§3.4.1-2定积分的应用(面积,体积)

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3.4 定积分的应用(体积、侧面积及一些物理量)

1 1 2 故截面积为 A( x ) = y ⋅ y tan α = ( R − x 2 ) tan α ， 2 2 R R 1 2 3 2 2 V = ∫ A( x )dx = ∫ ( R − x ) tan αdx = R tan α . −R −R 2 3
4
3.4.3-5 定积分的应用定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量体积、体积
在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元
′ 2 ( x )dx ，是 dL = 1 + f
则 dA = 2πf ( x )dL ，
y
y = f (x )
o
a
x x + dx b
故 A = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx .
a
b
x
[ 圆台的侧面积 π × 母线长 × (上底半径 + 下底半径 ) 。在极限圆台的侧面积=
A = 2π ∫
a
−a
′ y1 1 + y1 dx + 2π ∫
2
a
0
a
−a
′ y2 1 + y2 2 dx
x = 8abπ arcsin a
= 4abπ 2 .
3.4.3-5 定积分的应用定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量体积、体积
三、一些物理量的计算
1、质量
轴上的质杆。例 1.有一放置在 x 轴上的质杆。若其上每一点的密度等于
P = pA = γ h ⋅ A ;
若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等, 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微元法化成定积分计算化成定积分计算。元法化成定积分计算。

定积分的应用面积,体积

x
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形，绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立体位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴的平面所截得的截面面

定积分的应用共29页

22.11.2019
12
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一、平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为 Aabf(x)g(x)dx
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
a
c1
c2
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3
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一般地，由曲线 y f (x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 可表示为
S
b
|
f
(x) | dx
.
a
类似地，由曲线 x ( y) ，直线 y c ， y d 及
y 轴所围成的曲边梯形的面积 S (如图 5-13 所示)可
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二、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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ax
bx
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x
x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有

定积分的应用(体积、旋转体的侧面积) ppt课件

d S 2 y ds 2 y dx
因为2 y dx 不是薄片侧面积△S 的
的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
y y f (x)
oa x b x ds dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为

S 2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0

16 a2 2 sin4 u d u 0
解：解方程组

x2 y x
y
2
2

2
y
y x2
得交点(1, 1) ，(1, 1) 。
1 o 1 x
Vx 1 (2 x2 )dx 1 x4dx
x2 y22
1
2
1
(2
x
2
1
x4 )dx
2(2 x
x3

x5
)
1
0
3 50
2(2 1 1) 44. 3 5 15
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)

2
b2 a2
a
(a
2

x2
)
dx
0

2
b2 a2
a2 x

1 3
x3

a 0
4 ab2

定积分的应用课件

液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包括确定计算区域、选择坐标系、列出被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题，进而求解波动过程中的各种物理量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而利用定积分求解变力做功。

3.4定积分的计算(二)、应用

简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则设

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是

2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法

a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a

b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算

2
1
x ln xdx .

2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1

定积分的应用体积

定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。

其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。

具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。

通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。

2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。

如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。

具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。

通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。

3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。

具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。

定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。

它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。

定积分的几何应用课件

电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
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曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。

