黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试数学(理科)试题(word版,含答案)

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黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案

数学试题答案1.C当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.2.A由11+i=a+b i(a,b∈R),得12−12i=a+b i,则a=12,b=-12,所以a+b=0.故选A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5×(1-25)1-2=155.故选C.4.B,)(aba⊥-,222=⋅⇒=⋅-=⋅-∴bababaacos||a ba ba b⋅〈⋅〉===⋅∴，所以a与b的夹角是π4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选D.6.B因为函数()()2sin0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，所以22Tππ=⨯=，所以222Tππωπ===，所以()()2sin2x xfϕ=+，又因为()0f，所以()02sinfϕ=sinϕ=因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选B.7.B由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×=625π16,故选B.8.C()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()x h x x=，则222ln ()xh x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选C.9.BCD将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确．故选BCD ．10.ABD由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选ABD.11.ACD对于A ：因为1111B D A C ⊥，111B D A A ⊥，1111A C A A A ⋂=，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1AC AE ⊥总成立，故选项A 正确；对于B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则()()()1,1,0,0,1,0,0,0,0A B C ，()()11,0,0,1,0,1D D ，因为,E F 在11B D上，且2EF =，故可设()13,1,1,,,122E t tF t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，112t ≤≤()1,,1AE t t =--，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()1,0,0AB =- ，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则()0,1,m t = ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = ，设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==当112t ≤≤≤≤cos 2θ≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2即θ取最小值45︒，故C 正确；对于D ：因为111122BEF S EF BB =⨯⨯==点A 到平面11BDD B ，所以体积为1134212⨯=，即体积为定值，故选项D 正确．故选ACD.12.ABD 对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-⋅=-⎢⎥-⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤-=-++，当且仅当2s t t s =，即s 时取等号，所以22x yx y x y+++的最大值是4-当且仅当x =时，等号成立，故D 正确．故选ABD.13.0.4因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.14.e 2由题意,得f'(x)=a xe x-ae x lnx (e x )2=ax -alnx e x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae =12,∴a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线P A 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以|PA|=B 2-B 2=B 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离=2.此时,|PA|min =B min 2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△P AB 的面积为S △P AB =12×1×1=12.16．[3因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则3π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈- ．17.解(1)设等差数列}{n a 的公差为d.则a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,...................................（2分）解得a 1=1,d =5,...................................（3分）所以n a =5n-4....................................（4分）(2)由(1)可得Sn=(5n-3)n2,...................................（5分）所以n b =nS n=25n−3,1+n b =n+1Sn+1=25n+2,...................................（6分）则1+⋅n n b b =4(5n-3)(5n+2)=4515n−3−15n+2,...................................（8分）所以Tn=4512−17+17−112+…+15n−3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2....................................（10分）18.解(1)因为3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得3sin B sin A=sin A (2+cos B )...........................（2分）因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以3sin B-cos B=2,...........................（3分）所以2sin (B-π6)=2.............................（4分）因为B ∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.........................（5分）(2)=3,即ac=4............................（6分）所以a+c ≥2a =4,当且仅当a=c=2时取等号............................（7分）又由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥23,......（9分）当且仅当a=c=2时取等号...........................（10分）所以△ABC 的周长的最小值为4+2 3...........................（12分）19.解(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）(2)由ii x u 1=，先建立y 关于u 的经验回归方程，由于＝7.0490.787≈8.96，...........（4分）所以c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）所以y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ，..........（7分）所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96x ...........（8分）(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －(1.22＋8.96x )x ≥78.840，..........（10分）所以x ≥10，..........（11分）所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元．..........（12分）20.解(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，.........................（2分）∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD..........................（4分）（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD .........................（6分）在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，∴ON AD ⊥，∴OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，26,0,1(-M ∴6()2DM =- ，(6)DP =- ，(4,4,0).DB =-设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,2440,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1n =，∴1n = 是平面MBD 的一个法向量;.........................（8分）同理，2n =是平面PBD 的一个法向量，.........................（10分）∴121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅==（11分）设二面角M BD P --的大小为θ，由图可知，1cos cos n θ=<，22n >= ，且θ为锐角，∴30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒.........................（12分）21.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴2=1,解得p=2,..........（2分）∴抛物线C 的方程为y 2=4x.......（3分）(2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0.设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为k1-,∴直线AB 的方程为y=k (x-1).联立2=4,=(-1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.......（5分）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4.设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =+1=22+1,∴+1......（7分）同理可得N (2k 2+1,-2k )......（8分）∴|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=22(2+1),.....（9分）∴22(1+2)=4×1+2||≥8,.....（11分）当且仅当|k|=1||,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8......（12分）22.解(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212xae x f x x x x -'=--()()32x x ae x x--=，...............................................（1分）当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，......................（3分）所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增........................（4分）(2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x-<，记()x g x x ae =-，则()1x g x ae '=-，因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >...............................（6分）令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意...................（7分）②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上，()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意....................（8分）③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减，由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，...........................................（11分）综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭..............................................................（12分）。

齐齐哈尔市-度高三数学上学期期末试卷(理科)

