《微积分(经管类)》试卷
2012浙江省高等数学微积分竞赛（经管类）含答案.
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题经管类一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限lim log ()abx x x x →+∞+。
2．设()sin ax f x e bx =（,a b R ∈为常数），求()(0)n f 。
装 订 线3．计算 0sin d n x x x π⎰（n 为正整数）。
4．求积分2241d 1x x x x+++⎰5．设函数21()2af x x x=+，0x >，常数0a >，试求最小的常数a ，使得()6f x ≥。
二、（满分20分）证明：111ln 1lnni n n n i =+<<+∑，n +∈三、（满分20分）求2211(21)2nn nn C n ∞=-∑的值。
四、（满分20分）在草地中间有一个半径为R 的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为,(02)kR k <<，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）（1）求极限lim 2coscos cos 482n n n πππ→∞（2）证明2π=经管类一、计算题 1、若a b ≥l i m l o g (a b x x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab a x xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b <时，l i m l o ga b x x x x →+∞+b=，所以l i m l o g a b x x x x →+∞+m a x (a b = 2、解：()sin cos ax ax f x ae bx be bx e bx bx ⎫'=+=+⎪⎭)()cos sin sin cos sin ax e bx bx bx θθθ=+=+arcsin θ⎛⎫==⎝同理)()sin()cos()f x ea bxb bx θθ''=+++22()sin(2)ax a b e bx θ=++可得()()()()()()/2/222()22sin()0sin()n n nax n f x a b e bx n f a b n θθ=++⇒=+3、解：sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解：2442222121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++-()()22242221111111d d d 121121/23/41/23/4x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭++-+⎝⎭⎰⎰⎰1r c t a r C =5、解：2()0a f x x x '=-=0x = 032()10a f x x ''=+> ()f x ∴f==6= 即8a =时 ()6f x ≥，且在02x =时，(2)6f = 所以min 8a =二、证明：显然11111d d j j jj x x x j x+-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、解：[]2222221221(2)!(22)!(22)!1(21)2(21)2(!)2!(1)!22(1)!nn n n n n n n n C n n n n n nn ----===---- 而2212(21)122n n n n -=- 122222222111(21)222nn nn n n nn n C C C n ---∴=-- 而22102nn n C → ∴原级数1=四、解：以过拴羊点与池塘圆心为x 轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为222()x R y R -+=而羊能跑的最大圆周为2222x y k R +=，易知在22R x k =时，两圆有两个交点2222012d 2R k S k R x π∴=+⎰222222arcsin (arcsin 22x x R R k R k R x R R k kR R π-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭2222arcsin 22k k R k R π=+222221arcsin 14222k k R R R π⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222arcsin arcsin 12222k k k R R k R R ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭五（1）解：cos cos cos cos cos cos sin /sin 48248222n n n n n πππππππ=1121111cos cos cos sin cos sin 4822442sin 2sin 2sin 222n n n n n n nn ππππππππ----===∴原极限22lim2sin2n n nππ→∞==（2）cos4π=c o s 8π===c o s 2n π==2cos cos cos 482n ππππ==书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉——库法耶夫书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯书籍便是这种改造灵魂的工具。
