高一习题2-8. 数学 数学doc

第2模块 第8节

[知能演练]

一、选择题

1．函数f (x )＝(x －1)ln x

x －3

的零点有

( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：由f (x )＝(x －1)ln x

x －3＝0得：x ＝1，

∴f (x )＝(x －1)ln x

x －3

只有一个零点，故选B.

答案：B 2．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分

( )

A ．5次

B ．6次

C ．7次

D ．8次

解析：设对区间(1,2)至少二等分n 次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，

第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为123，…，第n 次二等分后区间长为1

2n ，

依题意得1

2

n <0.01，∴n >log 2100由于6

答案：C

3．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是

( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.

答案：B

4．设函数y ＝x 3与y ＝(12

)x －

2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是

( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析：令g (x )＝x 3－22－

x ，可求得：g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0，易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．

答案：B

二、填空题

5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________．

解析：由于f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3，

因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2·3＝b ⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－1

b ＝－6，

因此f (x )＝x 2－x －6， 所以不等式a ·f (－2x )>0，

即－(4x 2

＋2x －6)>0，

即2x 2＋x －3<0，解集为{x |－3

2

答案：{x |－3

2

6．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根x 1、x 2满足m ”、“＝”或“<”)．

解析：∵a >0，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0. 答案：< 三、解答题

7．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1

4.

证明：存在x 0∈(0，1

2)，使f (x 0)＝x 0.

解：令g (x )＝f (x )－x .

∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－1

8，

∴g (0)·g (1

2

)<0.

又函数g (x )在[0，1

2]上连续，

所以存在x 0∈(0，1

2)，使g (x 0)＝0.

即f (x 0)＝x 0.

8．函数f (x )＝x 3－1

2x 2－2x ＋5－λ在区间[－1,2]上有三个零点，求λ的值．

解：设g (x )＝x 3－1

2x 2－2x ＋5，

则g ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∴g (x )在(－1，－2

3)和(1,2)上单调递增，

在(－2

3

，1)上单调递减．

又g (－1)＝112，g (－23)＝15727，g (1)＝72，g (2)＝7，由题意知g (x )＝λ有三个根，∴λ∈[11

2，

157

27

)． [高考·模拟·预测]

1．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )

( )

A ．(0.6,1.0)

B ．(1.4,1.8)

C ．(1.8,2.2)

D ．(2.6,3.0) 解析：∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)<0， ∴零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C

2．已知函数f (x )＝(1

3

)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0

( )

A ．恒为正值

B ．等于0

C ．恒为负值

D ．不大于0

解析：∵f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x →0时，f (x )→＋∞， ∵f (x 0)＝0，∴f (x )＝0只有一个实根． ∴当00恒成立，故选A. 答案：A

3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是

( )

A ．f (x )＝4x －1

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x －1

D ．f (x )＝ln(x －1

2

)

解析：∵g ′(x )＝4x ln4＋2>0，∴g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．又g (0)＝1－2＝－1<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0，∴g (x )只有一个零点x 0，且x 0∈(0，1

2)．对于选项A ：f (x )＝4x －1，其零点为x ＝14，∴|14－x 0|<1

4

，故选项A 符合．

答案：A

4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个实根且小于0，则a 的取值范围为________．