人教版八年级数学几何专题
人教版数学八年级上几何知识要点

八年级数学上册几何知识点总结1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形三边的关系(重点)(1)三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
(2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b3三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线,垂足为D,那么线段AD 叫做△ABC的边BC上的高。
4三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D,所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
5三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D,那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。
6.三角形具有稳定性7.三角形的内角和定理三角形的内角和为180°8.直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余(相加为90°)。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
9三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角10.三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
11.一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n-3)条,其所有的对角线条数为2)3(−nn12.n边形的内角和定理n边形的内角和为(n−2)∙180°13.n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°,与多边形的形状和边数无关。
14.全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;15.全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图,四边形是矩形,点,在坐标轴上,是由绕点顺时针旋转得到的,点在轴上,直线交轴于点,交于点,线段=2,=4(1)求直线的解析式.(2)求的面积.2.直线a:y=x+2和直线b:y=﹣x+4相交于点A,分别与x轴相交于点B和点C,与y轴相交于点D和点E.(1)在同一坐标系中画出函数图象;(2)求△ABC的面积;(3)求四边形ADOC的面积;(4)观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集.3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值;(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的,求y=kx+b的解析式.4.如图,10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分,求该直线l的解析式5.如图1,直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B,点C的坐标为(-3,0),D -3+3为直线AB上一动点,连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________,不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE=S△ADE,求点D的坐标(3) 如图2,以CD为边作菱形CDFG,且∠CDF=60°.当点D运动时,点G在一条定直线上运动,请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中,一条直线经过A(﹣1,5),P(﹣2,a),B(3,﹣3)三点.(1)求a的值;(2)设这条直线与y轴相交于点D,求△OPD的面积.7.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=10,点A、B的坐标分别为(2,0)、(8,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=x﹣5上时,求线段BC扫过的面积8.已知:如图,已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8,与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求A、B两点的坐标;(2)若点P(m,n)为线段AB上的一个动点(与A、B不重合),作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,连接EF,若△PAO的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C (0,6),与x 轴交于点B .(1)求这条直线的解析式;(2)直线AD 与(1)中所求的直线相交于点D (﹣1,n ),点A 的坐标为(﹣3,0).①求n 的值及直线AD 的解析式; ②求△ABD 的面积;③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点(不与点B 重合),且点M 的横坐标为m ,求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式.11.已知一次函数的图象经过(1,1)和(﹣1,﹣5).(1)求这个一次函数的表达式;(2)求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标,并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积.12.如图,边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是0A边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1)求证:CE=EP;(2)若点E的坐标为(3,O),在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形?若存在,求出点M的坐标:若不存在,说明理由.13.已知一次函数的图象经过(1,1)和(﹣1,﹣5).(1)求这个一次函数的表达式;(2)求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标,并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积.14.直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).(1)求直线AB的解析式;(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2,2),求△BOC的面积.15.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图,直线y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B,与y轴交于点C,点B的横坐标为-1.①求点B的坐标及k的值;②直线y=-2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________;(2)直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E(x0,0),若-2<x0<-1,求k的取值范围.16.如图,己知直线l:y=x+1(k≠0)的图象与x轴、y轴交于A、B两点.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)若P是x轴上的一个动点,求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标;(3)在y轴上有点C(0,3),点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示,正方形ABCD的边长为6 cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B →C→D运动,设运动的时间为t(s),三角形APD的面积为S(cm2),S与t的函数图象如图②所示,请回答下列问题:(1)点P在AB上运动的时间为________s,在CD上运动的速度为________cm/s,三角形APD的面积S的最大值为________cm2;(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式;(3)当t为何值时,三角形APD的面积为10 cm2?18.已知:如图,已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8,与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求A、B两点的坐标;(2)若点P(m,n)为线段AB上的一个动点(与A、B不重合),作PE⊥x轴于点E,PF ⊥y轴于点F,连接EF,若△PAO的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;答案:1. (1)OC=4,BC=2,B(-2,4),.设解析式为,.(2),.直线,.当,,,.2.(1)依照题意画出图形,如图所示.(2)令y=x+2中y=0,则x+2=0,解得:x=﹣2,∴点B(﹣2,0);令y=﹣x+4中y=0,则﹣x+4=0,解得:x=4,∴点C(4,0);联立两直线解析式得:,解得:,∴点A (1,3).S △ABC =BC•y A =×[4﹣(﹣2)]×3=9.(3)令y=x +2中x=0,则y=2,∴点D (0,2).S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7.(4)观察函数图形,发现:当x <1时,直线a 在直线b 的下方,∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1;当x >4时,直线b 在x 轴的下方,∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4.3.(1)∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”,∴k=﹣2,即y=﹣2x +b . ∵函数y=kx +b 的图象过点(3,1),∴1=﹣2×3+b ,∴b=7.(2)在y=﹣2x +4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=2,∴A (2,0),B (0,4),∴S △AOB =OA•OB=4.由(1)知k=﹣2,则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为(,0),(0,b ),于是有|b |•||=4×=1,∴b=±2,即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2.4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ,过A 作AB ⊥OB 于B ,过A 作AC ⊥OC 于C , ∵正方形的边长为1,∴OB=3,∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分,∴两边分别是5,∴三角形ABO 面积是7,∴OB•AB=7,∴AB=,∴OC=AB=,由此可知直线l 经过(,3),设直线方程为y=kx (k ≠0),则3=k ,解得k=∴直线l 解析式为y=x .故答案为:y=x .5.(1) (3,0)、x <3(2) ∵S △COE =S △ADE ∴S △AOB =S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ,y D =233 当y =233时,23233333==+-x x ,∴D (23323,) (3) 连接CF ∵∠CDF =60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB =AC =BC =6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD (SAS )∴∠CAF =∠ACB =60°∴AF ∥x 轴设D (m ,333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH =3-m ,DB =6-2m =AF∴F (2m -6,33)由平移可知:G (m -9,m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. (1)设直线的解析式为y=kx +b ,把A (﹣1,5),B (3,﹣3)代入,可得:{533=+--=+b k b k ,解得:,所以直线解析式为:y=﹣2x +3,把P (﹣2,a )代入y=﹣2x +3中,得:a=7; (2)由(1)得点P 的坐标为(﹣2,7),令x=0,则y=3,所以直线与y 轴的交点坐标为(0,3),所以△OPD 的面积=.7.