高中数学点线对称问题
高三数学对称问题
二、题型剖析
例1．（1）直线 2x y 3 0关于定点 M (1,2) 对
称的直线方程是（B）
对称问题
高三备课组
一、基础知识
1、 点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y).
点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点 的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题 。
2、点关于直线的对称点
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的
“垂直平分线“，Байду номын сангаас用”垂直“和”平分“这
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石头'是什麽，请记住，先挑'大石头'优先放进去吧！” ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相 关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题 ： ? 三、一头老驴掉到一个废弃的旧井里，很深，根本爬不上来。主人看它是老驴懒得去救它了，让它在那里自生自灭。 ? 那头驴一开始也放弃了求生的希望。每天不断地有人往井里倒垃圾，老驴也生气自己倒霉掉到了井里主人不要它，就算死了也不让它死得舒服点，每天还有那么多垃圾 扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己
点关于直线对称的点的公式
点关于直线对称的点的公式直线对称是平面几何学中的一个重要概念，用于描述物体、图形在平面上关于一条线对称时的性质。
它在许多数学和物理学领域中都有重要应用，例如在几何图形的构造、对称性的分析和问题解决等方面。
在二维平面几何中，直线对称可以描述为：如果一标点在平面上，直线L上有一点A，那么A的对称点A'满足：1.A和A'关于直线L对称；2.L垂直于AA'的中垂线。
即AA'和L的交点为A和A'的中点。
下面我们来介绍关于直线对称的一些公式和性质。
一、点关于x轴对称的点的公式：1.已知点P(x,y)，点P'是点P关于x轴的对称点，那么P'的坐标为(x,-y)。
推导过程如下：由于P和P'关于x轴对称，所以P和P'在x轴上的距离相等，即x轴距离P的点与x轴距离P'的点保持不变。
由于x轴的坐标为0，所以P'的坐标仍然是x，而y轴坐标为-y，即P'(x,-y)。
示例：已知点A(3,4)，求点A关于x轴的对称点A'的坐标。
解：根据公式，点A'的坐标为(3,-4)。
2.已知点P(x,y)，点Q是点P关于x轴的对称点，可以通过将P关于x轴的坐标求负得到Q的坐标。
即Q的坐标为(x,-y)。
解：根据公式，点Q的坐标为(2,5)。
二、点关于y轴对称的点的公式：1.已知点P(x,y)，点P'是点P关于y轴的对称点，那么P'的坐标为(-x,y)。
推导过程如下：由于P和P'关于y轴对称，所以P和P'在y轴上的距离相等，即y轴距离P的点与y轴距离P'的点保持不变。
由于y轴的坐标为0，所以P'的坐标仍然是y，而x轴坐标为-x，即P'(-x,y)。
示例：已知点C(4,-2)，求点C关于y轴的对称点C'的坐标。
解：根据公式，点C'的坐标为(-4,-2)。
2.已知点P(x,y)，点Q是点P关于y轴的对称点，可以通过将P关于y轴的坐标求负得到Q的坐标。
高中点关于直线对称的点的求法
高中点关于直线对称的点的求法好啦，今天咱们聊聊怎么求一个点关于直线对称的点。
听起来是不是有点高大上？其实嘛，说白了就是找一个点，经过一条直线“翻个身”后，另一个点就出来了。
就像镜子里的自己，照照照，照出一个完美的对称。
大家都知道，数学里最有意思的地方就是那些看似复杂，但只要搞清楚了，做题就能轻松过关。
行啦，废话不多说，我们直入正题！什么是对称点呢？其实就跟照镜子似的。
你站在镜子前面，镜子里看到的就是你对称的“影像”了。
假设你站在镜子前面，左手是右手的“镜像”，下巴是鼻子的“镜像”，这些不都是对称的嘛！而数学里的对称，指的就是这条“镜子”，它是一条直线——叫做“对称轴”，通过这条轴，点就会在两边对称出现。
你只要知道一个点的位置，想象一下这条直线是镜子，翻一翻，新的点就出来了。
是不是很神奇？要找到这个对称点，其实并不难，关键是得搞清楚对称点的坐标是怎么来的。
假设我们有一个点A（x₁，y₁），而我们的对称轴是一条直线y = mx + b，这条直线跟坐标轴可能有不同的角度哦。
我们的任务就是找到A点关于这条直线的对称点。
哎，别急，接下来一步步来，保证让你明明白白！第一步，咱们得找一下点A到直线y = mx + b的垂线。
什么意思呢？就是从点A 出发，垂直直线y = mx + b，找出一个点，记住这个点是A到直线的最短距离。
怎么做？咱们先求出这条垂线的斜率。
你想啊，直线y = mx + b的斜率是m，那垂线的斜率就得是1/m，明白吗？不信你试试，数学里这俩斜率就是一对好基友，总是互为倒数的。
咱们就来求这个垂线的方程了。
假设垂线的方程是y = kx + c。
然后把点A（x₁，y₁）代入进去，解出k和c的值，这样就得到了垂线方程！这个垂线就是你找到直线和点之间最短距离的关键。
第二步，垂线交于点P，这个点P是点A到直线的投影。
你想象一下，点P就像是点A通过镜子看过去的那个影像，它俩之间距离最短。
得到点P的坐标后，我们再通过对称的规则，把点P和点A通过对称轴“拼在一起”，就能找到对称点了。
高中数学专题---对称问题
高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。
高中数学平面几何对称问题(共25张PPT)
直线关于特殊直线的对称
Ax By C 0
x轴
Ax B( y) C 0
A( x) B( y) C 0
y轴
Ay Bx C 0
yx
A( y) B( x) C 0
练习
求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线 n的方程.
二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:
例3.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n 1 2 m (7)
y x
几种特殊的对称（当堂口答）：
点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
(-x,-y) 关于原点:__________; 关于y轴: __________; (-x,y) (-y,-x) 关于直线y=-x:______; (x,-y) 关于x轴:__________; (y,x) 关于直线y=x:______; 关于直线x=a:_______. (2a-x,y)
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;
(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.
例：已知x,y满足x+y=0，求
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 3) 2 y 的最小值。 N(-2,3)
P O x M(3,-1)
M′(1,-3)
A（ x） B（ y） C 0 补：关于原点:____________ ;
应用一：解决物理光学方面的问题
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
【高考数学对称问题知识总结】 高考数学知识点总结
【高考数学对称问题知识总结】高考数学知识点总结各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。
下面小编给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。
高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P关于点对称点为P′，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P关于直线L：Ax+By+C=O 的对称点为x′=x-P′则y′=y-事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C 解此方程组可得结论。
=-1特别地，点P关于1、x轴和y轴的对称点分别为和2、直线x=a和y=a的对标点分别为和3、直线y=x和y=-x的对称点分别为和例1光线从A发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′，B关于y轴对称点B′为，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F=O上任意一点关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F=0关于点的对称曲线的方程是F=02、曲线F=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F，y-)=0特别地，曲线F=0关于x轴和y轴对称的曲线方程分别是F 和F=0关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F=0和F=0关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F=0和F=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f|的图象。
高二数学对称问题课件全篇
（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0
的对称点Q的坐标为
x0
2
AAx0
A2
By0 B2
C
,
y0
2BAx0
A2
By0 B2
C
一般地：
1、点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）
2、点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0） 3、点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b） 4、点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b） 5、点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（ x0，-y0） 6、点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）
b5 a3 3 4
3
4 b
1 5
4
0
a3 b 3
2
2
故所求反射光线方程为 6x + y －15 = 0
结论: 入射光线与反射光线关于镜面直线对称
练习题：
(1)点M (-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为____关于直线y=2x的对 称点为_ _ 关于点(9,0)的对称点为
(2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为________关 于直线y=-x的对称直线为________关于直线x+3=0对称直线为____
(1)（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直 线l垂直平分线段PQ得方程组:
A
x1
y1 x1
2
x0
y0 x0
B
y1
A B y0
2
点与直线间的对称问题专题+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
的坐标是（ ）
A.（-1，-3）
B.（17，-9）
C.（-1，3）
D.（-17，9）
答案：A.