齐齐哈尔市2007-2008学年度高三数学上学期期末试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．垂直于同一平面的两条直线（ A ） A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面2．等比数列{}n a 中，42a =，则26a a =⋅ （ B ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．若sin()2πα+=，则cos 2α的值为（ D ） A ．23 B ．13 C ．23- D ．13- 4．已知(3,2)OM =-，(5,2)ON =-，则12MN 等于（Ｃ）A ．(8,1)B ．(8,4)-C ．(4,2)-D ．(8,1)-- 5．“05x <<”是“不等式|2|3x -<”成立的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件6．将一张画有平面直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)-重合，如果这时点(7,3)与点(,)m n 也重合，则m n +的值为（ C ）A ．4B ．－4C ．10D ．－107．如果函数(0,1)xy a a a -=>≠是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图像大致是（8．已知直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，则||ab 的最小值为DCA（ B ）A ．1B ．2C ．4D ．59．从2008名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率为（ C ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为251004D ．都相等，且为40110．把函数的图象)3π4cos(+=x y 沿x 轴平移||ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则||ϕ的最小值是（ B ） A ．6π5 B ．6π C ．32π D ．34π 11．设n a是(3n 的展开式中x 一次项的系数(2,3,4)n =，则23418234183333a a a a ++++的值为（ C ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．1812．已知函数()lg()f x x a =+的图像与x 轴交点的横坐标为7-，()f x 的反函数记为1()f x -，若1(2)fx -、1(lg12)f -、1(1)f x -+成等差数列，则x 的值为（ A ）A ．lg 2B ．lg 4C ．lg 6D ．lg12二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．复数512i-的共轭复数是__________． 12i - 14．由11a =，131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项是．110015．已知311lim21=-++→x bx ax x ，则b 的值为__________．－5 16．给出下列4个命题： ①直线12:1-=x y l 到531:2+=x y l 的角是4π；②若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则0a =或2a =； ③曲线24y x x =-上取两点(4,0)A ，(2,4)B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点Ｐ的坐标为(3,3)；④已知双曲线2224mx my -=的一条准线方程为4,y =则其渐近线方程为y =．其中错误的命题有．（把你认为错误命题的序号都填上）①④三、解答题：本答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数2)4()2sin (cos 21(0)f x a x x a π=+--<．（1）当R x ∈时，求函数)(x f 最小正周期；（2）若131224,x ππ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∈时，求)(x f 的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率．19．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N ．（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；（2）求二面角B —A 1N —B 1的正切值．20．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是ＮＭB 1C 1BED 1A 1D CA大于０的常数）．（1）求椭圆的方程（结果用含m 的式子表示）；（2）设Q 是椭圆上一点，过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2M Q Q F =，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数3()3f x x tx m =-+（R x ∈，m t 、为实常数）是奇函数．（1）求实数m 的值和函数()f x 的图像与x 轴的交点坐标；（2）设()|()|([0,1])g x f x x =∈，求()g x 的最大值()F t ． 22．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足条件：1(2)a a a =>，且21(N )2(1)nn n a a n a *+=∈-．（1）证明：2n a >；（2）证明：122(2)n a a a n a +++<+-；（3）若1n nx a =，求数列{}n x 的通项公式．答案：17．（本小题满分10分）（1）解：()cos(2)cos 212f x a a x x π=-+-sin 2cos21a x x a =+-2sin(2)13a x a π=-+-，∴ 最小正周期ππ==22T ．（2）解：由（1），知 ()2sin(2)13f x a x a π=-+-又13,x ππ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∈，∴32,364x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴1sin(2)322x π⎡-∈-⎢⎣⎦，()1,1f x a ⎤∈+--⎦ ， ∴最大值、最小值分别为1)1a -、1-． 18．(本小题满分12分)（1）解：ξ可能取的值为0，1，2．∵2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ．所以，ξ的分布列为：（1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ．（3）解：由（1），“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P ．19．（本小题满分12分）（解法一）（1）证明：取A 1B 1的中点F ，连EF 、C 1F . ∵E 为A 1B 中点， ∴EF21BB 1.又∵M 为CC 1中点，∴EF C 1M ，∴四边形EFC 1M 为平行四边形， ∴EM ∥FC 1．而EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1． ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1.（2）解：由（1）EM ∥平面A 1B 1C 1D 1，EM ⊂平面A 1BMN ，平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ， ∴A 1N ∥EM ∥FC 1， ∴N 为C 1D 1中点.B 1C 1B Ｈ ED 1A 1D CA ＭＮＦ过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，根据三垂线定理BH ⊥A 1N ， ∠BHB 1即为二面角B —A 1N —B 1的平面角．设AA 1=a ，则AB =2a . ∵A 1B 1C 1D 1为正方形， ∴A 1N =5a .又∵△A 1B 1H ∽△NA 1D 1, ∴B 1H =54522aa a a =⋅．在Rt △BB 1H 中， tan BHB 1=455411==a a H B BB , 即二面角B —A 1N —B 1的正切值为45．（法二）(1) 证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB =2a ,AA 1=a (a ＞0),则 A 1（2a ,0,a ），B (2a ,2a ,0)，C (0,2a ,0)，C 1(0,2a ,a ).∵E 为A 1B 的中点，M 为CC 1的中点, ∴E （2a ,a ,2a ）,M (0,2a , 2a). ∴EM ∥A 1B 1C 1D 1.（2)解：设平面A 1BM 的法向量为n =(x ,y ,z ), 又A 1=（0，2a ,－a ）, =(－2a ,0,2a), 由n ⊥A 1,n ⊥,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.022,02azax az ay ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,4z y z x 不妨设z a =，则n =(2,4a a ,a )．而平面A 1B 1C 1D 1的法向量为n 1=(0,0,1). 设二面角为θ，则|cos θ|=214||||||11=⋅n n n n ．又二面角为锐二面角, ∴cos θ=214．从而tan θ=45． 20．（本小题满分12分）（1）解：设所求椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由已知得c m =，12c a =，∴2a m =，b =．故椭圆方程为2222143x y m m +=．（2）设00(,)Q x y ，直线l ：()y k x m =+，则点(0,)M km ． ∵2MQ QF =，∴0022123m m x -==-+，00123km kmy +==+． ∵Q 在椭圆上，∴22222499143m k m m m+=，解得k =±故直线l的斜率为±21．（本小题满分12分）（1）解：由于函数()f x 是奇函数，易得0m =．设32()3(3)0f x x tx x x t =-=-=．①当30t <时，上述方程只有一个实数根0x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标为(0,0)；②当30t =时，上述方程有三个相等的实数根0x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标为(0,0)；③当30t >时，上述方程的解为10x =、2x =3x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标分别为：(0,0)，(0)，0)．（2）解：/2()3()f x x t =-，①当0t ≤时，则在[0,1]上()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，所以()()g x f x =，故()(1)13F t f t ==-．②当0t >时，则在[0,1]上/()3(f x x x =．（ⅰ）1即1t ≥时，则在[0,1]上()f x 为减函数，所以()(0)0f x f ≤=，所以()()g x f x =-，故()(1)31F t f t =-=-．（ⅱ）01t <<时，在[0,1]上/()f x 、()f x 、()g x 变化情况如下：当130213t t-≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 或 130t -<，即114t ≤<时，()g x 的最大值()2F t =当130213t t-≥⎧⎪⎨<-⎪⎩，即104t <<时，()g x 的最大值()(1)13F t f t ==-．综上，()g x的最大值为：113()41()2(1)431(1)t tF t tt t⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩．22．（本小题满分12分）（1）证明：①当1n=时，∵12a a=>，∴命题成立②假设n k=时命题成立，即有2ka>，当1n k=+时，∵21222(1)kkkaaa+-=--2(2)2(1)kkaa-=>-，∴12ka+>，即当1n k=+时，命题成立．（或221[(1)1]12(1)21kk kk ka aaa a+-+==⋅--11[(1)+2]21kkaa=⋅-+-，∵1>1ka-∴11[1+2]221ka>⋅+=．）综上所述，当Nn*∈时，2na>成立．（2）∵212(1)nnnaaa+=-，∴211(2)2(1)nnnaa na--=≥-又∵-11122221nnnnaaaa-----=⋅-，111112211=01111n nn n na aa a a---------<⇒<---，∴-1-1112222212n nnnnaa aaa------=⋅<-．∴-121212222(2)222n nn na aaa n------<<<<≥，∴12(2)(2)(2)n a a a -+-++-1111(2)(1)242n a -≤-++112(2)112n a -=-⋅-12(2)(1)2(2)2n a a =--<-， ∴122(2)n a a a n a ++⋯+<+-．（3）方法一：∵212(1)n n n a a a +=-，∴221221112()n n n n n a a a a a +-==-，∵1n nx a =∴212()n n n x x x +=-，即2112()(2)n n n x x x n --=-≥，∴221111112()2()242n n n n x x x x --+-=-+=-， 221111112()2()242n n n n x x x x --+-=-+=- 22212222112[2()]2()22n n x x +--=-=-=22-1112222211122()()22n n n a x a--+++-=-=， ∴ 12112()22n n a x a--=-．方法二：∵21111()()222n n x x +-=- 设12n n b x =-，则1112b a=-，0n b >，212n n b b +=，∴1lg lg 22lg n n b b +=+，∴1lg lg22(lg lg2)n n b b ++=+，即1lg22lg2n n b b +=，∴{lg2}n b 是等比数列，公比2q =，首项12l g 2l g (1)b a =-，11222lg 22lg(1)lg(1)n n n b a a --=-=-，即12212(1)n n x a--=-，∴ 12112()22n n a x a--=-．。

2014-2015年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1＜0}，N={y|y=log2（x+2），x∈M}，则M∩N=（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．∅2．（5分）已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i3．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）若（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11，则a1+a2+…+a11的值为（）A．0B．﹣5C．5D．2555．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．6．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．27．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ②∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0④∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件．A．1B．2C．3D．48．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2D．210．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1，，对于有穷数列，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若变量x、y满足，若2x﹣y的最大值为﹣1，则a=．14．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2+1的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点P，A，B，C，D都在半径为1的同一个球面上，则顶点P与面ABCD的中心G之间的距离PG=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在锐角△ABC中，于点D．（1）求证：tanA=2tanB；（2）求CD的长．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）已知棱PA上有一点E，若二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，求AE：EP的值．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x﹣y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S（0，﹣）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e﹣x．，存在实数x1，x2∈[0，1]使得2g（x1）＜g（x2）成立，求实数t的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若，求PD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R*，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R+，且，求证：a+2b+3c≥9．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1＜0}，N={y|y=log2（x+2），x∈M}，则M∩N=（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．∅【解答】解：∵M={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），N={y|y=log2（x+2），x∈M}=（0，log23），∴M∩N=（0，1）．故选：A．2．（5分）已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i【解答】解：∵复数z====﹣2i，∴复数z的共轭复数等于2i故选：A．3．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．4．（5分）若（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11，则a1+a2+…+a11的值为（）A．0B．﹣5C．5D．255【解答】解：在（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11中，令x=2，得a0=（4+1）×（﹣1）=﹣5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+…+a11=（9+1）×0=0；∴a1+a2+a3+…+a11=5．故选：C．5．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选：D．6．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．7．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ②∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0④∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①当α=β=0时，sin（α+β）=sinα+sinβ，故∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ是假命题；②当φ=时，f（x）=sin（2x+φ）=cos2x为偶函数，故∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数是假命题；③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0为真命题；④关于方程log a x=a x的解由以下结论：当a∈（0，e﹣e）时，方程有三个实数根；当a∈[e﹣e，1）或a=时，有1个实数根；当a∈（1，）时，有两个实数根；当a＞时，无实数根．据此可知：∃a∈（0，e﹣e），使函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点，正确．∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点，故④是真命题；⑤“成等比数列”⇔“x=1“，“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”⇔“x=1“，故命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件是真命题；故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选：C．9．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2D．2【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2，∴==，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令=t，t是正整数，则有q2+q+1=，∴q=，对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意．故选：D．11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1，，对于有穷数列，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）∴即单调递减，又=a x，故0＜a＜1所以由，得a={}是首项为=，公比为的等比数列，其前n项和S n=1﹣＞∴n≥5所以P==故选：D．12．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意：定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），不妨设f（x）=1，所以不等式f（x2）＜，化为，即x2＞1，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若变量x、y满足，若2x﹣y的最大值为﹣1，则a=﹣1．【解答】解：由不等式组画出如下图形：由题意画出可行域为图示的封闭三角形这一阴影图形，又∵目标函数为：z=2x﹣y等价于得到y=2x﹣z，由该式子可以知道该直线的斜率为定值2，当目标函数代表的直线在可行域内任意平行移动当过直线x+y+2=0与y=a的交点（﹣2﹣a，a）时，使得目标函数取最大值，故即令z=2（﹣2﹣a）﹣a=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2+1的取值范围是（，+∞）．．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=12，即有m=12，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=6+c，a2=6﹣c，（c＜6），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞12，则c＞3，即有3＜c＜6．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则＞，则e1•e2+1＞+1=．∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．15．（5分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，；故答案为：；16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点P，A，B，C，D都在半径为1的同一个球面上，则顶点P与面ABCD的中心G之间的距离PG=．【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，∴四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，∴顶点P与面ABCD的中心G之间的距离：PG==．故选故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在锐角△ABC中，于点D．（1）求证：tanA=2tanB；（2）求CD的长．【解答】（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，∴，可得：，可得：=2，所以，tanA=2tanB．（2）解：∵＜A+B＜π，sin（A+B）=，∴tan（A+B）=﹣，即，将tanA=2tanB，代入并整理得：2tan2B﹣4tanB﹣1=0．解得，舍去负值得，∴．设AB边上的高为CD，则．由AB=3，得：．所以AB边上的高等于．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==分布列：数学期望Eξ==19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）已知棱PA上有一点E，若二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，求AE：EP的值．【解答】证明：（1）取AB中点H，连结PH，∵△PAB是正三角形，H为AB的中点，AB=2，∴PH⊥AB，且PH=，∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=，∴DH==，又PC=，∴PC2=PH2+CH2，∴PH⊥HC，∵AB∩HC=H，∴PH⊥平面ABCD，∵PH⊂平面APB，∴平面PAB⊥平面ABCD．解：（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADBC是中过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系H﹣xyz，设=，（0＜λ＜1），则==（2﹣λ，0，），=（2，，0），设=（x，y，z）是平面EBD的法向量，则，取x=﹣，得=（﹣，2﹣λ），∵=（0，0，）是平面ABD的一个法向量，二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|==，∵0＜λ＜1，∴λ=，∴=1．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x﹣y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S（0，﹣）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b﹣4）x+b2=0，因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，∴△=（2b﹣4）2﹣4b2，∴b=1．…（2分）∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，…（4分）故所求椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1由解得，即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…（7分）（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx﹣．由，消去y得：（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0，记点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，…（9分）∵，∴====0．∴TA⊥TB，…（11分）综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e﹣x．，存在实数x1，x2∈[0，1]使得2g（x1）＜g（x2）成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）．（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2g（x1）＜g（x2）成立，则2[g（x）]min＜[g（x）]max．∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x=，∴g′（x）=﹣，①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0），即t＞3﹣＞1；②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1），即t＜3﹣2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增所以2g（t）＜max{g（0），g（1）}，即2＜max{1，}﹣﹣（*）由（1）知，g（t）=2 在[0，1]上单调递减，故≤2≤2，而≤≤，所以不等式（*）无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若，求PD的长．【解答】解：（1）∵弦DE⊥AB，∴DH=HE．由相交弦定理可得：DH2=AH•HB=8×2，解得DH=4．∴DE=8．（2）由切割线定理可得：PC2=PD•PE．∴=PD（PD+8），解得PD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=1，得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=1．（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为﹣y﹣2=0，联立，得：2x2﹣12x+13=0，设直线l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴直线l被曲线C截得的弦长：|AB|=•==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R*，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R+，且，求证：a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（2）由a，b，c∈R，且++=m=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=1++++1++++1=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9．。