微积分经管类试题
微积分习题适用专业 经管类各专业1. 下列等式成立的是（ ）.A. 1ln =xdx dx B. 211=-dx d x xC. cos sin =xdx d xD. 211=dx d x x2.下列结论正确的是（ ）.A. 初等函数必存在原函数；B. 每个不定积分都可以表示为初等函数；C. 初等函数的原函数必为初等函数；D. A ，B ，C 均不正确 3. 函数()f x =x sin ，则dx x f x )('⎰=（ ）A. c x x x +-sin cosB. c x x x ++sin cosC. c x x x ++cos sinD. c x x x +-cos sin 4. 下列积分中，值为1的是 （ ）A ．1⎰xdx B ．()101+⎰x dx C ．1⎰dx D ． 1012⎰dx 。
5. 函数)(x f 连续，⎰+-=ax ax dt t f a x F )(1)(（a >0），则=')(x F （ ）A ． )]()([1a x f a x f a --+ B. )(1a x f a --C. )]()([1a x f a x f a -++D. )(1a x f a+6. 设函数yxy x f arcsin),(=，则)1 (，x f x '= （ ） A ．221x x -； B ．)1(21x x +； C ．x ； D ． x11+。
一、单项选择（每小题 3分，共 45分）7. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 在[],a b 上有界，则()f x 在[],a b 上一定可积；B. 函数()f x 在[],a b 上无界，则()f x 在[],a b 上可能可积；C. 函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上一定有界；D. 函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上不一定有界。
经管微积分练习题
一、选择题： 1.|5|lg 1)(-=x x f 的定义域是（ ）);,5()5,)((+∞-∞ A );,6()6,)((+∞-∞ B);,4()4,)((+∞-∞ C ).,6()6,5()5,4()4,)((+∞-∞ D2.下列关系中，是复合函数的是（ ）.cos )(;2sin )(;2)(;sin )(2x y D x y C e x y B x x y A x =-==+=3. 设,1x )f(e x +=则)(x f =（ ）（A ）C x ++ln 1 （B ）C x x +ln (C)C x x ++22(D)C x x x +-ln . 4. 如果函数)(x f 的定义域为[1，2]，则函数)()(2x f x f +的定义域是（ ）]2,1[]1,2)[(]2,2)[(]2,1)[(]2,1)[( ---D C B A二、填空题： 1 设xxx f +=1)(，则)]([x f f =________________. 2.)5ln()(+=x x f 的连续区域是____________________. 3. 函数21arccos-=x y 的定义域是________________. 4. 设)2ln(1)(++=x x f ，函数定义域为_______________.5. =+x x arccos arcsin ._________________6. )5ln()(+=x x f 的连续区域是____________________.7.函数21arccos-=x y 的定义域是________________.一、选择题2．=--→2|2|lim2x x x （ ）(A) -1 (B) 1 (C)∞ (D) 不存在.5．=→xx x ||lim0（ ）)()(1)(1)(D C B A ∞-不存在.6．=--→1)1sin(lim1x x x （ ）（A ）1 （B ）2 (C)21(D) 0 . 7. 函数)(x f 在0x x =处有定义是当0x x →时)(x f 有极限的（ ）（A ）必要条件 （B ）充分条件 (C)充要条件 (D) 无关条件.8．=→xx x 1sinlim 0（ ） （A ）0 （B ）1 (C) 2 (D)不存在10．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） （A ）1 （B ）2 (C)21(D) 0 .二、填空题：1. 当_______→x 时，函数2)1(1-=x y 是无穷大量. 3. 设函数211xy -=，则间断点及其类型是._________________ 4.若432lim23=-+-→x kx x x ，则_______=k . 5.____________11lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x .6.设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=02302sin )(2x kx x x xx x f （其中k 为常数），则_______=k 时，函数)(x f 在其定义域内连续. 7.____________1sinlim 0=→xx x .. 8.____________arctan lim =+∞→x x .11 =--→2|2|lim2x x x ._________________12. ____________21lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x13.____________x1cosx lim 2x =→ 三、计算题： 3.22234lim35n n n n n →∞-++-. 6.2102lim 2xx x -→-⎛⎫⎪⎝⎭. 7.)21812(lim 32xx x ---→ 8. 求函数23122+--=x x x y 的间断点，并判断其类型9. 0sin 3lim sin 2x x x →. 10.21sin(1)lim 1x x x →--.四、证明题：1.证明：方程135=-x x 在区间)2,1(上至少存在一个实根. 2证明135=-x x 在1和3之间至少存在一个实根。
