人教版八年级数学几何专题

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八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题
一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，……
二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……
三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，…… 下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形 例1.
ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,
求DF 的长？ 分析：
本题要求的DF 长的途径有两条：其一.DF CF CD =-；其二. DF DE AD AE ==-.
比较容易得出BCF 是等腰三角形，即CF CB =的对边相等可以得出:,CD AB 4cm CB AD 7cm ====.故DF 743cm =-= 例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF. （1）、求证：△ACD ≌△CBF
（边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°, 分析：
⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ，而△ABC 、△ADE
都是正三角形又可以给我们提供
,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=条件，根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.
⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的DE CF =,所以CF DE =;要使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE .
若四边形CDEF 为平行四边形，则FCD DEF 30∠=∠=；当EDB 30∠=时，就有FCD EDB ∠=∠,此时就能证得CF DE .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=，则
ADB 603090∠=+=,AD BC ⊥;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D 运动至BC 边上中点时，四边形CDEF 为平行四边形.
练习：
1.如图,在□ABCD 中，AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（
2.□ABCD 的周长为60ｃｍ，对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周 长比△BOC 的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；
3.□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么
∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）4. 已知□ABCD ，BE=AB,BF =BD. 求证：5. △ABC 是正三角形，AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC
6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA
3
⑴.判断四边形FADE 的形状？
⑵.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 为矩形？
⑶.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 不存在？
7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm ，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD 的长？
二、以矩形搭建起来的图形
例1.D 为□ABCD 外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形 分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下，要判定
ABCD 是矩形的途径有两条：其一、找
一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC BD =.
由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出
AC BD =.
我们发现本题在APC Rt 和BPD Rt 的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O 同时是AC BD 、的中点；所以自
然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在
APC Rt 和BPD Rt 中就有：AC 2PO =
BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定
ABCD 是矩形.
例2. 矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ， ⑴.求PE+PF 的值？
⑵.若点P 是AD 上的一动点（不与A D 、重合），还是作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF 的值是否会发生变化为什么
分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.
本题从面积入手可以破题：如图连结PO ,只要我们能求出APO 和DPO 的面积之和问题便可以获得解决.
略解：⑴.∵四边形ABCD 是矩形
∴BAD 90∠=,,11OA AC OD BD 2
2
==, AC BD =
∴1OA OD BD 2
==
在ABD Rt 中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：2
2
2
BD AB AD =+，即222BD 34=+，又BD 0> ，所以.=BD 5
∴.==11OA OD BD 52522==⨯
∵,11
AOP OA PE DOP OD PF 22S S
=⋅=⋅，且
ABCD 11
AOD 34344
S
S ==⨯⨯=矩形(过程略)
∴++=11AOP DOP OA PE OD PF AOD 22S
S
S
=⋅⋅,即..11
25PE 25PF 322
⨯⨯+⨯⨯=
A B
C
D
P E F
O
4
∴12PE PF 5
+=
. ⑵.不会发生变化.这是因为AOD AOP POD 、、的面积以及作为底边的OA OD
、不会发生变化. 练习：
1. 矩形ABCD 中，AF=DE.求证：
2. 矩形ABCD 中，BE ⊥AC ，CF ⊥BD.求证：BE=CF
3. 矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC 与∠COF 的度数？
4、矩形ABCD 中，CE ∥BD ，则△ACE 为等腰三角形吗为什么
5.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为多少？
三、以菱形搭建起来的图形
例1. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,
求证：四边形AEFD 是菱形
分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出AD FD =,进而容易证明
ABD ≌AFD ,所以BA BF =;再证明ABE ≌AFE
可以得到EA EF =（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出
ADE AED ∠=∠,所以EA DA =,于是AE EF FD DA ===,故四边形AEFD 是菱形.
例2.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD 中，,AB 4BAD 120=∠=，AEF 为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且E F 、不与B C D 、、重合．
⑴.证明不论E F 、在BC CD 、D 上如何滑动，总有BE CF =
⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时，探讨四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.
分析：
⑴.先求证AB AC =，进而求证ABC ACD 、为等边三角形，得=BAC 60AC AB ∠=，进而求证ABE ≌ACF ，即可求得BE CF = ⑵.根据
ABE ≌
ACF 可得ABE ACF S
S =
;根据S
四边形AECF
=AEC S
+
ACF
S
=AEC S
+
BAE S =ABC S
即可解得.
⑴.证明：连接AC ，如下图所示. ∵四边形ABCD 为菱形，BAD 120∠= ∴,1EAC 602EAC 60∠+∠=∠+∠= ∴12∠=∠ ∵BAD 120∠=
∴ABC 60∠=
∴ABC 和ACD 都为等边三角形
∴=460AC AB ∠=，
∴在ABE 和ACF 中，12AB AC ABC 3∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴
ABE ≌ACF ()ASA ∴BE CF =
⑵.解：四边形AECF 的面积不变.
理由：由⑴得
ABE ≌
ACF ，则ABE ACF S
S
=
.
故S 四边形AECF =AEC S +ACF S =AEC S +BAE S =ABC S 是定值. 作AH BC ⊥于H 点，则BH 2=
S
四边形ABCD ＝S ABC =2211
BC AH BC AB BH 4322
⋅=-练习：
E
F
O
D
A
E
F
D
B
C
A
O
D
A
C
A B D
E
3
2
1
E H
A
B
F
1.已知ABCD，添加下列一个条件：①.AC⊥BD；②.∠BAD=90°；③.AB=BC；
④.AC=BD.其中能使ABCD是菱形的为（） A ．①③ B．②③ C．④
D.①②③
2.菱形ABCD中，E为AB上的一点，CE交BD于F.
求证：⑴.△ABF≌△CBF；⑵.∠BEC=∠DAF.
3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为130
4cm，求菱形的面积？
4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与
AD AC BC
、、分别交于点E O F
、、求证：四边形AFCE是菱形 .
5. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上
的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．求证：△EFC是等边三角形
6. 9、Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分
BC，且AF=CE.求证：四边形ACEF为菱形
四、以正方形搭建起来的图形
例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.
⑴.求∠AED的度数？
⑵.若OF=1，求AB的长？分析：⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出
,
DA DE ADE9060150
=∠=+=,所以得出：DAE DEA
∠=∠,所以
()
11
AED DAE1801503015
22
∠=∠=-=⨯=.
⑵.根据正方形的性质综合可以得出AC BD
⊥,在AOF
Rt中，
,
FAO451530OF1
∠=-==
所以AF2OF2
==,根据勾股定理可以求出22
OA213
=-=,所以AC BD23
==.根据勾股定理或者面积公式可以得出：211
AB AC BD23236
22
=⋅=⨯⨯=.又.
AB0AB6
>∴=.
例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点；
求PD+PE的最小值？
分析:
在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所
示作E的对称点'E（根据正方形的对称性，对称点'E恰好落在边BC上）
连结'
DE交AC于点'P,根据轴对称的性质''''''
DE DP E P DP EP
=+=+
,此时和是最小的.
根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC8
=,所以CE CD DE826
=-=-=。

所以'
CE6
=
根据正方形的性质和勾股定理可以求得：''
2222
DE CD E C8610
=+=+=;即PD+PE 的最小值为10.
B
A
D
C
F
E
E
O
D B C
A
F O
E D
A B
A
B C
D
P E
'E
'P
B
C A
F
E
D
5
6
练习:
1.正方形ABCD 中，∠DAF=25°，如图所示则∠BEC=( ).
2.在△ABC 中，∠B=∠C ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC,垂足分别为E 、F. ⑴.求证:△BOE ≌△CDF
⑵.当△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形？
3. 如图，边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后 得到的正方形EFCG 交AD 于点H,S 四边形HFCD =（ ）.
4. 正方形ABCD 中，其面积为1，△PDC 为正三角形，求△PBD 的面积？
5.E 为边长为1的正方形ABCD 的对角线上的一点，且BE=BC,P 为 CE 上的一动点，PQ ⊥BC ，PR ⊥BE ，求PQ+PR 的值？
6. 正方形AEFG 绕着正方形ABCD 点A 向外（逆时针）旋转一定角度，
连结BE GD 、（见图）.
⑴.求证：BE GD =
⑵.如果改成正方形AEFG 绕着正方形ABCD 点A 向内（顺时针）旋 转一定角度，连结BE GD 、.那么BE GD =这个结论还成立吗？请画出示
意图，并说明理由.
H G E
F D
A B C
F G
D
A
B E。