结构可靠度计算方法(一次二阶矩)

P* 可靠区 均值点
极限方程曲面
中心点法
验算点法
4、优缺点
优点：计算简便。 缺点：
对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求 不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限 状态的可靠度分析。
2

n i 1

g X i
2



2 X
i
结构可靠指标为
ZL g X1 , X2 ,, Xn
ZL (3-3)
n
i 1

g X i
2

2 Xi
3、几何意义
可靠指标β的几何意义是什么？证明如下 功能函数泰勒级数展开至一次项，即

X i
Xi
(3-6)式为一个超平面方程，点
P*(μX1,μX2,…μXn)到平面Baidu Nhomakorabea距离为：
(3-7)
d g(X1 , X2 ,, Xn )
2
n g
i1 X i

2 Xi
显然，点P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距离 d，就是所求的可靠指标值β，两者是相等的。
ZL的平均值和方差为：
Z E(Z ) g(X1 , X2 ,, Xn )
2 ZL

EZ
E(Z )2

n i 1

g X i
2

X i E( X i ) 2 pi
n i 1

g X i
2



2 Xi
s o u t h w e s t j I a o t o n g u nIversIty
《隧道与地下结构可靠度》课程 第三讲
结构可靠度计算方法
龚 伦 副教授
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
主要内容
1. 基本概念 2. 一次二阶矩理论的中心点法 3. 一次二阶矩理论的验算点法(JC
2、计算方法
结构可靠度计算方法分精确法和近似法 两种。
精确法：求解结构的失效概率 pf 的方
法，通常称为全概率法； 近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然
是近似的，但仍属概率法。
3、一次二阶矩法
结构功能函数大多是非线性函数，且非线 性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分 计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠 指标，近似得到结构可靠度的计算方法。
法) 4. 映射变换法 5. 实用分析法
s
o
ut
h
w
e
s
t
j
I
a
o
t
o
n
g
w
nIv
ersIty
一、基本概念
西南交通大学
Southwest Jiaotong
University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
s
o
ut
h
w
e
s
t
j
I
a
o
t
o
n
g
w
nIv
ersIty
二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
Southwest Jiaotong
University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
其基本思想：首先，将非线性功能函数 在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展 开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函 数的平均值和标准差。
2、推导过程
设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机
变量，其平均值为 Xi ,标准差为 Xi ,功能
函数
Z g(x1, x2 ,, xn )
将功能函数Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)
处展开Z 且g(保X留1 , 至X2 , 一,次Xn项) ，in1即 Xgi Xi Xi
结构可靠指标为： Z g(X1 , X2 ,, Xn )
Z
n
i 1

g X i
2


2 Xi
[例题2] 某结构构件正截面强度的功能函
数为Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态 分布，μR=100kNm，δR=0.12；荷载效应S服从 极值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。试用中心 点法求结构失效概率Pf?
[解]：
R RR 100 0.12 12
S SS 50 0.15 7.5
结构可靠指标
R S

2 R

2 S
100 50 3.533 122 7.52
(3-1)
ZL平均值和方差为：
ZL

E(Z L )

g(X1 , X2 ,, Xn
)
n i 1

g X i


n i 1
E(Xi) Xi
g(X1 , X2 ,, Xn )
(3-2) 2 ZL

E
ZL
E
ZL
在通常情况下，结构功能函数的一阶矩 (均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为 一次二阶矩法。
一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚 不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求 解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。
该法将功能函数 Z g(x1, x2 ,, xn )
在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求 解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。
Z
g(X1 , X2 ,, Xn )
n i 1

g X i

Xi Xi
(3-4)
假定正态变X换i ，X即i：Xi Xi
将(3-5)式代入(3-4)式，得
Z
(3-6)
g(X1 , X2
,, Xn
)

n i 1

g X i
5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相 互独立的随机变量，其平均值为μxi （i=1,2,…,n)，标准差为σxi(i=1,2,…,n)，
功能函数Z=g(X1,X2,…,Xn)。求结构可靠指标
β？
[解] 将功能函数Z在随机变量的平均值处
泰勒级Z数展g(开1, ，2,且,保n)留 i一n1 次Xg项i X，i 即Xi