微积分(经管类)14-15-1期末试题答案202212
微积分（经管类）14-15-1期末试题答案202212学院-------------------------------专密封业线班学----------------------------------------号密封线姓----------------------------------------名密封线---------------------------------------天津工业大学（2022—2022学年第一学期）《微积分（经管）》期末试卷（A卷）(2022.1理学院)满分21307888810题目一二三四五六七八总分复核得分评阅人一．满分21填空题(每空3分,请将答案写在空格处)得分e某31、求极限lim1某01co某(1co某)4。
co某2、设y2某2(某1)的第一类间断点为：某1。
3、设f(某0)0存在，且当某0时，f(某0某)f(某0)与A某是等价无穷小，则常数Af(某0)。
4、积分15某21in某co某某41某2d某=16。
5、函数y某arcin某in(tan某)的微分dy[arcin某某1某2ec2某cotan某]d某。
《微积分（经管）》第1页共8页装订线装订线装订线6、函数y某某(某1)(某2)的水平渐近线为y1。
7、生产某产品的固定成本C0，边际成本和边际收益分别为MCq214q111，：MR100-2q，求厂商利润表达式（只列式子不计算）L(q)1002qq214q111dqC0。
0q满分30二.求下列各题(每小题5分，共30分）得分1、2(某lim某1(a某b))0，求常数a,b的值。
某1tt2abt1解：令某，代入已知等式有lim0，t0tt2从而必有lim(1ttabt)0，即得：a1.t012(tt)1tt1bt12此时，原式limlimbb0，t0t0tt21b.22某2a2、lim8，求常数a。
某某a某某2a某3a3a某a某)lim(1)e3a8，解：由lim(某某a某某a得aln2．某a3a《微积分（经管）》第2页共8页3、设yy(某)是由某yeye确定隐函数，求y(某),y(0)。
微积分经管类第五版复习题
微积分经管类第五版复习题微积分是经管类学生必修的一门重要课程，它涉及到经济学、管理学等领域的数学应用。
为了更好地掌握微积分的知识，很多学生会选择使用教材中的复习题进行巩固和提高。
本文将对《微积分经管类第五版》中的复习题进行一些讨论和解析，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
在复习题中，我们可以看到很多与经济学和管理学相关的问题。
比如，在求解极值的问题中，经济学中的最优化问题经常出现。
通过求解函数的极值，我们可以找到某个经济模型中的最优解，从而得出经济决策的依据。
这种思维方式在管理学中也有广泛的应用，可以帮助我们优化资源配置、提高效率等。
除了极值问题，微积分还可以用来解决一些与变化率相关的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要计算某个经济指标的增长率。
通过微积分中的导数概念，我们可以求得某个函数在某一点的斜率，从而得到该点的变化率。
这对于分析经济数据的趋势和变化具有重要意义，可以帮助我们更好地理解经济现象和制定政策。
另外，微积分还可以用来解决一些与累积相关的问题。
在经济学中，我们经常需要计算某个经济指标的总量。
通过微积分中的积分概念，我们可以求得某个函数在某个区间内的累积值，从而得到该区间内的总量。
这对于计算经济指标的总和、面积、平均值等具有重要意义，可以帮助我们更好地评估经济状况和制定经济政策。
除了经济学和管理学，微积分在其他领域也有广泛的应用。
比如，在物理学中，微积分可以用来描述物体的运动和力学规律；在生物学中，微积分可以用来描述生物体的生长和变化；在工程学中，微积分可以用来解决工程问题中的优化和控制等。
因此，掌握微积分的知识对于广大学生来说都是非常重要的。
在复习题中，我们还可以看到一些与微积分的应用相关的问题。
这些问题往往是实际问题的抽象和简化，通过求解这些问题，我们可以更好地理解和应用微积分的知识。
比如，在求解最优解的问题中，我们可以通过求解函数的导数和二阶导数来判断函数的凹凸性和拐点，从而找到函数的极值点。
经管类数学真题及答案解析
经管类数学真题及答案解析作为经管类学生，数学是一个必修的科目，除了课堂上的学习，不少同学也会参加一些经管类数学竞赛，或是研究一些与经管类学科相关的数学问题。
在此，我将为大家提供一些，帮助大家更好地理解和掌握这些数学知识。
（一）线性代数1. 题目：设A为n阶方阵，满足A-3I的秩为1，其中I为n阶单位矩阵，求A的秩。
解析：题目中已经给出了A-3I的秩为1，根据秩的性质，我们可以知道rank(A-3I)≤rank(A)+rank(-3I)，即rank(A-3I)≤rank(A)+rank(I)。
因为秩的性质还可以得到rank(A-3I)≥rank(A)+rank(I)-n。
又因为rank(I)=n，所以rank(A-3I)≥rank(A)-n。
而本题中rank(A-3I)=1，所以1≥rank(A)-n，从而可以得到rank(A)≥n-1。
因此，A的秩至少为n-1。
2. 题目：设A是一个n行k列的矩阵，其中n>k，证明存在一个非零n维向量x，使得Ax=0。
解析：题目中给出了n行k列的矩阵A，其中n>k，我们可以知道A的列向量个数小于A的行数。
根据向量数量关系的基本知识，我们可以得到一个结论：A的列向量不可能张成整个n维空间。
而根据线性代数的基本理论，我们知道一个n维空间中存在一个非零向量x，使得Ax=0。
因此，根据题目条件，可以得出存在一个非零n维向量x，使得Ax=0。
（二）微积分1. 题目：求函数f(x)=x^3在区间[1,2]上的凸凹性和拐点。
解析：首先，我们求f''(x)=6x，然后我们可以得到f''(x)≥0，即函数f(x)=x^3在区间[1,2]上是凹的。
其次，我们求f'''(x)=6>0，函数f(x)=x^3没有拐点。
2. 题目：函数f(x)在区间[1,3]上连续，且在该区间内f'(x)>0，那么在该区间内f(x)是递增函数还是递减函数？解析：根据题目已知条件，可以得到f'(x)>0，即函数在区间[1,3]上的导数大于0，也就是说函数的斜率大于0。
(整理)经济数学-微积分期末考试试卷与答案
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43939)(22x x x x x f 的定义域是（A ）；(A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(-2. 函数214y x =-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-5.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1s i n11()()s i n()()t a n1x x A B x C D x x xe + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）；2221()()()2()(3)A xB C x D x x -+10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f xx ∆∆--∆+→2)2()2(lim000＝（C ）； 00001()4()()3()()2()()()2A fx B f x C f xD f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ）(A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin12.下列极限中，极限值为e的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13. 若ln xy x =，则dy ＝（D ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x x x xA B C dx D dx x x xx---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分） 1.xex x y -+-=1121，求y '解：)11()1(1)()1(1122112'-+'-+-='+'-='--xex x x ex x y xx2112211222)1(1)1(1221x e x x e x x x xx--+-=--+--+-=-- ２分 7分2. 求极限 xx x 12)1(lim +∞>- 解：1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(12222=====++++∞→∞→∞→∞→e ee ex x xx x xx x xx x x 3. 求曲线1204=+-y x x y 在1=x 对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得 020*******3='++-'y y x yx y ，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==5. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x x x -'''''====±++令得２分５分７分３分６分 ７分2分２分5分7分6. 求⎰dx xx tan解：⎰⎰⎰+-=-==c x x d x x d xx dx xx cos ln 2cos cos 12cos sin 2tan 7. 求 ⎰xdx e xsin解：⎰⎰⎰⎰-=-==x x x x x x xde x e xdx e x e xde xdx e cos sin cos sin sin sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin 移项可得c e x x xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 8. 已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2x x f e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x xx x xux x xx xx x x xx xf x xe exee x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e c x e c x e c ----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三.证明题（本题6分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分７分6分６分7分2分4分7分5分7分2分证明：0a =时，(0)0f = ()()()f a b f b fa f b∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()(f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）四．