∵点A 、B 的坐标分别为(2,0)、(8,0),∴AB=6,∵∠CAB=90°,BC=10, ∴CA==8,∴C 点纵坐标为:8,∵将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y=x ﹣5上时,∴y=8时,8=x ﹣5,解得:x=13,即A 点向右平移13﹣2=11个单位, ∴线段BC 扫过的面积为:11×8=88.故选:B .8.(1)令x=0,则y=8,∴B (0,8),令y=0,则﹣2x +8=0,∴x=4,∴A (4,0), (2)∵点P (m ,n )为线段AB 上的一个动点,∴﹣2m +8=n ,∵A (4,0),∴OA=4,∴0<m <4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2(﹣2m +8)=﹣4m +16,(0<m <4) )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时,中,当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.(1)∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C (0,6),∴a=6,∴该直线解析式为y=﹣2x +6 (2)①∵点D (﹣1,n )在直线BC 上,∴n=﹣2×(﹣1)+6=8,∴点D (﹣1,8)设直线AD 的解析式为y=kx +b ,将点A (﹣3,0)、D (﹣1,8)代入y=kx +b 中,得:,解得:,∴直线AD 的解析式为y=4x +12.②令y=﹣2x +6中y=0,则﹣2x +6=0,解得:x=3,∴点B (3,0).∵A (﹣3,0)、D (﹣1,8),∴AB=6.S △ABD =AB•y D =×6×8=24.③∵点M 在直线y=-2x+6上,∴M (m ,-2m+6),时,即S=6m-18.11. (1)设函数解析式为y=kx +b , 由题意将两点代入得:{15=+-=+-b k b k ,解得:{32=-=k b .∴一次函数的解析式为:y=3x ﹣2;(2)令y=0,得x=32,令x=0,得y=﹣2, 3232221=⨯⨯=∴s 12.(1)在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ,∠1=90°,∠OEK =∠OKE =45°,∵AP 为矩形外角平分线,∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ,∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP (2)y 轴上存在点M ,使得四边形BMEP 是平行四边形.如图,过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ,∴∠5=∠CEP =90°,∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ,∴BM =CE 而CE =EP ,∴BM =EP .由于BM ∥EP ,∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3,∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为(0,2).13.(1)设函数解析式为y=kx +b ,由题意将两点代入得:,解得:.∴一次函数的解析式为:y=3x ﹣2;(2)令y=0,得x=,令x=0,得y=﹣2,∴S=×2×=.14.(1)设直线AB 的解析式为y =kx +b(k ≠0).将A(1,0),B(0,-2)代入解析式,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =0,b =-2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =2,b =-2.∴直线AB 的解析式为y =2x -2.(2)S △BOC =12×2×2=2.15.(1)32 当x =-1时,y =-2×(-1)+1=3,∴B(-1,3).将B(-1,3)代入y =kx +4,得k =1.(2)y =kx +4与x 轴的交点为(-4k ,0),∵-2<x 0<-1,∴-2<-4k<-1,(1)解得2<k<4.16.(1)当y=0时,x+1=0,解得x=﹣2,则A(﹣2,0),当x=0时,y=x+1=1,则B(0,1);(2)AB==,当AP=AB时,P点坐标为(﹣,0)或(,0);当BP=BA时,P点坐标为(2,0);当PA=PB时,作AB的垂直平分线交x轴于P,连结PB,如图1,则PA=PB,设P(t,0),则OA=t+2,OB=t+2,在Rt△OBP中,12+t2=(t+2)2,解得t=﹣,此时P点坐标为(﹣,0);(3)如图2,设D(x,x+1),当x>0时,∵S△ABC+S△BCD=S△ACD,∴•2•2+•2•x=4,解得x=2,此时D点坐标为(2,2);当x<0时,∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD,∴•2•(﹣x)﹣•2•2=4,解得x=﹣6,此时D点坐标为(﹣6,﹣2),综上所述,D点坐标为(2,2)或(﹣6,﹣2).故答案为(﹣2,0),(0,1);(2,2)或(﹣6,﹣2).17.略18.(1)令x=0,则y=8,∴B(0,8),令y=0,则﹣2x+8=0,∴x=4,∴A(4,0),(2)∵点P(m,n)为线段AB上的一个动点,∴﹣2m+8=n,∵A(4,0),∴OA=4,∴0<m<4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2(﹣2m+8)=﹣4m+16,(0<m<4)。
河南省 人教版 八年级数学 上册几何知识考点汇集

人教版 八年级数学 上册几何知识考点汇集1. 三角形三边关系:两边之差 < 第三边 < 两边之和2. 三角形的三条高:钝角三角形三条高交于三角形外,直角三角形三条高交于三角形的直角顶点上,锐角三角形三条高交于三角形内。
3. 三角形的三条中:三角形三条中线交于三角形内,交点成为重心,中线平分三角形的面积。
4.三角形具有稳定性5. n 边形对角线计算公式:2)3(-n n 6. 多边形内角和公式:on 180)2(⨯-7. 点(x , y )关于x 轴对称的点的坐标为(x , -y ) 点(x , y )关于x 轴对称的点的坐标为(-x , y )8. 定理、判定 性质 知识点及几何语言汇总知识原理条件结论图形 几何语言 三角形内角和等于180° 如果一个图形是三角形那么这个图形内角和是180°∵在△ABC 中∴∠A+∠B+∠C=180°ABC有两个角互余的三角形是直角三角一个三角形中,如果有两个角互余那么这个三角形是直角三角形在△ABC 中,∵∠A +∠B =90°,∴△ABC 是直角三角形.直角三角形的两个锐角互余如果一个三角形是直角三角形那么这个三角形的两个锐角互余在Rt△ABC 中,∵∠C =90°,∴∠A +∠B =90°三角形的外角等于与之不相邻的两个内角和如果一个角是三角形的外角那么它等于与它不相邻的两个内角和∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD= ∠A+ ∠B.全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等如果两个三角形全等那么这两个三角形的对应边相等,对应角相等如图:∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,AC=DF(全等三角形的对应边相等),∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形的对应边相等).AB CAB CAB C DAB C EDF三边分别相等的两个三角形全等在两个三角形中,如果有三组对应边分别相等那么这两个三角形全等在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,CA=FD,∴△ABC ≌△DEF(SSS)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等在两个三角形中,如果有两组对应边及它们的夹角也相等那么这两个三角形全等在△ABC 和△A′B′C′中,∴△ABC ≌△A′B′C′(SAS).两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等在两个三角形中,如果有两组对应角及它们的夹边也相等那么这两个三角形全等在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).AB CDE FC ′ABCA ′B ′AB = A′B′,∠A =∠A′,A C =A′C′,AB CA ′B ′C ′两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等在两个三角形中,如果有两组对应角及其中一组等角的对边相等那么这两个三角形全等在△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等在两个直角三角中,如果有斜边和一条直角边对应相等那么这两个三角形全等在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′(HL).一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.已知一个角的角平分线那么分得的两个小角相等∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2AB CA ′B ′C ′ABCA ′B′CAB=A′B′,BC=B′C′,O BCA12角的平分线上的点到角两边的距离相等(1)角的平分线;(2)点在该平分线上;(3)垂直距离.垂线段相等(点到线的距离)∵OP 是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD = PE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(1)位置关系:点在角的内部;(2)(2)数量关系:该点到角两边的距离相等点在角平分线上∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.已知线段的垂直平分线有垂直平分线上一点垂直平分线上一点到线段两端的距离相等(点到点的距离)∵AP是BC的垂直平分线∴AB=AC与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上已知线段外一点到线段两端的距离相等那么判定这个点在线段的垂直平分线上∵PA =PB,∴点P 在AB 的垂直平分线上.BADO PECBADO PECPA BlCPA B等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)在一个三角形中,如果有两条边相等,那么这两条边所对的角相等∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(通常说成等腰三角形的“三线合一”)已知等腰三角形及底边上一线那么这条线是三个身份合一例如,∵∠1=∠2∴AD是∠BAC的角平分线∴AD⊥BC∴AD 是中线,即D是BC的中点如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).一个三角形中,如果有两个角相等那么这两个角所对的边也相等,即这个三角形式等腰三角形在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AC=AB.即△ABC为等腰三角形.AB CAB CD12B CA等边三角形的三条边相等,三个角相等,并且每个角都等于60°。
人教版八年级数学上册期末专题复习:几何压轴题强化训练试题(含答案)

人教版八年级数学上册期末专题复习:几何压轴题强化训练试题1、如图,AB>AC,∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:BE=CF.2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△A1B1C1,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以说明(△ABC与△A1B1C1全等除外);(2)当△BB1D是等腰三角形时,求α.3、如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE分别为△ABC的角平分线,连结DE.(1)求证:点E到DA,DC的距离相等;(2)求∠DEB的度数.4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系,不要证明.5、概念学习:规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.理解概念(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,请写出图中两对“等角三角形”.概念应用(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°.求证:CD为△ABC的等角分割线.(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割线,直接写出∠ACB的度数.6、如图,∠ABC=∠BAD=90°,点E,F分别是AC,BC的中点。
专题五几何证明人教版八年级数学(上册)-【完整版】

∴△DAB≌△CBA(AAS). ∴BD=AC. ∴AD=BC. 在△ADC和△BCD中,
∴△ADC≌△BCD(SSS). ∴∠CDA=∠DCB.
四、 证明线段垂直
15. 如图,点 C 在线段 AB 上,AD∥EB,AC=BE,
AD=BC,CF 平分∠DCE.求证:CF⊥DE.
∵F为CE的中点, ∴AF平分∠EAC. ∴AF⊥CE.即∠AFC=90°. 又∠FAC+∠ACE=180°-∠AFC=90°, ∠DAC=∠ACE, ∴∠DAC+∠FAC=90°. 即∠DAF=90°. ∴AF⊥AD.
五、 证明等边三角形
20. 如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,DE⊥AB
专题五 几何证明人教版八年级数学上册-精 品课件p pt(实 用版)
专题五 几何证明人教版八年级数学上册-精 品课件p pt(实 用版)
在△ACM和△DCN中,
∴△ACM≌△DCN(ASA). ∴CM=CN. 又∠DCN=60°, ∴△CMN为等边三角形.
专题五 几何证明人教版八年级数学上册-精 品课件p pt(实 用版)
证明:∵△ABC≌△EDC, ∴BC=DC,∠ACB=∠DCE.
在△BCF和△DCH中,
∴△BCF≌△DCH(SAS). ∴∠FBC=∠HDC. 在△FBC和△FDK中, ∵∠FBC=∠HDC,∠BFC=∠DFK, ∴∠DKF=∠ACB.
14. 如图,AC 与 BD 相交于点 O,∠DBA=∠CAB, ∠1=∠2. 求证:∠CDA=∠DCB.
点 F,连接 BE. 求证:BE⊥AF.
证明:∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.
在△ADE和△FCE中,
期末复习:几何专题(学案)-2024-2025学年人教版数学八年级上册

【课前引入】阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA.求证:AD=AB+CD.小明经探究发现,在AD上截取AF=AB,连接EF(如图2),从而可证△AEF≌△AEB,使问题得到解决.图1 图2 图3(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程;参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:(2)如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点D为边AC上任意一点(不与点A、C 重合),以BD为腰作等腰直角△BDE,∠DBE=90°.过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G,过点D作DF⊥BD,交BC于点F,连接FG,猜想EG、DF、FG之间的数量关系,并证明.【典型例题】阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,AB∥DC,求证:AD=AB+DC.小明发现以下两种方法:方法1:如图2,延长AE、DC交于点F;方法2:如图3,在AD上取一点G使AG=AB,连接EG、CG.(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明:AD=AB+DC;用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:(2)如图4,在四边形ABCD中,AE是∠BAD的平分线,E是BC的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°﹣∠BCD,求证:CD=CE.【平行练习1】阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C.求证:AC=AB+BD;小明通过思考发现,可以通过“截长、补短”两种方法解决问题:方法一:如图2,在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形,进而解决问题.方法二:如图3,延长AB到点E,使得BE=BD,连接DE,可以得到等腰三角形,进而解决问题.(1)根据阅读材料,任选一种方法证明AC=AB+BD,根据自己的解题经验或参考小明的方法,解决下面的问题;(2)如图4,四边形ABCD中,E是BC上一点,EA=ED,∠DCB=2∠B,∠DAE+∠B=90°,探究DC、CE、BE之间的数量关系,并证明.【提升拓展】阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题.数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向AB左侧作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F.请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠DFC的度数可以求出来.”小强:“通过观察和度量,发现线段DF和CF之间存在某种数量关系.”小伟:“通过作辅助线构造全等三角形,就可以将问题解决.”……老师:“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE,其它条件均不改变,请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论.”(1)求∠DFC的度数;(2)在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,并证明;(3)在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,并证明.【课堂检测】阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在边BC、CD上,且∠MAN=∠BAD,求证:MN=BM+DN.小明充分利用AB=AD,∠ABC与∠ADC互补的条件,将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数,如图2,从而将问题解决.(1)根据阅读材料,证明:MN=BM+DN;用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:(2)如图3,四边形ABCD中,AB=AD,F为AD边上的点,连接BF,AE平分∠BAD交BF于E,∠AEF=m°,∠BCD=180°﹣2m°,连接CE、DE.①找出图中与DE相等的线段,并加以证明;②求∠ECD的度数(用含m的式子表示).【课后作业】1.阅读下面材料小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:BC=AB+2BD.小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH=BD,如图2,连接AH既构造了等腰△ABH,又得到BH=2BD,从而命题得证.(1)根据阅读材料证明BC=AB+2BD;(2)参考小明的方法解决下面的问题;如图3在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠BCE,∠ABC=∠DCE,请探究AD与BE的数量关系,并说明理由.A B C DEED CB A2.在△ABC 中,点D 在AB 边上,点E 在BC 边上,BD=BC . (1)如图1,若∠A =∠CED =45°;①∠ACD 与∠CDE 的数量关系是 ; ②在图中找到与DE 相等的线段,并证明;(2)如图2,将题中条件“点D 在AB 边上”改为“点D 在AB 边延长线上”,其他条件不变;若DE =AC ,猜想∠A 与∠CED 的数量关系,并证明你的猜想.(图1) (图2)3.在Rt△ABC中,∠C=90°.∠CAB、∠CBA的平分线分别交BC、AC于点D和点E.AD、BE相交于点I.(1)如图1,当AC=BC时,在AB上截取AM=AE,BN=BD,连接IM、IN.求△IMN的各内角的度数;(2)如图2,若△IAB的面积是S,求四边形ABDE的面积(用含S的代数式表示).ACBDEIM N(图1)DBCP(图2)4.已知:直线l 是线段AB 中垂线,垂足为C ,点P 在l 上,连接PA.PB ,以PB 为边在△PAB外部作等边△PBD ,连接AD 交直线PC 于点M ,连接BM ,设∠APB=x °.(1)如图1,当x =60时,请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系,并证明你的结论; (2)如图2,当120﹤x ﹤180时,请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系______________________________;(请直接写出答案)(3)当60﹤x ﹤120时,将“以PB 为边在△PAB 外部作等边△PBD ”改为“以PB 为边作等边△PBD ”,其他条件不变,请在图3中画出图形,猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系,并证明你的结论.l M D CA B P (图1) l C A B P (图3) (图2) lM D CB A P。
人教版八年级数学知识点梳理立体几何与空间形

人教版八年级数学知识点梳理立体几何与空间形【人教版八年级数学知识点梳理】立体几何与空间形立体几何是数学中的一个重要分支,与平面几何共同构成了几何学的两个基本领域。
而在数学课程中,立体几何与空间形也是八年级的数学学习内容之一。
本文将对人教版八年级数学中与立体几何与空间形相关的知识点进行梳理和总结,希望能够帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、点、直线、平面及其位置关系在立体几何与空间形的学习中,首先要了解的是点、直线、平面及其位置关系。
点是几何中最基本的图形元素,它没有长度、宽度和高度,只有位置。
