桁架求解的几种方法

F N1 F N1= 0
F N4= F N3
(a)
(b ) FN1 F N2= F N1
(c)
F N2= 0
F N2= 0
FN3
F N2= F N1
(d )
F
(e)
F N1
F N1 F (f) FN3
F N2= 0 F N1= F F N3= F F N2= F N1 F N2= F N1 F N 4 = -F N 3
x 6 4
如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三 根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作 截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其 余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。 例如图5-9(a)所示桁架中，作截面Ⅰ-Ⅰ，由ΣMC=0，可求出a杆内 力。又如图5-9(b)所示桁架中，作截面Ⅱ-Ⅱ，由ΣX = 0，可求出b杆内 力。图5-10所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆 DE的内力求出。即作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分或右部分为隔离体，由 ΣMC=0求出FNDE。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。
图5-5 (3) X型结点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点 不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。 (4) K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在 该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不 受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。
以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。
桁架杆件内力的符号规定：轴力以使截面受拉为正，受 压为负。在取隔离体时，轴力均先假设为正。即轴力方向 用离开结点表示。计算结果为正，则为拉力；反之，则为 压力。 桁架中常有一些特殊形式的结点，掌握这些特殊结点 的 平衡条件，可使计算大为简化。把内力为零的杆件称为零 杆。 (1) L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外 力时，两杆均为零杆，如图5-5(a)所示。若其中一杆与外 力 F共线，则此杆内力与外力F相等， 另一杆为零杆，如图55(d)所示。 (2) T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不 受外力时，第三杆为零杆，wk.baidu.com图5-5(b)所示。若外力F与第 三杆共线，则第三杆内力等于外力F，如图5-5(e)所示。
)×3+60×6-10×6-
(3) 求b杆内力时，应以a、c两杆的交点O为矩心， 为 此，应求出OA之间的距离，设为x，由比例关系： x 3 3 可得， x = 6m 同样，将FNb在E点分解为水平和竖直方向的两个分力， 由ΣMO =20，得 2 (FNb× /2)×9+( FNb× /2)×3+10×6+20×9 - 60×6 = 0 2 FNb = 10 = 14.1 kN (4) 为求FNd，作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，如图 5-8(a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投 影方程计算。由ΣFy = 0，得 FNd×4/5+60-10-20-20 = 0 FNd = -10×5/4 = -12.5 kN
A
斜杆
竖杆
上弦杆
下弦杆
B
d
节点长度 跨度
图5-3
最高点的距离H称为桁高。
弦杆上相邻两结点之间的区 间称为节间，其间距d称为节 间长度。
H
4．桁架的分类： (1) 按几何外形分 1） 平行弦桁架、2） 折弦桁架、3） 三角形桁架，分别 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 (2) 按有无水平支座反力分 1）梁式桁架 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2）拱式桁架 如图5-4(d)所示。 (3) 按几何组成分 1) 简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元 体组成的桁架，如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2) 联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成 规则而联合组成的桁架，如图5-4(d)、(e)所示。 3) 复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图5-4(f) 所示。
(c)
4kN
D FNDC 2kN
F NAD
4kN 2 2kN E F NEG F NEC 4 2kN 2kN 4kN 2 2kN C 4kN 4kN
(e)
由对称性可知
图5-7
2.内力计算。 (1) 取结点A为隔离体，如图5-7(b)所示。 2 ΣFy = 0, F 2 4 0 FNAE = -4 = -5.66 kN 2 ΣFx = 0, FNAD+FNAE× 2 /2 = 0 FNAD = -(-42 )×2 /2 = 4 kN (2) 取结点D为隔离体，如图5-7(c)所示。 ΣFx = 0, FNDC = 4 kN； ΣFy = 0, FNDE = 2 kN (3) 取结点E为隔离体，如图5-7(d)所示。 ΣFy = 0, 4 2 × 2 /2-2-FNEC× 2 /2 = 0, FNEC = 2 2 = 2.83 kN ΣFx = 0, FNEG+FNEC× 2 /2+42 × /2 = 0, 2 FNEG = -22 ×2 /2-4 = -6 kN (4) 由对称性可知另一半桁架杆件的内力。 (5) 校核。 取结点C为隔离体，如图5-7(e)所示。 ΣFx = 4+2 2 ×2 /2-22 × /2-4 = 0 2 ΣFy = 2 2 × 2 /2+2-4 = 0 C结点平衡条件满足，故知内力计算无误。
60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN
(2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和
竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 10 10
由ΣMD=0，得 (FNc×1/ 20×3=0
10
)×3+(FNc×3/
E
G
(a)
2m
A
D
2kN
C
4kN
F
2kN
B
解：该桁架为简单桁架， 由
于桁架及荷载都对称，故可计 算其中的一半杆件的内力，最 后由结点C的平衡条件进行校 核。 1.计算支座反力。 ΣFx = 0, FAx = 0
(d) (b)
4X 2m =8 m
F A Y = 4kN F B Y = 4kN
FNDE F NAE
I
(a)
C
(b )
F II a F B F F A
b
I F C
II F
F