应用题（本题8分）设生产t 个产品的边际成本为t t C 2100)(+='，其固定成本（即0=t 时的成本）为100元，产品单价规定为500=P 元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最大利润是多少？解：由已知，边际成本c t t dt t dt t C t C ++=+='=⎰⎰100)2100()()(2由固定成本为100，可得100100)(02=--==t t t t C c于是有：成本函数：100100)(2++=t t t C 收入函数：t t R 500)(=利润函数：100400)100100(500)()()(22-+-=++-=-=t t t t t t C t R t L 由04002)(=+-='t t L ，得唯一驻点2000=t ，又由02)(<-=''t L ，可知，驻点0t 是极大值点，同时也是最大值点。
《微积分(经管类二)-1》(第一学期)
1[单选题]参考答案: D 我的答案: D 2[单选题]<p>2</p>参考答案: B 我的答案: A 3[单选题]1参考答案: B 我的答案: B 4[单选题]参考答案: D我的答案: C5[单选题]下列微分方程中是齐次方程的是（）。
参考答案: A 我的答案: C 6[单选题]跳跃间断点可去间断点无穷间断点不是间断点参考答案: C我的答案: C7[单选题]<p>绝对收敛</p><p>条件收敛</p><p>发散</p><p>无法确定</p>我的答案: C8[单选题]下列函数中，那个不是映射（）我的答案: B 9[单选题]参考答案: C 我的答案: C 10[单选题]参考答案: B 我的答案: B 11[单选题]参考答案: B 我的答案: B 12[单选题]参考答案: A 我的答案: C 13[单选题]1参考答案: A 我的答案: A 14[单选题]10461参考答案: B 我的答案: B 15[单选题]参考答案: B我的答案: B16[单选题]（0,lg2）<p>（10,100）</p>（1,2）参考答案: C 我的答案: C 17[单选题]参考答案: C 我的答案: B 18[单选题]12参考答案: D我的答案: D 19[单选题]<p>1</p><p>0</p>参考答案: A 我的答案: A20[单选题]参考答案: D 我的答案: D 21[单选题]参考答案: D 我的答案: D 22[单选题]参考答案: C 我的答案: C 23[单选题]参考答案: D 我的答案: D 24[单选题]参考答案: C 我的答案: C 25[单选题]参考答案: C 我的答案: C 26[单选题]37参考答案: C 我的答案: A 27[单选题]<p>0</p>参考答案: B我的答案: B28[单选题]下列级数中条件收敛的是（）。
《微积分2》(经管大类A卷)试卷版 修改版
y 2 z 2 ) 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导数为 0.5
yz xz xy , 得 x y z 1, 所以切平面方程为 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 1 1 1
x 1 y 5 z 8 x y 6, 21. 设有直线 L1 : 与 L2 : 则 L1 与 L2 的夹角为∏/3 1 2 1 2 y z 3,
2 2
8. 曲面 x 2 y 3z 21在点 A(1, 2, 2) 的法线方程为 x-1=(y+2)/(-4)=（z-2)/6
2 2 2 2 3 9. ( 单项选择题 ) 在曲线 x t , y t , z t 的所有切线中 , 与平面 x 2 y z 4 平行的切线
b a
π[m f ( x) g ( x)][ f ( x) g ( x)]dx
A卷 第 3 页 ( 共 4 页 ) 24. 若函数 u f (t , x, y), x (s, t ), y (s, t ) 均具有一阶连续偏导数, 则
u t
28. 设方程 y F ( x 2 y 2 ) F ( x y) 确定隐含数 y f ( x) (其中 F 可微), 且 f (0) 2,
3 A. F (3) F ( 2) 4
C. F (3)
5 B. F (3) F (2) 4
D. F ( 3)
经管类微积分(上)参考答案
经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章 函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二 一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。
五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章 测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章 导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ． 五、212x +. 第三章 测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章 中值定理与导数的应用 习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章 测验题 一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章 不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21． 三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31． 