全国名校高中数学题库--圆锥曲线
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Байду номын сангаас
x2 y2 + = 1 上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MN⊥MQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 12 4
的轨迹方程． 解：设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ≠ 0), E ( x, y ), 则 P ( − x1 , y1 ), Q ( − x1 , − y1 ), T ( x1 , − y1 ), ……1 分
⎧ x12 + ⎪ ⎪12 ⎨ 2 ⎪ x2 + ⎪ ⎩12
y12 = 1, ⋯⋯⋯⋯ (1) 1 x y y 4 ………3 分 由（1）－（2）可得 kMN • kQN = − . …6 分又 MN⊥MQ， kMN ⋅ kMQ = −1, kMN = − 1 , 所以 kQN = 1 . 直线 QN 的方程为 y = 1 ( x + x1 ) − y1 ，又直 2 3 y1 3 x1 3x1 y2 = 1.⋯⋯⋯⋯ (2) 4
3 sinA,求点 A 的轨迹方 5
⎧ ′ x x = ， 2 2 2 ⎪ ′ ′ x y x y y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ′ ′ ′ ，故其方程为 ．设 ， ，则 ． ①由题意有 b=6 + = 1( y ≠ 0 ) A(x，y ) G (x ，y ) + = 1( y ≠ 0 ) A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两 ⎨ y 100 36 100 36 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
x2 y2 1 6 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 x2-x1= ，求椭 2 2 5 a b
3 k，其椭圆的方程为
x2 y2 − =1 . 4k 2 3k 2
0+2 1 − (−2) ， ① = − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 x2 y2 11 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程． 2 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ：
a + b = 13 13 e1 7 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 （1）解： C1 的焦点坐标为 (0, ± 13). e2 = 由 设双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a , b > 0) 则 ⎨ a + b 2 13 解得 a 2 = 9, b 2 = 4 双曲线的方程为 = 得 e1 = − =1 a b 9 4 = 7 e2 3 3 ⎪ 2
[
3 ( y1 + y 2 )
]
2
⎡ 3 ⎤ + ⎢ ( x1 + x 2 )⎥ = 10 ⎣ 3 ⎦
2
1 x 2 3y 2 ∴ 3(2 y ) 2 + (2 x ) 2 = 100 ，即 + =1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 10 3 ，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线 l 设 l：y = k ( x − 1) ，l与双曲线交于 P ( x1 ，y1 ) 、Q ( x 2 ，y 2 )
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为
4x2 y 2 + =1 15 3
⎪ ⎩
4 ⎧ 25 + 2 = 1, ⎧ 2 15 2 ⎪ ⎪12a 3b ⎪a = , 得⎨ 4 ⎨ ⎪a 2 − b 2 = 3 , ⎪b 2 = 3. ⎩ ⎪ 4 ⎩
5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点 Q 的坐标为（4，0） ． （1）求线段 PQ 的中点的轨迹方程； （2）设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R（O 为原点） ，求点 R 的轨迹方程． 解： （1）设线段 PQ 的中点坐标为 M（x，y） ，由 Q（4，0）可得点 P（2x-4，2y） ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点 R（x，y） ，P（m，n） ，由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 2 ⎪ 由（i） （ii）得 k + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 (ii ) (i ) 则x1 + x 2 = 3k 2 − 1 ，x1 x 2 = 3k 2 − 1
| OP | 1 | OP | | PR | 1 1 1 = ，由角平分线性质可得 = = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比为 ，由定 2 2 | OQ | 2 | OQ | | RQ | 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 2 2 1 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 ⎛ 3 x − 4 3 y ⎞ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎛ 3 x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ 比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 , + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =4， 2 ⎨ ⎨ 3 y 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪n = 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪ 2 = ⎪y = 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 7 + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 36 49 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
2 2
点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
∴ AB − AC =
3 BC 5
（*）
即 AB − AC = 6
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2 y2 所求轨迹方程为 − = 1 （x>3） 9 16
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆 C： 圆 C 的方程. 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 由题设条件得：
uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 程． 解： （1）以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系．设 G 点坐标为 (x，y ) ，由 GC + GB = 20 ，知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 a = 10 ， c = 8 ， 有
⎩ ⎧
2 2
a
9
x +6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程．
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x1 − x2 ) ，y1 − y2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
10 3 的椭圆.（9 分） 3
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l . 8、设 M 是椭圆 C :
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， (k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
4k (k 2 + 1) − k 2 i4k + k 2 = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0 y2 x2 7、设双曲线 2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 2.（I）求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程， a 3 → → 并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
∵ c 2 = a 2 + 3， ∴ a = 1，c = 2
∴ 双曲线方程为y 2 −
x2 3 = 1 ，渐近线方程为 y = ± x 3 3
4分
（II）设 A( x1 ，y1 ) ，B ( x2 ，y 2 ) ，AB 的中点 M x， y
(
)
∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2
x2 y2 + = 1 上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MN⊥MQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 12 4
的轨迹方程． 解：设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ≠ 0), E ( x, y ), 则 P ( − x1 , y1 ), Q ( − x1 , − y1 ), T ( x1 , − y1 ), ……1 分
⎧ x12 + ⎪ ⎪12 ⎨ 2 ⎪ x2 + ⎪ ⎩12
y12 = 1, ⋯⋯⋯⋯ (1) 1 x y y 4 ………3 分 由（1）－（2）可得 kMN • kQN = − . …6 分又 MN⊥MQ， kMN ⋅ kMQ = −1, kMN = − 1 , 所以 kQN = 1 . 直线 QN 的方程为 y = 1 ( x + x1 ) − y1 ，又直 2 3 y1 3 x1 3x1 y2 = 1.⋯⋯⋯⋯ (2) 4
3 sinA,求点 A 的轨迹方 5
⎧ ′ x x = ， 2 2 2 ⎪ ′ ′ x y x y y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ′ ′ ′ ，故其方程为 ．设 ， ，则 ． ①由题意有 b=6 + = 1( y ≠ 0 ) A(x，y ) G (x ，y ) + = 1( y ≠ 0 ) A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两 ⎨ y 100 36 100 36 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
x2 y2 1 6 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 x2-x1= ，求椭 2 2 5 a b
3 k，其椭圆的方程为
x2 y2 − =1 . 4k 2 3k 2
0+2 1 − (−2) ， ① = − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 x2 y2 11 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程． 2 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ：
a + b = 13 13 e1 7 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 （1）解： C1 的焦点坐标为 (0, ± 13). e2 = 由 设双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a , b > 0) 则 ⎨ a + b 2 13 解得 a 2 = 9, b 2 = 4 双曲线的方程为 = 得 e1 = − =1 a b 9 4 = 7 e2 3 3 ⎪ 2
[
3 ( y1 + y 2 )
]
2
⎡ 3 ⎤ + ⎢ ( x1 + x 2 )⎥ = 10 ⎣ 3 ⎦
2
1 x 2 3y 2 ∴ 3(2 y ) 2 + (2 x ) 2 = 100 ，即 + =1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 10 3 ，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线 l 设 l：y = k ( x − 1) ，l与双曲线交于 P ( x1 ，y1 ) 、Q ( x 2 ，y 2 )
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为
4x2 y 2 + =1 15 3
⎪ ⎩
4 ⎧ 25 + 2 = 1, ⎧ 2 15 2 ⎪ ⎪12a 3b ⎪a = , 得⎨ 4 ⎨ ⎪a 2 − b 2 = 3 , ⎪b 2 = 3. ⎩ ⎪ 4 ⎩
5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点 Q 的坐标为（4，0） ． （1）求线段 PQ 的中点的轨迹方程； （2）设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R（O 为原点） ，求点 R 的轨迹方程． 解： （1）设线段 PQ 的中点坐标为 M（x，y） ，由 Q（4，0）可得点 P（2x-4，2y） ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点 R（x，y） ，P（m，n） ，由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 2 ⎪ 由（i） （ii）得 k + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 (ii ) (i ) 则x1 + x 2 = 3k 2 − 1 ，x1 x 2 = 3k 2 − 1
| OP | 1 | OP | | PR | 1 1 1 = ，由角平分线性质可得 = = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比为 ，由定 2 2 | OQ | 2 | OQ | | RQ | 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 2 2 1 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 ⎛ 3 x − 4 3 y ⎞ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎛ 3 x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ 比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 , + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =4， 2 ⎨ ⎨ 3 y 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪n = 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪ 2 = ⎪y = 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 7 + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 36 49 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
2 2
点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
∴ AB − AC =
3 BC 5
（*）
即 AB − AC = 6
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2 y2 所求轨迹方程为 − = 1 （x>3） 9 16
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆 C： 圆 C 的方程. 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 由题设条件得：
uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 程． 解： （1）以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系．设 G 点坐标为 (x，y ) ，由 GC + GB = 20 ，知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 a = 10 ， c = 8 ， 有
⎩ ⎧
2 2
a
9
x +6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程．
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x1 − x2 ) ，y1 − y2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
10 3 的椭圆.（9 分） 3
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l . 8、设 M 是椭圆 C :
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， (k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
4k (k 2 + 1) − k 2 i4k + k 2 = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0 y2 x2 7、设双曲线 2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 2.（I）求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程， a 3 → → 并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
∵ c 2 = a 2 + 3， ∴ a = 1，c = 2
∴ 双曲线方程为y 2 −
x2 3 = 1 ，渐近线方程为 y = ± x 3 3
4分
（II）设 A( x1 ，y1 ) ，B ( x2 ，y 2 ) ，AB 的中点 M x， y
(
)
∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2