韦达定理的应用

韦达定理 x 型韦达定理

24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆2

2

4280x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点

()2,0B 且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

（1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（2）设()0,2Q ，过点()1,2P --作直线l '，交点E 的轨迹于,M N 两点 (异于Q ),直线

,QM QN 的斜率分别为12,k k ，证明 12k k +为定值.

【答案】(1) ()221084

x y y +=≠ (2)见解析.

解析 （1）如图，因为AD AC =， //EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以

EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()2

2

232x y ++=，

从而42AD =，所以42EA EB +=,有题设可知()()2,0,2,0A B -，

424EA EB AB +=>=由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为()22

1084

x y y +=≠.

（2）设()()1122,,,M x y N x y ，

当l '的斜率不存在时，此时:1l x '=-此时容易解出,M N 的坐标14141,,1,22⎛⎫⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝，此121414

22422

k k +=+

+-=时. 综上可知124k k +=.

点睛 （1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的整体，再用韦达定理转化即可.

25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>与直线:0

l bx ay -=

都经过点()

22,2M .直线m 与

l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点.

（1）求椭圆C 的方程；（2）证明 MEF ∆为等腰三角形.

【答案】(1) 221164

x y +=；(2)证明见解析.

【解析】试题分析 （1）将点M 分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；

（2）设直线m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得 MA + MB =0，即可求得△MEF 为等腰三角形． 试题解析

（1）由直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ，则a=2b ，将()

22,2M 代入椭圆方

程

22

221x y a b

+= ，

121222

2222

MA MB y y k k x x --=

=--，

(

)()()()

121

2

1

2

22

2

222MA MB x x b x x k k x x +-++=

--，

()()

22

12

28422428

2222

b b b b

x x

-+--+

=

--

，

=，

所以MEF

∆为等腰三角形.

点睛本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键. 30．【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线:3

l y x

=+，定点()

2,1

A，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切. 学（）

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）椭圆的弦,

AP AQ的中点分别为,

M N，若MN平行于l，则,

OM ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.

【答案】（1）

22

1

63

x y

+=（2）,

OM ON斜率之和为定值0

【解析】试题分析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)

mx ny m n m n

+=>>≠，由题意构建关于a b

，的方程组，即可得椭圆方程．

（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以PQ= MN=1，

设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得 3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计

算0

OM ON

k k

+=

试题解析

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)

mx ny m n m n

+=>>≠

椭圆C过点A，所以41

m n

+=①，

将3

y x

=+代入椭圆方程化简得()26910

m n x nx n

+++-=，

因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()2

64910n m n n ∆=-+-=②，

解①②可得， 11

,63

m n ==

，所以椭圆方程为22163x y +=；

（Ⅱ）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则有11222121,,,2222x y x y M N ++++⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 由题意可知PQ MN P ，所以1PQ MN k k ==，设直线PQ 的方程为y x t =+， 代入椭圆方程并化简得 2

2

34260x tx t ++-=

由题意可知122

1243

{ 263

t

x x t x x +=-

-=

③

点睛 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值 确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

含点代入椭圆的应用

32．【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>，

直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 3． （1）求椭圆E 的方程；