空间二次曲面的欧式性质

椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2
2
2
(2)范围：
x a,
y b,
z c
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x y z 为正数) 1 ( a , b , c a2 b2 c2 与 z z1 ( z1 c ) 的交线为椭圆： (3) 形状:
2 x2 y2 z1 当 z1变动时，这种椭圆 2 2 1 2 b c a z . 的中心都在 轴上 z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0与曲面相截 )
截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
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实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
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椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
截口法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
c
o
b
y
用x = n来自百度文库曲面
x
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a
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x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是 对称的
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2 2 x z z 轴旋转而成． 由椭圆 绕 2 1 2 c a y 0 x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
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z1( | z1 | c ) 的交线为圆.
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2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
2
2
2
z
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椭球面与平面 z z1的交线为椭圆
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c z ) ( c z 2 1 1) 2 c c z z1 | z | c
1
同理与平面 x x1和 y y的交线也是椭圆 . 1 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
x
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y
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z
双 曲 抛 物 面
x
0
y
空间二次曲面的欧式性质
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
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（3）用坐标面 yoz ( x 0，与曲面相截 )
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
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二、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
o x
y
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双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
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双曲面
一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0)与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
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与平面 z z1的交线为椭圆.
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。
2 2 2
z
o
y
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双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z a b
( a , b>0)
z