导数的四则运算导学案
导数的四则运算法则教案
《导数的四则运算法则》教案导数的概念及其几何意义一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ）A.4 x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()limh f x h f x h的值（ ）x 0，h 有关 x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ）A.2B.1C.08.设函数f (x )=，则()()limx af x f a xa 等于( ) A.1aB.2aC.21aD.21a9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 ΔsΔt 为( )A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( ) A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值 B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率21.已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3 C．6 D．1223.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－324.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B.12C．－12D．－125．已知曲线y＝x24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为()A．1 B．2 C．3 D．426．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0 B．－at0 C.12at0 D．2at0二、填空题27. 在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为____．28. 若质点M按规律s＝2t2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt]内，相应的平均速度_．29.已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__．30．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度是33．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是___．34.函数f(x)=3x2-4x在x=-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(3)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2 s时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y＝1x在点⎝⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．40.(2012·榆林调研)已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83。
导数的四则运算法则
)(0x x k x f =='切《导数的四则运算法则》导学案一、教学目标（1）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（2）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求一些简单函数的导数二、教学重点、难点教学重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用三、【复习巩固】 1、导数的几何意义：切线方程： 2、我们已学的直接使用的基本初等函数的导数公式①若f(x)=C （C 为常数），则f ′(x)=-------②若f(x)=x n ，则f ′(x)=-----③若f(x)=sinx ，则f ′(x)=------- ④若f(x)=cosx ，则 f ′(x)=-----⑤若f(x)=a x ，则f ′(x)=------- ⑥若f(x)=e x ，则f ′(x)=-----⑦若f(x)=log a x ，则 f ′(x)=----- ⑧ 若f(x) =lnx ，则 f ′(x)=-----3、掌握运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦))((000x x x f y y -'=-四、典例分析例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。
变式练习 1、设 f (x) = 3x 4 – e x+ 5cos x - 1，求 f '(x) 及 f '(0).处的导数。
【新教材精创】5.2.2导数的四则运算法则( 导学案)- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
5.2.2导数的四则运算法则 导学案1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．重点：导数的四则运算法则难点：运用导数的运算法则解决函数求导导数的运算法则(1)和差的导数[f (x )±g (x )]′＝______________．(2)积的导数①[f (x )·g (x )]′＝____________________；②[cf (x )]′＝________．(3)商的导数⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝___________________________ f ′(x )±g ′(x ); f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); cf ′(x );f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)一、 学习导引在例2中，当p 0=5时，p (t )=5×1.05t ,这时，求p 关于t 的导数可以看成求函数f (t )=5 与g (t )=1.05t 乘积的导数，一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？二、新知探究探究1： 设f (x )=x 2 ，g (x )=x ，计算[f (x )+g (x )]′与[f (x )−g (x )]′，它们与f(x)’和g(x)’有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？探究:2： 设f (x )=x 2 ，g (x )=x ，计算[f (x )g (x )]′与f(x)’g(x)’，它们是否相等？f (x )与g (x )商的导数是否等于它们导数的商呢？三、典例解析例3.求下列函数的导数（1）y =x 3−x +3;（2）y =2x +cosx;例4.求下列函数的导数（1）y =x 3e x ; （2）y =2sinx x 2;求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ； (2)y ＝x 3·e x ； (3)y ＝cos x x.跟踪训练2 求下列函数的导数（1）y ＝tan x ； （2）y ＝2sin x 2cos x 2例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t 水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为c(x)=5284100−x (80<x <100)求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1） 90% ；（2） 98%例6 (1)函数y ＝3sin x 在x ＝π3处的切线斜率为________． (2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．①求f (1)＋f ′(1)；②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为 ( )A ．1B ． 2C ．－1D ．02. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为 ( ) A.194 B.174 C.154 D.1343.如图有一个图象是函数f (x )＝13x x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，且a ≠0)的导函数的图象，则f (－1)＝ ( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或534.求下列函数的导数．(1)y ＝x －2＋x 2；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x x 2＋1；(4)y ＝x 2－sin x 2cos x 2.参考答案：知识梳理学习过程二、 新知探究探究1：设y =f (x )+g (x )=x 2+x ，因为∆y ∆x =(x+∆x )2+(x+∆x )−(x 2+x)∆x =(∆x )2+2x∆x+∆x∆x = ∆x +2x +1[f (x )+g (x )]′=y ′= ∆x→0lim ∆y ∆x = (∆x +2x +1 )=2x +1 ∆x→0lim而f (x )′= 2x , g (x )′= 1,所以[f (x )+g (x )]′=f (x )′+g (x )′同样地，对于上述函数，[f (x )−g (x )]′=f (x )′−g (x )′ 探究:2：通过计算可知，[f (x )g (x )]′=(x 3)’ =3x 2，f(x)’g(x)’= 2x ∙1= 2x ， 因此[f (x )g (x )]′≠f(x)’g(x)’，同样地[f (x )g (x )]′与 f (x )′g(x)’也不相等 三、 典例解析例3.解：（1）y ’=(x 3−x +3)’=(x 3)’ − (x)’+(3)’=3x 2−1（2）y ’=(2x +cosx)’=(2x )’+(cosx)’=2x ln2−sinx例4.解：（1）y ’=(x 3e x )’=(x 3)’e x +x 3 (e x )’=3x 2e x +x 3e x（2）y ’=(2sinx x 2)’=(2sinx)’x 2−x 3 (x 2)’(x 2)2=2x 2cosx−4xsinx x 4=2xcosx−4sinx x 3跟踪训练1 [解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 跟踪训练2 解析：（1）y ＝tan x ＝sin x cos x， 故y ′＝(sin x )′cos x －(cos x )′sin x (cos x )2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x . （2）y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，故y ′＝cos x . 例5 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；c ′(x)=(5284100−x )′ =5284’×(100−x)−5284 (100−x)’(100−x)2=0×(100−x)−5284 ×(−1)(100−x)2=5284 (100−x)2（1）因为c ′(90)=5284(100−90)2=52.84，所以，进化到纯净度为90%时，净化费用的变化瞬时率是52.84 元/吨.（2）因为c ′(98)=5284 (100−98)2=1321，所以进化到纯净度为90%时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6 (1)[解析] 由函数y ＝3sin x ，得y ′＝3cos x ， 所以函数在x ＝π3处的切线斜率为3×cos π3＝32. [答案] 32(2)[解] ①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x， 所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0， 问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点， 即f ′(x )＝0，所以2ax ＋1x＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．达标检测1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2.解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134. 答案：D3.解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝[x ＋(a ＋1)][x ＋(a －1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1－a －1>0，a ＋1a －1＝0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13. 答案：B4. [解] (1)y ′＝2x －2x －3.(2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2. (4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，1∴y′＝2x－2cos x.。
导数的四则运算教学设计
《导数的四则运算法则》教学设计一、复习导入1. 复习导数的定义及求导方法：/y =xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0/2. 基本求导公式：【设计意图】：通过让学生回顾导数的相关知识以及基本函数的求导公式，不仅巩固导数的概念及求法，同时也为下面探究导数的运算法则打下基础，有利于本节课的顺利进行。
二、探究新知（一）探究函数和（差）的求导法则1)(,2)()()()(1)()(.122='='='='''==x x g x x x f x g x f x x g x x f 生：和）求（。
，已知y )()(2''+=义求师引导学生用导数的定，求）令（y x g x f y12)12lim )()()(lim )()(lim lim 022000+=++∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+=∆∆='→∆→∆→∆→∆x x x xx x x x x x x x f x x f x y y x x x x （ ，12)(])()([2+='+'='+='x x x x g x f y 得到？并证明的导数之间有什么关系、与猜想)()(])()([.2x g x f x g x f '+ )()(])()([x g x f x g x f '+'='+生： )()(x g x f y +=证明：设[]xx g x f x x g x x f x y y x x ∆+-∆++∆+=∆∆='→∆→∆）（)()()()(lim lim00 []xx g x x g x x f x x f x ∆-∆++∆-∆+=→∆)()()()(lim 0=0lim x →()()f x x f x x+-+0lim x →()()g x x g x x +-=()()f x g x ''+)()(])()([x g x f x g x f '+'='+∴【设计意图】：提出问题引导学生去猜想证明，培养学生思考探索的精神，并且通过证明使学生明白法则的由来，有助于学生在理解的基础上掌握法则。
部编版2020学年高中数学第三章导数的四则运算法则同步导学案新人教B版选修70
3.2.1导数的四则运算法则学习目标：1掌握函数的和、差、积、商的求导法则2 能利用导数的四种运算法则求较简单初等函数的导数德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则难点：会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题活动一：自主预习，知识梳理设()()x g x f ,是可导的，则1.函数和（或差）的求导法则：()()()=±/x g x f 即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差），即n n ff f f f f /2/1/21)(±±±=±±±ΛΛ 2.函数积的求导法则：()()[]=/xg x f即两个函数的积的导数，等于 个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上 个函数的导数。
()[]()x Cf x Cf //=，此式可表述为：常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数3.函数商的求导法则：()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/x g x f （其中())0≠x g 特别时有()()()x g x g x g 2//1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡活动二：问题探究导数的运算法则成立的条件是什么？活动三：要点导学，合作探究要点一：利用导数运算法则求函数的导数例1： 求下列函数的导数（1）765432)(2345+-+-+=x x x x x x f（2）x x y sin = （3）x y 2sin =（4）x y tan =练习：求下列函数的导数（1）x x y ln -= （2）)1)(1(2-+=x x y （3）()22ln x x x f x+= （4）332++=x x y要点二：导数运算法则的综合应用例2：已知函数()),(23123R a R x ax x x x f ∈∈+-=，在曲线()x f y =的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线x y =垂直。
北师大1-1-3§4导数的四则运算法则导学案
第四章 数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算 基础自主预习1.复数的加法与减法（1）设bi a +和di c +是任意两个复数，则=+±+)()(di c bi a i d b c a )()(±+±. (2)复数加法的运算律复数加法满足交换律、结合律，即对任何,,,321C z z z ∈有=+21z z 12z z +，=++321z z z)(321z z z ++.2.复数的乘法与除法（1）设bi a +与di c +是任意两个复数，则=++))((di c bi a i bc ad bd ac )()(++-. 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何,,,321C z z z ∈有=⋅21z z 12z z ⋅，=⋅⋅321)(z z z )(321z z z ⋅⋅，=+⋅)(321z z z 3121z z z z +在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立，即=⋅nmz z nm z+，=n m z )(mnz，=n z z )(21nn z z 21)(+∈N n（2）共轭复数：),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为bi a z -=；在复平面内，复数),(R b a bi a z ∈+=与其共轭复数为bi a z -=对应的点关于x 轴对称；||||z z =且=⋅z z 22b a +=22||||z z =.（3）复数的除法i dc adbc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a di c bi a 2222))(())(()()(+-+++=-+-+=++=+÷+ 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i=-，11,11i ii i i i +-==--+ 练习：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 【答案】（1）i 28+；（2）i 52+；（3）i 412-练习：计算（1）)1)(1)(6(11)5(;11)4(;1)3(;)1)(2(,)1)(1(22i i ii i i i i i -++--+-+【答案】2)6()5(;)4(;)3(;2)2(;2)1(i i i i i ---练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--. 【答案】.2;7;25;5;34,23i i i i i -+----++∈z由①、②，得1.若复数z满足1)43(=-+iz，则z的虚部是（）A.2-B.4C.3D.4-【答案】B【解析】有复数的加减法运算知iz42+-=，故虚部为4.2．(1－i)2·i＝（）A．2－2i B．2+2i C．2 D．－2【答案】C【解析】(1－i)2·i22)121(2=-=⋅--iii3.2=的值为（）A.1- B.122+ C.122-+ D.1【答案】C212===-+，故选C4．【2010·辽宁抚顺市一模】若(2i)i ia b-=+，其中,a b∈R，i为虚数单位，则a b+=．【答案】3【解析】2i ia b+=+1,2a b⇒==．5.2006)11(ii-+=___________【答案】1-【解析】1)()11(,1122501420062006-==⋅==-+∴=-+iiiiiiiii智能提升作业1.设1z i=+（i是虚数单位），则22zz+= ( )A．1i-- B．1i-+ C．1i- D．1i+【答案】 D 【解析】2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++, 故选D. 2.复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -= 【答案】Ｂ【解析】由bia bi a -=+1得1))((=-+bi a bi a ，即221a b +=.反之也成立，故只能选B. 3．(浙江省桐乡一中2011届高三文)如果复数ibi212+-(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( )A ．2B ．32C ．32- D ．2 【答案】C 【解析】.,32,422.5)4(22)21)(21()21)(2(212C b b b i b b i i i bi i bi 选即-=+=-∴--+-=-+--=+-4.设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（ ） A ．0bc ad +≠ B.0bc ad -≠ C.0bc ad -= D.0bc ad +=【答案】C 【解析】由2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d ++-=++++,且因为 a bi c di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ．5.设复数z 的共轭复数是z ，若复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 为( ) A ．43B 34 C.34- D.43- 【答案】A【解析】i t t i t i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅,若21z z ⋅为实数，则034=-t ，从而43=t . 6.在复平面内，复数iii -++-11331对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】化简得()()()()()()i i i i i i i i 212111133331-=+-++-+--，对应的点在第四象限．7.若11i z =+，2i z a =-，其中i 为虚数单位，且12z z ⋅∈R ，则实数a = ． 【答案】1-【解析】,)1()1())(1(21R i a a i a i z z ∈+++-=++=⋅故.1,01-==+a a 8.若1z i=-,那么100501z z ++的值是【答案】1005010050111z z z i ==++=++- 50255025222()()11122i ii i i i i =++=++=++=【答案】3b =，0c =9.设复数z 满足1z =,且z i ⋅+)43(是纯虚数,求z -【解析】设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；z ⋅)43(=(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或， 所以 4343,5555z i i -=--+或10.设复数z 满足5||=z ，且z i ⋅+)43(在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)(,25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值.【解析】设出z 的代数形式),(R y x yi x z ∈+=∵5||=z ，∴2522=+y x .i y x y x yi x i z i )34()43()()43()43(++-=+⋅+=⋅+又z i ⋅+)43(在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴.03443=++-y x y x化简得x y 7=，将其代入2522=+y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22722y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22722y x .∴i z 22722+=或i z 22722--= 当i z 22722+=时，,25|71||2|=-+=-m i m z 即,507)1(22=+-m 解得0=m 或2=m . 当i z 22722--=时，同理可得0=m 或2-=m . 教学参考本节主要学习和应用导数的四则运算法则，从而为导数的广泛应用“架桥铺路”，所以要使学生准确地掌握法则，并熟练应用。
导数的四则运算法则导学案
导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。
导数的四则运算法则教案
解y=x′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx
例3求y=tanx的导数
解 即（tanx）′=sec x
注:用类似的方法可得（cotx）′=-csc x
(secx)′=secxtanx (cscx)′=-cscxcotx
练习一：
求下列函数的导数
（1）y=2x4-x2-x+3（2）y=2ex（3）y=3cosx-4sin（4）y=x3+log2x（5）y=(x3-1)sinx（6）y=(x3-1)/sinx
研究点
提高学生观察和导数计算能力
教学过程
教学内容
师生活动
一、
复习
讲解
四、
反馈
练习
五、
小结
内容
1、回顾基本初等函数的导数公式并填写相关公式
2、设计练习，巩固公式
⑴求下列函数的导数
①y=5②ƒ(x)= x12③y=x-4
④g(x)= 2x⑤ƒ(x)=log5x⑥h(x)=sinx
的四则运算法则
教师例题板演
学生认真听讲
讲练结合
师生共同总结
六、
布置
作业
课后作业
课本第51页练习1，2
课后完成
练习二：
⑴已知函数ƒ(x)=10x+lgx,求ƒ’(1)的值
⑵已知函数y=xlnx①求函数的导数
②求函数在x=1处的切线方程
1、基本初等函数的求导公式（熟记）
2、函数求导的四则运算法则（和差积商）
提出问题，学生回顾
学生板书，填写公式
教师强调差别类比记忆
学生练习，巩固公式
教师评讲，灵活运用
学生口述导数
学案1：5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.2导数的四则运算法则【学习目标】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导【自主学习】知识点1导数的运算法则知识点2复合函数的导数【合作探究】探究一 导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ； (3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2.归纳总结：可以先化简，再求导练习1求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.探究二复合函数求导法则的应用例2求下列函数的导数：(1)y＝(1＋cos 2x)3；(2)y＝sin21 x；(3)y＝11－2x2；(4)y＝(2x2－3)1＋x2.归纳总结：1.分层2.分别求导3.相乘4.带回变量练习2求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝1(1－3x)4；(3)y＝31－3x；(4)y＝x·2x－1；(5)y＝lg(2x2＋3x＋1)；(6)y＝2πsin(2+)3x.探究三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .归纳总结：涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多.练习3(1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 【达标检测】1.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2 2.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2 3.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2. 其中正确的有 .4.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .5.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.【参考答案】【自主学习】知识点1导数的运算法则f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) f ′(x )g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 知识点2复合函数的导数x 的函数y ＝f (g (x )) y u ′·u x ′ y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积【合作探究】探究一 导数运算法则的应用例1解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x 2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 练习1解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 探究二 复合函数求导法则的应用例2解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′ ＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝uv ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2，令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x 21＋x 2＝x 1＋x 2， ∴y ′＝(uv )′＝u ′v ＋uv ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x 1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2. 练习2解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′ ＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1.∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. (5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3，则y ＝u 2，u ＝sin v ， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 探究三 导数几何意义的应用例3【答案】(1)4x －y －3＝0 (2)1【解析】(1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. 练习3【答案】(1)2 (2)12【解析】(1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12. 【达标检测】1.【答案】B【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 2.【答案】A【解析】由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A. 3.【答案】①④【解析】(x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝ 2cos 2x ，③错误；(x x ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 4.【答案】5x ＋y －3＝0【解析】因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.5.解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u -，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x . (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.。
学案8：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则1.了解导数的四则运算法则推导方法．2.理解复合函数求导的方法与步骤．3.掌握运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题．新知提炼1．导数的四则运算法则 设f (x )、 g (x )是可导的，则2.(1)复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的 ，记作y ＝f (g (x ))． (2)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′ ·u x ′，即y 对x 的导数等于 与 的乘积．自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (3)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) (4)当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）g 2（x ）.( )2．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′⎝⎛⎭⎫π4＝( )A.2 B ．－2 C ．0D.223．已知f (x )＝11＋x ，则f ′(x )等于( )A ．11＋xB ．－11＋xC ．1（1＋x ）2D ．－1（1＋x ）24．函数y ＝x ln x 的导数为________．题型探究题型一 应用求导法则求导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 4＋3x 3－2x －5； (2)y ＝x log 3x ； (3)y ＝sin x x ；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.方法归纳求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .题型二复合函数的求导运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.方法归纳求复合函数的导数的步骤跟踪训练求下列函数的导数：(1)y＝ln 1x；(2)y＝e3x；(3)y＝5x＋3.题型三导数的应用例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．方法归纳利用导数的几何意义解决复杂函数的切线问题是高中数学的热点，导数是一种重要的解题工具，应熟练掌握应用导数公式及导数的四则运算法则求已知函数的导数． 跟踪训练 若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．素养提升1．利用求导法则求导数比用导数定义求导简单易行，前提是记清常用函数求导公式，理解导数四则运算法则．2．运用导数四则运算法则需注意的问题(1)当函数式比较复杂时，要将函数式先进行化简，化成若干较简单的基本初等函数的四则运算形式，然后再利用求导法则进行运算．(2)在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．例如求函数y ＝x －12x 的导数，先化简为y ＝12－12·1x ，再求导，可使问题变得更简单．(3)运用法则的前提条件是将函数化简、变形为基本函数的和、差、积、商的形式，所以对导数公式表中函数的结构特点要记清，避免出现错用公式的情况． 3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数． 失误防范运用积与商的导数运算法则时，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及[f （x ）g （x ）]′＝f ′（x ）g ′（x ）这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”号，商的导数法则中分子上是“－”号．当堂检测1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x2．函数y ＝x cos x －sin x ＋π的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x3．函数y ＝e 2x ＋e －x 的导数为________． 4．已知f (x )＝e xx ，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，求x 0的值．参考答案新知提炼1． f ′(x )±g ′(x ) 和(或差) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) g （x ）f ′（x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）2.(1)复合函数(2)y 对u 的导数 u 对x 的导数自我尝试1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．A 3．D 4．ln x ＋1题型探究题型一 应用求导法则求导数例1 [解] (1)y ′＝(x 4＋3x 3－2x －5)′＝(x 4)′＋(3x 3)′－(2x )′－5′＝4x 3＋9x 2－2. (2)y ′＝(x log 3x )′＝x ′log 3x ＋x (log 3x )′＝log 3x ＋x x ln3＝log 3x ＋1ln3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x （sin x ）′－x ′sin x x 2＝x cos x －sin xx 2. (4)先化简，原式y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，故y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 跟踪训练 解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x . (3)y ′＝(cos x x )′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 题型二 复合函数的求导运算例2 [解] (1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，因为y x ′＝y u ′·u x ′＝4u 3·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x .所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x .跟踪训练 解：(1)函数y ＝ln 1x 可以看作函数y ＝ln u 和函数u ＝1x 的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝1u ·(－1x 2)＝－1x. (2)函数y ＝e 3x 可以看作函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数，根据复合函数求导法则有 y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝e u ·3＝3e 3x .(3)函数y ＝5x ＋3可以看作函数y ＝5u 和函数u ＝x ＋3复合而成，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝52u ·1＝52x ＋3 . 题型三 导数的应用例3 [解] (1)因为y ′＝2x ＋1，y ′|x ＝1＝3. 所以直线l 1的方程为y ＝3x －3. 设直线l 2过切点(b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以2b ＋1＝－13，解得b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52. 所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)，l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，(－223，0)，所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.跟踪训练 解：由于f (x )＝e x x ，所以f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，所以f ′(c )＝e c （c －1）c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，所以e c c ＋e c （c －1）c 2＝0，所以2c －1＝0得c ＝12.当堂检测1．D【解析】 y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1， y ′＝－8x ＋5，选D. 2．B【解析】 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＋π′＝x ′cos x ＋x ·(cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 3．2e 2x －e －x【解析】y ′＝(e 2x )′＋(e －x )′ ＝e 2x (2x )′＋e －x (－x )′ ＝2e 2x －e －x .4．解：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0（x 0－1）x 20＋e xx 0＝0.解得x 0＝12.。
学案7：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则新知初探已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？1．导数的四则运算法则(1)设f (x )，g (x )是可导的，则 法则 语言叙述[]f (x )±g (x )′＝ 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数[f (x )g (x )]′＝ 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 2．复合函数y ＝f (μ(x ))的导数y ＝f (μ(x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(μ(x ))＝dy dμ·du dx＝f ′(μ)·μ′(x )．1.()f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )的推广(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[]af (x )±bg (x )′＝af ′(x )±bg ′(x )．2．求复合函数的导数应注意(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．题型探究题型一 利用导数的四则运算法则求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[一点通] 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1．函数y ＝x 2·sin x 的导数是( )A ．2x ·sin x ＋x 2·cos xB ．x 2·cos xC ．2x ·sin x －x 2·cos xD ．2x ·cos x2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B .163C.133D.1033．求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(4)y ＝lg x －1x 2.题型二 简单的复合函数求导[例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.[一点通] 求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′；(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程． 跟踪训练4．函数y ＝cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝sin 2xB ．y ′＝－sin 2xC ．y ′＝－2sin 2xD ．y ′＝2sin 2x5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y ＝3－x ；(2)y ＝12ln (x 2＋1)；(3)y ＝a 1－2x (a ＞0，a ≠1)．题型三曲线切线方程的确定与应用[例3](12分)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[一点通]基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．跟踪训练7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.8．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．课堂小结1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)正确分析函数的复合层次；(2)中间变量应是基本初等函数结构；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．当堂检测1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x 2．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( )A ．n sin n －1xB ．n cos n －1x C ．cos n x D ．n sin n －1x ·cos x 3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．已知直线y ＝x ＋1与曲线f (x )＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－25．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 7．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos x x 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)；(4)y ＝x 1＋x 2；(5)y ＝sin 3x ＋sin x 3.8．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．参考答案新知初探问题1：提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 问题2：提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1x 2. 问题3：提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 问题4：提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0，而f ′(x )·g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x2.1． (1) f ′(x )±g ′(x ) 和(或差)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 第一个函数乘上第二个函数的导数分母的平方题型探究[例1] [解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. 跟踪训练1．A【解析】y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．D【解析】f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103. 3．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x. (3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x3. [例2] [解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)∵y ＝e 2x ＋1由函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(4)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3由函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋π3复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 跟踪训练4．C【解析】y ′＝－sin 2x (2x )′＝－2sin 2x .5．10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4，∴f ′(0)＝10.6．解：(1)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u ·(－1)＝－123－x. (2)设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝x x 2＋1. (3)令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u ′x ＝a u ·ln a ·(－2)＝a 1－2x ·ln a ·(－2)＝－2a 1－2x ln a .[例3] [解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分) 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．(9分) 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．(10分)所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)跟踪训练7．12【解析】因为y ′＝2ax －1x，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0， 所以a ＝12. 8．解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， 由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14. 因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 课堂小结1．C【解析】f ′(x )＝(x －5＋3sin x )′＝(x －5)′＋(3sin x )′＝－5x －6＋3cos x .2．D【解析】由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，∴y x ′＝y t ′·t x ′＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .3．B【解析】y ′＝－1(2x －1)2，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x ＋y －2＝0.4．B【解析】设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln (x 0＋a )．又由f ′(x 0)＝1x 0＋a＝1，得x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.5．0【解析】∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 6．1【解析】∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝ 2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.7．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.(4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x ()1＋x 2′ ＝ 1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (5)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.8．解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴f ′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
导数的四则运算法则教案
执教
飞燕
学科
高等数学
课题
导数的四则运算法则
课型
新授课
教学目标
1、熟记基本初等函数的导数公式活运用
3、培养学生观察、计算能力
2、掌握导数的四则运算法则，并灵活运用
教学重点
1、熟记基本初等函数的导数公式
2、灵活运用导数的四则运算法则求函数导数
教学难点
积和商求导法则区别和联系，灵活求解函数导数
教师例题板演
学生认真听讲
讲练结合
师生共同总结
六、
布置
作业
课后作业
课本第51页练习1，2
课后完成
函数的和、差、积、商的求导法则
定理1：如果函数 、 都在 处具有导数， 那么它们的和、差、积、商都在 处具有导数，则有：
= ：
= +
= （ 0）；
推论1：
推论2： =
例1 求y=(sinx)+x2的导数.
解 y′=(sinx) ′+（x2）′=cosx+2x
例2 求y=xsinx的导数
解y=x′sinx+x(sinx) ′=sinx+xcosx
例3 求y=tanx的导数
解 即（tanx）′=sec x
注: 用类似的方法可得 （cotx）′=-csc x
(secx) ′=secxtanx (cscx) ′=-cscxcotx
练习一：
求下列函数的导数
（1）y=2x4-x2-x+3（2）y=2ex（3）y=3cosx-4sin（4）y=x3+log2x（5）y=(x3-1)sinx（6）y=(x3-1)/sinx
练习二：
导数的四则运算法则教案
导数的四则运算法则（陈秀成）
（一）教学目标
１．知识与技能：
了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导；掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。
２．过程与方法：
利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入课题，通过学生的猜想、尝试，探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解。
３．情感与价值观：
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。。
（二）教学重点、难点
教学重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用。
（三）教学方法
本节在教学中可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行。
（四）教学过程
学生思考，教师引导，教师和学生一起证明。
引导学生去猜想、证明，让学生通过自己的思考，获取新知识，发展学生的创新能力。
问题3设 是可导的，且 ，则： 。
教师提出问题，学生自己证明
教师给出答案，并对一些常见错误重点指出。
通过练习，锻炼学生的分析问题的能力。
应
用
举
例
例1（1）求函数 的导数。
（2）求函数 的导数。
概
念
形
成
问题1对于上面的猜想：即 教师给予确Fra bibliotek，让学生自己证明。
教师提出问题，学生思考回答。
让学生自己动手证明，教师检查写的过程。
提出问题，引导学生去猜想、证明，培养学生探索思考的精神。
问题2设 是可导的，则：
导数四则运算学案
§1.2.3导数的四则运算法则学案（1） 教学目标 知识与技能：能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，理解并掌握复合函数的求导法则． 过程与方法：掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导数．情感态度价值观：通过利用导数方法解决实际问题，体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力． 重点导数的四则运算法则（加法+乘法） 难点导数的四则运算法则的应用 小卷重点导数的四则运算法则的应用 教法 问题探究，讲授 教具 学案一、复习导入：1、导数的定义：()()()xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00lim lim2、基本求导公式: ()()()()()10ln 1log sin cos cos sin ln n n x x a c x nx a a a x x x x x x a -'''==='''===-3、巩固练习：求下列函数的导数：()()='='23x x利用导数的定义求()23x x x f +=的导数.猜想：[()()]()()f x g x f x g x '''++与的关系?二、导数四则运算法则()()是可导的设x g x f ,1、函数和（或差）的求导法则： 即：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）2、函数积的求导法则：即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.即：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.例1、（1）求函数 的导数例2、（1）求x x y sin =的导数. （2）求2ln y x x =的导数.变式：求下列函数的导数[]()()()().f xg x f x g x '''±=±2()sin f x x x =+.2623)()2(23的导数求函数+--=x x x x g []()()()()()g ().f x g x f x x f x g x '''=±[]()()Cf x Cf x ''=（1）()()2325y x x =+- （2）()()35738y x x =-+ 例3、求下列函数在指定点的导数：（1）cos ,4y x x x π== （2）2321,0y x x x =++=例4、已知函数()x f 的导函数()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A.-eB.-1C.1D.e变式：已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'4πf = 抚顺德才高中高二当堂检测卷（数学选修2-2第一章小卷）课题：1.2.3导数的四则运算（1）检测重点：导数的四则运算法则的应用1．下列求导运算正确的是：（ ）A ．211)1(xx x +='+ ； B ．2ln 1)(log 2x x ='； C ．e x x 3log 3)3(⋅=' ； D ．x x x x sin 2)cos (2-='。
《导数的四则运算法则》导学案
第4课时导数的四则运算法则1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则.2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.问题1:基本初等函数的导数公式表:①若f(x)=c,则f'(x)=;②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)=;③若f(x)=sin x,则f'(x)=;④若f(x)=cos x,则f'(x)=;⑤若f(x)=a x,则f'(x)=(a>0);⑥若f(x)=e x,则f'(x)=;⑦若f(x)=log a x,则f'(x)=(a>0,且a≠1);⑧若f(x)=ln x,则f'(x)=.问题2:导数运算法则①[f(x)±g(x)]'=;②[f(x)·g(x)]'=;③[]'=(g(x)≠0).④从导数运算法则②可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'=.问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.f'(x)=.问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'=.(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).1.函数y=lg x的导数为().A.B.ln10C.D.2.曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于().A.±4B.±2C.2D.43.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于.4.求下列函数的导数.(1)y=sin(x+);(2)y=lo x2-lo x.求函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2;(2)f(x)=.求曲线的切线方程已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.导数公式的综合应用已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=1+sin cos;(3)y=-2x.(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.1.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为().A.1B.2C.eD.2.曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是().A.[0,]∪[,π)B.[0,π)C.[,]D.[0,]∪[,]3.设函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.4.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.(2012年·新课标卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.考题变式(我来改编):第4课时导数的四则运算法则知识体系梳理问题1:①0②αxα-1③cos x④-sin x⑤a x ln a⑥e x⑦⑧问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1问题4:(1)f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)基础学习交流1.C∵(log a x)'=,∴(lg x)'=.2.B y'=3x2,∵y'|x=α=12,∴3α2=12,解得α=±2,选B.3.4∵y=(x+1)2(x-1)=(x2-1)(x+1)=x3+x2-x-1,∴y'=(x3)'+(x2)'-(x)'-(1)'=3x2+2x-1,∴y'|x=1=4.4.解:(1)∵y=sin(x+)=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.(2)∵y=lo x2-lo x=2lo x-lo x=lo x(x>0),∴y'=(lo x)'==-.重点难点探究探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是,正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'==.【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三:【解析】∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,即P在y=上,∴y'=.又∵k AB=,∴=,得x0=1.由y0=,得y0=1,∴P(1,1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.思维拓展应用应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3) +(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x,y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)'=-2x ln2=-2x ln2=-2x ln2.应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,y'=-,切点为(,0),∴切线方程为y-0=-(x-),即2πx+4y-π2=0.(2)y'==,y'|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点P 0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).∴d==.基础智能检测1.A由条件得y'=e x,根据导数的几何意义,可得k=y'|x=0=e0=1.2.A∵(sin x)'=cos x,∵k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴αl∈[0,]∪[,π).3.∵f'(x)=,∴f'(1)==-1,∴ln a=-1,∴a=.4.解:设切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=.∴f'(x0)==k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.∴k==.全新视角拓展4x-y-3=0由题意得,y=x(3ln x+1)=3x ln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4,由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.。
北师大1-1-3§4导数的四则运算法则导学案-推荐下载
5x 3y 13 x 4 y 2
，解得
x
y
2 1
z1 (3 2 1) (1 4 2)i 5 9i,
1-3．
( 2 i) (1 2 i) (1 3 i) _______ .
3
3 24
7
【答案】
5
i
6 12
2i, (1 i)2
2i
1
，
i
1 i
，
i,1 i
i
i
1i 1i
练习：计算（1） (1 4i)+(7 2i) （2） (5 2i)+(1 4i) (2 3i) （3）
(3 2i)- [ (4 3i) (5 i)]
【答案】（1） 8 2i ；（2） 2 5i ；（3）12 4i 练习：计算（1） (1)(1 i)2 , (2)(1 i)2 ; (3) 1; (4) 1 i ; (5) 1 i (6)(1 i)(1 i)
（2） (1 i)2 (1 i)2 4
算律，尤其是结合律来进行一些简单的复数运
(1 4i)(1 i) 2 4i
（3）
3 4i
思路分析：应用复数的乘法法则及乘法运算律可顺 利求（1）（2）的值，对于（3），应用复数的除法运
算，分子分母同乘以 3 4i ，将分母实数化即可. 解：（1） (2 i)(1 2i)(2 i) 5i
则 a b 的值是（ ）
A． 1 B． 2 C． 2 D． 1
2
2
【答案】C
【解析】 1 2i (1 2i)(1 i) 3 i ，于是 1 i (1 i)(1 i) 2
5.2.2导数的四则运算法则教案—-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册-
5.2.2 导数的四则运算法则一、教学目标1. 理解并掌握导数的四则运算法则；2. 能够综合运用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.二、教学重难点1. 教学重点运用导数的四则运算法则求函数的导数.2. 教学难点函数积、商的求导法则.三、教学过程（一）新课导入1. 复习：基本初等函数的导数公式：（1）若()f x c =(为常数)，则()0f x '=；（2）若()(f x x αα=∈Q ，且0)α≠，则1()f x x αα-='；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x ='；（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；（5）若()(0x f x a a =>，且1)a ≠，则()ln x f x a a ='；特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；（6）若()log (0a f x x a =>，且1)a ≠，则1()ln f x x a ='； 特别地，若()ln f x x =，则1()f x x'=. 2. 那么如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？（二）探索新知探究1 设2()()f x x g x x ==，，计算[()()]f x g x '+与[()()]f x g x '-，它们与()f x '和()g x '有什么关系？设2()()y f x g x x x =+=+， 因为222Δ(Δ)(Δ)()(Δ)2ΔΔΔ21ΔΔΔy x x x x x x x x x x x x x x x+++-+++===++·， 所以Δ0Δ0Δ[()()]lim lim(Δ21)21Δx x y f x g x y x x x x →→+===++='+'. 而2()()2()1f x x x g x x '''=='==，，所以[()()]()()f x g x f x g x +='+''.依照上述方法，学生自主计算[()()]f x g x '-及其与()f x '和()g x '的关系.得到[()()]()()f x g x f x g x -='-''.结论：两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数法则：[()()]()()f x g x f x g x ±='±''. 例1 求下列函数的导数：（1）33y x x =-+；（2）2cos x y x =+.解：（1）332()(3)()(3)31y x x x x x ''''='-+=-+=-.（2）(2cos )2(cos )2ln 2(s )in x x x y x x x '=+=+=-'''.探究2 设2()()f x x g x x ==，，计算[()()]f x g x '与()()f x g x ''，它们是否相等？()f x 与()g x 商的导数是否等于它们导数的商呢？32[()()]()3f x x x x g '='=，()()212f x g x xx ''==·， 因此[()()]()()f x g x f x g x ''≠'. 同样地，()()f x g x '⎡⎤⎢⎥⎣⎦与()()f x g x ''也不相等. 事实上，对于两个函数()f x 和()g x 的乘积（或商）的导数，有如下法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 由函数的乘积的导数法则可以得出[()]()()()cf x c f x cf x cf x ''''=+=，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[()]()cf x cf x '='.例2 求下列函数的导数：（1）3x y x e =；（2）22sin x y x=. 解：（1）33323e ()e e e )3e (()x x x x x y x x x x x '==+=+'''.（2）222222432sin (2sin )2sin ()2cos 4sin 2cos 4sin ()x x x x x x x x x x x x y x x x x ''---⎛''⎫==== ⎪⎝⎭. （三）课堂练习1.若函数sin ()1x f x x =+，则(0)f '等于( ) A.-2B.-1C.1D.0 答案：C 解析：2(1)cos sin ()(1)x x x f x x +-'=+，cos0(0)11f '∴==.故选C. 2.已知21()2(2019)2019ln 2f x x xf x '=-+-，则(1)f '=( )A.2017B.2018C.2019D.2020答案：D 解析：易知2019()2(2019)f x x f x''=-+-，令2019x =，得(2019)2020f '=， 则(1)1404020192020f '=-+-=.故选D.3.函数()e sin x f x x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )A.0B.π4C.π3D.π6 答案：B解析：由题意得，()e sin e co 's e (sin cos )x x x f x x x x x =+=+， 所以函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线的斜率()1'0k f ==，则所求的倾斜角为π4. 故选B.4.已知函数314,03()1ln ,01x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为_________. 答案：14或-4 解析：224,0()11,01x x f x x x x⎧-<⎪'=⎨-<<⎪⎩，若()12f a '=，则2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或-4.5.求下列函数的导数.（1）()221(31)y x x =-+； （2）2211x x y x x -+=++； （3）3e 2e x x x y =-+；（4）2ln 1x y x =+. 答案：（1）方法一：()23221(31)6231y x x x x x =-+=+--， ()()()32322'''623162(3)184''3y x x x x x x x x ∴=+--=+-=+-. 方法二：由导数的乘法法则得()()()22221(31)21(31)'''4(31)321y x x x x x x x =-++-+=++-222124631843x x x x x =++-=+-.（2）根据题意把函数的解析式整理变形可得2222211221111x x x x x x y x x x x x x -+++-===-++++++， ()()()222222212(21)2211'x x x x x y x x x x ++-+-∴=-=++++.（3）根据求导法则可得()()()()()''''3e 2e 3'e ''3e 2x x x x x x x x y =-+=+-3ln 3e 3e 2ln 2(3e)ln 3e 2ln 2x x x x x x x =⋅+-=-.（4）根据题意，利用求导的除法法则可得()()()2222(ln )1l 1''1'n x x x x y x +-⋅+=+()()()22222211ln 2(12ln )111x x x x x x x x x +-⋅-+==++. （四）小结作业小结：导数的四则运算法则及运用导数的四则运算法则求函数的导数. 作业：四、板书设计5.2.2 导数的四则运算法则对于两个函数()f x 和()g x ，有如下法则：[()()]()()f x g x f x g x ±='±''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；[()]()cf x cf x '='；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦.。
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§4导数的四则运算法则
【学习目标】
1、掌握导数的四则运算法则；
2、利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求一些函数的导数。
【重点、难点】
重点：四则运算法则；
难点：四则运算法则的运用。
【使用说明与学法指导】
1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2.用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；
【自主探究】
1.和（差）求导法则：若函数)(x f 、)(x g 有导数，则
[]_______________)()(='±x g x f
2.积的求导法则：若函数)(x f 、)(x g 有导数，则[]_____
__________)()(='x g x f
3、商的求导法则：若函数)(x f 、)(x g 有导数，0)(≠x g 则_______________)()(='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x g x f 【合作探究】
1、求下列函数的导数
（1）3334++-=x x x y （2）x x y tan =
（3）)cos (sin x x e y x += （4）x x y ln =
（5）112+-=x x y
（6）1ln 2+=x x y
2、已知函数()(
)cos sin 4f x f x x π'=+，求)4(πf ．
1、 设函数()b
f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2)f 处的切线方程为
74120x y --=，求()y f x =的解析式。
【巩固提高】
1、设()2sin f x x x =-，若0()0f x '=且0(0,)x π∈，求0x ．
2、点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值 .
3、已知函数32()2,()f x x ax g x bx c =+=+的图象都经过点P (20)，，且在点P 处有公共切线，求)(x g
4、已知函数32
1
()2()3f x x x ax a R =-+∈，在曲线()y f x =的所有切线中，仅有一条切线l 与直线y x =垂直。
（1）求a 的值和切线l 的方程；
（2）设曲线()y f x =上任意点的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围。
【课堂小结】。