初一数学代数式知识

初一数学基础知识讲义

第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

2

2

+--++-的值与x 无关， 求()[]

m m m m +---4522

2

的值.

分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零

因为()

()83825378522

2

2

2

++-=+--++-y x m x y x x x mx

所以 m=4

将m=4代人，()[]

441616444522

2

2

-=-+-=-+-=+---m m m m m m

利用“整体思想”求代数式的值

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63

5-++cx bx ax 的值。

分析： 因为863

5=-++cx bx ax

当x=-2时，8622235=----c b a 得到862223

5-=+++c b a ， 所以14682223

5-=--=++c b a

当x=2时，63

5-++cx bx ax =206)14(62223

5

-=--=-++c b a

2008

200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 2008

2007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数

由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932

=+x x 整体代人，42932

=-+x x

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4． 已知012

=-+a a ，求200722

3

++a a 的值.

分析：解法一（整体代人）：由012

=-+a a 得 02

3

=-+a a a 所以：

解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 由012

=-+a a ，得a a -=12

， 所以：

解法三（降次、消元）：12

=+a a （消元、、减项）

2008

2007120072007)(2007

200722

2222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利 分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元） 第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；

B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)

由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。 例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc

ac ac ab ab c c b b a a x +

++++=

， 则 12

3+++cx bx ax 的值是_______ 。

解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数 又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b<0，c<0时，x=0。

另：观察代数式 bc

bc

ac ac ab ab c c b b a a +++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式

不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．

分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，… 观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5 因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上

例8． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1 所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列， 所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；

②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k

n

2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，