矢量微积分(修改版)

r 例：求无限长载流 直导线周围的磁感应强度 B
向，得
。
解：我们把它放在柱坐标系中解决。设 Z 轴与导线重合并与电流同
r r dl = dzez
r = z2 + R2
r r r r = Reρ − zez r r r dl × r = Rdzeϕ
r r dl × r
3 2
r µ0 I B= 4π
∫
L
则
曲线坐标系中的矢量微分
r eϕ
微分的结果，已无法在球坐标系中表述。在理论力学中，为研究 方便起见，引入辅助基矢 球坐标系中
θ = 0 时的
r r k ，它相当于直角坐标系中的 k ，是 r er ，于是
r r r r der = dθ eθ + dϕ k × er r r r r deθ = − dθ er + dϕ k × eθ r r r deϕ = dϕ k × eϕ
2
µ 0 IR 2
)
3 2
r ez +
2(R + z
2
µ 0 IRz
2
)
3 2
r eρ
曲线坐标系中的矢量积分
r r r r eρ 表示成某一定点基矢的函数 eρ = cos ϕ eρ0 + sin ϕ eϕ0 ，答 如果将
案就不会错了。
r µ0 I B= 4π = =
∫
2
L
r r µ0I r r dl × r 2 π R 2 d ϕ e + 2 π Rzd ϕ e = z ρ ∫0 2 2 3 2 ∫0 r3 4π ( R + z )
(z2 + R2 )
µ Iρ = 0 4π
r µ I r eϕ = 0 eϕ ∫−∞ z 2 + R 2 3 2 2π R ( )
∞
dz
r eρ 结果是正确的，恰好体现了右手定则，这是因为被积矢量的基矢
与积分变量 z 无关。
THANK YOU !
r r r r r dl = dyj , r = xi − yj , r = x 2 + y 2 .
r r r dl × r = − xdyk ,
于是,
r r r r µ0 I y2 dl × r µ0 Ix y2 dy B= ∫y1 r 3 = − 4π ∫y1 x 2 + y 2 3 2 k 4π ( )
r r r r v = RΩeθ + Rω × er
这里， 中包含 ω 速度为
ω0 ，把ω0
分离出来，则物体相对于地球运动的分
r r r r r v′ = RΩeθ + (ω − ω0 ) × r
因地球自转而使物体有一个牵连分速度
r 即使物体相对于地球表面静止， v′′ 仍然存在，这就是所谓的“坐地 r 日行八百里”。物体的加速度 a 为
∫
L
r r µ0 I r r dl × r 2 π R 2 d ϕ e + 2 π Rzd ϕ e = z ρ 3 ∫0 2 2 3 2 ∫0 r 4π ( R + z )
2
r eρ 本身是一个会随着 这个答案明显是错误的，因为被积矢量中基矢
积分变量而改变的变矢量。
2(R + z
在直角坐标系中，由于基失是常矢量，不难得到
r r r r dA = dAx i + dAy j + dAz k
在曲线坐标系中，由于基矢方向可变，故曲线坐标系中的矢量微分比 起直角坐标系来相对要复杂些。
曲线坐标系中的矢量微分
1.在极坐标系（三维即为柱坐标系） 中，应用几何知识，可以得出。
r r r er = cos θ i + sin θ j r r r eθ = − sin θ i + cos θ j r r ez = k
2
4π ( R + z
µ0I
)
3 2
r r r 2 π R 2 d ϕ e + 2 π Rzd ϕ cos ϕ e + sin ϕ e z ρ0 ϕ0 ∫0 ∫0
(
)
2 (R2 + z2 )
µ 0 IR 2
3 2
r ez
曲线坐标系中的矢量积分
而在有些情况下，曲线坐标系中进行矢量积分，又会得到非常理想的 结果。
则
r r r r der = ( − sin θ i + cos θ j ) dθ = dθ eθ r r r r deθ = ( − cos θ i − sin θ j ) dθ = − dθ er r dez = 0
曲线坐标系中的矢量微分
设柱坐标பைடு நூலகம்中的任意矢量为
r r r r A = Ar er + Aθ eθ + Az ez
r r r r r 显然是 r = R er ，速度 v = dr dt = R der dt ，根据球坐标
r r r r v = R dθ dt eθ + R dϕ dt k × er
ω0
，任意时刻 A 物体的位置矢量
矢量微分的应用举例
r r 令 dθ dt = Ω, dϕ dt = ω , 而 ω k = ω ，则
(2).当物体做纬向运动时， ω = ω0 = C ， d ω dt = 0 ，此时物体所 受力中有一个径向分力 2mRΩω0 cos θ eϕ 。令 RΩ = v ， veθ = v ，
r
r
r
r r r r ω0 k = ω0 。则此径向分力可改写为 2mω0 × v，这个力就是科里奥利
力，用科氏力可以解释河流冲刷右岸等自然现象。
>> x
），则
r µ0 I r B=− k 2π x
曲线坐标系中的矢量积分
在曲线坐标中，由于基矢方向可变，矢量积分应慎重。 r 例：求圆形载流线圈中心轴上的 B 。 解：设柱坐标系如图，则
r r r dl = dleϕ = Rdϕ eϕ
r = z 2 + R2
r µ0I B= 4π =
r r r r = − Reρ + zez r r r r 2 dl × r = R dϕ ez + Rzdϕ eρ
r r r v′′ = ω0 × r
矢量微分的应用举例
r r dv d r r r a= = ( RΩeθ + ω × r ) dt dt r r r de d ω r r dr dΩ r =R eθ + RΩ θ + ×r +ω× dt dt dt dt r r r dω r r r r r r dΩ r =R eθ − RΩ 2 er + RΩω × eθ + × r + ω × ( RΩeθ + ω × r ) dt dt r dΩ r dω r 2 2 r 2 = − R ( Ω + ω ) er + R eθ + 2 RΩω cos θ + R sin θ eϕ + ω R cos θ k dt dt
µ0 I y2 y1 =− − 2 2 4π x x + y2 x 2 + y12
r k
直角坐标系中的矢量积分
(1).如果导线长为L ,且 y1 度，则
= − y2 ，即求导线中垂直面上的磁感强
µ0 IL
r k
r B=−
2π x 4 x 2 + L2
(2).如果导线无限长（ L
(
(
)
)
矢量微分的应用举例
求地球表面物体的运动受力情况。 解：地球时刻不停地在自转，因此在地球表面的物体，无论是其运动 状况还是其受力状况，都不可避免地受地球自转的影 响。我们不妨 把地球视为理想球体，并把所求的问题放在以球心为坐标原点，以地 球自转轴为
θ =0
的球坐标系中来处理。
设地球半径为R，自转角速度为 中的微分表达式有：
则
r r r r r r dA = dAr er + Ar dθ eθ + dAθ eθ − Aθ dθ er + dAz ez r r r = ( dAr − Aθ dθ ) er + ( dAθ + Ar dθ ) eθ + dAz ez
曲线坐标系中的矢量微分
2.在球坐标系中，同样应用几何知识可得
曲线坐标系中的矢量微分
设
r r r r A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eϕ
则
r r r r r r r r r r r r dA = dAr er + Ar dθeθ + Ar dϕk × er + dAθ eθ + Aθ −dθer + dϕk × eθ + dAϕ eϕ + Aϕ dϕk × eϕ r r r r r r r r r = ( dAr − Aθ dθ ) er + ( dAθ + Ar dθ ) eθ + dAϕ eϕ + dϕ Ar k × er + Aθ k × eθ + Aϕ k × eϕ
矢量微积分
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矢量微分 矢量积分
直角坐标系中的矢量微分 曲线坐标系中的矢量微分 矢量微分应用举例 直角坐标系中的矢量积分 曲线坐标系中的矢量积分
直角坐标系中的矢量微分
任何一个矢量,都可以表示成
的形式，其中
r r A = Aa r r r A = A ， a 是 A 的单位矢量。从而 r r r dA = dAa + Ada
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矢量微分 矢量积分
直角坐标系中的矢量微分 曲线坐标系中的矢量微分 矢量微分应用举例 直角坐标系中的矢量积分 曲线坐标系中的矢量积分
直角坐标系中的矢量积分
在直角坐 标系中，由于基矢方向恒定，矢量积分可以直接进行。 例：求载流直导线周围的磁感强度 解：设直角坐标系如图，即原点在导线中心轴上，让y轴与导线中心 轴重合，y 轴方向与电流同向，让x轴通过场点p，则
r r r r er = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k r r r r eθ = cos θ cos ϕ i + cos θ sin ϕ j − sin θ k r r r eϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j
r r r der = dθ eθ + sin θ dϕ eϕ r r r deθ = − dθ er + cos θ dϕ eϕ r r r deϕ = − dϕ ( cos ϕ i + sin ϕ j )
矢量微分的应用举例
(1).当物体相对于地面静止时 Ω = dθ dt = 0 , 从而 d Ω dt = 0， 又
ω = ω0 = C ，故 d ω dt = 0
。此时物体所受的力为：
r r 2r 2 F = −mRω0 er + mRω0 cos θ k r 2 由于 mRω0 cos θ k 的存在，致使物体受力 （重力）不指向地心 r （ er 的反方向），并随地球纬度的改变而不同。
从而
r r r r dΩ r dω r F = ma = −mR ( Ω 2 + ω 2 ) er + mR eθ + m 2 RΩω cos θ + R sin θ eϕ + mRω 2 cos θ k dt dt
这个结论在理论力学中很重要，可用来解释许多 自然现象。这里讨 论两种特殊情况: