(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-1《数列的概念与简单表示》)课件(共30张PPT)

数列an=3n-1在直角坐标系中的图象如下： an 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 O
1
2
3
4 n
递推公式
如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起的每一项 等于它的前一项的2倍再加1，即
an=2an-1+1（n＞1），
那么 a2=2a1+1=3， a3=2a2+1=7， …
例2 下图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角 形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数 列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标
系中画出它的图象．
解：如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3， 9，27 ．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号 减1 ．所以，这个数列的一个通项公式是： an=3n-1
像这样给出数列的方法叫做递推法，其中 an=2an-1+1（n＞1）
称为递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
例3：一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1 －an，那么这个数列的第5项为( A．6 C．－12 ) B．－3 D．－6
6
7
8
9
10
5
做出常数数列： 4,4,4,4,图象
4
3
做出摆动数列： -1 ， 1 ， -1 ， 1 ， 图象
2
1
0 -1 1 2 3 4 5
我们好孤单！ 我们好孤单！
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 我们可以根据数列的通项公式写4与数列2,5,8,11,1 4, 有何不同?
数列2,5,8,11,14与数列2,5,8,11,14, 中序号n与项an 之间有怎样的对应关系呢?
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5
an n( n 1)的图象
是些孤立点
首项
第2项 第n项
数列的概念
简记为 an （右下标n表示项的位置序号）。 数列的分类：
数列的一般形式可以写为a1,a2,a3,„ ,an „ ,
1、按项的个数分：
项数有限的数列叫做有穷数列；
项数无限的数列叫做无穷数列。
2、按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分：
递增数列
从第2项起， 每一项都大 于它的前一 项
变式1．数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的 一个通项公式： 1 1 1 1 1 （1）1， ， ， ， ； an= 2n-1 （n∈Z+） 3 5 7 9 1 1 1 1 1 （ 2） - 2× 1 ， 2× 2 ， - 2× 3 ， 2× 4 ， - 2× 5 ； （ - 1） n an= 2n （n∈Z+） （3）1， √2 1 1 √2 ， ， ， ． 2 2 4 4 1 an= n-1 （n∈Z+） 22
国际象棋的故事
得数为：18446744073709551615
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 三角形中小正方形数
1,
3,
6,
10,
.…..
正方形中小正方形数
1,
4,
9,
16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
数列的基本概念
数列 数列的项
按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数
递减数列
从第2项起， 每一项都 小于它的 前一项
常数列
各项都 相等
摆动数列
从第2项起， 有些项大于 它的前一项， 有些项小于 它的前一项
你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗?
⑴全体自然数构成数列：
0，1，2，3, „ . 无穷数列 递增数列
⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人） 构成数列 有穷数列 递增数列 82，93，105，119，129，130，132.
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
本节主要讲解数列的概念和简单表示方法。借助数麦粒的故事引 入新课，强调了数列在生活中的作用，生动、直观、有吸引力。利 用正方形数和三角形数引入概念。从两个角度探究数列的分类并利 用例题加以巩固；利用例子引导学生探究数列与函数的关系；希尔 宾斯基（Sierpinski）三角形给出数列的递推公式；借助典例巩固数列 的通项公式、递推公式；借助银行存款利率问题和斐波那契数列对 本节的认识有进一步的提升. 教学过程讲练结合，其中例1、变式1、例2主要研究写书数列的 通项公式。例2借助希尔宾斯（Sierpinski）三角形给出递推公式的概 念。例 3 、例4 会用通项公式写出数列的项，用变式3 、变式 4 加以巩 固。知识扩展介绍神奇的斐波那契数列，有趣味性，增长知识能够 吸引学生.
与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示． 数列的图象是一系列孤立的点． 例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列
2，4，6，…，2n，… .
这个数列还可以用列表和图象分别表示在下表和下图中
n 1 an 2
2 4
3 … k … 6 … 2k …
an 10 8 6 4 2
O
1 2 3 4 5 n
⑶无穷多个3构成数列
3，3，3，3，3, „ . 无穷数列
常数列
⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1， 0.05，0.02，0.01. 有穷数列 递减数列 ⑸-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂 ……构成数列 -1，1，-1，1, „ . 无穷数列 摆动数列
（2）2，0，2， 0；
这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶 数项是0，所以它的一个通项公式为： an=（-1）n+1+1
根据数列的前若干项写出的通项 公式的形式唯一吗？请举例说明．
如（1）也可以写作： 1 an=- n（n=2m，m=1，2，3，…） 1 或 an= n （n=2m-1，m=1，2，3，…）
思考： 通项公式可以看成数列的函数解析式．利用一个数
列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？
典例展示
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1 1 1 （1）1，- ， ，- ； 2 3 4
（2）2，0，2， 0； 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数， 并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项 （-1）n+1 公式为： an= n