四、 直线关于直线对称
y
1.关于平行直线的对称
B.
例4、试求直线l1:x-y-1=0
0
关于直线 l2:x-y+1=0对称的
直线l 的方程。
解题思路：l1//l2，转化为点关于直线对称
l l2:x-y+1=0
练习2、已知点M(－1 , 3), 点N(2 , 5), 点P在直线
l:2x+y－1=0上运动, 则PM+PN的最小值
为
；
点关于点的对称
点 中心对称问题
与 直
直线关于点的对称
线
间
对
称 问
点关于直线的对称
题 轴对称问题
直线关于直线的对称
点与直线间的对称问题
一、点关于点对称
y
例1、求点A(2,4) 关于点B(3 ，5) 对称点C的坐标。
C
. . . B(3,5)
A(2,4)
0
x
解题要点：中点公式的运用
二、 直线关于点对称
例2、求直线l1: 2x+11y+16=0关于
点P(0,1)对称的直线l2的方程。
.
A(-8,0)
2x+11y-38=0
y
.P(0,1)
0
解题要点：l1// l2，转化为点关于点对称
.A1
x
三、 点关于直线对称
例3、求点A(1,3)关于直线 l ：x+2y-3=0的
对称点A1的坐标。
y
. A(1,3)
点关于直线对称
【高中数学】秒杀秘诀--对称问题
对称问题对称问题1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求出x ′、y ′特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0（2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩从中解出x 0、y 0，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）（6）点（x ，y ）关于直线x －y+c =0的对称点为（y －c ，x+c ）；（7）点（x ，y ）关于直线x +y+c =0的对称点为（－c －y ，－c －x ）；例1：求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.例2：求圆例3：自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=例4：已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小.例6：圆对称的圆的方程.对称的重要定理/C （或直线）的方1.已知点A （1，3）、B （5，2），在x 轴上找一点P ，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P 点的坐标为____________.2.已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为（）A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ）D .（－b ，－a ）3.已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5D .m 1=－n1且p =－54.点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为____________.5.设直线x +4y －5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y －3=0对称的直线的倾斜角是____________.6.已知圆C 与圆（x －1）2+y 2=1关于直线y =－x 对称，则圆C 的方程为A.（x +1）2+y 2=1B.x 2+y 2=1C.x 2+（y +1）2=1D .x 2+（y －1）2=17.与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为A.2x －y －5=0B.x +2y －3=0C.x +2y +3=0D .2x －y －1=08.两直线y =33x 和x =1关于直线l 对称，直线l 的方程是____________.9.直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是____________.10.已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y +1=0，l 2：x +y +1=0，求边BC 所在直线的方程.11.求函数y =92+x +4182+-x x 的最小值.12.直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.13.已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P .（1）使|PA |+|PB |最小；（2）使|PA |－|PB |最大.1.41（517，0）2.解析：N （a ，－b ），P （－a ，－b ），则Q （b ，a ）．答案：B ；3.解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为（－x ）+my +5=0，即x －my －5=0，与l 2比较，∴m =－n 且p =－5.反之亦验证成立.答案：C4.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3x －y +3=05.解析：数形结合.答案：π－θ6.解析：由M （x ，y ）关于y =－x 的对称点为（－y ，－x ），即得x 2+（y +1）2=1.答案：C7.解析：将x +2y －1=0中的x 、y 分别代以2－x ，－2－y ，得（2－x ）+2（－2－y ）－1=0，即x +2y +3=0.故选C.答案：C8.解析：l 上的点为到两直线y =33x 与x =1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|+-y x =｜x －1｜，化简得x +3y －2=0或3x －3y －2=0.答案：x +3y －2=0或3x －3y －2=09.解析：易知A （4，－1）、B （3，4）在直线l ：2x －y －4=0的两侧.作A 关于直线l 的对称点A 1（0，1），当A 1、B 、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）10.解：设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有()⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+--=-⋅++030124211114222222y x y x x y 即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程.11.解：因为y =22)30()0(-+-x +22)50()4(-+-x ，所以函数y 是x 轴上的点P （x ，0）与两定点A （0，3）、B （4，3）距离之和.y 的最小值就是|PA |+|PB |的最小值.由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ′（0，－3），则|PA |+|PB |的最小值等于|A ′B |，即22)35()04(++-=45.所以y min =45.12.解：由题意，点A 关于直线y =2x 的对称点A ′在BC 所在直线上，设A ′点坐标为（x 1，y 1），则x 1、y 1满足4211+-x y =－21，即x 1=－2y 1.①221+y =2·241-x ，即2x 1－y 1－10=0.②解①②两式组成的方程组，得⎩⎨⎧-==2411y x ∴BC 所在直线方程为121---y =343--x ，即3x +y －10=0.解方程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==-+4220103y x x y y x ∴所求C 点坐标为（2，4）.由题意|AB |2=50，|AC |2=40，|BC |2=10，∴△ABC 为直角三角形.13.解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=-+⋅-+5952121230223222111111y x x y y x 由两点式求得直线A 1B 的方程为y =117（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556，－253）.由平面几何知识可知|PA |+|PB |最小.（2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0.直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|PA |－|PB |最大.。
高中数学对称问题
高中数学对称问题一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x，由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)，P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(- )=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C(0, )｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O 上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y 轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
【高考数学】对称问题
对称问题1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求出x ′、y ′特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0（2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩从中解出x 0、y 0，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）（6）点（x ，y ）关于直线x －y+c =0的对称点为（y －c ，x+c ）；（7）点（x ，y ）关于直线x +y+c =0的对称点为（－c －y ，－c －x ）；例1：求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.例2：求圆【高考数学】对称问题例3：自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=解：由已知可得圆C ：22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴对称的圆C ‘的方程为22(2)(2)1x y -++=，其圆心C ‘（2，-2），易知l 与圆C ’相切.设l :y -3=k (x +3),即kx -y +3k +3=0.∴25511k k +=+，整理得12k 2+25k +12=0,解得34k =-或43k =-.所以，所求直线方程为y -3=34-(x +3)或y -3=43-(x +3)，即3x +4y -3=0或4x +3y +3=0.例4：已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小.剖析：如下图，作点M 关于直线l 的对称点M 1，再作点M 关于y 轴的对称点M 2，连结MM 1、MM 2，连线MM 1、MM 2与l 及y 轴交于P 与Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ 的周长最小.解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）.同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（－3，5）.据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y －7=0.令x =0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，27）.⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-+4925022072y x y x y x 故点P （25，49）、Q （0，27）即为所求.例6：圆对称的圆的方程.解：157511151353545154530)]22(54),22(52[0)],(21)2(2),,(2112[22222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒=--+---⇒=+-⨯-+⨯-y x y x y x y x y y x x F y x f y y x f x F 秒杀秘籍：对称的重要定理曲线（或直线）0),(:=y x F C 关于直线0),(:=++=C By Ax y x f l 的对称曲线/C （或直线）的方程为：0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B A B y y x f B A A x F 。
高中数学对称点公式
高中数学对称点公式
1）点关于点对称：思路：利用中点坐标公式
点A（a，b）关于原点对称的点A′（-a，-b）.
（2）点关于直线对称：
①点A（a，b）关于x轴的对称点A′（a，-b）.
②点A（a，b）关于y轴的对称点A′（-a，b）.
③点A（a，b）关于y=x的对称点A′（b，a）.
④点A（a，b）关于y=-x的对称点A′（-b，-a）.
⑤点A（a，b）关于x=m的对称点A′（2m-a，b）.
⑥点A（a，b）关于y=n的对称点A′（a，2n-b）.
⑦点A（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点A′.
