空间二次曲面的欧式性质
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第八节二次曲面
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
欧几里得空间的超二次曲面
2 … ) 1 ,
,
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, 由此
) ( P 。 一 乙
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注 意 y 是 N 中的任 意 向量 , 故 知 p 。 二 各 从 而
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言 b = I 。 e + P 二
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把 其 k 阶主 子 式 之和 就 用 J * 表 示 之 。 关于 I , , J : 之 间 的关 萦 , 我们有
命题 1
助奴女宇 约 定 I I 。 二 1 ,
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矩 阵 A 的 第 讨于 ( 或 列 ) 元 素组 成的 向量 记 为 a ; , 再 记 b 二
, 二 兔 。 ) , 于是 方程 ( 1 ) 可 以 写 成
Ar
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其 中向量
飞 丈m “ 1 协 厂 奋 里卜、 乍r
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三-(1 p 。 一 、
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b 一 `
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第九章 欧氏空间 二次型(续)8
§1
欧氏空间定义与基本性质
到目前为止，我们一直都没有谈论向量的长度和夹角等度量概念。换句话说，我们在 线性空间里， 不讨论度量问题。 本章将在实数域上线性空间的基础上， 探讨向量的度量性质， 增加了度量性质的实数域上线性空间就改称为欧氏空间，严格定义如下： 定义 1.1 设 V 是实数域 上一个线性空间，在 V 中任意两个向量之间定义了一种运
1
, 则有
1
1
1
1
1.
从而
都是单位向量，为此，我们给出下面的定义：
设 V 是一个欧氏空间，如果 V , 满足 0, 那么称单位向量
定义 1.4
1
为非
零向量 的单位化向量，而把由非零向量 出发，经过计算向量 的长度 , 再用计算出 的长度的倒数
正交或者互相垂直，记作 . 注 按定义，结合推论 1.1 可见，空间 V 中的零向量与任意向量（包括自身）正交； 进
一步，根据定义 1.1 中的条件 4）可见，只有零向量才与自身正交。一般而言，零向量与其 它向量之间的正交是平凡的，对于两个非零向量，有：
4
定理 1.3
两个非零向量正交 ,
, 应有 t ((,,)) 0,
利用柯-布不等式，可以定义两个非零向量之间的夹角如下： 定义 1.5 设 V 是一个欧氏空间， 如果 , V , 满足 0, 0, 用符号 , 表
示两个非零向量之间的夹角，并且规定：
n T T T n
于任意 ( a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) , 定义通常内积如下
二次曲面的几个性质
经计算可知 R = 算得
c c R S= 因此 -= x 1 S
2
∫ ∫ ∑
2 c 0
xd ∑ = d h0
1
m 2 - n2 si n2 2 θ xd e ( D 是∑ 在 xOy 面上的投影 ) c R D
∫ ∫
=
1 c
∫ ∫ ι+
x0
R co sθ r coshm + n si n2 θ
x0 R si n θ r sin h r dr = ι m - n si n2 θ
2 4 2 2
+ 记 R=
( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) m - n sin2 θ
( a2b4c 2x 0 cosθ + a4b2 c2 y 0 si n θ )2 ( a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 si n θ )2 4 4 2 4 4 2 + + a b z0 - a b c m + n si n2 θ m - n sin2 θ a 4b4z 2 0 (ι - 1) x2 0 y2 0 z2 0 . 其中 ι = 2+ 2 + 2 (由此可知当 ι > 1时才能引切线 ) , 经计 ι a b c x2 0 y2 0 z2 0 4+ 4 + 4 a b c , z 0 ≠ 0 m 2 - n2 sin2 2 θz0
2
2
定理 5 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引双叶双曲面 x 2 - y 2+ z 2 = - 1的切线 , 此点与坐标原点 a b c 的 连 线 必 过 由 切 点 围 成 的 平 面 图 形 的 重 心 (形 心 ) x0 y0 z0 x 0 y0 z 0 , - , 其中 ι = 2 - 2+ 2 . ι ι ι a b c 证明方法与前面一样 , 但应注意到 - 1 <ι < 0. 对于锥面 ,切点不能围成封闭域 , 所以形心不存在 .
几种常用的二次曲面与空间曲线(1)
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
的交线 三个坐标面的投影。
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
xoy平面的投影柱面，因此交线在xoy面的投影曲线：
C :
x 2y2
它是xoy面上的一条抛物线。
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
二次曲面
(1) 平面
y x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
(4) 椭圆柱面
x 2 y 2 R2
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 2 1 2 a b
空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
（1）球面
2 2 2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z 1
x y z
2 2Biblioteka x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线， 垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
高数课件30空间几何5二次曲面
聚焦和散射： 二次曲面可以 用于聚焦和散
射光线
成像和投影： 二次曲面可以 用于成像和投
影
光学器件设计： 二次曲面可以 用于设计光学 器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟 巢等 工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼 设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在 空间中具有二 次方程的曲面
应用：二次曲 面在微分几何 中常用于描述 曲面的性质， 如曲率、挠率
等
例子：二次曲 面在微分几何 中的应用包括 球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射： 二次曲面可以 模拟光线的反 射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到 投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲 线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性 质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中 的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中 的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的 联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型 二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示 二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算 二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离 旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度 缩放变换：改变二次曲面的大小和形状 反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射 复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果
第四讲 欧氏空间和二次型
第4章 欧氏空间和二次型§4.1 内积和欧氏空间§4.1.1 内积定义在二维和三维的几何空间中，我们用向量的内积（或称点积）来表示向量的长度和夹角。
设123123(,,),(,,)a a a b b b αβ==，定义内积：||||cos ,αβαβαβ⋅=〈〉内积的坐标表示：112233(,)a b a b a b αβ=++ 易于内积定义推广到nR向量长度：||α=两向量夹角：cos ,||||αβαβαβ⋅〈〉==. 为了定义线性空间中向量的长度等，先要引进内积的定义。
定义1 设V 是实数域R 上的一个线性空间. 如果在V 上定义了一个二元实函数αβ(,)，任取 ,,,V k R αβγ∈∈，它满足● 对称性 (,)(,)αββα=； ● 线性性 (,)(,)k k αβαβ=； (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；● 正定性 (,)0αα≥，且当且仅当0α=时(,)0αα=，则称函数(,)αβ为向量,αβ的内积。
在实数域R 上，定义了内积的的线性空间V 称为欧几里得（Euclid ）空间（简称欧氏空间），记为E(R)。
内积的基本性质 （1）(0,)0β=； （2）(,)(,)k k αβαβ=； （3）(,)(,)(,)αβγαβαγ+=+；（4）1111(,)(,)r s r si ijji jiji j i j u v u v αβαβ=====∑∑∑∑.注: (1) (0,)(0,)0(,)0βαβαβ===; (2) (,)(,)(,)(,)k k k k αββαβααβ===; （4）112211111(,)(,)(,)(,)r s s ssi ijjjjjjr r j j i j j j j u v u v u v u v αβαβαβαβ======+++∑∑∑∑∑11(,)r si jiji j u v αβ===∑∑例 4.1.1 对于实数域上任何一个n 维线性空间V ，取定V 的一组基12,,,n ααα⋯。
二次曲面(2012)
2 2
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
高等数学 7-9二次曲面
y2 0, y1 , 1 它的轴平行于 z 轴，顶点 2q
（3）用坐标面 yoz ( x = 0) ， x = x1 与曲面相截均可得抛物线. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论. 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y
z
x
p < 0, q < 0
特殊地：当 p = q 时，方程变为
章 节 题 目
第九节
椭球面、抛物面、双曲面的方程 几个常见曲面的特性
二次曲面
内 容 提 要
讨论二次曲面性状的截痕法 重 点 分 析
二次曲面的特性 难 点 分 析
习 题 布 置
备 注
1
教
学
内
容
一、基本内容 二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． （一）椭球面
2
x2 y2 z 2 (1) a = b, 2 + 2 + 2 = 1 旋转椭球面 a a c
由椭圆
x2 z 2 + = 1 绕 z 轴旋转而成． a 2 c2
x2 + y2 z 2 + 2 =1 a2 c
方程可写为
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z = z1 ( | z1 |< c) 的交线为圆.
与平面 z = z1 的交线为椭圆.
2 x2 y2 z1 2 + 2 = 1+ 2 a b c z = z 1
当 z1 变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上. （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线.
8-8二次曲面
a2 b2 c2 含两个直母线系 直纹面在建筑学上有广泛的应用 例如，冷却塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的．
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
2-6 二次曲面
上页 下页 结束
6.1 压缩法
向 xz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换
即 M(x, y, z) M(x, ky, z) . 对一个图形作向 xz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩. 向 yz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换 即 M(x, y, z) M(kx, y, z) . 对一个图形作向 yz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩. 注: 系数 0< k < 1 时是真正意义的压缩, k > 1时 实际上是拉伸, 以后统称为压缩.
由此易知 l1// l2 l1 // l2 .
上页 下页 结束
6.1 压缩法
x y z (1) 椭球面 2 2 2 1 的图形是由单位球面 a b c x 2 + y 2 + z2 = 1 经过三次压缩得到的图形: 向 yz 平面做系数为 a 的压缩; 向 xz 平面做系数为 b 的压缩; 向 xy 平面做系数为 c 的压缩. 注: 一个图形如果在空间直角坐标系内有方程 x2 y2 z 2 2 2 1, 则称这种图形为椭球面. 2 a b c
上页 下页 结束
2
2
2
2
6.1 压缩法
x2 y2 2 2 z 的图形 椭圆抛物面 2 a b
上页
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结束
6.2 对称性
关于坐标面对称
在直角坐标系中, 如果一个图形的每一点关于 某坐标平面的对称点也在此图形上, 称图形关于 此坐标平面对称. 点M(x, y, z)关于 xy面, xz面, yz面的对称点分别为 (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z), 于是, 如果图形的方程中 z 只以平方项出现, 则它关于 xy 面对称. y 只以平方项出现, 则它关于 xz 面对称. x 只以平方项出现, 则它关于 yz 面对称.
6.1 压缩法
向 xz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换
即 M(x, y, z) M(x, ky, z) . 对一个图形作向 xz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩. 向 yz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换 即 M(x, y, z) M(kx, y, z) . 对一个图形作向 yz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩. 注: 系数 0< k < 1 时是真正意义的压缩, k > 1时 实际上是拉伸, 以后统称为压缩.
由此易知 l1// l2 l1 // l2 .
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6.1 压缩法
x y z (1) 椭球面 2 2 2 1 的图形是由单位球面 a b c x 2 + y 2 + z2 = 1 经过三次压缩得到的图形: 向 yz 平面做系数为 a 的压缩; 向 xz 平面做系数为 b 的压缩; 向 xy 平面做系数为 c 的压缩. 注: 一个图形如果在空间直角坐标系内有方程 x2 y2 z 2 2 2 1, 则称这种图形为椭球面. 2 a b c
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2
2
2
2
6.1 压缩法
x2 y2 2 2 z 的图形 椭圆抛物面 2 a b
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6.2 对称性
关于坐标面对称
在直角坐标系中, 如果一个图形的每一点关于 某坐标平面的对称点也在此图形上, 称图形关于 此坐标平面对称. 点M(x, y, z)关于 xy面, xz面, yz面的对称点分别为 (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z), 于是, 如果图形的方程中 z 只以平方项出现, 则它关于 xy 面对称. y 只以平方项出现, 则它关于 xz 面对称. x 只以平方项出现, 则它关于 yz 面对称.
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
Байду номын сангаас
变换叫做转轴（坐标旋转）．
x x cos y sin y x sin y cos
y'
y P x' j' j i' O i
( 为坐标轴的旋转角 )
x
3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
空间二次曲面的欧式性质资料
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椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
截口法
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
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z
c
o a
x
by
返回
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是
对称的
椭球面
x2 a2
y2 b2
空间二次曲面的欧式性质
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
z
o
y
x
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二、双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面 z
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o
y
x
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双曲面及其渐进锥面
双叶：x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
渐进锥面：x 2
a2
y2 b2
z2 c2
0
单叶：x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
在平面上，双曲线有渐进线。
相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
第八节二次曲面
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
z
x
y
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
机动
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(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 y y1上的截痕情况:
2
2
2
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
机动
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结束
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
2
y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
机动
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结束
z
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
( p, q 同号)
第八章习题
习题81: 2，4 习题82: 6，8，10，13，14 习题83: 1，2，7，10 习题84: 2, 4， 8(1, 4) 习题85: 5, 7, 8 习题86: 1,3, 4, 6,7, 9 习题87: 1, 4, 5, 8,10,12 习题88: 2(1, 4)
2 2 2 y1 2
z
x
y
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
机动
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(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 y y1上的截痕情况:
2
2
2
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
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2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
2
y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
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z
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
( p, q 同号)
第八章习题
习题81: 2，4 习题82: 6，8，10，13，14 习题83: 1，2，7，10 习题84: 2, 4， 8(1, 4) 习题85: 5, 7, 8 习题86: 1,3, 4, 6,7, 9 习题87: 1, 4, 5, 8,10,12 习题88: 2(1, 4)
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空间二次曲面的欧式性质
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
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（3）用坐标面 yoz ( x 0，与曲面相截 )
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
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二、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
o x
y
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双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
பைடு நூலகம்
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双曲面
一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0)与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
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与平面 z z1的交线为椭圆.
x
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y
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z
双 曲 抛 物 面
x
0
y
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2 2 x z z 轴旋转而成． 由椭圆 绕 2 1 2 c a y 0 x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
2
2
2
z
机动
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结束
椭球面与平面 z z1的交线为椭圆
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c z ) ( c z 2 1 1) 2 c c z z1 | z | c
1
同理与平面 x x1和 y y的交线也是椭圆 . 1 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2
2
2
(2)范围：
x a,
y b,
z c
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x y z 为正数) 1 ( a , b , c a2 b2 c2 与 z z1 ( z1 c ) 的交线为椭圆： (3) 形状:
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椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
截口法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
c
o
b
y
用x = n截曲面
x
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a
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x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是 对称的
2 x2 y2 z1 当 z1变动时，这种椭圆 2 2 1 2 b c a z . 的中心都在 轴上 z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0与曲面相截 )
截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
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实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。
2 2 2
z
o
y
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双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z a b
( a , b>0)
z
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z1( | z1 | c ) 的交线为圆.
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2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
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（3）用坐标面 yoz ( x 0，与曲面相截 )
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
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二、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
o x
y
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双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
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双曲面
一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0)与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
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与平面 z z1的交线为椭圆.
x
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y
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z
双 曲 抛 物 面
x
0
y
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2 2 x z z 轴旋转而成． 由椭圆 绕 2 1 2 c a y 0 x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
2
2
2
z
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椭球面与平面 z z1的交线为椭圆
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c z ) ( c z 2 1 1) 2 c c z z1 | z | c
1
同理与平面 x x1和 y y的交线也是椭圆 . 1 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2
2
2
(2)范围：
x a,
y b,
z c
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x y z 为正数) 1 ( a , b , c a2 b2 c2 与 z z1 ( z1 c ) 的交线为椭圆： (3) 形状:
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椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
截口法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
c
o
b
y
用x = n截曲面
x
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a
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x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是 对称的
2 x2 y2 z1 当 z1变动时，这种椭圆 2 2 1 2 b c a z . 的中心都在 轴上 z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0与曲面相截 )
截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
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实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。
2 2 2
z
o
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双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z a b
( a , b>0)
z
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z1( | z1 | c ) 的交线为圆.
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2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .