状态空间表示法例题

如：初始状态：（S，S，S，S）， 终止状态：（N，N，N，N）， 中间状态：S-N（1，1，0，0）
3.状态约束分析
因老农、狐狸、羊羔和白菜都有2种状态，即在南岸和北岸，所 以4个对象的总状态数为2*2*2*2=16种，按条件要求，有几种状态不 能存在，如表所示。所以只有10种可能状态。
老农和其他三个对象不 在同一岸（狐狸要吃羊 羔，羊羔要吃白菜） 羊羔和白菜在同一岸 （羊羔要吃白菜） (S,N,N,N)：老农在南岸，其他三个对象在北岸 (N,S,S,S)：老农在北岸，其他三个对象在南岸 (S,S,N,N)：老农和狐狸在南岸，羊羔和白菜在北岸 (N,N,S,S)：老农和狐狸在北岸，羊羔和白菜在南岸 (S,N,N,S)：老农和白菜在南岸，狐狸和羊羔在北岸
算符: A( i,j):表示把A从第i号针移到第j号针上
B(i,j):表示把B从第i号针移到第j号针上 共12个算符: A(1,2), A(1,3), A(2,1) ,A(2,3), A(3,1),A(3,2) B(1,2), B(1,3), B(2,1), B(2,3), B(3,1), B(3,2)
狐狸和羊羔在同一岸 （狐狸要吃羊羔）
(N,S,S,N)：老农和白菜在北岸，狐狸和羊羔在南岸
5.操作约束
根据题意，在10种可能的安全状态里，只有4种 是有可能的操作：
1）老农独自过河（包括从南岸到北岸和从北岸到南岸，下同） 2）老农携带狐狸过河 3）老农携带羊羔过河 4）老农携带白菜过河
(S,S,S,S)
B
M(A 1 2) 1 2 3
S '1
B A 1 2 M(B 1 3) 3 A 1 B
S '2
M(A 2 3) 2 3 A B
S '3
目标状态
二来自百度文库汉诺塔问题的状态空间图
目标状态
[附录] 分钱币问题 假设有7个钱币，任一选手只能将已分好 的一堆钱币分成两堆个数不等的钱币，两 位选手轮流进行，直到每一堆都只有一个 或两个钱币，不能再分为止，哪个遇到不 能分的情况，则就为输。 假设对方先走，我方是否有必胜策略？
[例2] 农夫过河问题
一个老农携带一只狐狸、一头羊羔和一筐白菜， 要从南岸过河到北岸。岸边有一条小船，只有老农 自己能划船，而且除了老农以外，每次只能再带一 样东西过河。在整个渡河过程中，无论什么情况， 若老农不在场时，则不允许狐狸和羊羔单独相处， 否则羊羔会遭殃；羊羔也不得与白菜放在一起，否 则羊羔会吃白菜。 请问，老农如何才能把它们全部安全摆渡到北 岸？
[例1] 重排九宫问题
2 8 3 1 6 4 7 ■ 5
初始状态
1 2 ■ 8 7 6
3 4 5
目标状态
要求：用尽可能少棋步能由初始状态到达目标 状态。
2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 6 4 1 7 5 8 3 2 6 4 1 7 5 2 8 3 6 4 1 7 5 2 8 3 1 4 7 6 5 2 3 1 8 4 7 6 5 2 3 1 8 4 7 6 5 1 2 3 8 4 7 6 5 2 3 1 8 4 7 6 5 2 3 4 1 8 7 6 5
2 8 3 1 4 7 6 5
8 3 2 1 4 7 6 5 8 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 6 5 2 8 3 7 1 4 6 5
8 3 2 6 4 1 7 5
2 3 2 8 3 2 8 3 6 7 4 6 8 4 6 4 5 1 7 5 1 7 5 1
目标状态
2 8 3 2 3 2 8 3 1 4 1 8 4 1 6 4 5 7 6 5 7 6 5 7
S0=（1，1）
S1=（1，2）
S2=（1，3）
S3=（2，1）
S4=（2，2）
S5=（2，3）
S6=（3，1）
S7=（3，2）
S8=（3，3）
二阶梵塔问题状态表示
二阶梵塔状态空间图
M(盘符，i, j)
1 2 3
S0
初始状态
盘符=A,B i，j∈{1，2，3}
A M(A 1 3) 1 2 3 S1 B M(B 1 2) 1 2 B M(A 3 2) 1 2 A B 3 S3 A 3 S 2 A
2.状态和操作
用符号表示：
M：代表老农(farmer)
F：代表狐狸(fox) L：代表羊羔(lamb) C：代表白菜(cabbage) S：表示在南岸
N：表示在北岸
S-N：表示从南到北 N-S ：表示从北到南
用（M，F，L，C）表示四个对象的一个状态, 可有S和N两个值；
改变状态的操作，可分别用1，0表示。表示 对象“在船上”和“不在船上”两个值。
对方先走 （6,1）
（7） （5,2） （3,2,2） （4,3）
（5,1,1） （4,2,1）
（3,3,1）
（4,1,1,1） （3,1,1,1,1）
（3,2,1,1）
（2,2,2,1） 对方胜 我方胜
（2,2,1,1,1）
（2,1,1,1,1,1） 对方胜
分钱币问题的搏弈图
6.问题求解过程的表示
S--N(1,0,1,0) (N,S,N,S) N--S(1,0,0,0)
(S,S,N,S) S--N(1,0,0,1) S--N(1,1,0,0)
(N,N,N,S) N--S(1,0,1,0) (S,N,S,S) S--N(1,O,0,1)
(N,S,N,N) N--S(1,0,1,0) (S,S,S,N) S--N(1,1,0,0)
1.自然语言描述
1）老农携带羊羔过河，把狐狸和白菜留在南岸； 2）老农到达北岸，把羊羔留在北岸，并独自回到南岸； 3）老农携带狐狸过河，把白菜留在南岸； 4）老农到达北岸，把狐狸留下，并带上羊羔回到南岸； 5）老农把羊羔留在南岸，携带白菜过河； 6）老农到达北岸，把白菜和狐狸留在北岸，独自回到南岸； 7）老农最后携带羊羔过河，到达北岸。问题就此解决。
N-S（1,1,0,0）
(N,N,S,N) N--S(1,0,0,0) (S,N,S,N) S--N(1,0,1,0) (N,N,N,N)
[例3] 二阶梵塔问题(P53)
解：设立柱 1、2和3以及两个圆盘A和B 。 用Sk=( Sk0, Sk1)表示问题状态，Sk0表示圆盘A所在的立柱，Sk1表 示圆盘B所在的立柱，全部可能的状态共有九种： S0=( 1，1)， S1=( 1，2)， S2=( 1，3) S3=( 2，1)， S4=( 2，2)， S5=( 2，3) S6=( 3，1)， S7=( 3，2)， S8=( 3，3) 问题的初始状态集合是S={S0}，目标状态集合是G={S4，S8}。
初始状态
2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 1 4 7 6 5 2 8 3 1 4 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 3 2 8 3 2 1 6 1 8 6 7 5 4 7 5 4 2 8 3 1 6 7 5 4 2 8 3 1 6 7 5 4 2 8 1 6 3 7 5 4 2 8 1 6 3 7 5 4 2 8 3 1 5 6 7 4