A
F
I
F
F
F
B D I E
图5-9
图5-10
§截面法和结点法的联合应用
结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两 种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。 例5-3 试求图5-11所示桁架中a、b及c杆的内力。 解：从几何组成看，桁架中的AGB为基本部分，EHC 为 附属部分。 (1) 作截面Ⅰ-Ⅰ，取右部分为隔离体，由ΣMC=0，得 FNa×d + F×d = 0 FNa = -F (2) 取结点G为隔离体，由ΣFy = 0，得 FNc = -F 由ΣFx = 0，得 FNFG = FNa = -F (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，由ΣMA=0，得 2 FNb× d+F×d-F×d = 0， FNb = 0
故知反力计算无误。 2.计算a杆内力。 (1) 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分为
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， 13 FNa = -513 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图5-4
§5-2 结点法
桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。计算内力时 可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件 求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结 点，这种方法叫截面法。如果所取隔离体仅包含一个结 点，这种方法叫结点法。 当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内 力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即 ΣFx=0，ΣFy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况 下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两 个，以避免在结点之间解联立方程。 结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次 增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的 杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反 次序进行，即从最后一个二元体开始计算。
(a) (b )
A C
A B B
图5-1
2．计算简图中引用的基本假定
（1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。
（2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 （3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。
上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有
轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实 际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架 中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对 平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点
上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是
次要的，称为次应力。按理想桁架计算的应力是主要的，称 为主应力。本节只讨论产生主应力的内力计算。
3．名词解释
桁架的杆件按其所在位 臵 分为弦杆和腹杆。弦杆又分 为上弦杆和下弦杆腹杆也分 为斜杆和竖杆，如图5-3所 示。两支座之间的水平距离l 称为跨度，支座联线至桁架
应用上述结论可判定出图5-6(a)、(b)、(c)所示结构中 虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言 的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图5-6(b)、(c)所 示。此处的零杆也决非多余联系。
F F F F
(a)
(b)
(c)
图5-6
例5-1 用结点法计算图57(a)
所示桁架各杆的内力。
静定平面桁架 本章内容 桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用， 对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的 计算。 目的要求 1. 了解桁架的受力特点及其分类。 2. 熟练运用结点法和截面法计算桁架内力。 3. 掌握组合结构的计算方法。
§ 平面桁架计算简图
1. 特点及组成 所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下，各杆内 力中只有轴力。截面上应力分布均匀，可以充分发挥材 料的作用。因此，桁架是大跨度结构中常用的一种结构 形式。在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。
FNC E F Nb FNa
3m
4m
E
10kN
F F N FG
E
10kN
o
F Nd D A C D F NDH
A
C
60kN
x=6m
3m
3m
60kN
图5-8
2.计算各杆内力。 (1)作截面Ⅰ-Ⅰ，如图5-8(a)所示，取左部分为隔离 体，如图5-8(b)所示。为求a杆内力，可以b、c两杆的交点 E 为矩心，由方程ΣME = 0，得
II
例5-4 求图5-12所示桁架中 a杆的内力。 解： 1.求支座反力。 ΣMB = 0, FA=(20×15+20×12+20×9) /18=40kN(↑)
II
F
I a H
F
c b A D F II
4d d
B I
E F
C
图5-11
I E F
ΣMA = 0, FB=20 kN(↑)
校核;ΣFy=40+20-20-20-20 = 0
由对称性可知：
FA = FB = (10+20×5+10)/2 = 60 kN (↑)
20kN
20kN
20kN 20kN
(a )
20kN
I F
II G
d
10kN
c
b
A
a
C I
D II
H
6X 3m =18m
B
FA=60kN 20kN
FB=60kN 20kN
F (c )
4m
(b )
10kN
20kN
3m
NAE
§5-3 截面法
用截面法计算内力时，由于隔离体上所作用的力为平 面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知 力数目不超过三个，则可将它们全部求出，否则需利用解 联立方程的方法才能求出所有未知力。为此，可适当选取 矩心及投影轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平 衡方程只包含一个未知力，以避免解联立方程。 例5-2 用截面法计算图5-8(a)所示桁架中a、b、c、d 各 杆的内力。 解： 1.求支座反力。