直线是由无数个点组成的一维图形,没有宽度和厚度。
平面是由无数个点和直线组成的二维图形,它有无限的长度与宽度。
在空间中,点可以在平面内、平面外或平面上。
而直线也可以在平面内、平面外或平面上。
平面可以与另一个平面相交、平行或重合。
掌握了点、直线、平面及其位置关系的概念,可以为后续的学习打下基础。
二、立体图形的认识与分类在立体几何与空间形的学习中,我们还需要认识和分类立体图形。
立体图形是由有限条线段组成,并封闭起来的图形。
常见的立体图形有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
正方体是一种六个面全部都是正方形的立体图形,它有八个顶点、十二条棱和六个面。
长方体是一种六个面全部都是长方形的立体图形,它有八个顶点、十二条棱和六个面。
圆柱体是一种两个底面相等的圆柱形,它有两个底面、一个称为侧面的矩形和一个称为轴线的直线。
圆锥体是一种底面是一个圆形的锥形,它有一个底面、一个称为侧面的三角形和一个称为轴线的直线。
球体是由空间中的一个定点到这个点距离相等的各个点构成的图形。
对于立体图形的分类,学生需要学会根据面的特征进行分类,如几何体的底面、顶面、侧面等。
同时,学生还需了解立体图形的性质和特点,这有助于进一步认识和理解立体图形。
三、立体图形的表面积与体积计算在学习立体几何与空间形过程中,学生需要掌握计算立体图形的表面积与体积。
人教版八年级数学上册期末专题复习:几何压轴题强化训练试题(含答案)

人教版八年级数学上册期末专题复习:几何压轴题强化训练试题1、如图,AB>AC,∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:BE=CF.2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△A1B1C1,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以说明(△ABC与△A1B1C1全等除外);(2)当△BB1D是等腰三角形时,求α.3、如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE分别为△ABC的角平分线,连结DE.(1)求证:点E到DA,DC的距离相等;(2)求∠DEB的度数.4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系,不要证明.5、概念学习:规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.理解概念(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,请写出图中两对“等角三角形”.概念应用(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°.求证:CD为△ABC的等角分割线.(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割线,直接写出∠ACB的度数.6、如图,∠ABC=∠BAD=90°,点E,F分别是AC,BC的中点。
人教版数学八年级上册几何总复习总结

一、选择题 :1、.以下图形是轴对称图形的有〔〕A:1个B:2个C:3个D:4个2、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm,其它两边长分别为〔〕A4cm 10cmB. 7cm,7cmC4cm10cm 或 7cm,7cmD.无法确定3、等腰三角形的一个内角是50。
,那么另外两个角的度数分别是()〔A 〕65°,65°.〔B〕 50°,80°〔C〕 65°,65°或50°,80°. 〔D〕50°,50°.4、如图,MB ND,MBANDC ,以下条件中不能判定△ ABM ≌△ CDN的是〔〕〔A〕MN 〔B〕 AB CD 〔C〕 AM CN 〔D〕 AM ∥ CN M NAC B D5、如图 , 在三角形 ABC中, ∠ C=90,AC=4cm,AB=7cm,AD平分∠ BAC交 BC于点 D,DE⊥AB于点 E,那么 EB的长是〔〕A. 3cm, B.4cm C.5cm D. 不能确定6、如图,一块三角形的玻璃打碎成了三块,某同学要到玻璃店配一块与此玻璃一样形状、大小完全一样的玻璃,最省事的方法是带哪一块去( )A. ①B.②C. ③D. 不能确定7、以下说法错误的选项是( )A. 关于某直线对称的两个图形一定能够重合 ;B. 两个全等的三角形一定关于某直线对称;C.轴对称图形的对称轴至少有一条 ;D. 长方形是轴对称图形8、以下两点是关于 x 轴对称的点是 ( )A(-1,3) 和 (1,-3)B. (3,-5) 和 (-3,-5)C(-2,4)和(2,-4)D.(5,-3) 和 (5,3 )9、等腰三角形的一边长 7cm,另一边长 5cm,那么这个三角形的周长是〔〕A.12cm;B.17cm;C.19 cm;D.17cm 或 19cm10、假设∠ AOP=∠ BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,PC=4,那么 PD=〔〕A 4B 3C 2D 111、如图,⊿ ABC中边 AB的垂直平分线分别交BC、AB于点 D、E,AE=3, ⊿ ADC1 / 6的周长为 9 ㎝,那么⊿ ABC 的周长〔〕 A10㎝B12㎝C15㎝D17㎝ 12、如图:数轴上表示1,2的对应点分别为A,B ,点B 关于点A 的对称点为 C ,那么点 C 表示的数是〔 〕A 2-1 B 1-2C2-2D 2-2BCC PDO A0 C A B B AD E13、等腰三角形的一边长为 4cm ,另一边为 8cm ,那么它的周长是〔 〕A16㎝ B20㎝C12 ㎝ D 16㎝或 20㎝ 14、以下说法:①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等②有两条边相等的两个直角三角形全等③假设两个直角三角形面积相等,那么它们全等④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。
等腰三角形八大几何模型与九类题型(模型梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版)25学年八年级数学上册

专题13.15等腰三角形八大几何模型与九类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【模型归纳与题型目录】模型1:角平分线+平行线→等腰三角形AB AC DCB ACB CDAB =⇒⎭⎬⎫∠=∠//模型2:角平分线+垂线→等腰三角形AB AC CAD BAD BCAD ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥∆中,在模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形ABAC B DAC ABC DAC ABC =⇒∠=∠∆∠∆2外角,为中,在模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形CE CD CBD ABD AB CH ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥=∠∆,900中,在模型5:等边三角形中含定角问题60=∠⇒=∆AFE CE BD AC BC E D ABC 上的两个动点、是、中,在等边模型6:等边三角形中含“手拉手”AEBD AE BD DCE ABC =⇒∆∆、中,连接和等边在等边模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形DC DB CBD ABD ACB ABC ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠=∠∆2900中,在模型8:倍长中线构造等腰三角形题型目录【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 (3)【题型2】角平分线+垂线(中线)→等腰三角形 (4)【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形 (4)【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 (5)【题型5】等边三角形中含定角问题 (6)【题型6】等边三角形中含“手拉手” (7)【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形 (8)【题型8】倍长中线构造等腰三角形 (9)【题型9】拓展延伸 (9)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形【例1】(2024九年级下·浙江·专题练习)如图,在ABC V 中,AD 平分BAC ∠,AD BD ⊥于点D ,DE AC ∥交AB 于点E ,若8AB =,则DE =.【变式1】(2024·湖南娄底·模拟预测)如图,在ABC V 中,AD 平分CAB ∠,ED AB ∥.若ED CD =,15EAD ∠=︒,则ADB ∠等于()A .75︒B .60︒C .45︒D .90︒【变式2】(23-24八年级上·天津滨海新·期中)如图,在ABC V 中,ACB ∠的平分线交AB 于点E ,CF 平分ACD ∠,且EF BC ∥交AC 于点G ,若5cm CG =,则EF =cm .