定积分的计算与应用于面积与体积的计算

定积分的计算与应用于面积与体积的计算定积分是微积分中的重要概念之一，它不仅可以用于计算函数的面积，还可以应用于计算物体的体积。

在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，并探讨其在面积与体积计算中的应用。

一、定积分的计算方法定积分的计算方法可以通过数学积分公式进行求解。

它是对函数曲线下方某一区间的面积进行求和的过程。

计算定积分需要确定被积函数的上下限范围，并通过适当的数值方法进行近似求解。

以计算函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，可以使用不同方法进行计算。

其中，常用的方法包括积分定义法、几何法和数字积分法。

积分定义法是定积分计算的基本方法，它通过将函数曲线下方的面积拆分为无穷多个小矩形的面积之和来进行求解。

具体求解过程可以通过Riemann和黎曼和来进行，这里不再赘述。

几何法是一种直观的计算方法，它通过将函数曲线下方的面积分割为几个几何形状（如矩形、三角形等）的面积之和来进行计算。

对于简单的几何形状，可以使用基本几何公式进行计算，对于复杂的几何形状，则需要进行适当的近似。

数字积分法是一种数值计算方法，它通过将区间[a, b]分成若干小区间，并在每个小区间内取函数值的平均来进行计算。

其中，较为常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。

二、定积分在面积计算中的应用定积分在计算函数曲线下方的面积时发挥着重要作用。

它可以用于求解曲线与坐标轴所围成的面积，并可以通过变量变换等方法应用于不同形状的曲线。

例如，我们可以通过定积分计算圆的面积。

设函数y=f(x)为圆的上半部分，区间[a, b]为圆弧的长度，根据定积分的定义，圆的面积可表示为：S = ∫[a, b]f(x)dx其中，函数f(x)可以表示为圆的方程。

通过适当的变量变换和曲线的参数化，我们可以求解出圆的面积。

同样地，定积分可以用于计算其他几何形状的面积，如正方形、三角形、椭圆等。

只要能够将几何形状表示为函数曲线的形式，就可以利用定积分进行计算。

定积分的应用计算面积和体积

定积分的应用计算面积和体积定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

其中，一项常见的应用就是用定积分来计算图形的面积和物体的体积。

本文将从定积分的基本概念入手，介绍如何利用定积分来计算面积和体积。

一、定积分的基本概念定积分是积分学中的一种，它可以将函数与坐标轴之间的面积联系起来。

对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。

定积分的公式如下：∫[a,b]f(x)dx其中，∫表示积分符号，a和b是积分的下界和上界，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

二、使用定积分计算面积使用定积分计算面积时，我们需要确定被积函数和积分区间。

一般来说，面积可以通过将函数所在的曲线图形与坐标轴所夹的区域进行分割，将其近似看作多个矩形或梯形，再对这些矩形或梯形的面积进行求和来逼近真实的面积。

例如，我们要计算函数y = f(x)在区间[a, b]上的面积，可以先将该区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