黑龙江省2021-2021年高三上学期期末试题数学(理)试题及答案

(上)高三理科数学期末考试第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、设全集{|4,}U x x x N =<∈，{0,1,2}A =，{2,3}B =，则U BC A 等于（）A ．{3}B ．{2,3}C ．∅D ．{0,1,2,3} 2、已知i 是虚数单位，复数=（）A ．i ﹣2B ．i+2C ．﹣2D ．2 3、已知ln x π=，y π21log =，12z e-=，则（）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x << 4、执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S = （）A ．910 B ．718C ．89D ．255、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 36、若x y ，满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量()3,2a =，()b x y =，，则•a b 的取值范围是（）A ．5[,4]4 B ．7[,5]2 C ．7[,4]2 D ．5[,5]47、在公差不为零的等差数列{a n }中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()268log b b 的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．18、若a ，R b ∈，命题:p 直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题2:1q a b >-则p 是q 的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、若先将函数3cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（） A ．6x π= B ．3x π= C ．2x π= D ．56x π=10、在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是（） A ．2 B ．-1 C ．-2 D ．-411、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，有()()20xf x f x x'-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集是（） A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）12、过曲线C 1：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 1作曲线C 2：222x y a +=的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：()220y px p =>于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|=|MN|，则曲线C 1的离心率为（） A ．B ．﹣1 C ．+1 D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、二项式832()x x-的展开式中的常数项为． 14、由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为．15、在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()274cos cos 2C 22A -B +=，若2a =，则C ∆AB 的面积的最大值是．16、设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当x ∈[﹣2，0]时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是___________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在等差数列{}n a 中，122311a a +=，32624a a a =+-，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本题满分12分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班各出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432,乙队每人答对的概率都为23.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.19.(本题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20.(本题满分12分)设椭圆1C ：22143x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点．（1）是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；（2）若AB 是椭圆1C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，求证：2||||AB MN 为定值．21.(本题满分12分)已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=．（1）当m=1时，判断方程()()f x g x =在区间（1，+∞）上有无实根．（2）若x ∈（1，e]时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，,AB AC D =为ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ．C 重合），延长BD E 至，延长AC BC 交的延长线于F ．（1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程。