思路一：利用中点坐标公式、中点在直线l上、垂直关系.（重点掌握）
思路二：利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点坐标公式. （3）直线关于点对称：
思路一：轨迹法.（重点掌握）
思路二：在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程. 思路三：平行直线系.
（4）直线l：Ax+By+C=0关于直线对称：
①直线l关于x轴对称的直线是：Ax+B(-y)+C=0
②直线l关于y轴对称的直线是：A(-x) +By+C=0
③直线l关于y=x对称的直线是：Ay+Bx+C=0
④直线l关于y=-x对称的直线是：A(-y) +B(-x) +C=0
⑤直线l关于直线l1：A1x+B1y+C1=0对称的直线是l′：思路一：到角公式法（重点掌握）思路二：中点坐标法思路三：轨迹法思路四：待定系数法思路五：直线系法.。
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对称问题专题【知识要点】1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有x x y y -'-'·k =－1，2y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足x x y y --·k =－1， 20yy +=k ·20x x ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）.【典型例题】【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x +y －4=0，3x +4y －1=0，可求出x ′、y ′.从中解出x 0、y 0，解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上方法一：在直线a ：2x +y －4=0上找一点A （2，0），设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为（x 0，y 0），3×220x ⨯+4×200y +－1=0， 2000--x y =34，解得B （54，－58）.由两点式得直线b 的方程为)58(2)2(-----y =5433--x ，即2x +11y +16=0.方法二：设直线b 上的动点P （x ，y ）关于l ：3x +4y －1=0的对称点Q （x 0，y 0），则有3×20x x ++4×20y y +－1=0，00x x y y --=34. 解得x 0=256247+-y x ，y 0=258724+--y x . Q （x 0，y 0）在直线a ：2x +y －4=0上，则2×256247+-y x +258724+--y x －4=0，化简得2x +11y +16=0是所求直线b 的方程. 方法三：设直线b 上的动点P （x ，y ），直线a 上的点Q （x 0，4－2x 0），且P 、Q 两点关于直线l ：3x +4y －1=0对称，则有5|143|-+y x =5|1)24(43|00--+x x ，00)24(x x x y ---=34.消去x 0，得2x +11y +16=0或2x +y －4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E 外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】 光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上， 同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k B A 2=3246--+=－2.故所求直线方程为y －6=－2（x +2）， 即2x +y －2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例3】 已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小. 剖析：如下图，作点M 关于直线l 的对称点M 1，再作点M 关于y 轴的对称点M 2，连结MM 1、MM 2，连线MM 1、MM 2与l 及y 轴交于P 与Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ 的周长最小.由l OxyPQM M M12解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）.同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（－3，5）.据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y －7=0.令x =0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，27）. x +2y －7=0， x －2y +2=0， 故点P （25，49）、Q （0，27）即为所求.评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：已知点A （1，3）、B （5，2），在x 轴上找一点P ，使得|P A |+|PB |最小，则最小值为____________，P 点的坐标为____________.答案：41 （517，0）【巩固练习】1.已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ） D .（－b ，－a ） 解析：N （a ，－b ），P （－a ，－b ），则Q （b ，a ）． 答案：B2.曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是A.y 2=8－4xB.y 2=4x －8C.y 2=16－4x D .y 2=4x －16解析：设曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线为C ，在曲线C 上任取一点P （x ，y ），则P （x ，y ）关于直线x =2的对称点为Q （4－x ，y ）.因为Q （4－x ，y ）在曲线y 2=4x 上，所以y 2=4（4－x ），即y 2=16－4x . 答案：C3.已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5 D .m1=－n 1且p =－5解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为（－x ）+my +5=0，即x －my －5=0，与l 2比较， ∴m =－n 且p =－5.反之亦验证成立. 答案：C4.点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x －y +3=05.设直线x +4y －5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y －3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ解方程组得交点P （25，49）.6.已知圆C 与圆（x －1）2+y 2=1关于直线y =－x 对称，则圆C 的方程为 A.（x +1）2+y 2=1 B.x 2+y 2=1C.x 2+（y +1）2=1 D .x 2+（y －1）2=1 解析：由M （x ，y ）关于y =－x 的对称点为（－y ，－x ）， 即得x 2+（y +1）2=1. 答案：C7.与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为 A.2x －y －5=0 B.x +2y －3=0 C.x +2y +3=0 D .2x －y －1=0解析：将x +2y －1=0中的x 、y 分别代以2－x ，－2－y ，得（2－x ）+2（－2－y ）－1=0，即x +2y +3=0.故选C.答案：C8.两直线y =33x 和x =1关于直线l 对称，直线l 的方程是____________. 解析：l 上的点为到两直线y =33x 与x =1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|+-y x =｜x －1｜，化简得x +3y－2=0或3x －3y －2=0.答案：x +3y －2=0或3x －3y －2=09.直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是____________.解析：易知A （4，－1）、B （3，4）在直线l ：2x －y －4=0的两侧.作A 关于直线l 的对称点A 1（0，1），当A 1、B 、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）10.已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y +1=0，l 2：x +y +1=0，求边BC 所在直线的方程.解：设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有1422++x y ×（－1）=－1， 212-x +242-y +1=0. x 2=3， y 2=0，即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程.【能力提高】11.求函数y =92+x +4182+-x x 的最小值.解：因为y =22)30()0(-+-x +22)50()4(-+-x ，解得所以函数y 是x 轴上的点P （x ，0）与两定点A （0，3）、B （4，3）距离之和. y 的最小值就是|P A |+|PB |的最小值.由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ′（0，－3）， 则|P A |+|PB |的最小值等于|A ′B |， 即22)35()04(++-=45. 所以y min =45.12.直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.解：由题意，点A 关于直线y =2x 的对称点A ′在BC 所在直线上，设A ′点坐标为（x 1，y 1），则x 1、y 1满足4211+-x y =－21，即x 1=－2y 1. ①221+y =2·241-x ，即2x 1－y 1－10=0. ② 解①②两式组成的方程组，得 x 1=4， y 1=－2.∴BC 所在直线方程为121---y =343--x ，即3x +y －10=0.3x +y －10=0， x =2，y =2x ， y =4.∴所求C 点坐标为（2，4）.由题意|AB |2=50，|AC |2=40，|BC |2=10， ∴△ABC 为直角三角形. 13. 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P . （1）使|P A |+|PB |最小； （2）使|P A |－|PB |最大. 解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）.221+x +2·231+y －2=0，2311--x y ·（－21）=－1. x 1=－52， y 1=－59.由两点式求得直线A 1B 的方程为y =117（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556，－253）. 由平面几何知识可知|P A |+|PB |最小.（2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0. 直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|P A |－|PB |最大.解方程组 得则有解得14. 直线l 经过点（1，1），若抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l 对称，求直线l 斜率的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y －1=k （x －1），弦的两个端点分别是A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入抛物线方程并作差得（y 1+y 2）（y 1－y 2）=x 1－x 2.∵k AB =2121x x y y --=－k1，∴y 1+y 2=－k .注意到AB 的中点在直线l ：y －1=k （x －1）上，∴x 1+x 2=1－k2. ∴y 12+y 22=x 1+x 2=1－k2. 由y 12+y 22>2)(221y y +，得1－k 2>22k ⇒k k k k 2)22)(2(2+-+<0⇒－2<k <0.解法二：设抛物线上关于直线l ：y －1=k （x －1）对称的两点为（y 12，y 1）、（y 22，y 2），222121y y y y --=－k1221y y +－1=k （22221y y +－1）y 1+y 2=－k ，y 1y 2=22k +k 1－21，∴y 1、y 2是方程y 2+ky +22k +k 1－21=0的两根.由Δ=k 2－4（22k +k 1－21）>0⇒k k k k )22)(2(2+-+<0 ⇒－2<k <0.15.（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（ ）A ．2B ．1C ．8 3D ．4 3则⇒。