高等数学格林公式

解 ： 补 上 线 段OA， 组 成 闭 曲 线,
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
y
L
xdy x2
ydx y2
D
Q x
P y
dxdy
0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L
记D1由L 和l 所围成,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y) a x b,1( x) y 2 ( x)}
D {( x, y) c y d , 1( y) x 2 ( y)}
Q dxdy
d
dy
2( y)Qdx
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
D2 L2
D L
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
D
由于 OA
xdy
0,
BO
xdy
Байду номын сангаас
0,
AB
xdy
D
dxdy
1 4
r
2
.
例3： 计 算
L
xdy x2
ydx y2
, 其 中L为 一 条
无重点，
分 段 光 滑 且 不 经 过 原 点的 连 续 闭 曲 线 ，L的
方 向 为 逆 时 针 方 向.
解 记L所围成的闭区域为D ,
则
P
y x2 y2
,
Q
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
d
dy
Q[
x,
y]
2
(
y)
D dx
c 1( y) x
c
1( y)
c
d
Q(
2(
y),
y)
Q(1(
d
y),
y)
dy
曲线EAC
:
x 1(
y y,
y),
c Q( 2( y), y)dy
c
Q( 1(
y),
y
)dy
曲
线CBE
:
x 2(
y y,
y
),
=
Q( x, y)dy
CBE
Q( x, y)dy
o
3 1dxdy 2 dxdy
D
D
2 32 18 2倍D的面积.
y
例2：计算 xdy,其中曲线AB是半径A AB
为r的 圆 在 第 一 象 限 部 分.
D
解 引入辅助曲线L ,
oL
Bx
L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy OA xdy AB xdy BO xdy,
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连
续偏导数, 则有
ÑL Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
CAE
y
E
d
= Q( x, y)dy Q( x, y)dyx 1( y)
CBE
EAC
A
DB
= L Q( x, y)dy
c
C
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
( 其 中l 的 方 向参数方程： xy 取逆时针方向)
y2 r2
r cos , r sin ,
(注意格林公式的条件)
例4：计算 e x sin y 3 y dx e x cos y 3 dy,其中AnO为 AnO
x2 y2 ax的上半圆周自A(a,0)到O(0,0)一段.
应用格林公式,得
l D1
or
x
Ll
xdy ydx x2 y2
D
Q x
P y
dxdy
0
y
即
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
L
D1
l
or
x
2r2
0
2
d
0
cos 2
r2
2 .
r
2
sin2 d
l 的方程：x2
D都包含于D，则称D为单连通区域，否则称D
为复连通区域。 . D.
.
.D
2、连通区域的边界D的方向
单连通区域的边界D由一条封闭曲线构成；
复连通区域的边界D由两条或两条以上封闭
曲线构成。
连通域D的正方向的规定：
D
当观察着沿D的方向行
走时，观察者附近的D的
内部总在观察者的左侧。 D
二、格林（Green)公式
第十章 第三节
格林公式及其应用
本节的主要内容
一、连通域及其边界的方向； 二、格林（Green)公式； 三、曲线积分与路径无关的条件； 四、全微分方程。
一、连通域及其边界的方向
1、连通区域
D是连通区域： D内任意两点都可以用完全
属于D的折线连接起来。
单连通区域和复连通区域：
若包含于D内的任一条封闭曲线C所围成的区域
Green公式的简单应用
1. 简化曲线积分的计算（常用）
例1：求L( y x)dx (3x y)dy,其中L是圆周 y
( x 1)2 ( y 4)2 9,取逆时针方向.
解：由格林公式，P y x,Q 3x y,
•
L ( y x)dx (3x y)dy
D
Q x
P y
dxdy
x
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注：(1)不 管D是 单 连 通 域 还 是 复 连 通域 ， 只 要 偏 导数连续，公式都成立 (2)D必 须 是 闭 区 域 ，L为 闭 曲 线 且 取 正 向 ， 若L 为反向，则
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.