黑龙江省齐齐哈尔市高三上学期期末数学试卷(理科)

黑龙江省齐齐哈尔市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知复数z满足，则z＝（）A .B .C .D .2. （2分）设全集U=｛-2，-1，0，1，2｝，集合A=｛-1，1，2｝，B=｛-1，1｝，则为（）A . {1,2}B . {1}C . {2}D . {-1,1}3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 下列是偶函数的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·天水开学考) 已知向量 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2）且k + 与2 ﹣互相垂直，则k的值是（）A . 1B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=sin2x，则 =（）A . 1B .C .D .6. （2分）设条件p:a2+a>0, 条件q:a>0; 那么p是q的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高一下·蓟县期中) 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A . 24B . 20C . 16D . 128. （2分） (2019高一上·重庆月考) 要得到函数的图象，可由余弦函数的图像经过下述哪种变换得到（）A . 横坐标缩小到原来的倍,再向左平移个单位B . 横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位C . 先向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍D . 先向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍9. （2分） (2018高二上·定远期中) 设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“ 直线对”.现有所成的角为60°的“ 直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）= 则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为（）个．A . 5B . 6C . 7D . 811. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）= ．取函数f（x）=2﹣|x| ．当K= 时，函数fK（x）的单调递增区间为________．12. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 展开（1+2x）3=1+6x+mx2+8x3 ，则m=________．13. （1分） (2016高一下·和平期末) 如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=________．14. （1分）(2016·上饶模拟) 已知向量与的夹角是120°，| |=3，| + |= ，则||=________．15. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数y= 表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）16. （5分）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2，记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=﹣．（1）求cos∠CAD；（2）求BC边上的高h的值．17. （15分） (2015高三上·唐山期末) 甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数均稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如表：甲运动员射击环数频数频率7108109x1030y合计1001乙运动员射击环数频数频率768109z0.410合计80如果将频率视为概率，回答下面的问题：（1）写出x，y，z的值；（2）求甲运动员在三次射击中，至少有一次命中9环（含9环）以上的概率；（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，用ξ表示这三次中射击击中9环的次数，求ξ的概率分布列及Eξ．18. （10分） (2019高二上·江西月考) 长方形中，，M是中点（图1）.将沿折起，使得（图2）在图2中:（1）求证:平面平面；（2）在线段上是否存点E，使得二面角的余弦值为，说明理由.19. （10分） (2016高三上·大连期中) 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2=2，S5=15，数列{bn}，b1=1，对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．（1）数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn= ，设数列{cn}的前n项和Tn ，证明：Tn＜2．20. （5分） (2019高三上·和平月考) 设椭圆的右顶点为，上顶点为 .已知椭圆的离心率为， .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.21. （10分） (2017高二下·姚安期中) 已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题。

黑龙江齐齐哈尔市实验中学上册期末精选(篇)(Word版含解析)

黑龙江齐齐哈尔市实验中学上册期末精选（篇）（Word 版含解析）一、第一章运动的描述易错题培优（难）1．A 、B 、C 三个物体同时在同一地点沿同一方向做直线运动，如图为他们的位移﹣﹣时间图象，由图象可知，物体在t o 时间内（）A ．A 物体的平均速度最大B ．三个物体的平均速度一样大C ．三个物体的平均速率一样大D ．三个物体的平均速率关系为V A ＞V B =V C 【答案】BD 【解析】由图象看出，在0～t 0时间内，三个物体的位移△x 相同，所用时间相同，则平均速度都相同，故A 错误、B 正确；由图象看出，在0～t 0时间内，A 的路程最大，BC 路程相等，故三个物体的平均速率关系为v A ＞v B =v C ，故C 错误，D 正确；故选BD.点睛：本题关键抓住位移图象的斜率大小等于速度、纵坐标的变化量表示位移来分析图象的意义；注意理解BC 的运动特点．2．高速公路上用位移传感器测车速，它的原理如图所示，汽车D 向右匀速运动，仪器C 在某一时刻发射超声波脉冲（即持续时间很短的一束超声波），经过时间t 1接收到被D 反射回来的超声波，过一小段时间后又发射一个超声波脉冲，发出后经过时间t 2再次接收到反射回来的信号，已知超声波传播的速度为v 0，两次发射超声波脉冲的时间间隔为△t ，则下面说法正确的是（）A ．第一次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0112v t B ．第二次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为02v t C ．位移传感器在两次测量期间，汽车前进距离为0211()2v t tD ．测得汽车前进速度为02121()2v t t t t t -+∆-【答案】ACD 【解析】【分析】【详解】AB ．超声波是匀速运动的，往返时间相同，第一次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0112v t ，第二次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0212v t ，故A 正确，B 错误； C ．则两次测量期间，汽车前进的距离为()02112s v t t =- 故C 正确；D ．超声波两次追上汽车的时间间隔为1222t t t t '∆=∆-+ 故速度()021212v t t sv t t t t -=='∆+∆- 故D 正确。

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）计算等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·郧县月考) 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC ，AM与BN相交于点P ， AP：PM=（）A . 4：1.B . 3:2C . 4：3D . 3:13. （2分）已知数列的各项均不等于0和1，此数列前项的和为，且满足，则满足条件的数列共有（）A . 2个B . 6个C . 8个D . 16个4. （2分） (2016高三上·武邑期中) 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A .B .C .D .5. （2分）命题p：“不等式的解集为{或} ”；命题q：“不等式 x2>4 的解集为{x|x>2} ”，则（）A . p真q假B . p假q真C . 命题“p且q”为真D . 命题“p或q”为假6. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 直线，若，则a的值为（）A . ﹣3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣27. （2分） (2018高一下·四川期中) 设数列满足，且，若表不不超过的最大整数，则（）A . 2015B . 2016C . 2017D . 20188. （2分）(2018·辽宁模拟) 函数的部分图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·中江期中) 直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ，则BM与AN所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A . ，k∈ZB . ，k∈ZC . ，k∈ZD . ，k∈Z11. （2分）《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？用享誉古今的“盈不足术”，可以精确的计算用了多少日多少时相逢，那么你认为在第几日相遇（）A . 13B . 14C . 15D . 1612. （2分）(2017·枣庄模拟) 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若变量x，y满足，则z=的取值范围是________14. （1分） (2017高一上·泰州期末) 函数的最小正周期为________ ．15. （1分） (2017高一下·南通期中) 已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f （x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为________．16. （1分） (2018高二上·无锡期末) 在平面直角坐标系中，已知是函数图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 通常用分别表示△ABC的三个内角A、B、C所对的边的长度,R表示△ABC外接圆半径.（1）在以O为圆心,半径为2的圆O中,BC和BA是圆O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长；（2）在△A BC中,若∠C是钝角,求证:18. （5分） (2017高二下·淄川开学考) 在等差数列{an}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn ．19. （10分） (2019高二上·尚志月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·怀化模拟) 若集合，，则为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·深圳期中) “（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·成都模拟) AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A . 这12天中有6天空气质量为“优良”B . 这12天中空气质量最好的是4月9日C . 这12天的AQI指数值的中位数是90D . 从4日到9日，空气质量越来越好4. （2分）已知O是锐角△ABC的外心，若(x，y∈R)，则（）A . x+y≤-2B . -2≤x+y<-1C . x+y<-1D . -1<x+y<05. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（）.A .B .C .D .7. （2分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则=（）A .B .C .D .8. （2分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A . 2B . 2C . 4D . 49. （2分）已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .10. （2分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（）A . y=sin4xB . y=sinxC . y=sin（4x﹣）D . y=sin（x﹣）11. （2分） (2016高一上·友谊期中) 设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣1）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A . （﹣1，1）B . （1，+∞）C . （﹣1，0）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）12. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A . 4B .C .D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为________14. （1分）(2017·邯郸模拟) 若（﹣3x）n的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为________．（用数字作答）15. （1分）(2017·成都模拟) 如图，在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则△ABC的面积为________．16. （1分） (2020高二上·林芝期末) 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18. （10分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，已知三棱柱，侧面 .(Ⅰ)若分别是的中点，求证：；(Ⅱ)若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面 ?若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．19. （10分） (2017高一下·荥经期中) 已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式（2）若bn=anlog an，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．20. （10分） (2019高二上·中山月考) 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21. （10分）(2020·江西模拟) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2019高二下·湖南期中) ⊙ 和⊙ 的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ,ρ＝－4sinθ.（1）把⊙ 和⊙ 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙ ,⊙ 交点的直线的直角坐标方程.23. （10分）(2018·宝鸡模拟) 设函数 .（1）证明：；（2）若，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

黑龙江省高三上学期期末理科数学考试试卷最新高考总复习期末质量调查教学质量检测模拟考试优质精品试题试卷

黑龙江省高三上学期期末理科数学考试试卷
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1．复数等于（）
A． B． C． D．0
2．等比数列中，，前3项和为，则公比q的值是（）
A．1B． C．1或 D．或
3．已知，则（）
A． B． C． D．
4．已知x，y满足不等式组，则的最大值与最小值的比值为（）
23．（共10分）已知a，b，c都是正数．
（1）若，求证：；
（2）求证：．
（1）求证：；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．
20.（共12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为，．
请考生在题22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（共10分）已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（t为参数，），射线，，与曲线交于极点O外的三点A，B，C．
（1）求的值；
（2）当时，B，C两点在曲线上，求m与的值．
判断框内填入的条件是（）
A． B．
C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）
A．12B．4C． D．
9．某同学为了解秋冬季用电量（y度）与气温（）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为，现表中一个8
13
10
-1
用电量
24
34
●
64
（1）求的值；

黑龙江省实验中学2020届高三上学期期末考试理科数学试题

A．{x | 0 x 1}
B．{x | x 1}
C．{x | 1 x 0} D．{x | 1 x 0}
2．下列叙述正确的是（）
A．命题“p 且 q”为真，则 p, q 恰有一个为真命题 B．命题“已知 a, b R ，则“ a b ”是“ a2 b2 ”的充分不必要条件”
2 f x 3x2 0 ，若 f m 2 f m 3m2 6m 4 ，则实数 m 的取值范围为（）
A． 1,1
B． ,1
C．1,
D． , 11,
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
A．
4 1
C．
2
1
B．
3
D．1
9．已知直线 l ： y k(x 1) k 0 与抛物线 C : y2 4x 相交于 A 、B 两点，且满足 AF 2 BF ，则 k
的值是（）
A． 3 3
B． 3
2
C．
2
3
D． 2 2
10．过双曲线
x2

y2 15

1 的右支上一点
P
，分别向圆 C1
1
7．已知函数 f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1 的零点依次为 a，b，c，则( )
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
8．由直线 x y 3 0 上一点 P 向圆 C： x 22 y 32 1 引切线，则切线长的最小值为（）
13．已知点 O 是 ABC 内部一点，并且满足 OA 2OB 3OC 0 ， BOC 的面积为 S1 ， ABC 的面积