然后，在每个小区间上选择一个点(xi, yi)，用这些点构成的矩形或梯形的面积之和来近似曲线与坐标轴之间的面积。

将小区间个数无限增加，使Δx趋近于0，此时逼近的面积将趋向于真实的面积，即可利用定积分公式求得准确的面积值。

三、使用定积分计算体积定积分在计算物体的体积时同样具有重要的作用。

当一个平面图形绕某条直线旋转一周，形成一个立体图形时，我们可以使用定积分来计算该立体图形的体积。

对于一个平面图形，假设其边界可以由函数y = f(x)和y = g(x)所描述，其中f(x)表示上曲线，g(x)表示下曲线。

图形绕x轴旋转一周后，所形成的立体体积可以通过定积分进行计算。

首先，我们将x轴上的区间[a, b]进行分割，并在每个小区间上选择一个点(xi, yi)。

然后，计算曲线与x轴所形成的圆柱的体积，并对所有小区间的体积求和，即可逼近真实的体积。

当小区间数量趋近于无穷大时，利用定积分公式可以得到准确的体积值。

数学《定积分的应用》讲义

第十章定积分的应用1 平面图形的面积一、直角坐标系下平面图形连续曲线()(0)y f x =≥直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形面积为S=()bbaaf x dx ydx =⎰⎰；若()y f x =在[,]a b 上不是非负的, 则上述围成图形的面积为S=|()|||bbaaf x dx y dx =⎰⎰.一般地，1) 由上下两根连续曲线2()y f x =和1()y f x =以及直线,x a x b ==所围成平面图形面积为 21S=()()ba f x f x dx -⎰.2) 由两条曲线1()y f x =，2()y f x =围成的平面图形面积为21S=()()ba f x f x dx -⎰,其中,x a x b ==与曲线1()y f x =与2()y f x =所有交点中横坐标最小值和最大值.例 1 求曲线1, 0, 2xy x y x =-==围成的平面图形面积.例 2 求由抛物线2y x =直线230x y --=所围成的平面图形面积.设[,]a b 上的曲边梯形的曲边由方程()x t χ=，()y y t =，t αβ≤≤，()a χα=，()b χβ=. 又设()0t χ'>(())t χ↑，于是存在反函数1t=()x χ-, 则曲边方程为[]1()(()),,y y t y x x a b χ-==∈.从而,曲边梯形面积为1(())ba S y x dx χ-=⎰()'()y t t dt βαχ=⎰y dx βα=⎰例 3 求由摆线(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t a =-=->的一拱与x 轴所围成的平面图形面积.例 4 求椭圆22221x y a b+=所围成图形面积.二、极坐标下平面图形的面积设曲线C 由极坐标方程() [,]r r θθαβ=∈给出，其中()r θ在[,]αβ上连续，2βαπ-≤下求由曲线C 与两射线,θαθβ==所围成的平面图形（称之为扇形)面积.221121()21()21()2i i i n ni i i i i A r A A r A r d βαξθξθθθ==∆≈∆=∆≈⋅∆⇒=∑∑⎰例 5 求由双纽线22cos 2r a θ=所围成平面图形的面积.(35cos 20,[,][,]4444ππππθθ≥∈-或)[ 简单介绍微元法:x 的范围a≤x≤b微元 dx, ds=f(x)dx (△s ≈f(x)△x )⇒()ba S f x dx =⎰ 微元 d θ 21()2dA r d θθ=21()2A r d βαθθ=⎰ ]“化曲为直”，“以直代曲”.三、微元法若令()()xa x f t dt Φ=⎰，则当f 为连续函数时，()()x f x 'Φ=或()()d x f x dx Φ=，且()0, ()()baa b f x dx Φ=Φ=⎰.（现在把问题倒过来) 如求的量Φ是分布在某区间[,]a x 上的, 或说其是x 的函数()x Φ=Φ,[,]x a b ∈,且当x=b 时，()b Φ就是最终所求值.任取小区间[,][,]x x x a b +∆⊂，若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式 ()f x x ∆Φ≈∆其中f 为某一连续函数，且0x ∆→时，()()f x x o x ∆Φ-∆=∆，即 ()d f x dx Φ=从而只要把()ba f x dx ⎰积分出来就是所求结果.上述方法称为微元法. 使用微元法时要求：i)所求量Φ关于分布区间是代数可加的 ()f x x ∆Φ≈∆ii)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式，在一般情形下，要严格检验()f x x ∆Φ-∆是否为x ∆的高阶无穷小.2211() ()22A y x dA y dxA r dA r d θθθθ∆≈∆=∆≈∆=2. 由平行截面面积求体积一、已知平行截面面积() () ()ba a xb v A x xdv A x dx v A x dx≤≤∆≈∆=⇒=⎰祖暅原理：夫幂势相同，则积不容异.[亦可通过分割，求和取极限方法得到]例 1 由两个圆柱面222x y a +=和222x z a +=所围成立体体积.例 2 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围成立体（椭球)的体积.二、旋转体设f 为[,]a b 上的连续函数(f(x)≥0),则曲线y=f(x)绕x 轴旋转一周得到的旋转体V ，易证V 的体积为2()ba V f x dx π=⎰例 3 求圆锥体的体积公式.例 4 求圆222(),(0)x y R r r R +-≤<<绕x 轴旋转一周所得到的环状立体体积.1) 22[[rrrrV R dx R dx ππ--=--⎰⎰222) ()2rrV A x dx r R π-==⎰例 5 sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴（y 轴)旋转所得立体体积.220sin 2V xdx πππ==⎰1()V A y dy =⎰22()[(arcsin )(arcsin )]A y y y ππ=--3 平面曲线的弧长1、弧长的定义设平面曲线c AB =，在A,B 上取点011,,,n n A P P P P B -==构成AB 的一个分割，记作T ，11i i i i P P P P --≈，11ni i i s PP -=≈∑，11||||max i i i nT P P -≤≤=，11()ni i i s T P P -==∑.定义 1 对于曲线c 上无论怎样的分割T ，如果存在有限数s ，使0lim ()T s T s →=，那么称曲线c 是可求长的，并把极限s 定义为曲线c 的弧长.2、弧长的计算设曲线方程(),y f x a x b =≤≤, 由微元法, ds ==as ⇒=⎰进一步, 若曲线c 的方程为[](),(),,x x t y y t t αβ==∈，则ds ==s βα=⎰（提出光滑曲线概念) ,x y ''连续定义 2 设平面曲线c 由参数方程 [](),(),,x x t y y t t αβ==∈ (*)给出.若()x t ,()y t 在[],αβ上有连续导数,22()()0x t y t ''+≠,则称c 为一条光滑曲线.定理设曲线c 由参数方程(*)给出，若c 为一条光滑曲线，则c 是可求长的，且弧长为s βα=⎰.例 1 求摆线一拱(sin ),(1cos ),(0)x a t t y a t a =-=->一拱的弧长.（202sin 2ts a dt π=⎰）例 2 求悬链线2x xe e y -+=，从x a =-到x a =一段的弧长.若曲线c 由极坐标方程[](),,r r θθαβ=∈给出，则[]()cos ,()sin ,,x r y r θθθθθαβ==∈从而 ()()cos ()sin ,x r r θθθθθ''=- ()()sin ()cos y r r θθθθθ''=+. 故 2222()()()()x y r r θθθθ'''+=+则当()r θ'在[],αβ上连续，且()r θ与()r θ'不同时为0时，此极坐标曲线为一光滑曲线. 此时弧长公式为s βαθ=⎰.例 3 求心形线(1cos ),(0)r a a θ=+⋅>的弧长.弧长01lim ni T i s s →==∆∑, ()()()222i i i s x y ∆=∆+∆ ，1i i i x x x -∆=-，1()()()i i i i i y f x f x f x ξ-'∆=-=∆, 11n ni i i i s x ==⇒∆=∑as ⇒=⎰（f '连续)下面反过来求弧长微分dS . 考察从A 到AB 上一点(,)M x y 的弧长()s x ，则()as x =⎰()ds S x dx'⇒==ds ⇒=几何意义 ds 为s ∆的线性主要部分直线段MP 之长就和曲线MM '之长很接近（相差一个高阶无穷小). 若[](),,r r θθαβ=∈, 则s βαθ=⎰.4 旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =，[],x a b ∈，(()0)f x ≥此段曲线绕x 轴旋转一周得到一旋转曲面.下面求其面积.[]()()S f x f x x π∆≈++∆[]2()f x y x π=+∆由于0y ∆→→(0)x ∆→(2()2(()f x y x f x x o x ππ⇒+∆-=∆2(dS f x π⇒=2(ba S f x π⇒=⎰若曲线C 由参数方程(),()x x t y y t ==，[],t αβ∈，且()0y t ≥，则曲线C 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰.例 1 求圆222x y R +=在[][]12,,x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.例2求内摆线33==绕x轴旋转所得旋转曲面的面积.x a t y a tcos,sin5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1如图所示为一管道的圆形闸门，半径为3米. 问水面齐及直径时, 闸门所受到的水的静压力有多大？二、引力例2一根长为l的均匀细杆，质量为M, 在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点，试求细杆对质点的万有引力.三、功与平均功率例3一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满水，试求将全部池水抽出池外所作的功.例 4 在地面上将质量为m 的物体沿着轨线((),(),())t x t y t z t →举起，()a t b ≤≤，（t 为时间，,,x y z 为空间笛卡尔坐标) 要求在时间段[],a b 内克服重力做的功.这样所做的功只依赖于(),()r a r b ，即只依赖于物体在初始时刻和结束时刻离地球中心的距离.令()GMU r r =，从而将质量为m 的物体从半径为0r 的球面上任一点移动到半径为1r 的球面上任一点，克服重力所做的功01,01(()())r r W m U r U r =-，称()U r 为牛顿位势. 设R 为地球半径，则2()gR U r r =，2()GMg R=.现将质量为m 的物体从地球表面飞到距地心无限远的地方, 所需的功为,lim R r r W →+∞，即22,lim ()R r gR gR W W m mgR R r∞→+∞==-=. 由能量守恒定律，要求初速度0v 至少为2012mv mgR =.0v =. ——第二宇宙速度264()P。

定积分的分部积分法和应用(面积、体积).ppt

2 2
π
π
∫
a +T
a
f (x ) dx =
∫
T
0
f (x ) dx ．
以T为周期的周期函数为周期的在任一长度为T的区间上的定积分值相等在任一长度为的区间上的
例
∫π
∫
0
100π
|sinx | dx = ，
∫π
4
9π 4
|sinx | dx = ．
2π
sin n x dx = ，
∫
10π n
30π n
(3) 极坐标系下极坐标系下
极点在区域内部 ① 极点在区域内部 A = 2 π 1 r 2 (θ ) d θ (3) 极坐标系下坐标系 ∫0 2 θ θ 设 r = r (θ) (α ≤ θ ≤ β ) ，求由 r = r (θ) ， θ = α ， θ = β 极点在区域外 ② 极点在区域外部所围图形的图形的面积．所围图形的图形的面积 = β 1 r 2 (θ ) − r 2 (θ ) d θ A ∫ 2 α 2 1 [ 求曲边扇形的面积 A ，积分变是θ ， θ∈ α, β]．量
解： 10 作草图
(0，2)，(12，4)．，，，． 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域，右减左确定“横分”还是“竖分” 型区域，为积分变量）（以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
20 求交点
法一：横分” “ （为积分变量）法一：横分” 以 y 为积分变量）
A= ∫
f ( x) ∈ C ，
求
∫
1
x 0
1 tf (2 x − t )dt = arctan x 2 ， f (1) = 1 ， 2

定积分的应用公式总结

定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。

在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。

接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。

1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。

公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。

2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。

考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。

公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。

3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。

设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。

公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。

4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。

设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。

同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。

曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。

以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。

在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。

这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。

第十章定积分的应用

3)以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式,在为被积表达式, ) 上作定积分, 区间[a , b]上作定积分,得U = 即为所求量U 的积分表达式. 的积分表达式.
∫a f ( x )dx ,
b
这个方法通常叫做元素法. 这个方法通常叫做元素法. 应用方向: 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 水压力;引力和平均值等. 功;水压力;引力和平均值等.
利用对称性知
dθ
1 2 π A = 2 a ∫ (1 + cos θ ) 2 dθ 2 0 2 π = a ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ 0 π 1 = 3 πa 2 . 2 3 θ + 2 sinθ + sin 2θ =a 2 4 0 2
例 7
求双纽线 ρ = a cos 2θ 所围平面图形
平面图形面积的计算方法
(注直角坐标,参数方程,极坐标) 注直角坐标,参数方程,极坐标)
思考题
微元法与定积分的关系是什么? 微元法与定积分的关系是什么?
§2 由平行截面面积求体积
一, 空间立体的体积
1 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴. 旋转轴.
0 1 2 2 0 2
例 2 计算由两条抛物线 y 2 = x 和 y = x 2 所围成的图形的面积. 图形的面积.
y = x 两曲线的交点, 两曲线的交点解方程组 y = x ,
2 2
解
x = y2
y=x
2
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x ∈ [0,1]