q G D 三点共线，2,,Q H D 三点共线，求出,G H 两点坐标的关系，设GH 的方程为ty x m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解. 【小问1详解】因为()0PA PC AC +⋅=，所以()()0PA PC PC PA +⋅-=， 所以22PA PC =，所以PA PC =， 因为CM MA =，所以M 为AC 的中点， 又因O 为BC 的中点，所以122OM AB ==，所以AB 4=，则4PB PC PB PA AB BC +=+==>，所以点P 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，而22213-=，所以点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）得()()122,0,2,0D D -是椭圆E 的左右顶点， 设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，由1,,Q G D 三点共线，得11//D Q D G ，而()()101113,,2,D Q y D G x y ==+， 所以()10132y y x =+，所以10132y y x =+， 由2,,Q H D 三点共线，得22//D Q D H ，而()()101221,,2,DQ y DG x y =-=-， 所以()1012y y x -=-，所以2022y y x =--， 所以1212322y y x x =-+-，即()()12213220y x y x -++=， 设GH 的方程为ty x m =+，联立22143ty x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120t y tmy m +-+-=，则()()()222222Δ3643431248340t m t m t m =-+-=-+>，21212226312,3434tm m y y y y t t -+==++，所以()2121242m ty y y y m-=+，由()()12213220y x y x -++=，得()()12213220y ty m y ty m --+-+=， 即()()122142320ty y m y m y ---+=， 所以()()()()21221242320m y y m ym y m-+---+=，所以()()()214220m m y m y ⎡⎤+--+=⎣⎦恒成立，所以4m =-， 则()2Δ483120t =->，所以24t >， 则21221234243634,t y y y y t t ==++-+，GH 的方程为4ty x =-，所以GH ==，原点O 到直线GH 的距离d =则12424323416OGHSGH d t ====-++≤===t =时取等号，所以OGH【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．②【答案】（1）22143x y +=．（2）24049． 【解析】【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值. 【小问1详解】因为E过点P ⎛ ⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2222231,2191,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩ 故E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由题知12,l l 的斜率存在且不为0． 设1:(0)l y kx m k =+≠． 因为1l 与圆221x y +=1=，得221m k =+．联立1l 与E 的方程，可得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+．所以12AC x =-==，将221m k =+代入，可得AC =．用1k-替换k，可得BD =四边形ABCD 的面积123434S AC BD k k =⋅=++令21t k=+，则(1,)t ∈+∞，可得212S t t==+-， 再令u =(1,)t ∈+∞，则52u ⎤∈⎥⎦，可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++⨯，即四边形ABCD 面积的最小值为24049．③【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4 【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解； 【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）知()11,0F -，()21,0F ， 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 易得()22Δ636(34)0m m =++>，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB ==2221212443434m m m +===-++， 因为20m ≥，所以2344m +≥，所以240134m <≤+，所以34AB ≤<，综上，34AB ≤≤，即AB 的范围是[]3,4.④【答案】（1）2219x y -=（2）是定值，定值为195【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于,a b 的方程，解之即可得解；（2）假设直线l 方程5x my =+，联立双曲线方程得到1212,y y y y +，再由题设条件得到直线AM 与BN 的方程，推得两者的交点P 在定直线上，从而得解. 【小问1详解】依题意可得22222661a ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得23,1a b ==，故双曲线C 的方程为2219x y -=.【小问2详解】由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为5x my =+，联立22519x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22910160m y my -++=， 则290m -≠，()()()222Δ10416936160m m m =-⨯-=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则1212221016,99m y y y y m m -+==--， 又()()3,0,3,0A B -， 直线11:(3)3y AM y x x =++，直线22:(3)3y BN y x x =--， 联立1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得()()()()2121122121212138833322y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===--++()1122212121121112216806488889994161622299m m my y my y y y y m m m m m my y y y y m m ----++----====-+++--， 即343x x +=--，解得95x =， 所以点P 在定直线95x =上，因为直线95x =与直线2x =-之间的距离为919255+=， 所以点P 到直线2x =-的距离为定值，且定值为195. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.⑤【答案】（1）13- （2）13+，证明见解析 【解析】【分析】（1）如图，设00(,)P x y 和过点P 的直线，切线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示1212,k k k k +，进而可得121200tan 1k k MPN k k -∠==+，结合tan 0MPN ∠>或tan MPN ∠≤（2）当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点，则2163PB ≤，进而1R x >=.由（1）可得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，利用换元法，结合011R y R -≤≤+建立不等式组，化简可得2310R ≥+.【小问1详解】由题意，如图，该椭圆的方程为2214x y +=，(0,1)A ，,PM PN 分别为椭圆的2条切线，切点分别为,M N ，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .设00(,)P x y ，当02x =±时，12,k k 其中1个不存在，另1个趋于∞； 当02x ≠±时，设过点P 的直线为00()y k x x y =-+(0)k ≠，00222200002()(14)8()4()4014y k x x y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 所以2222000064()16(14)[()1]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理，得220000(4)210x k x y k y --+-=，①由12,k k 是方程①的2个实根，得20001212220021,44x y y k k k k x x -+==--， 所以220002222200121212222012122021()444()4tan 11(1)(1)4x y y x x k k k k k k MPN y k k k k x -----+-∠===-+++- 2222222000000022222222000004()4(1)(4)(4)4(44)(4)(5)(5)x y y x x x y x x y x y ----+-=⨯=-+-+-， 又220014x y +>，所以2200440x y +->， 当220050x y +->时，点P 在圆225x y +=的外部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=；当220050x y +-<时，点P 在圆225x y +=的内部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=，所以00tan MPN ∠=.又tan 0MPN ∠>或tan tan120MPN ︒∠≤=，000>00≤整理，得220050x y +-≥或2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-.要求PA 的最小值，只需考虑MPN ∠为钝角的情况，即2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-且220050x y +-<，得22222220000003(5)4(44)4(444)x y x y x y +-≤+-≤+-.令2OP t =，则5t <且23(5)4(44)t t -≤-，即2346910t t -+≤，解得7133t ≤≤，所以OP ≥13PA OP OA ≥-=-，当且仅当,,P O A 三点共线时等号成立.故00tan MPN ∠=053=-，得120MPN ︒∠=. 综上，PA的最小值为13-. 【小问2详解】当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点， 则22222211111111216(1)213255333PB x y x y y y y =+-=+-+=--+≤-++=，当且仅当1113x y ==时等号成立，所以13R x >=. 由（1）知，2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-或220050x y +-≥，由22200(1)x y R +-=，得22222200004[(1)44]3[(1)5]R y y R y y --+-≥--+-或22200(1)50R y y --+-≥，即22220004(325)3(26)y y R R y ++-≥+-或20260R y +-≥，整理，得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，令2320u R =-，则4u >-，得2012160uy u +-≤或0620u y ++≥，011R y R -≤≤+.当2203R ≤即0u <时，201612u y u-≥或026u y --≥，令v u =-，则04v <<，得201612v y v -≥-或026v y -≥，又011y ≤得216112v v --或216v -≥，而12111136v -=<-<-<，所以216112v v--，整理，得010v <≤-10u ≥- 当0u ≥时，010u ≥>，符合题意.综上，10u ≥，则232010u R =-≥，即2310R ≥+解得1R ≥+，所以R1，即PA1.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．⑥17. 方法一：（1）依题意：22222221a b c a b ca⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，……2分解得：21a =，22b =，……3分所以双曲线方程为2212y x -=.……4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222kmx x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 由对称性知，若以MN 为直径的圆过定点，则定点必为原点.……9分1212OM ON x x y y ⋅=+……10分()()()()22121212121x x kx m kx m k x x mk x x m =+++=++++……11分 ()2222222122m km kmk m k k--=+++-- 222222m k k --=-.……12分又2222m k =+，所以0OM ON ⋅=，所以OM ON ⊥，故以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分 方法二：（1）同方法一；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222km x x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 以()11,M x y ，()22,N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 即()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=，……9分因为()()()()221212*********x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++，所以()222221212222222210222m km m k x x y y k km m k k k ----+=+⋅+⋅+==---，……11分 且()121222242222km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--， 所以所求的圆的方程为222224022km m x x y y k k -+-=--，……12分所以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分⑦18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）先有两点间距离公式求出圆心的轨迹方程，再由斜率的定义表示出斜率，利用轨迹方程化简斜率之差即可证明；（2）先设直线MN 的方程为y kx b =+，直曲联立，用韦达定理表示出线段MN 中点坐标()22,21Q k k --+进而得到Q 的轨迹方程是222x y =-+，再与动圆P 的方程联立，得到C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，最后利用()()()0x c x d x g ---=的展开式系数与3(42)40x b x a +-+=相同，得到2x 系数为零即可. 【详解】（1）设点(,)P x y ，|3|y =-， 化简并整理成248x y =-+， 圆心P 的轨迹E 的方程为248x y =-+1211,22y y k k x x --==+-，122114(1)224y y y k k x x x -----=-=+--， 又248x y =-+， 所以24(1)4(1)1444y y x y ，所以121k k -=.