高等数学格林公式
格林公式补线法求极限
格林公式补线法求极限格林公式是高等数学中的一个重要内容，而补线法在求极限时经常能发挥关键作用。
咱先来说说啥是格林公式。
简单来讲，格林公式就是把一个平面区域上的二重积分和沿着这个区域边界的曲线积分联系起来的一个公式。
比如说，有个区域 D ，它的边界是曲线 L ，那么格林公式就告诉咱，在一定条件下，区域 D 上某个二元函数的偏导数的积分，就等于沿着曲线 L 对这个函数的另一种形式的积分。
那补线法又是咋回事呢？有时候，给咱的曲线不是封闭的，这时候就需要咱自己补上一条线，让它变成封闭曲线，这样就能用格林公式啦。
就像我之前教过的一个学生，他在做一道题的时候，就碰到了这种情况。
题目给的曲线是一个半圆弧，从点 A 到点 B 。
这可把他难住了，因为直接用格林公式没办法啊，曲线不封闭。
我就提示他，咱能不能补上一段线段，把这个半圆弧变成一个封闭的图形呢？这孩子一开始还不太明白，瞪着大眼睛一脸懵。
我就耐心地给他画图解释，从点 A 垂直向下画一条线段到 x 轴，再从点 B 垂直向上画一条线段到 x 轴，这样就把原来的半圆弧封闭起来啦。
然后再用格林公式，计算封闭曲线的积分，但是别忘了，咱补的这两条线段的积分也要单独算出来，最后从总的积分里减去。
这孩子恍然大悟，一拍脑门说：“哎呀老师，我懂了！”然后就兴致勃勃地开始计算。
通过这个小例子，咱们就能明白，补线法其实就是一种巧妙的手段，能把原本不好处理的问题变得容易解决。
但是用补线法求极限也不是随随便便补就行的，得注意补的线要简单，计算积分也不能太复杂，不然可就给自己找麻烦啦。
而且在补线的时候，还得注意方向，方向错了，整个计算就全错喽。
再比如说，还有一种情况，给的曲线是一个复杂的折线，这时候也可以考虑补线，把它变成一个规则一点的图形，像矩形啊、圆形啊之类的。
总之，格林公式的补线法求极限是个很实用的技巧，但要想用得好，还得多做练习，多琢磨琢磨。
只有不断地练习和思考，才能在遇到各种复杂的题目时，迅速找到最合适的补线方法，轻松求出极限。
格林公式(公开教学用)
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧格林公式（Green's theorem）是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的重要内容之一。
它在很多场景中有广泛的应用，帮助我们解决各种复杂的问题。
本文将介绍格林公式的基本原理和应用，并提供一些解题技巧，以帮助考生备战高等数学考研。
一、格林公式的基本原理格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年提出的，它将二维平面上的曲线积分转化为对该曲线所围成的区域的面积积分。
具体地说，设曲线C是一条分段光滑的闭合曲线，曲线C所包围的区域称为D。
如果函数P(x, y)和Q(x, y)在区域D上具有一阶连续偏导数，那么有格林公式的表达式如下：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qₓ - Pᵧ)dA其中，∮C表示曲线C上的曲线积分，∬D表示对区域D上的面积积分，Pdx + Qdy表示关于x和y的微分形式，Qₓ和Pᵧ分别表示Q对x求偏导和P对y求偏导。
二、格林公式的应用格林公式在物理、工程和数学等多个领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常见情况下的应用。
1. 曲线积分的计算格林公式可以帮助我们计算曲线C上的曲线积分。
具体操作是，将积分转化为对曲线所包围的区域D上面积积分的计算。
通过求解二重积分，我们可以更简单地计算出原本复杂的曲线积分。
2. 面积的计算格林公式可以通过计算面积积分来帮助我们计算区域D的面积。
通过求解面积积分，我们可以不需要遍历整个区域来计算面积，而是通过对边界曲线上的积分来得到结果。
这在实际问题中十分有用，节省了计算的时间和精力。
3. 流量的计算格林公式还可以用于计算流体力学中的流量。
通过设定P和Q的形式并代入格林公式，我们可以将流量计算问题转化为对面积积分的计算。
这样一来，我们可以更加方便地求解流体力学中的流量问题。
三、解题技巧在考研中遇到格林公式的应用题时，我们可以采取以下的解题技巧：1. 理解问题在开始解题之前，先要完全理解问题的背景和要求。
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式高考数学知识点解析：斯托克斯公式与格林公式在高考数学的众多知识点中，斯托克斯公式与格林公式是较为复杂但又十分重要的内容。
理解和掌握这两个公式，对于解决一些涉及曲线积分和曲面积分的问题具有关键作用。
首先，我们来认识一下格林公式。
格林公式建立了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的曲线积分之间的关系。
如果我们有一个闭区域 D 及其边界曲线 L，函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，那么格林公式可以表示为：∮L Pdx ＋ Qdy ＝∬D （∂Q/∂x∂P/∂y)dxdy 。
为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面区域是由一个半径为 r 的圆所围成的，我们要计算沿这个圆边界的曲线积分。
如果我们设P(x,y) ＝y ，Q(x,y) ＝x ，那么根据格林公式，曲线积分就可以转化为对这个圆区域的二重积分。
通过计算这个二重积分，就能得到曲线积分的结果。
那么，格林公式有什么用呢？它可以帮助我们简化曲线积分的计算。
有时候，直接计算曲线积分可能会比较困难，但通过格林公式将其转化为二重积分，可能会让计算变得更加简便。
接下来，我们再来看斯托克斯公式。
斯托克斯公式是格林公式在三维空间中的推广。
它建立了空间曲面上的曲面积分与沿着曲面边界的曲线积分之间的关系。
如果有一个有向曲面 S ，其边界曲线为Γ ，函数 P(x,y,z) 、Q(x,y,z) 和 R(x,y,z) 具有一阶连续偏导数，那么斯托克斯公式可以表示为：∮Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬S （curlF)·ndS ，其中curlF 表示向量场 F ＝（P, Q, R) 的旋度，n 是曲面 S 的法向量。
同样，通过一个例子来帮助理解斯托克斯公式。
假设我们有一个半球面，要计算沿其边界圆的曲线积分。
运用斯托克斯公式，将曲线积分转化为对半球面的曲面积分，然后通过计算曲面积分来得到曲线积分的结果。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式内容
格林公式内容格林公式是高等数学中的一个重要公式，不过您这标题提到要从小学到高中的教材角度来写，可格林公式并不在这个阶段的教材里呀。
但既然接到了这个任务，那我就用比较通俗易懂的方式来跟您聊聊这个不在小学到高中教材里的格林公式，尽量让您有个初步的了解。
咱先来说说格林公式到底是啥。
简单来讲，格林公式把沿着一个封闭曲线的曲线积分和在这个曲线所围成的区域上的二重积分联系了起来。
这就好像是找到了两个不同世界之间的秘密通道，能让我们在计算的时候从一种方法轻松地转换到另一种方法。
比如说，有一个操场，您沿着操场的跑道跑一圈，这就是曲线积分。
而操场里面的整个区域呢，就相当于二重积分。
格林公式就告诉我们，这两者之间有着密切的关系。
我还记得之前给学生讲这个的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我就笑着跟他说：“你想想，要是让你算沿着一个特别复杂的曲线走一圈的路程，多麻烦啊。
但如果能用格林公式转换成在一个区域里的计算，是不是就简单多啦？”那学生若有所思地点点头。
在实际应用中，格林公式的作用可大了。
比如说在物理学中，计算电场或者磁场的一些问题时，它就能派上大用场。
还有在工程学里，设计一些复杂的结构时，也能靠它来帮忙简化计算。
想象一下，有个工程师要设计一个形状奇特的零件，需要计算各种物理量。
如果没有格林公式，那他可能得花费大量的时间和精力去一点点计算。
但有了格林公式，就好像给他配备了一把神奇的钥匙，能打开快速解决问题的大门。
对于学习格林公式，重点在于理解它的原理和掌握运用的方法。
可别死记硬背，得通过多做练习题来真正掌握它的精髓。
总之，格林公式虽然有点复杂，但一旦掌握了，就能在数学和相关领域的学习和应用中如鱼得水。
希望您对格林公式能有个初步的认识啦！。
高等数学(下册) 格林公式和高斯公式
Pdx Qdy Q P
L
( x y )dxdy
Pdx Qdy
D D
L
其中 逆时针方向， L 逆时针方向， 是 D 中挖去小圆剩下的部分。 (转成一个二重积分(一般等于 0) 和一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆上的曲线积分。) 典型题：146 页例 4。
算开放路径积分
x0 y0 x y
du P( x, y )dx Q( x, y )dy
Q P x y
其中 x0 , y0 为适当选择值。 典型题：151 页，例 4，5。
高斯公式 封闭 分片光滑，正向法 线指向外侧，所围闭区域 记为 。函数 P( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ，R( x, y, z ) 在 内有一阶连续偏导数。
格林公式和高斯公式
积分与路径无关问题： 曲线积分 判别条件： 典型题：153 页，作业题 4 题（2）
L
Pdx Qdy 与
路径 无关，与起点、终 点有关 全微分问题： 寻找函数 u ( x, y ) ，使得
Q P x y
判别条件：
u ( x, y ) P ( x, y0 )dx P( x0 , y )dy
格林公式和高斯公式
格林公式 D 是单连通区域：
分段光滑曲线 (及 L )围 成区域 D，如右上图（右 下图）所示。
D D
( x y )dxdy
D
Q
P
Pdx Qdy
P( x, y ), Q( x, y )
在 D 上具有连续偏导数。
其中 逆时针方向。 约定路径 正向逆时针。 D 是单连通区域：
高等数学格林公式介绍
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
第十章
第三节
格林公式及其应用
本节的主要内容
一、连通域及其边界的方向； 二、格林（Green)公式；
三、曲线积分与路径无关的条件；
四、全微分方程。
一、连通域及其边界的方向
1、连通区域
D是连通区域： D内任意两点都可以用完 全
属于D的折线连接起来。
单连通区域和复连通区 域：
若包含于D内的任一条封闭曲线 C所围成的区域
c
d d
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
= CBE =
CBE
x 1 ( y ), 曲线EAC : y y,
Q( x , y )dy
CAE
Q( x , y )dy
d
y
x 2 ( y ), 曲线CBE : y y,
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点.
d x 1 ( y) A c o a
E
y 2 ( x)
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x, y) a x b,1 ( x) y 2 ( x)}
D都包含于D，则称D为单连通区域，否则称 D
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
第六章 格林函数法
第六章 格林函数法本章利用高等数学中的格林(Green)公式导出调和函数的积分表达式，引进格林函数(又叫点源函数)，它是一种广义函数.利用格林函数求解稳态的边值问题，这种方法叫格林函数法，它是解数学物理问题时常用的方法之一.§2.6.1 格林（Green ）公式 调和函数的积分表达式2.6.1.1 格林公式设D 是以分片光滑的曲面S 为其边界的有界区域，函数P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z )是在D 上连续，在区域D 内有连续偏导数的任意函数，则成立奥一高公式 V z R y Q x P D d (∂∂+∂∂+∂∂∫∫∫=∫∫++SS z n R y n Q x n P d )],cos(),cos(),cos([,这里d V 是体积元，n 是曲面S 的外法线方向，d S 为S 上的面积元.由此可以导出格林第二公式或格林公式：S nu v n v uV u v v u D S d d )()(∫∫∫∫∫∂∂−∂∂=Δ−Δ. 事实上，设函数u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )以及它们的所有的一阶偏导数在闭区域S D D U =上是连续的，u 、v 在D 内具有连续的二阶偏导数.令 P =x v u ∂∂, Q =yv u ∂∂, R =z v u ∂∂, 代入奥一高公式得到格林第一公式：V z v z u y v y u n v x u S n v uV v u DD S d d d )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂−∂∂=Δ∫∫∫∫∫∫∫∫ 这里是三维拉普拉斯(Laplace)算子，Δn∂∂表示曲面S 的外法线方向导数.如果引进梯度算子＝∇k j v v v z yi x ∂∂+∂∂+∂∂ ，那么格林第一公式缩写成 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔDS D V v u s n v uv v u d d d )()(，类似地，如果令 P =x u v ∂∂， Q =y u v ∂∂， R =zu v ∂∂，就有 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔD D SV u v S n u v V u v d d )()(d 注意到向量的数性积的可交换性，上两式相减，得格林第二公式(又叫格林公式)：S nu v n v u V u v v u D S d d )()∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫（ . 2.6.1.2拉普拉斯方程的基本解在三维空间内，记),()()()(222N M r z y x r =−+−+−=ςηξ表示点M (x ，y ，z )、)(ςηξ，，N 之间的距离，利用复合函数求导的链式法则，对空间中任意固定的一点N ，函数r1除点N 外关于变量（x , y , z ）处处满足拉普拉斯方程0=Δu ；注意到函数r1的特征，同样对于任意固定的一点M (x , y , z ),函数r1除点M 外，关于变量),,(ςηξ处处满足拉普拉斯方程，即0)1(=Δr， （N M ≠）. 函数r1在求解拉普拉斯方程和泊松(Poisson)方程时有极重要的作用，通常把函数r1称为三维拉普拉斯方程或者泊松方程的基本解.同样，对于二维空间，函数),(1ln )()(1ln 1ln 22N M r y x r =−+−=ηξ 叫做二维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解.2.6.1.3 调和函数的积分表达式仍以三维空间为例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式.定理:（调和函数的积分表达式）设函数u (x , y , z )在闭区域D 上有连续的一阶偏导数，且u (x , y , z )在区域D 内调和（即0=Δu 在D 内成立），那么对于D 内任意固定的一点就有),,(0000z y x M ,])1(1[41)(0S nr u n u r M u S d ∂∂−∂∂=∫∫π D M ∈0 ,这里M 为点(x , y , z )，并有2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .事实上，设为区域D 内任意固定的一点，M (x ,y ,z )为),,(0000z y x M D 上的一个动点，动点M 到定点M 0的距离2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .注意到函数r 1除点M 0外，处处调和，M 0挖去.以M 0点为球心，充分小的正数（ρ>0),用表示这个小球的球面.记区域D 0M K ρ0M S ρ0M K ρ1=D \ (通常称区域D 内挖去点M 0M K ρ0).这时区域D 1的表面为.U S 0M S ρ于是函数u , v =r1在闭区域011M S S D D ρU U =上可用格林公式，就有∫∫∫∫∫∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−ΔS S n u r n r u D S n u r n r u V u r r u M S 01)1)1((1)1((]1)1([ρd d d 因为在区域D 1内0)1(,0=Δ=Δru ，上式左边等于零，由此得 01)1()1)1((00=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫∫∫∫∫S S n u r S S n r u S n u r n r u M M S ρρd d d 现在讨论上式左边的后两项积分.注意到，对区域D 1而言，小球面0M S ρ的外法线方向应指向球心M 0 , 与半径r 的方向刚好相反，因此在球面上有0M S ρ2211)1(1(ρ==∂∂−=∂∂rr r n r ，这样上式第二项积分有 )(44)(1)1(1212200M u M u s S u S S n r u M M ππρρρρρ===∂∂∫∫∫∫d d , 这里用到积分中值定理，M 1为球面上的某一点.0M S ρ对于上式第三项积分，用积分中值定理有||22044112M n u M n u S n u r M S ∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∂∂∫∫πρπρρρd 这里M 2为上的某一点.0M S ρ 因为nu ∂∂在M 0点的邻域内是有界的，让0→ρ，则M 1、M 2趋于球心M 0 ,所以第三项积分趋于零，由此得0)(4)1)1((0=+∂∂−∂∂∫∫M u S n u r n r u Sπd . 从而得到有界区域D 内调和函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u S d )1(1(41)(0∂∂−∂∂=∫∫π, D M ∈0. 这个公式说明，调和函数u 在区域D 内任意一点M 0处的值可以由它的边界S 上的值和它在边界S 上的法向导数nu ∂∂的值来确定，这对解边值问题提供了方便.推论：若u 在有界区域D 内是二阶连续的可微函数，则有积分表达式∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=DS V r u S n r u v u r M u d d ππ41))1(1(41)(0，. D M ∈0这是因为在闭区域1D 上用格林公式，有 S n u r S n r u S n u r n r u V u D r S M d d d )11(()1)1((101∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−∫∫∫∫∫∫∫ρ 类似上述的讨论，上式右端当0→ρ时，区域,其余都一样.D D →1对于二维情形，由于基本解为r1ln ，所以不难得到在二维有界区域D 内调和的函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u C d )1(ln )1[ln(21)(0∂∂−∂∂=∫π, D M ∈0. 这里C 为区域D 的边界.对一般的在区域D 内有二阶连续可微函数u ，则积分表达式为S u r l n r u n u r M u DC d d Δ−∂∂−∂∂=∫∫∫)1(ln 21])1(ln )1[ln(21)(0ππ, .D M ∈0这两个公式的证明作为习题留给读者自己去证明.§2.6.2 拉普拉斯（Laplace ）方程的狄里克雷问题2.6.2.1 边值问题的提法数学物理的不少问题都会归结为求拉普拉斯方程的解，根据边界条件的不同提法，可以把它的定解问题分为三类：第一边值问题，又称狄里克雷(Dirichlet)问题.求区域D 内调和，而在D 的边界S 上取已知值f 的函数u ，即狄里克雷问题的提法为：0=Δu ， 在D 内,|u s =f 1(M ) ， 在S 上.第二边值问题，又称诺伊曼(Neumann)问题，它的提法为： 0=Δu ， 在D 内,),(|2M f nu S =∂∂ S M ∈. 第三边值问题，又称洛平(Robin)问题，它的提法为：， 在D 内,0=Δu ),(3M f u n u S=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂βα S M ∈. 这里α、β为已知常数，且不同时为零；f 、f 、f 为已知函数.)(1M )(2M )(3M 如果以上的提法，针对求有界区域D 内的解，称为内问题，如果求区域的外部的解，称为外问题.对于狄里克雷问题、诺伊曼问题解的存在性，要用到积分方程的理论，由于已超出本书的范围，这里不再赘述，感兴趣的读者可以查阅相关的书籍，例如由沈乃录主编的《积分方程》一书，将会给你一个满意的解答.2.6.2.2 狄里克雷问题的格林函数 格林函数法我们重点来解狄里克雷问题.从调和函数u 的积分表达式出发，在区域D 内的调和函数u 的积分表达式为：S n r u nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=)/1(1(41)(0π， D M ∈0. 这里由于狄里克雷问题0=Δu ， 在D 内,|u s =f (M ) ， 在∈M S 上.所以，积分表达式中的第二项u 在边界面S 上的值已知，用f (M )代替，就有S n r M f nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=))/1()(1(41)(0π， D M ∈0, 这样求解的关键是如何从上式中消去带nu ∂∂（未知的）这一项. 由格林公式出发，要在区域D 内求一个函数g ，它在区域D 内调和（即0=Δg ），则格林公式为：S n u g ng uS d ∫∫∂∂−∂∂=)(0 用π41乘以上式，再和积分表达式相加，就有 S n g r M f n u g r M u S d ∫∫−∂−∂∂−=])/1()()1[(41)(0π， D M ∈0如果上式中在边界面S 上有g r −1＝0，即=S g |r1，那末狄里克雷问题的解就是：S ng r M f M u S d ∫∫−∂−=])/1()([41)(0π， D M ∈0. 综上所述，欲解狄里克雷问题：0=Δu ， 在D 内,|u s =f(M) ， 在∈M S 上就转化为解另一个狄里克雷问题：0=Δg ， 在D 内,=S g |r1 ， ∈M S, 这里，);(0M M r r =);(0M M g g =，∈M S ，D M ∈0一般说来，函数也不是好求的，它与边界曲面S 的形状有关，但是不管怎么讲，给出了一个解狄里克雷问题的思路，并且对于一些特殊的区域D ，例如球体、半空间、圆域、半平面等可以用初等的方法求出函数g (M ; M );(0M M g 0)来.为了更清楚，我们令函数 );();(1);(000M M g M M r M M G −= 注意到基本解的特征，);(10M M r g (M ；M 0)的要求，对于函数G (M ；M 0)有两个基本性质：(1)除点D M ∈0外，函数G (M ；M 0)在区域D 内调和，即 0);(0=ΔM M G , M , M 0D ∈ 且0M M ≠ ;(2)在边界面S 上， ,0);(0=M M G ∈M ,S D M ∈0 . 通常把函数G (M ；M 0)称为拉普拉斯方程0=Δu 关于区域D 的狄里克雷问题的格林函数.用求格林函数G (M ；M 0)的方法解狄里克雷问题称为格林函数法.如果格林函数G (M ；M 0)求得，那么狄里克雷问题的解也就有了，并且为S M M G nM f M u S d );()(41)(00∫∫∂∂−=π , D M ∈0.对于二维的情形，完全类似地，可以得到 S nG M f M u C d ∫∂∂−=)(21)(0π , D M ∈0 为狄里克雷问题 C D M M f u D M u C=∂∈=∈=Δ),(,0| 的解，这里格林函数 );(1ln );(00M M g rM M G −=，作为习题留给读者自己去证明.例1. 球的狄里克雷问题和球的格林函数 球内狄里克雷问题的提法： , 在球内 0=Δu 2222R z y x <++ u=f (M ) , 在球面 上 2222R z y x =++这里 M =(x , y , z ).解： 先求球 的格林函数 2222R z y x <++ 设球内任一点，由此求满足另一个球狄里克雷问题：),(00,00z y x M );(0M M g 0);(0=ΔM M g , 在球内);(1);(00M M r M M g = , 在球面上 对于球而 2222R z y x <++M 1言，函数可以用初等的方 );(0M M g 法求得.记202020z y x ++＝ρ，点 M 0的对称点为M 0R S 1,显然点M 1在球外，并在OM 0的延长线上（如图），由对称点的定义知：21R ＝ρρ⋅其中1ρ为OM 1的长，即 2121211z y x ++＝ρ ，),,(1111z y x M =，由调和函数的基本解，这个应该是);(0M M g 1r A这种形式，这里 2121211)()()(z z y y x x r −+−+−= ，A 为待定常数.显然函数1r A在球内是调和的.问题是怎样确定常数A .由的第二个条件在球面上应为);(0M M g r 1.为区别起见，球面上的点记为),,(z y x M ′′′′.由于，所以在21R =⋅ρρM OM ′Δ0与中，是公共角，且夹这角的两边成比例1M M O ′ΔO ∠10OM M O M O OM ′=′，因此M OM ′Δ0与1M M O ′Δ相似，从而有M O OM M M M M ′=′′010，亦即R r r ρ=1，这样在球面上有OR S rr R 111=⋅ρ ， 可见常数202020z y x RRA ++==ρ，所求的101);(r R M M g ⋅=ρ，因此球的格林函数为2121212020202020201100)()()(1)()()(1);(1);(1);(z z y y x x z y x Rz z y y x x M M r R M M r M M G −+−+−⋅++−−+−+−=⋅−=ρ得球内狄里克雷问题的解为S nG M f M u RS d ∂∂′−=∫∫)(41)(00π,（）.球∈0M 2222R z y x <++为了计算，还须将这公式化成便于积分的形式.采用球面坐标系.设点M ′的球坐标为),,(ϕθ′′R ，点M 0的球坐标为),,(00ϕθρ，将记为O∠α，于是在球面上，ORS nr nr ∂∂∂∂1(,)1(1有 02022)(1grad 11)1()1(n n ⋅∂∂+∂∂+∂∂−=⋅−=∂∂−=∂∂⋅∂∂=∂∂k zr j y r i x r r r r n r r n r r r n r 其中n 0是球面的外法线单位向量.O R S 在球面上, OR S M ′点的坐标为),,(z y x ′′′，由此r x x x r 0−′=∂∂ , r y y y r 0−′=∂∂ , rz z z r 0−′=∂∂ , 设r 0是r 方向上的单位向量，由此),cos(1)(1)1(200002n r r k r z z j r y y i r x x r n r −=⋅−′+−′+−′−=∂∂n , 同理 ),cos(1)1(1211n r r nr −=∂∂，这样),cos(),cos(1)1()1(12121n r r Rn r rn r n r R n G ρρ−=∂∂−∂∂=∂∂−为了简化上式，在与M OM ′Δ01M M O ′Δ中用余弦定理得Rr r R n r 2),cos(222ρ−+=， 12121212),cos(Rr r R n r ρ−+= ， 注意到在球面上有OR S rr R 11=ρ，并且，于是有 21R =⋅ρρ3221212),cos(),cos(1Rr R n r r R n r rn G ρρ−=−=∂∂−, 从而球内狄里克雷问题的解化简为ϕθθραρρϕθπρπππ′′′+−−′′=−′=∫∫∫∫d d d sin ]cos 2[),(4)(41)(2322222003220R R R f RS rR M f R M u O RS这也叫球的泊松积分.利用M 0的对称点M 1构造格林函数的方法，叫做镜像法，物理学中又叫静电源象法.例 2. 半空间的狄里克雷问题.半空间的狄里克雷问题就是求一个在上半空间内的调和函数u (x , y, z )，且在边界面z =0上满足u (x , y , 0)=f (x , y )，即0>z⎪⎩⎪⎨⎧=>=Δ=),(0,0|0y x f u z u z解：设在半空间在z >0内任意一点，这里z ),(00,00z y x M 0>0,那么M 0关于平面的对称点M 0=z 1就是 ),(00,0z y x −.所以函 数2020201)()()(11z z y y x x r ++−+−=是半空间内的调和函数，并且在边界面z =0上，显然有0>z rr 111=，因此半空间z >0内的格林函数为20202020202010)()()(1)()()(111);(z z y y x x z z y y x x r r M M G ++−+−−−+−+−=−=对于半空间z >0，边界面z ＝0的外法线方向与z 轴的正向相反，于是z G nG ∂∂−=∂∂，这个半空间z >0的狄里克雷问题的解为S n G y x f z y x u z d ∫∫=∂∂−=0000),(41),,(π =S zG y x f z d ∫∫=∂∂0),(41π=y x z y y x x y x f z d d ∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−232020200])()[(),(2π.§2.6.3 泊松方程的狄里克雷问题在研究有外力作用下的薄膜平衡和有热流的热平衡以及稳定电场的静电势等问题时，都会导出称谓泊松方程的数学物理方程.泊松方程的一般形式是),,(z y x F u u u u zz yy xx =++≡Δ,其中F (x , y , z )为已知函数.泊松方程的狄里克雷问题的提法是),,(z y x F u =Δ （x , y , z ）D ∈, )(|M f u S= M 在D 的边界面S 上.对于在有界区域D 内有二阶连续的可微函数u (M ),有积分表达式V r uS n r u n u r M u DSd d ∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=ππ41))1(1(41)(0, . D M ∈0设是区域);(0M M G D 的格林函数，就有);();(1);(000M M g M M r M M G −=这里函数为区域);(0M M g D 内的调和函数，在边界面S 上有r g S1|=，对格林公式S n u v n v u V u v v u D Sd d ()(∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫中用函数替代v ，再两边乘以);(0M M g π41得∫∫∫∫∫Δ+∂∂−∂∂=DSV u g S n u r n g ud d ππ41)1(410将以上两等式相加，消去S n ur Sd ∂∂∫∫141π项就得泊松方程狄里克雷问题的解为∫∫∫∫∫+∂∂−=DSV FG S n G fM u d d ππ4141)(0显然，上式第一项是定解问题0=Δu 在D 内，的解；第二项是定解问题的解f u S=|0,|==ΔSu F u 对于二维泊松方程的狄里克雷问题可以类似地求解.。
高等数学：格林公式
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
说明：
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注意：当f ( x, y)较繁，L较复杂，而Q P 较简单， x y
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 3 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x) DB
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
写成和式极限的形式，应用柯西不等式
从向量a往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边 （就是向量a）的长度。
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
应用格林公式,有 e y2dxdy
高数格林公式
2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。
第10.5节 格林、高斯、斯托克斯公式
小单连通区域上公式（10.5.1）都成立，把这些式子相加， 就可以证明在区域 D 上公式（10.5.1）成立． 在定理10.5.1中，若 L 取负向，则
Q P ( )dxdy. L Pdx Qdy x y D
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（10.5.5）
Dxy
x
1 : z z1 ( x , y )
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
再设 是一个 YZ 型区域 , 或ZX 型区域 , 则可以证明
P Rdxdy d , x
（10.5.6）
或者
b x
P ( x , 2 ( x ) P ( x ,1 ( x ))dx
a
b
dx
a
b
2( x )
1( x )
2 P ( x, y) dy y
（10.5.2）
2P dxdy. y D
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
Q P )dxdy, （10.5.1） Pdx Qdy ( L x y D
其中 L取正向 . 公式(10.5.1)称为格林公式 .
证明 根据 D的不同形式 , 分三种情形证明 .
1 先设D是X 型区域, 即设
D ( x , y ) 1 ( x ) 2 ( x ), a x b.
第10章 曲线积分与曲面积分
§10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
考研高等数学复习——格林公式(1)
格林公式及其应用(1)
格林公式及简单应用
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一、区域连通性的分类
设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.
CC
C
x2 ) dy
y Ca
DC
ox
2y
a
dxd y
D
a2 x2
a
(2y ln a) d y
a
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所围成的面积.