2021届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学(理)试题

2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-<<，则()R C A B ⋂=( ) A ．{|01}x x << B ．{|1}<x x C ．{|10}x x -<<D ．{|10}x x -<≤2．下列叙述正确的是（）A ．命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B ．命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C ．命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D ．如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 3．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+4．如图，'''O A B ∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积是（）A ．6B ．C ．D ．125．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题： ①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是（） A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④6．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=7．已知函数f(x)＝e x＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c8．由直线30x y ++=上一点P 向圆 C ：()()22231x y -++=引切线，则切线长的最小值为（） A ．14B ．13C ．12D ．19．已知直线l ：()(1)0y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（）A B C D ．10．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．1911．设椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．12⎤⎥⎣⎦D ．)1,112．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，x R ∀∈，有()()3f x f x x --=，在()0,∞+上有()2230f x x '->，若()()22364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（） A ．[]1,1- B ．(],1-∞ C ．[)1,+∞ D ．(][),11,-∞-+∞二、填空题13．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______. 14．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____．16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.三、解答题17．已知函数()2f x m x =--，且()20f x +>的解集为()1,1-. (1)求m 的值；(2)若正实数,,a b c ，满足23a b c m ++=.求11123a b c++的最小值. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-.（1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若2log n n b a =，令21211n n n c b b -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．已知函数()sin(2)14f x x π=-++.（1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心；（2）当,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()1f x m =-有解，求实数m 的取值范围． 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．21．椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由． 22．已知函数()ln af x x x x=++．（1）若1a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()2e x xf x x <+恒成立，请求出a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】【分析】根据补集和交集的定义运算即可。

黑龙江省高三数学上学期期末考试理

高三期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设全集U R =,集合{}{}02022>-∈=>=∈=x x R x N x y R y M x ，，则N M ⋂为( ) A 、()2,1B 、(1,)+∞C 、[2,)+∞D 、(],0(1,)-∞+∞2、“1x ≥”是“2x >”的 ( ) A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于( ) A 、 21+ B 、 21- C 、 223+ D 、 223- 4、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b .其中正确命题是( ）A 、④B 、 ③C 、 ①③D 、②④5、已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈）．那么下面命题中真命题的序号是( ) ①()f x 的最大值为0()f x ②()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数 A 、①③ B 、①④ C 、②③D 、②④6、一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为① 长方形；②正方形；③圆；④椭圆。

其中正确的是（） A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④7、已知函数()x x f x 2log 3+=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f （） A 、恒为负数 B 、等于0 C 、恒为正值 D 、不大于0 8、函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，给出以下结论：①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的是（） A 、①②④ B 、 ①③④ C 、 ①②③ D 、 ②③④9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则S 20等于（） A 、10B 、15C 、20D 、4010、如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l )的图像大致为（）11、已知集合{}2224312(,),,,(,)()(),,,04312x y M x y x y R N x y x a y b r a b R r x y ⎧⎫⎧-≤⎪⎪⎪=∈=-+-=∈>⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭若存在R b a ∈,，使得M N ⊆，则r 的最大值是 ( )A 、3B 、5.2C 、 4.2D 、 212、已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷及答案

数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合},142|{},,23|{<<=∈+==x x B N n n x x A 则集合B A 中元素的个数为A.5B.4C.3D.22.已知复数z 满足),,(11R b a bi a i∈+=+则=+b a A.0 B.1C .1- D.23.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为A.35B.75C.155D.3154.,2||,2||==b a 且,)(a b a⊥-则a 与b 的夹角是A.6πB.4πC.3π D.125π5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有()种A .2726A A B .2734A A C .272633A A A D .276634A A A 6.已知函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象的相邻两个零点的距离为,2π,2)0(=f 则=)(x f A.42sin(2π+x B.42sin(2π+x C.44sin(2π+x D.44sin(2π+x 7.已知点Q P N M ,,,在同一个球面上,,5,4,3===MP NP MN 若四面体MNPQ 体积的最大值为10,则这个球的表面积是A .425πB .16625πC .16225πD .4125π8.已知函数,ln 2)(2ax x x e x f ax+--=若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为A.),1(+∞e B.),1(+∞ C.),2(+∞eD.),(+∞e 二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，错选不得分）9.将函数x x f sin )(=的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到)(x g 的图象，则A.函数3(π-x g 是偶函数 B.6π-=x 是函数)(x g 的一个零点C.函数)(x g 在区间]12,125[ππ-上单调递增D.函数)(x g 的图象关于直线12π=x 对称10.若甲组样本数据n x x x ,,,21 （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据a x a x a x n +++3,,3,321 的平均数为4，则下列说法正确的是A.a 的值为2- B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同D.两组样本数据的样本极差不同11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点,,F E 且,22=EF则下列结论中正确的有A.当E 点运动时，AE C A ⊥1总成立B.当E 向1D 运动时，二面角B EF A --逐渐变小C.二面角C AB E --的最小值为︒45D.三棱锥BEF A -的体积为定值12.下列说法正确的有A.若,21<x 则1212-+x x 的最大值是1-B.若z y x ,,是正数，且,2=++z y x 则zy x +++114的最小值是3C.若,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是2D.若实数y x ,满足,0>xy 则yx yy x x 22+++的最大值是224-三、填空题（每题5分，共20分）13.在某项测量中,测得变量).0)(,1(~2>σσξN 若ξ在)2,0(内取值的概率为8.0,则ξ在)2,1(内取值的概率为.14.函数xe xa x f ln )(=在点))1(,1(f P 处的切线与直线032=-+y x 垂直,则=a .15.过直线2:-=x y l 上任意点P 作圆1:22=+y x C 的两条切线,切点分别为,,B A 当切线长最小时,P AB ∆的面积为.16.抛物线)0(22>=p py x 上一点)1)(,3(>m m A 到抛物线准线的距离为,413点A 关于y 轴的对称点为O B ,为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点,E 点F 为内切圆上任意一点，则→→⋅OF OE 的取值范围为________．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）等差数列}{n a 的前n 项和为.32,21,655+==a S a S n (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)记,nn S nb =数列}{1+⋅n n b b 的前n 项和为,n T 求.n T 18.（12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 设).cos 2(sin 3B a A b +=(1)求;B (2)若ABC ∆的面积等于,3求ABC ∆的周长的最小值.19.（12分）某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．注：表中.1ii x u =(1)根据散点图判断：bx a y +=与xdc y +=哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)-x-y-u∑=--812)(i ix x ∑=----81))((i iiy yx x ∑=--812)(i iu u∑=----81))((i i iy y u u15.25 3.630.2692085.5-230.30.7877.049(2)根据(1)的判断结果以及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程；(计算结果精确到0.01)(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)参考公式:经验回归方程x b a y ∧∧∧+=中,.,)())((121-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑x b y a x x y yx x b ni ini ii 20.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面⊥P AD 底面M ABCD ,为P A 的中点，.10==PD P A (1)求证：//PC 平面;BMD (2)求二面角P BD M --的大小．21.（12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为,F 抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点F 作互相垂直的两条直线1l 和,2l 1l 与抛物线C 交于B A ,两点,2l 与抛物线C 交于D C ,两点,N M ,分别为弦CD AB ,的中点,求||||NF MF ⋅的最小值.22.（12分）已知函数).(2ln )(2R a xae x x x f x∈-+=(1)若,0≤a 讨论)(x f 的单调性；(2)若)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点，求实数a 的取值范围.数学试题答案1.C当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.2.A由11+i=a+b i(a,b∈R),得12−12i=a+b i,则a=12,b=-12,所以a+b=0.故选A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5×(1-25)1-2=155.故选C.4.B,)(aba⊥-,222=⋅⇒=⋅-=⋅-∴bababaacos||a ba ba b⋅〈⋅〉===⋅∴，所以a与b的夹角是π4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选D.6.B因为函数()()2sin0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，所以22Tππ=⨯=，所以222Tππωπ===，所以()()2sin2x xfϕ=+，又因为()0f，所以()02sinfϕ=sinϕ=因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选B.7.B由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×=625π16,故选B.8.C()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()x h x x=，则222ln ()xh x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选C.9.BCD将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确．故选BCD ．10.ABD由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选ABD.11.ACD对于A ：因为1111B D A C ⊥，111B D A A ⊥，1111A C A A A ⋂=，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1AC AE ⊥总成立，故选项A 正确；对于B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则()()()1,1,0,0,1,0,0,0,0A B C ，()()11,0,0,1,0,1D D ，因为,E F 在11B D上，且2EF =，故可设()13,1,1,,,122E t tF t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，112t ≤≤()1,,1AE t t =--，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()1,0,0AB =- ，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则()0,1,m t = ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = ，设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==当112t ≤≤≤≤cos 2θ≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2即θ取最小值45︒，故C 正确；对于D ：因为111122BEF S EF BB =⨯⨯==点A 到平面11BDD B ，所以体积为1134212⨯=，即体积为定值，故选项D 正确．故选ACD.12.ABD 对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-⋅=-⎢⎥-⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤-=-++，当且仅当2s t t s =，即s 时取等号，所以22x yx y x y+++的最大值是4-当且仅当x =时，等号成立，故D 正确．故选ABD.13.0.4因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.14.e 2由题意,得f'(x)=a xe x-ae x lnx (e x )2=ax -alnx e x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae =12,∴a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线P A 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以|PA|=B 2-B 2=B 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离=2.此时,|PA|min =B min 2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△P AB 的面积为S △P AB =12×1×1=12.16．[3因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则3π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈- ．17.解(1)设等差数列}{n a 的公差为d.则a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,...................................（2分）解得a 1=1,d =5,...................................（3分）所以n a =5n-4....................................（4分）(2)由(1)可得Sn=(5n-3)n2,...................................（5分）所以n b =nS n=25n−3,1+n b =n+1Sn+1=25n+2,...................................（6分）则1+⋅n n b b =4(5n-3)(5n+2)=4515n−3−15n+2,...................................（8分）所以Tn=4512−17+17−112+…+15n−3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2....................................（10分）18.解(1)因为3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得3sin B sin A=sin A (2+cos B )...........................（2分）因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以3sin B-cos B=2,...........................（3分）所以2sin (B-π6)=2.............................（4分）因为B ∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.........................（5分）(2)=3,即ac=4............................（6分）所以a+c ≥2a =4,当且仅当a=c=2时取等号............................（7分）又由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥23,......（9分）当且仅当a=c=2时取等号...........................（10分）所以△ABC 的周长的最小值为4+2 3...........................（12分）19.解(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）(2)由ii x u 1=，先建立y 关于u 的经验回归方程，由于＝7.0490.787≈8.96，...........（4分）所以c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）所以y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ，..........（7分）所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96x...........（8分）(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －(1.22＋8.96x)x ≥78.840，..........（10分）所以x ≥10，..........（11分）所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元．..........（12分）20.解(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，.........................（2分）∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD..........................（4分）（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD .........................（6分）在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，∴ON AD ⊥，∴OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，26,0,1(-M ∴6()2DM =- ，(6)DP =- ，(4,4,0).DB =-设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z = ，则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,2440,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1n = ，∴1n = 是平面MBD 的一个法向量;.........................（8分）同理，2n =是平面PBD 的一个法向量，.........................（10分）∴121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅==（11分）设二面角M BD P --的大小为θ，由图可知，1cos cos n θ=<，22n >= ，且θ为锐角，∴30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒.........................（12分）21.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴2=1,解得p=2,..........（2分）∴抛物线C 的方程为y 2=4x.......（3分）(2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0.设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为k 1-,∴直线AB 的方程为y=k (x-1).联立2=4,=(-1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.......（5分）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4.设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =+1=22+1,∴+1......（7分）同理可得N (2k 2+1,-2k )......（8分）∴|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=22(2+1),.....（9分）∴22(1+2)=4×1+2||≥8,.....（11分）当且仅当|k|=1||,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8......（12分）22.解(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212x ae x f x x x x -'=--()()32x x ae x x--=，...............................................（1分）当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，......................（3分）所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增........................（4分）(2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x-<，记()x g x x ae =-，则()1x g x ae '=-，因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >...............................（6分）令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意...................（7分）②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上，()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意....................（8分）③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减，由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，...........................................（11分）综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭..............................................................（12分）。

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