《几何画板》圆锥曲线的形成和画法

《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘要《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。

它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。

在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。

主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。

这两类课件在教学上都有很重要的应用。

最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。

”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。

现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。

第二类利用《几何画板》实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。

第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。

全文由三部分组成：第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。

第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。

第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。

关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。

引言The Geometer’s Sketchpad 是美国优秀的教育软件。

由美国Nicholas Jackiw 和Scott Steketee程序实现，Steven Rasmussen领导的Key Curriculum出版社出版。

它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》，以下简称《几何画板》。

它小巧玲珑，操作简单，是数学学习的有力助手。

它可以说是我们的数学实验室，因为它能够有效地使数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学结论，又得到了数学经验。

众所周知数学是训练逻辑思维的，尤其几何。

通过教师的辅导，我们在自己的记忆中形成—套逻辑思维体系。

那么怎样才能使我们更好地理解几何知识、掌握逻辑思维方法呢？一个方法是多看、多想，增加我们的学习经验，另一个方法就是寻找良好的辅助工具，帮助我们在动态的几何之中，去观察，探索。

《几何画板》就是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。

它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。

在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件，主要包括：用动态效果展示圆锥曲线的形成和圆锥曲线的画法。

这两类课件在教学上都有很重要的应用。

这里我所选择的《几何画板》版本为4.04版，目前最高的版本为5.0英文版，此外还有3.03版、4.03版和4.06版.下面我就课件的选题、制作及使用《几何画板》的感受几方面来展开我的论文。

第一部分几何画板的选题原则在数学教学过程中，不论是代数教学还是几何教学，遇到的最大困难就是：教师在教学过程重使用常规工具（如黑板，粉笔，圆规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，而且无法达到动态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过程中的规律。

《几何画板─21世纪的动态几何》。

顾名思义，《几何画板》就是一个可以很好的解决以上难题的辅助教学工具。

《几何画板》在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。

例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。

在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让《几何画板》大显身手。

当然，并不是所有教学都要利用《几何画板》来完成，也并不是所有教学内容都适合利用《几何画板》达到最好的效果，这就要遵循《几何画板》的选题原则：第一：《几何画板》可以动态地演示图形的变化过程。

例如：下面要展示的圆锥曲线和函数图象的变换的课件都体现了动态的特点；第二：《几何画板》可以有效地使数形结合。

例如：大量极值问题都可以通过《几何画板》来动态模拟。

第三：《几何画板》可以精确画出函数图形并表现其全部情况。

例如：函数教学中大量的绘图工作可以轻而易举地通过《几何画板》来完成。

而且对于一类函数，《几何画板》可以通过改变系数及参数而达到表现其全部情况的目的。

例如：三角函数中正弦函数y=A sin(ωx+φ)+d 的图像可以通过调整A，ω，φ，d的值得到不同的精确图像。

第四：《几何画板》最重要的是可以很好的表现图形的任意性。

例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在以往的教学过程中只能在黑板上画出几个三角形作代表，不能很好地说明三角形的任意性，而利用《几何画板》就可以任意拖动三角形的顶点以达到任意三角形的目的。

总之，在所做课件中我们能够充分体现出《几何画板》的以上优势，并能够恰当的应用到教学实践中，为教学服务。

这就可以称作是一个成功的课件设计。

利用《几何画板》就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果。

第二部分课件设计与制作第一类课件：圆锥曲线的形成选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。

在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。

在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。

现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。

这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。

原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。

制作过程：圆锥曲线的构造1．构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB；（1）过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏垂线。

用线段连接AH，分别在线段 HO和AH上任取点C和点D，连接CD；（2）作截面：以点C为圆心，以小线段r为半径作圆。

在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。

依次选定点E和点C并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E′，再依次选定点C和点D并标记为向量，把点E和E′按标记向量平移得到点F和F′。

同时选定点E、F、F′和E′，用线段相连得截面EFF′E′，并涂上浅黄色，如图 1所示：B rb() a()圆锥截面的形成<图 1> <图 2>注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：1）拖动点A或点B，可以改变椭圆的大小；2）拖动点C或点D，可以使截面EFF′E′上下移动或上下倾斜；3）拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。

2．构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程（1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O′A′=2|OA|，短半轴O′B′=2|OB|，椭圆中心为Ｏ′；（2）作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′=2 |OH|。

在椭圆上任取一点Ｐ，用线段连接O′Ｐ依次选定点Ｐ和点Ｈ′并标记为向量，把点Ｈ′按标记向量平移得点Ｐ′，用线段连接ＰＰ′和Ａ′Ｈ′；作P′轨迹，同时选定点P和点P′，执行〈作图/轨迹〉选项，求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆；作PP′轨迹，再同时选定线段PP′和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。

（3）作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，使O′C′=2|OC|。

过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′。

在直线a上任取一点M，选定点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′。

过点M 作EE′平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N′。

依次选定点M和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点Q和Q′。

隐藏直线d，用线段连接N、N′、Q′、Q得截面 NN′Q′Q，并涂上浅黄色。

（4）作圆锥曲线：先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G。

过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点。

分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c，并交于点R。

作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。

隐藏除直线a外的所有直线。

（5）求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。

根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。

用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线与PO′交于点G′，求点G′的轨迹即是。

（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。

分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆”如图2所示：第二类课件圆锥曲线的画法选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：1.利用圆锥曲线的第二定义；2.利用圆锥曲线的第一定义；3.利用圆锥曲线的参数方程；4.利用圆锥曲线的极坐标方程；5.利用圆锥曲线的标准方程。

此部分将将详细介绍以上方法，并将以动态的形式展示出来。

一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。

制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。

在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C为垂足。

<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC ，∠CBF=∠DAC （同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF 和⊿ADC 为相似三角形。