解
A
1 2
L
xdy
ydx
4 2[a cos3 3a sin2 cos a sin3 3a cos2 sin ]d
20
12a 2 2 sin2 cos 2 d
20
6a2 2 sin2 (1 sin2 )d 3 a 2
0
8
四、小结
1.连通区域的概念;
d
d
c Q( 2(y), y)dy c Q( 1(y), y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
同理可证
D
P dxdy y
o
P(x, y)dx
L
E DB
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Green公式的简单应用
1. 简化曲线积分的计算（常用）
例1：求L( y x)dx (3x y)dy,其中L是圆周 y
( x 1)2 ( y 4)2 9,取逆时针方向.
解：由格林公式，P y x,Q 3x y,
•
L ( y x)dx (3x y)dy
D
Q x
P y
dxdy
x
第十章 第三节
格林公式及其应用
本节的主要内容
一、连通域及其边界的方向； 二、格林（Green)公式； 三、曲线积分与路径无关的条件； 四、全微分方程。
一、连通域及其边界的方向
1、连通区域
D是连通区域： D内任意两点都可以用完全
属于D的折线连接起来。
单连通区域和复连通区域：
若包含于D内的任一条封闭曲线C所围成的区域
( 其 中l 的 方 向参数方程： xy 取逆时针方向)
y2 r2
r cos , r sin ,
(注意格林公式的条件)
例4：计算 e x sin y 3 y dx e x cos y 3 dy,其中AnO为 AnO
x2 y2 ax的上半圆周自A(a,0)到O(0,0)一段.
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连
续偏导数, 则有
ÑL Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
D2 L2
D L
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
d
dy
Q[
x,
y]
2
(
y)
D dx
c 1( y) x
c
1( y)
c
d
Q(
2(
y),
y)
Q(1(
d
y),
y)
dy
曲线EAC
:
x 1(
y y,
y),
c Q( 2( y), y)dy
c
Q( 1(
y),
y
)dy
曲
线CBE
:
x 2(
y y,
y
),
=
Q( x, y)dy
CBE
Q( x, y)dy
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
y
L
xdy x2
ydx y2
D
Q x
P y
dxdy
0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L
记D1由L 和l 所围成,
o
3 1dxdy 2 dxdy
D
D
2 32 18 2倍D的面积.
y
例2：计算 xdy,其中曲线AB是半径A AB
为r的 圆 在 第 一 象 限 部 分.
D
解 引入辅助曲线L ,
oL
Bx
L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy OA xdy AB xdy BO xdy,
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注：(1)不 管D是 单 连 通 域 还 是 复 连 通域 ， 只 要 偏 导数连续，公式都成立 (2)D必 须 是 闭 区 域 ，L为 闭 曲 线 且 取 正 向 ， 若L 为反向，则
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
D都包含于D，则称D为单连通区域，否则称D
为复连通区域。 . D.
.
.D
2、连通区域的边界D的方向
单连通区域的边界D由一条封闭曲线构成；
复连通区域的边界D由两条或两条以上封闭
曲线构成。
连通域D的正方向的规定：
D
当观察着沿D的方向行
走时，观察者附近的D的
内部总在观察者的左侧。 D
二、格林（Green)公式
解 ： 补 上 线 段OA， 组 成 闭 曲 线,
CAE
y
E
d
= Q( x, y)dy Q( x, y)dyx 1( y)
CBE
Eห้องสมุดไป่ตู้C
A
DB
= L Q( x, y)dy
c
C
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
D
由于 OA
xdy
0,
BO
xdy
0,
AB
xdy
D
dxdy
1 4
r
2
.
例3： 计 算
L
xdy x2
ydx y2
, 其 中L为 一 条
无重点，
分 段 光 滑 且 不 经 过 原 点的 连 续 闭 曲 线 ，L的
方 向 为 逆 时 针 方 向.
解 记L所围成的闭区域为D ,
则
P
y x2 y2
,
Q
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y) a x b,1( x) y 2 ( x)}
D {( x, y) c y d , 1( y) x 2 ( y)}
Q dxdy
d
dy
2( y)Qdx
应用格林公式,得
l D1
or
x
Ll
xdy ydx x2 y2
D
Q x
P y
dxdy
0
y
即
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
L
D1
l
or
x
2r2
0
2
d
0
cos 2
r2
2 .
r
2
sin2 d
l 的方程：x2