【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形【例2】(23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习)如图,在ABC V 中,CD 平分ACB ∠,CD BD ⊥,垂足为D ,180A CBD ∠+∠=︒,若5BD =,则AB 的长为()A .7B .8C .9D .10【变式1】(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图,D 为ABC V 内一点,CD 平分ACB ∠,BE CD ⊥,垂足为D ,交AC 于点E ,A ABE ∠=∠,11AC =,7BC =,则BD 的长为()A .1B .1.5C .2D .2.5【变式2】(23-24八年级上·四川宜宾·期末)如图,CE 平分ACB ∠且CE DB ⊥于E ,DAB DBA ∠=∠,若14AC =,CDB △的周长为20,则DB 的长为.【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形【例3】(23-24八年级上·吉林长春·期中)如图,在1ABA △中,1AB A B =,20B ∠=︒.在1A B 上取一点C ,延长1AA 到点2A ,使121A A AC =,连结2A C ;在2A C 上取一点D ,延长12AA 到点3A ,使232A A A D =,连结3A D ;……,按此操作进行下去,在以点5A 为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为()A .20︒B .10︒C .5︒D .2.5︒【变式1】(23-24八年级上·江苏盐城·期中)如图,在ABC V 中,BD BC =,AE AC =,100ACB ∠=︒,则DCE ∠的大小为.【变式2】(23-24八年级上·全国·单元测试)如图,在ABC V 中,AB AC =,36A ∠= ,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,DE AB ∥交BC 于点E ,EF BD ∥交CD 于点F ,则图中等腰三角形共有()A .5个B .6个C .7个D .8个【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形【例4】(21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图,在ABC V 中,90BAC ∠=︒,30C ∠=︒,高AD 与角平分线BE 相交于点F .(1)求证:AEF △是等边三角形;(2)若2AE =,求AD 的长度.【变式1】(24-25八年级上·全国·假期作业)如图,在ABC V 中,90ACB ∠=︒,CD 是AB 边上的高,AE 是BAC ∠的角平分线,AE 与CD 交于点F ,求证:CEF △是等腰三角形.【变式2】(22-23八年级下·湖南永州·期末)如图,ABC V 中,90BAC AD BC ABC ∠=︒⊥∠,,的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②AEF AFE ∠=∠;③EBC C ∠=∠;④AG EF ⊥;⑤AB GB =.正确结论有()个.A .2B .3C .4D .5【题型5】等边三角形中含定角问题【例5】(2024七年级下·上海·专题练习)如图,等边ABC V 中,=AD CE ,BD 和AE 相交于F ,BG AE ⊥垂足为G ,求FBG ∠的度数.【变式1】(23-24八年级下·河南郑州·期末)已知:如图,点D ,E 分别是等边三角形ABC 的两边AB AC ,上的点,且=AD CE .(1)求证:ADC CEB △≌△;(2)求BPC ∠的度数.【变式2】(2024·浙江杭州·二模)如图,ABC V 是等边三角形,D ,E 分别是AC ,BC 边上的点,且=AD CE ,连接BD ,AE 相交于点F ,则下列说法正确的是()①ABD CAE ≌ ;②60BFE ∠=︒;A .①B .②C .①②D .都错【题型6】等边三角形中含“手拉手”【例6】(23-24八年级下·陕西西安·阶段练习)如图所示,A 、C 、B 三点共线,DAC △与EBC 都是等边三角形,AE BD 、相交于点P ,且分别与CD CE 、交于点M ,N .(1)求证:ACE DCBV V ≌(2)求APD ∠的度数【变式1】(2024·重庆南岸·模拟预测)如图,,ABC CDE △△都是等边三角形,将CDE 绕点C 旋转,使得点,,A D E 在同一直线上,连接BE .若1,4BE AE ==,则CE 的长是.【变式2】(23-24八年级上·福建南平·期末)如图,ABC V 和ADC △都是等边三角形,点E ,F 分别在边BC 和CD 上,且60EAF ∠=︒,若AEF △的周长最小时,则BAE ∠的大小是.【题型7】倍半角→等腰三角形【例7】(22-23八年级上·北京·期中)如图,在ABC V 中,90ABC ∠=︒,D 为AB 上一个动点.(1)已知2A BCD ∠=∠,求证:2AD AC AB +=.下面是两位同学分享的思路:小快同学:从求证目标出发,倍长AB 到E ,即2AE AB =,又AE AD DE =+,则只需证DE AC =.小乐同学:从已知条件角的关系出发,发现若将BCD △关于直线BC 对称得到BCF V ,则可证ACF △为等腰三角形.请你选择一种思路,完成证明(2)已知AB BD AC +=,ACD α∠=,请直接写出A ∠的大小(用含α式子表示).【变式1】(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图,ABC V 中,2C B ∠=∠,,AD AE 分别为ABC V 的高,角平分线,下列四个结论:①AC CD BD +=;②AC CD AB +=;③AC CE AB +=;④2B DAE ∠=∠.其中所有正确结论的序号是.【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型【例8】(23-24八年级上·湖北武汉·期中)如图,A 是ABC 的中线,E 是A 上一点,BE 交AC 于F ,若EF AF =,8BE =,5CF =,则EF 的长度为()A .1.5B .2C .2.5D .3【变式】(22-23八年级上·湖北武汉·期中)如图,在ABC V 中,D 是BC 的中点,E 是AD 上一点,BE AC =,BE 的延长线交AC 于点F ,若60ACB ∠=︒,44DAC ∠=︒,则求FBC ∠的度数为.第三部分【拓展延伸】【题型9】拓展延伸【例1】(23-24八年级上·北京·期末)如图,ABC V 中,BF CF 、分别平分ABC ∠和ACB ∠,过点F 作DE BC ∥交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论:①DFB DBF ∠=∠;②EFC 为等腰三角形;③ADE V 的周长等于BFC △的周长;④1902BFC A ∠∠=+ .其中正确的是【例2】(23-24八年级上·上海普陀·期末)【图形新发现】小普同学发现:如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直,那么这个三角形的某两条边必有倍半关系.如图1,已知在ABC V 中,BD 是ABC V 的角平分线,AE 是ABC V 的中线,AE BD ⊥,垂足为点F .(1)根据图1,写出ABC V 中小普同学所发现的结论,并给出证明;【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形,并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”.下面我们跟着小普同学再探究:(2)在如图1中,“线垂”三角形ABC 是否可以是直角三角形?如果可以,求DBC ∠的度数;如果不可以,请说明理由;(3)已知线段MN ,是否存在一点P ,使得以MN 为一边的“线垂”三角形PMN 为等腰三角形?如果存在,请在图2中用直尺和圆规做出PMN ∠为“分角”的“线垂”等腰三角形PMN (不写作法,仅保留作图痕迹,在图中清楚地标注出点P ),并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题;如果不存在,请说明理由.。
(word完整版)人教版八年级上册数学几何练习题

人教版八年级上册数学几何练习题1、已知:在⊿ABC中,∠A=90,AB=AC,在BC上任取一点P,作PQ∥AB交AC于Q,作PR∥CA交BA于R,D是BC的中点,求证:⊿RDQ是等腰直角三角形。
2、已知:在⊿ABC中,∠A=90,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求证:∠ADB=∠FDC。
B3、已知:在⊿ABC中BD、CE是高,在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB,求证:MA⊥NA。
C4、已知:如图,在△ABC中,BP、CP分别平分∠ABC 和∠ACB,DE过点P交AB于D,交AC于E,且DE∥BC.求证:DE-DB=EC. APE DBC图⑴5、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。
写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系;如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。
A M B6、如图,△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,AE=BD,连结EC、ED,求证:CE=DE7、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC且BC=10,求△DCE的周长。
几何证明习题答案1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度, 又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP, △BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ, ∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度, 所以△RDQ是等腰RT△。
2. 作AG平分∠BAC交BD于G ∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45° ∵∠BAC=90° AC=AB ∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90°∵∠CAF+∠BAE=90° ∴∠CAF=∠ABE ∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG ∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45°CD=AD ∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB3. 易证△ABM≌△NAC.∠NAM=∠NAE+∠BAM=∠NAE+ANE=90°4. 略5.因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心,所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等;△OMN是等腰直角三角形。
人教版八年级数学下册专题复习(十一) 几何图形的面积等分

思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型:1.三角形的中线把三角形面积等分;2.夹在两条平行线间的距离相等,同底等高的两个三角形面积相等;3.过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分.典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1.(1)如图11-S-1①,已知直线m∥n,点A,B在直线n上,点C,P在直线m上.①写出图①中面积相等的三角形:________;②当点P在直线m上移动到任一位置时,总有________与△ABC的面积相等;(2)如图11-S-1②,已知一个五边形ABCDE,你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M,使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积?图11-S-1类型二等分面积2.阅读下列材料:小明遇到一个问题:AD是△ABC的中线,M为BC边上任意一点(不与点D重合),过点M作一直线,使其等分△ABC的面积.他的作法是:如图11-S-2①,连接AM,过点D作DN∥AM交AC于点N,作直线MN,直线MN即为所求直线.请你参考小明的作法,解决下列问题:(1)如图②,在四边形ABCD中,AE平分四边形ABCD的面积,M为CD边上一点,过点M作一直线MN,使其等分四边形ABCD的面积(要求:在图②中画出直线MN,并保留作图痕迹);(2)如图③,求作过点A的直线AE,使其等分四边形ABCD的面积(要求:在图③中画出直线AE,并保留作图痕迹).图11-S-23.有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分,我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”,如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”.解决下列问题:(1)在图11-S-3①中,试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”;(2)解决问题:兄弟俩分家时,有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD,现要进行平均划分,由于在这块地里有一口井P,如图②所示,为了兄弟俩都能方便使用这口井,兄弟俩在划分时犯难了,聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图,并说明结果)?图11-S-34.我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:如图11-S-4①,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA,OC,AC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于点E,则直线AE即为一条“好线”.(1)试说明:直线AE是“好线”的理由;(2)如图②,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过点F的“好线”,并对画图作适当说明(不需要说明理由).图11-S-45.自定义:在一个图形上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图形的周长,我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.(1)如图11-S-5①,已知△ABC,AC≠BC,过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由.(2)如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,EF垂直平分AD,垂足为F,交BC 于点E,已知AB=3,BC=8,CD=5.求证:直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”.(3)如图③,在△ABC中,AB=BC=6,AC=8,请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求:直线EF不过△ABC的顶点,交边AC于点F,交边BC于点E),并说明理由.图11-S-5典题讲评与答案详析1.解:(1)①图①中符合条件的三角形有:△CAB与△P AB,△BCP与△APC,△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图,连接EC,过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M,作直线EM,直线EM即为所求的直线.2.解:(1)如图①,连接AM,过点E作EN∥AM,交AD于点N,再作直线MN即可.(2)如图②,取对角线BD的中点O,连接AO,CO,AC,过点O作OE∥AC交CD于点E,直线AE就是所求直线.3.解:(1)答案不唯一,示例如下:(2)能解决这个问题.连接AC,BD相交于点O,过点O,P作直线与DC,AB分别交于点E,F,如图所示.则一人分四边形ADEF,一人分四边形CEFB.4.解:(1)∵OE∥AC,∴S△AOE=S△COE,∴S△AOF=S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积,∴直线AE平分四边形ABCD的面积,即AE是“好线”.(2)连接EF,过点A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则FG为一条“好线”.∵AG∥EF,∴S△AGE=S△AFG. 设AE与FG的交点是O,则S△AOF=S△GOE.又∵AE为一条“好线”,∴FG为一条“好线”.5.解:(1)不能.理由:如图①,取AB的中点D,连接CD,则S△ADC=S△DBC,且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积.∵AC≠BC,∴AD+AC≠BD+BC,∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”.(2)证明:如图②,连接AE,DE,设BE=x,∵EF垂直平分AD,∴AE=DE,AF=DF,S△AEF=S△DEF.∵∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8,CD=5,∴在Rt△ABE和Rt△DCE中,根据勾股定理,得AB2+BE2=CE2+DC2,即32+x2=(8-x)2+52,解得x=5,∴BE=5,CE=3,∴AB+BE=CE+DC,S△ABE=S△DCE.∴AF+AB+BE=DF+CE+DC.∵S四边形ABEF=S△ABE+S△AEF,S四边形DCEF=S△DEF+S△DCE,∴S四边形ABEF=S四边形DCEF,∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”.(3)如图③,在AC上取一点F,使得FC=AB=6,在BC上取一点E,使得BE=2,作直线EF,则直线EF是△ABC的“等分积周线”.理由:由作图可得AF=AC-FC=8-6=2,在CB上取一点G,使得CG=AF=2.∵AB =BC,∴∠A=∠C.在△ABF和△CFG中,AF=CG,∠A=∠C,AB=CF,∴△ABF≌△CFG(SAS),∴S△ABF=S△CFG.又易得BE=EG=2,∴S△BFE=S△EFG,∴S△EFC=S四边形ABEF,AF+AB+BE=CE+CF=10,∴直线EF是△ABC的“等分积周线”.。
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(1)证明:∵FG∥AE,∴∠2 =∠FGC. ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠FGC. ∴AB∥CD.
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(2)若FG⊥BC 于点H,BC 平分∠ABD,∠D=100°,
求∠1 的度数. (2)解:∵AB∥CD,∴∠ABD+∠D=180°. ∵∠D=100°,∴∠ABD=180°-∠D=80°. ∵BC 平分∠ABD,∴∠ABC= ∠ABD=40°. ∵FG⊥BC, ∴∠1+∠ABC=90°. ∴∠1=90°-40°=50°.
16. 如图,△ABC 为正三角形,点 B,C,D,E
在同一直线上,且 CG=CD=DF=DE,则
∠E= 15
°.
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17. 如图,点 F 在线段 AB 上,点 E,G 在线段 CD 上,FG∥AE,∠1=∠2.
(1)求证:AB∥CD; (2)若FG⊥BC 于点H,BC 平分∠ABD,∠D=100°,
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13. 如果等腰三角形的一个角是 80°,那么它 的底角是( A ) A. 80°或 50° B. 50°或 20° C. 80°或 20° D. 50°
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(3)如图 3,若△ABC 中∠B 的平分线 BO 与△ABC 外角平分线 CO 交于点 O,过点 O 作 OE∥BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F. 这时图中还有等腰 三角形吗?如果有,分别写出他们.EF 与 BE, CF 之间的数量关系又如何?请说明理由.
2024八年级数学上册第二部分期末专题复习专题2图形与几何习题课件新版新人教版

(1)图中与 MF 相等的线段是
;
CE
(2)当 BF + CE 取最小值时,∠ AFB
= 95
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19. [2023北京海淀区期中] 如图,在△ ABC 中, AC = BC ,
∠ ACB =90°, AD 平分∠ CAB ,交 BC 于点 D . 点 A
与点 E 关于直线 BC 对称,连接 BE , CE ,延长 AD 交
BE 于点 F .
(2)求证:△ BDF 是等腰三角形;
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(2)证明:∵ AC = BC ,∠ ACB =90°,
∴∠ CAB =∠ CBA =45°.
∵ AD 是∠ CAB 的平分线,
∴△ BDF 是等腰三角形.
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19. [2023北京海淀区期中] 如图,在△ ABC 中, AC = BC ,
∠ ACB =90°, AD 平分∠ CAB ,交 BC 于点 D . 点 A
人教版八年级数学上册期末专题复习:以等腰三角形为桥梁的几何题例析(含解析、点评、跟踪训练)

新人教版八年数学上册期末专题复习资料以等腰三角形为桥梁的几何题例析新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容,其中以等腰三角形为桥梁的题所占比例较大,在期末统考试题中高频出现,也是中考的热点题型;等腰三角形含特殊等腰三角形等边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系” 和“三线合一”是桥梁作用的支撑. 题目一. 平分角添加“垂直”,“平行”元素构成等腰三角形的举例.例1. 如图,⊿ABC 中,过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D ,交AB 于点E .=BC 7 ⑴.若∠=346,∠=B 39;求∠BCE 的度数; ⑵.若==AB 12,AC 10;求BE 的长. 分析:对于⑴问利用12∠=∠和∠+∠=1490,∠+∠=2390可以得到:∠=∠43 ;因为∠=∠+∠4B BCE ,结合∠=346,∠=B 39 可以求出∠=-=BCE 46397.⑵问结合⑴问∠=∠43可以得出=AE AC ,所以=-=-=-=BE AB AE AB AE 12102.例2.已知⊿ABC 中,∠=ACB 90,⊥CD AB 于点D ,AE 平分∠BAC ,交CD 于点F ,⊥EG AB 于点G .求证:=EG CF .分析:由AE 平分∠BAC ,∠=ACB 90,⊥EG AB 可以得出: =CE GE ;根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以得到∠+∠=CEA CAE 90, ∠+∠=CFE DAF 90,而AE 平分∠BAC 可以得到:∠=∠CAE DAE ,所以∠=∠CFE CEF ,所以=CE CF ;综上可证:=EG CF . 点评:例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件,利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等,从而得到等腰三角形为桥梁解决问题.例3.如图,在⊿ABC 中,∠=∠ABC 2C ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,⊥AE BC 于点E ;求证:=AC 2BE .解析: 过点A 作AF ∥BC 交BD 的延长线于点F .∴∠=∠1F ,∠=∠2C∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D本题有3个等腰三角形,其中通过作平行线构建出的等腰⊿ABF 是关键的一环;当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合,往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题.追踪练习: 1. 如图,在△ABC ,B C ∠∠、的平分线交于点P ,过点P 作DE ∥BC ,别交AB AC 、于点D E 、两点,已知,,AB a AC b BC 10===,则△ADE 的周长为 ( )A. 10B. 2a 2b +C.a b +D.a b 10++ 2. 如图,⊿ABC 中,过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D . 求证:∠>∠1C3.在四边形ABCD 中,AB ∥CD BD AD ⊥,BD 平分ABC ∠,,=∠=BC AD C 120,CD 2cm =;求AB 的长?M .138,则MAB ∠A5.如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠=BAC 90 ,BE 平分∠ABC ,⊥DE BC ,垂足为点D .⑴.求证:⊥AD BE ; ⑵.如果=BC 10 ,求+AB AE 的长.题目二.遇“垂直+中点”型以及“T 字”型结构连起的等腰三角形举例.例1.如图,在四边形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,点F 是边CD 的中点,且有AE BC,AF CD ⊥⊥ . ⑴.求证:AB AD =;⑵.若BCD 114∠= ,求BAD ∠的度数.解析:⑴.连结AC .∵点E 是边BC 的中点,AE BC ⊥ ∴AB AC = (垂直平分线的性质) 同理AD AC = ∴=AB AD⑵.∵AB AC,AD AC == ,且有AE BC,AF CD ⊥⊥。
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人教版八年级数学几何专题本页仅作为文档页封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2八年级数学下册期末专题复习和训练:几何计算题、证明题一、题型特点:四边形(五种常见的)、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中,……二、常见新型题型:动点、折纸、开放(条件、结论开放)、探索性(数量关系、位置关系),……三、图形搭建:三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形,…… 下面我根据图形搭建结构特征进行分类,列举一部分和本期几何部分(主要是平行四边形)的计算题、证明题,让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形 例1.ABCD 中,AB=4cm ,AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,求DF 的长? 分析:本题要求的DF 长的途径有两条:其一.DF CF CD =-;其二. DF DE AD AE ==-.比较容易得出BCF 是等腰三角形,即CF CB =的对边相等可以得出:,CD AB 4cm CB AD 7cm ====.故DF 743cm =-= 例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形,CD=BF. (1)、求证:△ACD ≌△CBF(边上的何处时,四边形CDEF 为平行四边形,且∠DEF=30°, 分析:⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ,而△ABC 、△ADE都是正三角形又可以给我们提供,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=条件,根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的DE CF =,所以CF DE =;要使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE .若四边形CDEF 为平行四边形,则FCD DEF 30∠=∠=;当EDB 30∠=时,就有FCD EDB ∠=∠,此时就能证得CF DE .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=,则ADB 603090∠=+=,AD BC ⊥;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征,所以当D 运动至BC 边上中点时,四边形CDEF 为平行四边形.练习:1.如图,在□ABCD 中,AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°,则∠B=(2.□ABCD 的周长为60cm,对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周 长比△BOC 的周长多10cm,则AD=( ),DC=( );3.□ABCD 中,∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点,若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=( ),∠BED=( ),AE=( )4. 已知□ABCD ,BE=AB,BF =BD. 求证:5. △ABC 是正三角形,AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA3⑴.判断四边形FADE 的形状?⑵.当∠BAC 为多少度时,四边形FADE 为矩形?⑶.当∠BAC 为多少度时,四边形FADE 不存在?7. 有一块如图的玻璃,不小心把DEF 部分打碎,现在只测得AB=60cm,BC=80cm ,∠A=120°,∠B=60°,∠C=150°,你能根据测得的数据计算AD 的长?二、以矩形搭建起来的图形例1.D 为□ABCD 外一点,∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形 分析:判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下,要判定ABCD 是矩形的途径有两条:其一、找一内角是直角;其二、找出对角线相等,即找出AC BD =.由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°,要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难,所以本题我们先想办法找出对角线相等,即找出AC BD =.我们发现本题在APC Rt 和BPD Rt 的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分可知:O 同时是AC BD 、的中点;所以自然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线(见图).根据以上条件,在APC Rt 和BPD Rt 中就有:AC 2PO =BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形,可判定ABCD 是矩形.例2. 矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,PE ⊥AC ,PF ⊥BD , ⑴.求PE+PF 的值?⑵.若点P 是AD 上的一动点(不与A D 、重合),还是作PE ⊥AC ,PF ⊥BD ,则PE+PF 的值是否会发生变化为什么分析:求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法,但本题不具备这方面的条件.本题从面积入手可以破题:如图连结PO ,只要我们能求出APO 和DPO 的面积之和问题便可以获得解决.略解:⑴.∵四边形ABCD 是矩形∴BAD 90∠=,,11OA AC OD BD 22==, AC BD =∴1OA OD BD 2==在ABD Rt 中,AB=3,AD=4;并且根据勾股定理有:222BD AB AD =+,即222BD 34=+,又BD 0> ,所以.=BD 5∴.==11OA OD BD 52522==⨯∵,11AOP OA PE DOP OD PF 22S S=⋅=⋅,且ABCD 11AOD 34344SS ==⨯⨯=矩形(过程略)∴++=11AOP DOP OA PE OD PF AOD 22SSS=⋅⋅,即..1125PE 25PF 322⨯⨯+⨯⨯=A BCDP E FO4∴12PE PF 5+=. ⑵.不会发生变化.这是因为AOD AOP POD 、、的面积以及作为底边的OA OD、不会发生变化. 练习:1. 矩形ABCD 中,AF=DE.求证:2. 矩形ABCD 中,BE ⊥AC ,CF ⊥BD.求证:BE=CF3. 矩形ABCD 中,DF 平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC 与∠COF 的度数?4、矩形ABCD 中,CE ∥BD ,则△ACE 为等腰三角形吗为什么5.如图,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B′处,又将△CEF 沿EF 折叠,使点C 落在EB′与AD 的交点C′处.则BC :AB 的值为多少?三、以菱形搭建起来的图形例1. △ABC 中,∠BAC=90°,BD 平分∠ABC ,AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证:四边形AEFD 是菱形分析:判定菱形方法主要有三种,三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出AD FD =,进而容易证明ABD ≌AFD ,所以BA BF =;再证明ABE ≌AFE可以得到EA EF =(也可以利用等腰三角形的“三线合一”);利用等角的余角相等可以推出ADE AED ∠=∠,所以EA DA =,于是AE EF FD DA ===,故四边形AEFD 是菱形.例2.(2012中考·自贡) 如图所示,在菱形ABCD 中,,AB 4BAD 120=∠=,AEF 为正三角形,点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动,且E F 、不与B C D 、、重合.⑴.证明不论E F 、在BC CD 、D 上如何滑动,总有BE CF =⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时,探讨四边形AECF 的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值.分析:⑴.先求证AB AC =,进而求证ABC ACD 、为等边三角形,得=BAC 60AC AB ∠=,进而求证ABE ≌ACF ,即可求得BE CF = ⑵.根据ABE ≌ACF 可得ABE ACF SS =;根据S四边形AECF=AEC S+ACFS=AEC S+BAE S =ABC S即可解得.⑴.证明:连接AC ,如下图所示. ∵四边形ABCD 为菱形,BAD 120∠= ∴,1EAC 602EAC 60∠+∠=∠+∠= ∴12∠=∠ ∵BAD 120∠=∴ABC 60∠=∴ABC 和ACD 都为等边三角形∴=460AC AB ∠=,∴在ABE 和ACF 中,12AB AC ABC 3∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ≌ACF ()ASA ∴BE CF =⑵.解:四边形AECF 的面积不变.理由:由⑴得ABE ≌ACF ,则ABE ACF SS=.故S 四边形AECF =AEC S +ACF S =AEC S +BAE S =ABC S 是定值. 作AH BC ⊥于H 点,则BH 2=S四边形ABCD =S ABC =2211BC AH BC AB BH 4322⋅=-练习:EFODAEFDBCAODACA B DE321E HABF1.已知ABCD,添加下列一个条件:①.AC⊥BD;②.∠BAD=90°;③.AB=BC;④.AC=BD.其中能使ABCD是菱形的为() A .①③ B.②③ C.④D.①②③2.菱形ABCD中,E为AB上的一点,CE交BD于F.求证:⑴.△ABF≌△CBF;⑵.∠BEC=∠DAF.3. 菱形的对角线的比是2:3,周长为1304cm,求菱形的面积?4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD AC BC、、分别交于点E O F、、求证:四边形AFCE是菱形 .5. 如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,点E、F分别是AB、AD上的动点,且满足BE=AF,接连EF、EC、CF.求证:△EFC是等边三角形6. 9、Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,且AF=CE.求证:四边形ACEF为菱形四、以正方形搭建起来的图形例1.正方形ABCD中,△DCE是等边三角形.⑴.求∠AED的度数?⑵.若OF=1,求AB的长?分析:⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,DA DE ADE9060150=∠=+=,所以得出:DAE DEA∠=∠,所以()11AED DAE180150301522∠=∠=-=⨯=.⑵.根据正方形的性质综合可以得出AC BD⊥,在AOFRt中,,FAO451530OF1∠=-==所以AF2OF2==,根据勾股定理可以求出22OA213=-=,所以AC BD23==.根据勾股定理或者面积公式可以得出:211AB AC BD2323622=⋅=⨯⨯=.又.AB0AB6>∴=.例2、正方形ABCD的面积为64,DE=2,P为AC上的一动点;求PD+PE的最小值?分析:在一条直线同侧的两点,到直线某点的距离之和最小,按如图所示作E的对称点'E(根据正方形的对称性,对称点'E恰好落在边BC上)连结'DE交AC于点'P,根据轴对称的性质''''''DE DP E P DP EP=+=+,此时和是最小的.根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC8=,所以CE CD DE826=-=-=。