（2）显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx b =+，由248x y y kx b ⎧=-+⎨=+⎩，消y 并整理成24480x kx b ++-=， 在判别式大于零时，1248x x b =-， 又124x x =-，所以1b =， 所以2440x kx +-=，1y kx =+，()21212124,242x x k y y k x x k +=-+=++=-+，所以线段MN 的中点坐标为()22,21Q k k --+，设(,)Q x y ，则2221x k y k =-⎧⎨=-+⎩，消k 得222x y =-+， 所以Q 的轨迹方程是222x y =-+，圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，由222(1)(1)022x y ax b y x y ⎧+-++-=⎨=-+⎩，得42(42)40x b x ax +-+=， 设C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，因为C 、D 、G 异于F ，所以c ，d ，g 都不为零， 故3(42)40x b x a +-+=的根为c ，d ，g ， 令()()()0x c x d x g ---=，即有32()()0x c d g x cd dg gc x cdg -+++++-=， 所以0c d g ++=，故CDG 的重心的横坐标为定值．【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，然后与Q 的轨迹方程联立，表示出重心横坐标的方程，然后利用待定系数法求出结果.⑧17．（1）221.124x y +=（2）92【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据ⅰPAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB = 【详解】（1）由已知得c =ca=a =2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，ⅰ设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰ⅰPAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m-==--+，解得2m =，此时方程ⅰ为24120x x +=． 解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d =所以ⅰPAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．⑨19．(1)证明见解析，4x =(2)12【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x y x y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【详解】（1）由题意可知，231a -=， 所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=， 设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=， 所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 因为过点A 的切线为11143x x y y+=，过点B 的切线为22143x x y y +=， 由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上， 法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q QQ Q x x y y x x y y+=+=，， 所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143QQ x y ⨯+⨯=，解得4Q x ．（2）将4x =代入11143x x y y+=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k =-， 设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P kx k =+， 又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+， 所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k kAPM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当1k =±时，等号成立， 故AM 的最小值为12．⑩18．(1)2212x y +=；(2)550x y ++=.【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得. 【详解】（1）令(,0)F c -，由c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =， 由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2， 则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=， 由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++， 由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=， 则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-， 所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.1116．(1)22143x y +=(2)10x y -=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A == 所以122y y =-ⅰ设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=， 由韦达定理得()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩， 把ⅰ式代入上式得222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++， 解得m =， 所以直线l 的方程为：10x y +-=或10x y -=.1218．(1)0,⎛ ⎝⎭(2)221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）化简椭圆的标准方程，根据,,a b c 的关系即可求得焦点坐标；（2）先联立方程求得()1,3M -，()1,3N --，求出直线MT 的方程，然后利用待定系数法求得内切圆的方程；（3）设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，利用相切关系求得点A ，B 坐标，进而结合内切圆的半径利用三角形中等面积法求解即可.【详解】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988-=，所以焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x -代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M -，()1,3N --， 直线MT 的方程为()3313y x =---，即3490x y +-=， 设圆Q 方程为()222x t y r -+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >-， 则Q 到直线MN 和直线MT的距离相等，即1t r +=，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率. 由圆Q32=，化简得：2812270k k +-=，则121232278k k k k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++-+--=， 可得21121848989A P A k k x x x k --==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫----+=-+=-+= ⎪++⎝⎭ ()()()111113271218271833271291232k k k k k ---+-===--+-.同理22222848989B k k x k --=+，32B y =-，所以直线AB 的方程为32y =-， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =-代入229881x y +=得x =所以AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB的面积13192222ABC S m =⨯=⨯△，解得m =所以PAB的周长为.1316．(1)2212x y +=；(2)【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可. （2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【详解】（1）令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''（3）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，12||y y -=因此12|1|||2ABFS QF y y =-=，令0t =>，于是ABFS=≤=，当且仅当2t =，即m =所以FAB1418．(1)y =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，3a b ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =. 由222+=a b c ，得3ab ，所以E的渐近线的方程为y = （2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，12111122OP OQ y y +=+===设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，343411y y AF BFy y --=3423422y y pm y y p p +== 由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣⎭，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．1519．(1)28y x =(3)4(),4a d a a a ≥=<⎪⎩【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心M 的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由12AOBA B SOP y y =-计算可得； （3）根据题设先求出MN 的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切，即点M 到定点(2,0)P 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，且点(2,0)P 不在直线:2l x =-上， 所以由抛物线定义知：圆心M 的轨迹是以定点()2,0P 为焦点，定直线:2l x =-为准线的抛物线，抛物线方程形如()220y px p =>，又22p=，则4p =， 故圆心M 的轨迹方程为28y x =．（2）如图，由题知，直线AB的方程为)2y x =-，由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得6x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23A ⎛ ⎝⎭，(6,B -， 所以()11222AOBA B SOP y y =-=⨯-=（3）设(),M x y ，则28y x =()0x ≥，又(,0)N a ，则MN ==)0x =≥，因二次函数()24816y x a a =-++-的对称轴为4x a =-，故当40a -≥，即4a ≥时，min 816y a =-，此时min ()MN d a =当40a -<，即4a <时，2min y a=，此时min ||()MN d a a ==.所以4(),4a d a a a ≥=⎨<⎪⎩.1615．(1)22143x y +=【分析】（1）由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将点T 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）设与2y x =平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．【详解】（1）由椭圆的离心率为12，可得12c e a=，可得2234a b =，设椭圆的方程为：2222143x y t t+=，20t >，又因为椭圆经过点3(1,)2T ，所以2213144t t +=，解得21t =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设与直线2y x =平行的直线的方程为()20y x m m =+≠，联立222143y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2219164120x mx m ++-=，22216419(412)0m m ∆=-⨯⨯-=，可得219m =，则m =所以直线2y x m =+到直线2y x =的距离d ==所以椭圆C 上的点到直线:2l y x =1721．(1)24y x = (2)649【分析】（1）首先利用勾股定理求出QF ，PF ，再由等面积法求出p ，即可得解；（2）设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意0FA FB ⋅=，即可得到22614b b k -+=，再由129S S =得到线段的比例关系，从而求出b ，再计算出12y y -，最后根据P Q PQ y y =-及韦达定理计算可得. 【详解】（1）方法一：5PQ =，PF QF ⊥，2PF QF =，22225QF PF PQ ∴+==，解得QF =PF = ∴在PQF △中，根据等面积法1122PQ MF PF QF ⋅=⋅，5p ⨯=2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =；方法二：设x 轴与准线的交点为M .,PF QF ⊥∴当2PF QF =时，tan 2tan PQF AFM ∠==∠，2PM MF ∴=，2MF MQ =.552PQ PM MQ MF ∴=+==，2MF p ∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）可得抛物线的焦点()1,0F ，准线为=1x -， 依题意，直线AB 的斜率不为0，∴设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立24y x x ky b⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ky b --=，显然0∆>，124y y k ∴+=，124y y b =-.由PF QF ⊥，则0FA FB ⋅=，可得()()11221,1,0x y x y -⋅-=，()()1212110x x y y ∴--+=，整理得22614b b k -+=.ⅰ易知直线AF 的解析式为()1111y y x x =--，令=1x -，可得1121P y y x -=-， 同理可得2221Q y y x -=-. 129S S =，9PF QF AF BF ∴⋅=⋅，即9PF BFAFQF =⨯，219P Qy y y y ∴=.129P Q y y y y ∴=，12121222119y y x x y y --⋅--∴=，()()124911x x ∴=--，即1249y y -=，19b ∴=.12169y y ∴-=. 所以()()1212211212122222221111P Q y y x y x y y y PQ y y x x x x ---+-=-=-=---- ()121212121264249y y y y y y y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-=-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.1817．(2)10x-=或10x -=【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标，根据直线的点斜式，联立直线方程和椭圆方程，求得交点,A B 的坐标，根据两点之间距离公式可求得AB ；（2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB |，计算AB 的中点,G MG ，利用AMB ∠最大求得直线方程【详解】（1）由题意可得()1,0F ，因为直线l 的倾斜角为π4，所以πtan 14k ==，因此，l 的方程为1y x =-，联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得2340x x -=解得1240,3x x ==所以()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，AB =（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得，直线l 的斜率不为0，故设l 为1x my =+， 联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，()222210m y my ++-=，0∆>，因此12122221,22m y y y y m m -+==-++， 所以)2212m AB m +==+，设线段AB 的中点为G ， 则12222,1222G G G y y m y x my m m +==-=+=++，所以()22242122m MG m m +=-=++，所以12tan 2ABAMB MG∠==设t =，则tan 2AMB t t ∠===≤+，当且仅当t =m = 当2AMB∠最大时，AMB ∠也最大，此时直线l 的方程为1x =+， 即10x-=或10x -=1918．(1)2213x y -=(2)1【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.【详解】（1）椭圆2215x y +=的焦点为()2,0±，故224a b +=，由双曲线的渐近线为y x =，故b a =1,b a == 故双曲线方程为：2213x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M ， 因为M 在直线1:3l y x =，故13M M y x =，而121231y x -=，222231y x -=，故()()()()1212121203x x x x y y y y -+--+=， 故()()121203M M x x xy y y ---=，由题设可知AB 的中点不为原点，故0M M x y ≠，所以121213M My y xx x y -==-， 故直线AB 的斜率为1.此时12:33M M M AB y x x x x x =-+=-，由222333M x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩可得222333M x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得到：22424303M M x x x x -++=， 当222416Δ168324033M M M x x x ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭即M x <M x >即当M x <M x >AB 存在且斜率为1.2018．(1)22143x y +=(2)（ⅰ）2212 7x y+=；（ⅰ）48,7⎡⎢⎣．【分析】（1）利用题意列出两个方程，联立求解得,a b的值，即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设AB方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用菱形对角线互相垂直得到()221217km+=，再由题意推出22212||17mOPk==+，即得点P的轨迹方程；（ⅰ）利用弦长公式求出AB =算出AOB的面积表达式S=t的函数S=图象即可求其取值范围.【详解】（1）根据题意设椭圆C的标准方程为22221x ya b+=，由已知得，1222a b⨯⨯==ab1c=可得，221a b-=，联立解得，2a=，b=故椭圆C的标准方程为：22143x y+=．（2）ⅰ 如图，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx m=+，由22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m+++-=，由题意()()()222222Δ6443441248430k m k m k m=-+-=-+>，设1122(,),(,)A x yB x y，则122834kmx xk+=-+，212241234mx xk-=+，于是，()()2212121212()y y kx m kx m k x x km xx m=++=+++。
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)
高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。
3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。
高中数学-圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线专题练习一、选择题1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长及短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-± 6．如果222=+ky x表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0二. 填空题 7．双曲线的渐近线方程为20x y±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点， 则AB OM k k ⋅=____________。
三.解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。
10、已知动点P 及平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 及曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.参考答案1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a=-= 2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=得5,4a b ==，2212516x y ∴+=或1251622=+y x3．C 2222222,2,2,a c c c a e e c a =====4．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p5．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,P p x y ==±6．D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k kk+=>⇒<< 7．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，221,25,2044x y λλλλλ-=+==； 当0λ<时，221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 8． 22b a- 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=- 22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=即2222122221y y b x x a-=-- 9．解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y px y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得则24120,2,6p p p =--==-或 10、（Ⅰ）解：设点(,)P x y12=-， 整理得.1222=+y x由于x ≠得的曲线C的方程为221(2x y x +=≠ （Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去解得x 1=0, x 2=212,(214x x k k +-分别为M ，N 的横坐标）由,234|214|1||1||22212=++=-+=k k k x x k MN .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0。
历年高考圆锥曲线大题精选
1.（2018全国I理19）
设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
2.(2018全国II理）
3.(2018全国III理）
4.（2018全国I文）
5.(2018浙江）
6.（2017全国I理20）
7.
8.
9.(2017全国III理）
10.（2017全国I文20）
11.（2016全国I理20）
12.(2016全国III理20）
13.（2016山东理）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是
，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上;
②直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
14.（2015全国I理）
15.(2015全国II理）
16.
17.
18.。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.过椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若13<k<12,则椭圆离心率e的取值范围为( )A.12,23B.12,23C.-∞,12D.23,+∞2.(优质试题福建普通高中质量检查)已知A(-2,0),B(2,0),斜率为k 的直线l上存在不同的两点M,N,且满足|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为( )A.-2B.-12C.12D.23.(优质试题豫北精英对抗赛4月联赛,11)双曲线C的渐近线方程为y=±233x,一个焦点为F(0,-7),点A(2,0),点P为双曲线上第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为( )A.8B.10C.4+37D.3+3174.(优质试题河北衡水中学周测,11)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,FA+FB+FC=0,O为坐标原点,且△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3,则S12+S22+S32等于( )A.2B.3C.6D.95.(优质试题课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x 22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(优质试题山西太原模拟试题)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:x 2a +y2b2=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴,y轴分别交于点N和点M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,32在椭圆C上,求椭圆C的方程;(2)当k=12时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.B组提升题组1.(优质试题贵州适应性考试)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点P1,22在椭圆E上,直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)在x轴上是否存在定点M,使得MA·MB为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.2.(优质试题东北四市高考模拟)椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的长轴长为22,P为椭圆C上异于顶点的一个动点,O为坐标原点,A2为椭圆C的右顶点,点M为线段PA2的中点,且直线PA2与直线OM的斜率之积恒为-12.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A,B 两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是-14,0,求|AB|的取值范围.答案精解精析A 组 基础题组1.B 由题意知B c ,b2a,所以k=b2a c +a =a -c a =1-e.又13<k<12,所以13<1-e<12,解得12<e<23.2.D 因为|MA|-|MB|=2 3,|NA|-|NB|=2 3,由双曲线的定义知,点M,N 在以A,B 为焦点的双曲线的右支上,且c=2,a= 3,所以b=1,所以该双曲线的方程为x23-y 2=1.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=12,y 1+y 2=2.设直线l 的方程为y=kx+m,代入双曲线的方程,消去y,得(1-3k 2)x 2-6mkx-3m 2-3=0,所以x 1+x 2=6m k 1-3k2=12①,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=12k+2m=2②,由①②解得k=2,故选D.3.B 设双曲线方程为y 2a 2-x2b2=1(a>0,b>0),由已知可得a b =2 33,c = 7,c 2=a 2+b 2,解得a 2=4,b 2=3,c 2=7,则双曲线方程为y 24-x 23=1,设双曲线的另一个焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PF'|+|PA|+7,点P 在双曲线上且在第一象限内,∴|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,故△PAF 周长的最小值为10,故选B.4.B 由题意可知F(1,0),设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),则F A =(x 1-1,y 1),F B =(x 2-1,y 2),FC =(x 3-1,y 3),由FA +FB +FC =0,得(x 1-1)+(x 2-1)+(x 3-1)=0,即x 1+x 2+x 3=3. 又A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)在抛物线上,所以y 12=4x 1,y 22=4x 2,y 32=4x 3,又S 1=12|OF|·|y 1|=12|y 1|,S 2=12|OF|·|y 2|=12|y 2|,S 3=12|OF|·|y 3|=12·|y 3|,所以S 12+S 22+S 32=14(y 12+y 22+y 32)=14×(4x 1+4x 2+4x 3)=3.故选B.5.解析 (1)设P(x,y),M(x 0,y 0), 则N(x 0,0),NP =(x-x 0,y),NM =(0,y 0). 由NP = 2NM得x 0=x,y 0= 22y. 因为M(x 0,y 0)在C 上,所以x 22+y 22=1. 因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ =(-3,t),PF =(-1-m,-n),OQ ·PF =3+3m-tn,OP =(m,n),PQ =(-3-m ,t-n).由OP ·PQ =1得-3m-m 2+tn-n 2=1,又由(1)知m 2+n 2=2, 故3+3m-tn=0.所以OQ ·PF =0,即OQ ⊥PF . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.6.解析(1)由题意得b =3c,1a2+94b2=1, a2=b2+c2,∴b2=3,a2=4,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当k=12时,由y=12x+m得M(0,m),N(-2m,0), ∵PM=MN,∴P(2m,2m),Q(2m,-2m),∴直线QM的方程为y=-32x+m.设A(x1,y1),则A1(x1,0).由y=12x+m,x2a+y2b=1得14a2+b2x2+a2mx+a2(m2-b2)=0,∴x1+2m=-4a 2ma2+4b2,∴x1=-2m(3a2+4b2)a2+4b2.设B(x2,y2),则B1(x2,0).由y=-32x+m,x2a2+y2b2=1得94a2+b2x2-3a2mx+a2(m2-b2)=0,∴x2+2m=12a 2m9a+4b ,∴x2=-2m(3a2+4b2)9a+4b.∵点N平分线段A1B1,∴x1+x2=-4m,∴-2m(3a 2+4b2)a2+4b2-2m(3a2+4b2)9a2+4b2=-4m,∴3a2=4b2.∴x1=-3m,y1=-12m,代入椭圆方程得m2=47b2<b2,符合题意.∵a2=b2+c2=34a2+c2,即14a2=c2,。
全国名校高考专题训练8圆锥曲线填空题(数学)
全国名校高考专题训练08圆锥曲线二、填空题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是： 。
答案：y 2=－8x3、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______； 答案：5164、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 答案：1＜e ≤25、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = . 答案：3－16、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：28、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].2ca≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤ 9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x=上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 答案：5或－1310、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足2=，则动点C 的轨迹方程是 . 答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF .答案：812、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝ 。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
全国名校2024届高三年级专项(圆锥曲线小题)练习卷(附答案)
全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷 一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==， 故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===， 所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。
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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1.如图，直线 l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、D 在直线 l1上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是 N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．(Ⅱ)过点 D 且不与 l1、l2垂直的直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 C 于E、F 两点；另外平面上的点G、H 满足：①AG =AD(∈ R); ②GE +GF ③求点 G 的横坐标的取值范围．e =2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程. ，已知点P(0,3) 到这个椭圆x 2 y 2 253.已知椭圆C1 :2+2= 1(a >b > 0) x =的一条准线方程是,4 其左、右顶点分别3l2MA D NB l1a b是A、B；双曲线x 2 y 2C2 :a 2-b 2= 1的一条渐近线方程为 3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP 交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点 N，若 AM =MP . 求证： MN •AB = 0.4.椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（c,0）到相应准线的距离为 1，倾斜角为45°的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M，直线 AB 与OM 的夹角为 a.（1）用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tan;（2）若2<tan<3，求椭圆率心率 e 的取值范围.x2 +y2 e =65.已知椭圆a2b2 （a＞b＞0）的离心率 3 ，过点 A（0，-b）和 B（a，0）的直3线与原点的距离为2（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中， ∆ABC 的两个顶点 A , B 的坐标分别为 A (-1,0) ， B (1,0) ，平面内两点G , M 同时满足下列条件：① GA + GB + GC = 0 ；② == ；③ GM ∥ AB （1） 求∆ABC 的顶点C 的轨迹方程； （2） 过点P (3,0) 的直线l 与（1）中轨迹交于 E , F 两点，求 PE ⋅ PF 的取值范围x , y ∈ Ri , j7.设，为直角坐标平面内 x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若= a = xi + ( y + 2) j , bxi + ( y - 2) j | a ，且 | +| b |= 8 （Ⅰ）求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设曲线 C 上两点 A ．B ，满足(1)直线 AB 过点（0，3），(2)若OP = OA + OB ，则 OAPB为矩形，试求 AB 方程．yD CEAO A 1 xD 1C 1y 2= m (x + n ),(m ≠ 0, n > 0) 8. 已知抛物线 C ：的焦点为原点，C 的准线与直线l : kx - y + 2k = 0(k ≠ 0) 的交点 M 在x 轴上， l 与 C 交于不同的两点 A 、B ，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）求实数 p 的取值范围；（Ⅲ）若 C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线，试求 Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA 1 在x 轴上.以 A 、A 1 为焦点的双曲线交椭圆于1 AE =C 、D 、D 1、C 1 四点，且|CD|＝ 2 |AA 1|.椭圆的一条弦 AC 交双曲线于E ，设 EC ，当 2 ≤ ≤ 334 时，求双曲线的离心率 e 的取值范围.4x 2+ 5 y =2 80 10. 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆点（点 A 在 y 轴正半轴上）.上，且点 A 是椭圆短轴的一个端 若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程; 若角 A 为900，AD 垂直 BC 于 D ，试求点 D 的轨迹方程.x 2 = 4 yP (0, m ) (m > 0)11.如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A ,B 两点，点Q 是点 P 关于原点的对称点.(1) 设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明:QP ⊥ (QA -QB ) ;(2) 设直线 AB 的方程是 x - 2 y +12 = 0 ，过 A , B 两点的圆C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程.1 +p 2 p12. 已知动点 P （p ，-1），Q （p ， 2 ），过 Q 作斜率为 2 的直线 l ，P Q 中点 M 的轨迹为曲线 C.（1） 证明：l 经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点； （2） 若（1）中的其中一个公共点为 A ，证明：AP 是曲线 C 的切线； （3） 设直线 AP 的倾斜角为，AP 与l 的夹角为，证明：+ 或- 是定值.7 3 113.在平面直角坐标系内有两个定点F 1、F 2 和动点 P ， F 1、F 2 坐标分别为 F 1 (-1,0) 、| PF 1 | =F 2 (1,0) ，动点 P 满足| PF 2 | 2 ，动点 P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线 y = x 的对称曲线为曲线C ' ，直线 y = x + m - 3 与曲线C' 交于 A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的 面积为 ，（1）求曲线 C 的方程；（2）求m 的值。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案数学圆锥曲线测试高考题一、选择题：1.（2006全国II）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为（）。
A。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{5}}{2}$ D。
$\frac{\sqrt{7}}{2}$2.（2006全国II）已知$\triangle ABC$的顶点B、C在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则$\triangle ABC$的周长是（）。
A。
2.B。
3.C。
4.D。
63.（2006全国卷I）抛物线$y=-x^2$上的点到直线$4x+3y-8=0$的距离的最小值是（）。
A。
2.B。
$\frac{4}{3}$。
C。
$\sqrt{2}$。
D。
