大学物理(上)总复习

分子种类 平动自由度 t 转动自由度 r 总自由度 i
单原子
3
0
3
刚性双原子 3
2
5
气体分子 单原子 刚性双原子 刚性多原子
CV,m (J/mol ·K)
3R/2 12.5 5R/2 20.8 6R/2 24.9
CP,m
g
5R/2 20.8 5/3 = 1.67
7R/2 29.1 7/5 = 1.40
(3)
0
vf
(v)dv
平均速率
(4)
(5)
1
02
mv
2
f
(v)dv
f (v)dv 1
0
平均平动动能
归一化条件,所有速率区间内的分子数 占总分子数的比例的总和为1.
的切向用力 F拉木块 ,使其极缓慢的移过 角。求 这一过程中 F 力作的功。
解：因木块极缓慢地移动，所以 可认为木块m在任意时刻均处于 平衡状态。其所受合力为零。
F
N
mgf m
a
B
F
N
mg
f
0
A
支承力
弹性力
木块在移到角度为 时，所受弹力为：
F
N
f ka
则切线方向
mgf m
F f mgcos
4t 3 4t
v
4i
24
j
t = 2 vy = – 24
v
v
2 x
v
2 y
4
37
x t2 y t 4 2t 2 z0
vx
dx dt
2t
vy
dy dt
4t 3
4t
ax
dv x dt
d2x dt 2
2
ay
dv y dt
d2y dt 2
12t 2 4
t=2
ax 2, ay 44
解：dM r dmg
dM
rdm g s in(
)
xdm g
2
θ r dm
x
M xgdm mgxc
1 m glcos
2
由转动定律 M I
d
dt
d d
d
dt
d d
d d d d
0
0
I
1 3
m l2
M I
3g cos
2l
1 2 3g cos d
2
0 2l
重力的力矩：重力集中在质心时的力矩
3
t
3mv
(2M 3m)g
3)运用功能原理:
M Ek2 Ek1
( 2 MgR mgR) 0 1 (mR 2 1 MR2 ) 2
3
2
2
3m 2v 2
(2m M )(2MgR 3mgR)
例：长度为 l，质量为 m 的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒 最初处于水平位置，求它下摆到θ角时的角加速度和角速度。
dS
角速度从 0 增加到 需要时间:
d
dr
ω
ω
3Rω
t
M 1 mR 2 4μk g
2
r
df dM
驱动力矩做功 A M Δθ M ωt 1 mR2ω2
唱片获得动能
2
Ek
1 2
Jω2
1 2
1 2
mR 2
ω2
1 4
mR 2ω2
9. 如图，均匀杆长 L=0.40m，质量M=1.0kg，由其上 端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量 m=8.0g 的 子弹以 v=200m/s 的速率水平射入杆中而不复出。射 入点在轴下 d=3L/4处。(1)求子弹停在杆中时杆的角 速度；(2)求杆的最大偏转角。
a
2i
44
j
3. 一质量 m = 0.14kg 的垒球沿水平方向以 v1= 50m/s
的速率投来，经棒打击后，沿仰角 = 45 °的方向向
回飞出，速率变为 v2= 80m/s。求棒给球的冲量的大小 与方向。若球与棒接触的时间为 t = 0.02s，求棒对球 的平均冲力大小。它是垒球本身重量的几倍？
dt 2
m
I r 2dm
V
质点
F
ma
p mv
L
r
p
F
dp
d (mv)
dt dt
定轴转动刚体
M I
p mivi
i
L
I
M
dL
d ( I)
dt dt
动量守恒 合外力为零，动量守恒
角动量守恒 合外力矩为零，角动量守恒
质点
dW
F
dr
刚体
dW Md
Ek
1 2
m v2
Wex EK 2 EK1
此力为垒球本身重量的
F 845 616 倍 t2
mg 0.14 9.8
I Fdt
F
I
p
t t
t1
I F (t2 t1 )
I
p2
p1
4. 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动, A、B 分别为 近地点和远地点, A、B 距地心的距离分别为r1、r2 。
设卫星的质量为 m ，地球的质量为M ，万有引力常 量为 G ，则卫星在A 、B 两点 处的万有引力势能的 差为多少？卫星在A 、B 两点 处的动能差为多少？
解：如图，设垒球飞来方向为 x 轴
I
mv2
方向。棒对球的冲量大小为
I mv2 mv1
m v12 v22 2v1v2 cos
mv1
x 16.9[N s]
方向：与x轴夹角 180 arctan
mv 2 sin
1522'
mv1 mv 2 cos
棒对球的平均冲力
F I 16.9 845[N] t 0.02
匀加速运动
微分法:由 积分法:
a v r
初始条件
求得速度方程: 求得运动方程:
v
t
dV
v0
0 a dt
r t
dr V dt
r0
0
律牛 顿 运 动 定
动量定理
冲量 Fdt dP
I
t2 t1
F
dt
P2
P1
动量守恒定律 当 Fext 0
P Pi 常矢量
i
动能定理
功
Ek
1 2
I 2
Wex EK 2 EK1
例：一质点运动轨迹为抛物线
y
x t2
y t 4 2t 2
y x2 2x
x
z0
求：x = – 4时（t > 0) 粒子的速度、速率、加速度。
解： 分析： x = – 4，t = 2
vx
dx dt
2t
t = 2 vx = －4
dy v y dt
M
r
F//
M
d(
I)
I
dt
M I 刚体的定轴转动定律
7.如图，两圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1 和M2，皆可视为均匀圆柱体且同轴固结在一起，二盘 边缘绕有细绳，绳子下端挂两个质量分别为m1和m2的
物体，求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度
解：
m1 :T1 m1g m1a1 m2 : m2 g T2 m2a2
a
B
ka mgcos
A
木块移过 的过程中，力 F所作的功为
A
F
dr
Fdr
0
Fad
ka2d
mga cosd
0
0
1 ka2 2 mga sin
2
5. 弹簧(倔强系数为k)一端固定在a点, 另一端连一质量
为m的物体,靠在光滑的园柱体表面(半径 R ), 弹簧原长
a用b功, 在能沿原半理圆求切外向力外F力做F的作功用。下缓慢地沿表面c 从Fb到Nc;
对整个轮，由转动定律
T1
T2
Τ2 R2
Τ1R1
(
1 2
Μ1R12
1 2
Μ2 R22
)
m1
m2
由运动学关系 a1 a2
角量与线量的关系
R1 R2
联立解得
m2R2 m1R1 g
M1 2
m1
R12
M2 2
m2
R22
8. 如图，唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，
唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。
M
n N —— 分子数密度，注意与密度的区别 V
m = n 一个分子的质量 —— 密度
V
PV RT P nkT
记住几个常数
R 8.31 (J/mol K)
k 1.38 1023 J/K
NA = 6.0231023 /mol 标准状况下：P = 1 atm =1.013105 Pa
T = 273.15 K 1 mol理想气体的体积V = 22.4 升(l)
解：(1)由子弹和杆系统对悬点O的角动量守恒
mv
3
L
1
ML2
m
3L
2
ω
4 3
4
ω
3mv
质心
rC
rdm m
4
1 3
ML
9 16
mL
8.89[rad/s]
O. M
v0
3 4
L
.
L
mo
A
(2)对杆、子弹和地球，由机械能守恒得
1 1 ML2 9 mL2 ω2 Mg L mg 3 L1 cos θ
解: 根据功能原理:
f
以 m, 弹簧, 地球为研究对象
m
弹性势能零点, 重力势能零点
mg b
均选在b处
AF
Ec
Eb
(mghc
1 ks2 ) 0 2
a
mga
sinc
1 2
ka
2 2 c
6. 求均匀薄圆盘对于中心垂直轴的转动惯量。
解:取面积元dS, 其质元的质量为dm
dm dS
dS rddr
解: 由万有引力势能公式得
A
地心 r1
r2
B
E pB
E pA
G
Mm r2
(G
Mm r1
)
GMm
r2 r1 r1r2
由机械能守恒
EkB
EkA
( E pB
E pA )
GMm
r2 r1 r1r2
如图所示，弹簧原长为AB，劲度系数为k，下端
固定在A点，上端与一质量为m的木块相连，木块总
靠在一半径为a的半圆柱面的光滑表面上。今沿半圆
(6m2 2m1 )L
o (m1,L) m2
,
取 方向为正
3)竖直位置时,棒受重力矩M=0, 故此时'=0
以m1,m2,地球为系统, E守恒
m2
gL
m1 gL
1 2
J
2
m1 g
L 2
(6m2 3m1 )g (3m2 m1 )L
N —— 分子总数
m —— 摩尔数 m: 气体总质量，M: 摩尔质量，
8R/2 33.3 8/6 = 1.33
Emol
i RT 2
CV ,m
iR 2
CP,m CV ,m R
1. 2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容 器内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子)。 求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢 气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。
o dS
d
dr
r
则质元dm对oo'轴的转动惯量为
dJ r 2dm
J r 2dS
R r 3dr
2
d
1
m R2
0
0
2
o
平行轴定理 J Z J C md 2
若外力在垂直于转轴的平面内
F F
M
r
F
若外力不在垂直于转轴的平面内
r
F//
F F F//
F
F 平行于转轴，不会使刚体绕轴转动
Aab
b
F
dr
a
Aext Aint Ekb Eka
机械能守恒定律
当 A外 A非保内 0
E Ek E p 常量
角量与线量的关系
v r
定轴转动
v r
at
dv dt
d( r)
dt
r
an 2 r
v r
质点
v dr dt
a
dv dt
d 2r dt 2
刚体
d
dt
d
dt
d
dt
d 2
2 Mmol
EH2
/
EHe
iH2 MH2 iHe MHe
/ /
Mmol, H2 Mmol, He
5 2 10 33
f(v)是速率分布函数,试说明下列各表达式的物理意义:
(1) Nf(v) 速率在v 附近单位速率间隔内的分子数.
(2) f(v)dv 速率在v附近dv速率间隔内的分子数占总分子数的比例.
v
注意如果是空气阻力引起的
解:1)子弹与圆盘相撞
L
守恒
r dr
mvR (mR2 1 MR2 )
2
2mv
v
(2m M )R
2)子弹与盘从 到停止转动,运用角动量定理
Mt 0 J
M M1 M2
M1
r 2rdrg
R 0
r
M
R2
g 2rdr
2 MgR
3
M2 mgR
( 2 MgR mgR)t mvR
3g sin l xc
xdm m
例: 匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上,一端固定有一物体 (m2) 求1)转动惯量, 2)从图中水平位置无初速落下时
的 , 3) 落到铅直位置时的角加速度, 角速度
解:
1) J
1 3m1
L2
m2 L2
2)由M J m2 gL m1g
L 2
J
解得 (6m2 3m1 )g
质元的质量：dm mrdθ dr/ πR 2
此面元受转盘摩擦力矩：
,
dS
d
dr
r
df
dM
rdf
rμkdmg
mgμk r 2dθdr πR 2
dM
各质元所受力矩方向相同，整个唱片所受摩擦力矩
M
dM
μ k mg
R2
2π
0
dθ
R
0
r
2dr
唱片在此力矩作用下做匀加速转动，
2μ ,3
k
mgR
解：(1)
t
3 kT 2
tH2 / tHe 1
(2)
p
2 3
n
t
2g
2g
M / M H2
mol, H2
: M He / Mmol, He
2g / mol
: 4g / mol
2
nH2
/ nHe
MH2
/ Mmol, H2 V
:
M He / Mmol, He V
2
pH2 / pHe 2
(3) E i M RT
设唱片可看成是半径为 R 的均匀圆盘，质量为 m ，唱
Hale Waihona Puke Baidu
片与转盘之间的滑动摩擦系数为k 。转盘原来以角速 度 匀速转动，唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是
多大？唱片达到角速度 需要多长时间？在这段时间
内转盘保持角速度 不变，驱动力矩共做了多少功？
唱片获得了多大动能？
解:唱片上一面元面积为dS rddr
23
16 2
4
由此得
θ
arccos1
1 3
M
9 16
m
Lω2
M 3 m g 2
9418'
例 质量为M的匀质园盘,半径为R,盘底面与水平接
触面之间 摩擦系数 . 一质量为m的子弹以速度v
射入盘 边缘并嵌在盘边,求 1)子弹嵌入盘边后盘的 角速度? 2) 经多少时间停下来? 3)盘共转个多少角 度?