二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2． 二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(． 四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2． 五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章 定积分及其应用习题一 一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22． 五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ． 三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727． 五、10/100Q Qe -． 六、31666． 七、1．2； 2．2ln 21．。
2021数学(经管类)参考答案
2021高等数学（微积分）竞赛试题参考答案经管类一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos lim x n x→-其中为正整数。
21cos cos x x -=+0012x x →→=+01122x n→+=+= 2．设(2015)1()ln(),(1)xf x t x dt f =+⎰求的值。
解：21()ln()xxf x t dt +=⎰()2ln(2)ln(1)()2/1/(1)f x x x f x x x '''⇒=-+⇒=-+(2)11(2015)2014()(1)2013!(1/22)n n n n f x n x x f +++⇒=--+⇒=-。
3．求平面0x y z ++=与椭球面22241x y z ++=相交而得的椭圆的面积。
解：椭圆的长、短半轴与椭圆的交点处的切线垂直。
设交点为000(,,)x y z 切线方向为000{,,4}x y z {1,1,1}⨯，与半轴方向为000{,,}x y z 垂直 所以000()0x y z -= 又000(,,)x y z 在平面与椭球面的交线上22222000000000 0, 4()1z x y x y x y x y ⇒=--⇒-=+++=当00x y =时 20018 16x x =⇒= 当00x y =-时2002 1x x =⇒=±四个交点为,(,663663---3 椭圆的面积Ｓ3=4．求定积分220sin 1cos x xdx xπ+⎰解：222220sin ()sin sin sin 1cos 1cos 1cos 1cos x t x x t t t t t dx dt dt dt xt t t ππππππππππ=+---+==+++++⎰⎰⎰⎰令22sin 2sin 1cos 1cos tt dt dt ttπππππ-==++⎰⎰2π= 5．求函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处的30次泰勒多项式。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷12(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷12(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />不存在，这表明当x→0时，无穷小量xsin1／x的阶不能与x的阶进行比较，因此排除D．知识模块：微积分5．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．1／2B．1C．2D．e正确答案：C解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑．由于f(x)存在，则e2／a=e，可得a=2．故选C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，简化运算．相仿知识模块：微积分6．设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，则( )．A．a=2，b=－1B．a=2，b=1C．a=－1，b=2D．a=1，b=2正确答案：A解析：由题设，点x=－1与x=1为f(x)的分段点，在(－∞，1)，(－1，1)，(1，+∞)内f(x)都是初等函数，皆为连续函数．只需考查f(x)在x=－1与x=1处的连续性．(x2+ax+b)=1－a+b．若f(x)在x=－1处连续，则应有1－a+b=－2，即a－b=3．①又(x2+ax+b)=1+a+b，当f(x)在x=1处连续时，应有1+a+b=2，即a+b=1．②联立①②得方程组解得a=2，b=－1．故选A．知识模块：微积分7．设函数f(x)=，讨论f(x)的间断点，其正确的结论为( )．A．不存在间断点B．存在间断点x=1C．存在间断点x=0D．存在间断点x=－1正确答案：D解析：所给问题为判定函数f(x)的间断点．由于f(x)以极限的形式给出，因此应该先求出f(x)的表达式．由题设，得可知f(x)为分段函数，分段点为x=－1，x=1．画出草图易知x=－1为其唯一间断点．故选D．知识模块：微积分8．若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．A．－2f’(0)B．－f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：D解析：由于=f’(0)－f’(0)=0．故选D．知识模块：微积分9．设函数f(x)=其中g(x)为有界函数，则在点x=0处f(x)( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f(x)在分段点x=0两侧函数表达式不同，考虑：可知f(x)=f(0)，因此f(x)在x=0处极限存在且连续，应排除A，B．又由单侧导数的定义，有可知f’－(0)≠f’+(0)，从而f’(0)不存在，故选C．知识模块：微积分10．设函数f(x)=(x－1)(x－2)…(x－10)，则f’(1)=( )．A．9!B．－9!C．10!D．－10!正确答案：B解析：利用导数定义．=(x－1)(x－2)…(x－9)=(－1)99!=－9!．故选B．知识模块：微积分11．设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)=( )．A．eB．1／eC．－1／eD．－e正确答案：B解析：首先应求出ξn，进而得到f(ξn)，最后求出极限值．因为ξn是曲线在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标，即x轴截距，所以还需从切线方程入手．注意点(1，1)在曲线f(x)=xn上．由于f’(x)=nxn－1，所以过点(1，1)的切线斜率k=f’(1)=n．切线方程为y－1－=n(x－1)，令y=0，代入切线方程，求得的x 值就是ξn．所以ξn=1－，f(ξn)=(1－)n，故=e－1=1／e．故选B．ξn的几何意义是说，随着n的增大，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点就越来越靠近点(1，0)．当n→∞时，切线的极限位置将是一条过点(1，1)且垂直于x轴的直线，此时切线的斜率k=∞．知识模块：微积分12．已知x=2是函数y=x3－ax+5的驻点，则常数a为( )．A．3B．6C．9D．12正确答案：D解析：当f’(x0)=0时，称x0为函数y=f(x)的驻点．由于y=x3－ax+5，y’=3x2－a，又x=2为y的驻点，故x=2时，y’=3x2－a=0，可得a=12．故选D．知识模块：微积分13．设y=f()，f’(x)=arctanx2则dy／dx|x=0=( )．A．－π／2B．－π／4C．π／4D．π／2正确答案：D解析：dy／dx=f’(u)．u’=arctanu2．当x=0时，u=－1．因此dy／dx|x=0=arctan(－1)2．=π／2．故选D．知识模块：微积分14．设f”(x)存在，y=sinf(x2)，则dy／dx=( )．A．xf’(x2)cosf(x2)B．－xf’(x2)cosf(x2)C．2xf’(x2)cosf(x2)D．－2xf’(x2)cosf(x2)正确答案：C解析：设y=sinu，u=f(v)，v=x2，则因此dy／dx=cosu．f’(v)．2x=2xf’(x2)cosf(x2)．故应选C．知识模块：微积分计算题15．正确答案：涉及知识点：微积分16．若=5，且当x→0时，f(x)与xa为同阶无穷小量，求a．正确答案：已知=5，可知=5+a(当x→0时，a为无穷小量)，即为非零常数，应有a+1=3，因此a=2．涉及知识点：微积分17．设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的极限．正确答案：当x→0－时，1／x→－∞，e1／x→0；当x→0+时，1／x→+∞，e1／x→+∞．因此需讨论f(x)在点x=0处的左极限与右极限．由于当x→0+时，－1／x→－∞，e－1／x→0，因此可知f(x)在z=0处的左极限与右极限都存在，但不相等，因此f(x)不存在．涉及知识点：微积分18．设当x→0时，－1与cosx－1为等价无穷小量，求常数a．正确答案：当x→0时，－1～a／2x2，1－cosx～x2／2，依题设，有因此a=－1．涉及知识点：微积分19．设函数f(x)=当a，b为何值时，函数f(x)在点x=0处连续．正确答案：由ln(b+x2)=lnb，若函数f(x)在点x=0处连续，应有a／2=lnb=1，所以a=2，b=e．涉及知识点：微积分20．讨论函数f(x)=．x的连续性．正确答案：由于函数f(x)是极限形式，所以先求出极限，化为分段函数，再讨论其连续性．当|x|＜1时，当|x|=1时，当|x|＞1时，型，分子、分母同除以x2n，f(x)的定义域为(－∞，+∞)．当x∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)时，f(x)为初等函数，在其定义区间内连续．注意到f(x)都不存在，x=－1和x=1是两个第一类间断点，故f(x)的连续区间为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)．涉及知识点：微积分21．设f(x)=，判定f(x)的连续性，指出间断点，并判别其类型．正确答案：当x=0，x=－1，x=1时，f(x)表达式的分母为零，f(x)没有意义．可知上述三点为f(x)的间断点．在(－∞，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，+∞)内f(x)皆为初等函数，因此皆为连续函数．可知x=－1为f(x)的第一类间断点，且为可去间断点．可知f(x)不存在．点x=0为f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点．可知点x=1为f(x)的第二类间断点，且为无穷间断点．涉及知识点：微积分22．设y=3tanx．sin1／x，求dy|x=1．正确答案：y’=3tanx．ln3．(tanx)’．sin+3tanx．cos1／x．(1／x)’=3tanx．ln3．1／cosx2．sin+3tanx．cos1／x．(－1／x2)=3tanx．ln3．1／cos2x．sin．3tanx．cos1／x．dy|x=1=y’|x=1dx=3tan1(ln3－cos1)dx．涉及知识点：微积分23．设y=，求y(n)．正确答案：求高阶导数关键在于将函数及y’，y”恒等变形，以寻找规律．由于=2(1+x)－1－1，y’=2．(－1)(1+x)－2，y”=2．(－1)．(－2)(1+x)－3，……可得y(n)=(－1)n2．n!(1+x)－(n+1)．涉及知识点：微积分24．求曲线xy=x2y在点(1，1)处的切线方程．正确答案：由于点(1，1)在曲线上，只需求出y’|x=1．所给曲线方程为隐函数方程，且为幂指函数形式．需将方程变形，以利于求y’．将方程两端取对数，得ylnx=ln(x2y)=2lnx+lny，两端关于x求导数，得将x=1，y=1代入上式可得1=2+y’|x=1得y’|x=1=－1．因此所求切线方程为y－1=－(x－1)，即x+y=2．涉及知识点：微积分25．设函数f(x)=问f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改函数在x=1处的定义，使之连续．正确答案：因为而f(1)=1≠f(x)，所以函数f(x)在x=1处间断．若要使之连续，需修改f(x)在x=1处的定义为f(1)=－4／π2，即涉及知识点：微积分26．设极限=4，求c的值．正确答案：易判定题设条件中只能c＞0．则涉及知识点：微积分27．求函数y=x3－x2－x+3的单调区间与极值．正确答案：y的定义域为(－∞，+∞)，y’=3x2－2x－1=(3x+1)(x－1)．令y’=0，得x1=－1／3，x2=1为y的两个驻点．当x＜－1／3时，y’＞0，可知y在(－∞，－1／3)内单调增加；当－1／3＜x＜1时，y’＜0，可知y在(－1／3，1)内单调减少；当x＞1时，y’＞0，可知y在(1，+∞)内单调增加．进而由上述分析知x=－1／3为y的极大值点，相应极大值为86／27；而x=1为y的极小值点，相应极小值为2．涉及知识点：微积分28．设方程x4+ax+b=0．(1)当a，b满足何种关系时，方程有唯一实根；(2)当a，b满足何种关系时，方程无实根．正确答案：设y=x4+ax+b，定义域为(－∞，+∞)．y在定义区间内为连续函数．且y’=4x3+a．令y’=0可得x=为y的唯一驻点．由y”=12x2，y”＞0，可知x=为函数y的极小值点．由y”＞0，可知在(－∞，+∞)内曲线为凹．且(x4+ax+b)=+∞，(x4+ax+b)=+∞，注意极小值y=(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b．(1)当ymin=0，即(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b=0时，y有唯一零点，即原方程有唯一实根．(2)当ymin＞0，即(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b＞0时，y没有零点，即原方程没有实根．涉及知识点：微积分。
微积分 经管类第四版 习题1-3答案
微积分经管类第四版习题1-3答案----3dc52de8-715e-11ec-a4d9-7cb59b590d7d微积分经管类第四版习题1-3答案微积分与LPAR；《经济学与管理》第四版&rPar；练习1-3的答案0.15x，0x501、f(x)7.50.25(x50)，x502.P 300700 779.46（元）5（1） 7%) (1 7%)3、市场均衡时，qd qs2040便士, 所以p 5，QD QS 20334、（1）因为成本函数是线性函数，所以设产量为x，25p然后是y斧头 B（其中a和B是常数）又当x0时，y100；当x100时，y400100 A.0B A. 3.，400 A.100B B100故y3x100，其中固定成本为100（2）当x 200，y 3. 200 100 700，平均成本为 700 3.52005、q10005p，p200，故r(q)p q200q55当Q 200，R（200） 200 200 3200056、设销售收入为y，销售量为x，当0十、 100，0y 1200，X当1000x152，0y120x025001200,0x十、1000Y10000x1520120x0250，7、当p0时，q40000；当p40时，q040000 A.᠄ B 0 A. 40000被替换为所以 0 A. B 40 B - 1000故q400001000pP40，R P Q(40)Q40q[1**********]08、（1）设收入为r，有题意得r=12q，保本点时c=r，即81+3q=12q，所以q=9（2）让利润为l，那么l=R-C=12q-（81+3Q）=9q-81，当q10时，l910-819（3）当价格为2元/件时，l=2q-（81+3Q）=-q-81。
因为Q>0，l总是小于0。
9、（1）当0x100，p90(9075)0.011001600当100x1600时，p90(x100)0.01当x 1600页 7590，0x100故p90(x100)0.01，100x160075，x1600（2）当0x100，l(p60)x30x100岁时十、 1600，l（P 60）x 90 (十) 100) 0.01 60十、 31x x时为0.01x2 1600，l（P 60）x 15倍30x，0x100故p31x0.01x2，100x160015x，x1600（3）当x1000时，l3110000.01100022100010、（1）l（q）r（q）c（q）10q(7第2季度问题2）问题28q7.（2）当q4时，l(4)-4284-79，平均利润l(q)9 2.25q4（3）当Q 10，l（10） 102 8. 10 7. 27，所以这是一个损失q28q70，所以q1或者q711、当l(q)0时，当Q 7或Q 1是损失，当1 Q 7是利润，当Q 1或Q 7.利润平衡12、（1）当市场均衡时，q1q2，14-1.5p4p5，p 3.45（2） Q2' 4（P 1) 5.政府每销售一件商品征收1元税，即14-1.p54(p1)5，即p 4.18当市场均衡时，q1q2’。