$\sqrt{3}$4.（2006广东高考卷）已知双曲线$3x^2-y^2=9$，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）。
A。
2.B。
$\frac{1}{2}$。
C。
$\sqrt{2}$。
D。
45.（2006辽宁卷）方程$2x^2-5x+2=0$的两个根可分别作为（）。
A。
一椭圆和一双曲线的离心率B。
两抛物线的离心率C。
一椭圆和一抛物线的离心率 D。
两椭圆的离心率6.（2006辽宁卷）曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{6-m}=1(m<6)$与曲线$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m-4}=1(5<m<9)$的（）。
A。
焦距相等。
B。
离心率相等。
C。
焦点相同。
D。
准线相同7.（2006安徽高考卷）若抛物线$y=2px$的焦点与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的右焦点重合，则p的值为（）。
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uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， (k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
4k (k 2 + 1) − k 2 i4k + k 2 = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0 y2 x2 7、设双曲线 2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 2.（I）求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程， a 3 → → 并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 程． 解： （1）以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系．设 G 点坐标为 (x，y ) ，由 GC + GB = 20 ，知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 a = 10 ， c = 8 ， 有
3 sinA,求点 A 的轨迹方 5
⎧ ′ x x = ， 2 2 2 ⎪ ′ ′ x y x y y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ′ ′ ′ ，故其方程为 ．设 ， ，则 ． ①由题意有 b=6 + = 1( y ≠ 0 ) A(x，y ) G (x ，y ) + = 1( y ≠ 0 ) A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两 ⎨ y 100 36 100 36 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
x2 y2 + = 1 上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MN⊥MQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 12 4
的轨迹方程． 解：设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ≠ 0), E ( x, y ), 则 P ( − x1 , y1 ), Q ( − x1 , − y1 ), T ( x1 , − y1 ), ……1 分
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x1 − x2 ) ，y1 − y2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
⎧ x12 + ⎪ ⎪12 ⎨ 2 ⎪ x2 + ⎪ ⎩12
y12 = 1, ⋯⋯⋯⋯ (1) 1 x y y 4 ………3 分 由（1）－（2）可得 kMN • kQN = − . …6 分又 MN⊥MQ， kMN ⋅ kMQ = −1, kMN = − 1 , 所以 kQN = 1 . 直线 QN 的方程为 y = 1 ( x + x1 ) − y1 ，又直 2 3 y1 3 x1 3x1 y2 = 1.⋯⋯⋯⋯ (2) 4
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 2 ⎪ 由（i） （ii）得 k + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 (ii ) (i ) 则x1 + x 2 = 3k 2 − 1 ，x1 x 2 = 3k 2 − 1
⎩ ;6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程．
2 2
点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
∴ AB − AC =
3 BC 5
（*）
即 AB − AC = 6
10 3 的椭圆.（9 分） 3
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l . 8、设 M 是椭圆 C :
| OP | 1 | OP | | PR | 1 1 1 = ，由角平分线性质可得 = = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比为 ，由定 2 2 | OQ | 2 | OQ | | RQ | 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 2 2 1 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 ⎛ 3 x − 4 3 y ⎞ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎛ 3 x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ 比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 , + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =4， 2 ⎨ ⎨ 3 y 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪n = 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪ 2 = ⎪y = 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ：
a + b = 13 13 e1 7 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 （1）解： C1 的焦点坐标为 (0, ± 13). e2 = 由 设双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a , b > 0) 则 ⎨ a + b 2 13 解得 a 2 = 9, b 2 = 4 双曲线的方程为 = 得 e1 = − =1 a b 9 4 = 7 e2 3 3 ⎪ 2
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2 y2 所求轨迹方程为 − = 1 （x>3） 9 16
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆 C： 圆 C 的方程. 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 由题设条件得：
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 7 + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 36 49 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
x2 y2 1 6 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 x2-x1= ，求椭 2 2 5 a b
3 k，其椭圆的方程为
x2 y2 − =1 . 4k 2 3k 2
0+2 1 − (−2) ， ① = − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 x2 y2 11 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程． 2 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .