第二课时 等式性质与不等式的性质

第二课时等式性质与不等式的性质
课标要求素养要求
1.掌握不等式的基本性质.
2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的
性质解决问题，提升数学抽象及数学运
算素养.
新知探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来
表示这一现象.
问题你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示糖水变甜这一现象对应的不等式为
a
b<
a＋c
b＋c
，其中a<b，c>0.
1.等式的性质
性质1如果a＝b，那么b＝a；
性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5如果a＝b，c≠0，那么
a
c＝
b
c.
2.不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点)
性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.
性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.
性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).
拓展深化
[微判断]
1.a >b ⇔ac 2>bc
2.(×) 提示 当c ＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 相乘需要看是否⎩⎪⎨⎪⎧a >b >0，
c >
d >0，而相加与正、负和零均无关系.
3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]
1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >b
a
成立的条件是( ) A.a <b B.a >b C.与m 有关
D.恒成立
解析 b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b .
答案 B
2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2
D.m ＋x >n ＋x
解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
题型一利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】(1)若1
a<
1
b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a
3>b3，
则不正确的不等式的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则1
a<
1 b；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a<b，则a
b<
a＋m b＋m
.
其中真命题的序号是________.
解析(1)由1
a<
1
b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a
＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2.
(2)对于①，若ab>0，则1 ab>0，
又a>b，所以a
ab>b
ab
，所以1
a<
1
b
，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a<b，则am<bm，
所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，
又1
b（b＋m）>0，所以
a
b<
a＋m
b＋m
，③正确.
综上，真命题的序号是①③.
答案(1)C(2)①③
规律方法不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是()
A.ac>bd
B.a d< b
c
C.a
d>
b
c D.ac
2<bd2
解析a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；
由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘1
cd ，可得a
d<
b
c
，则B对，C错；
由－c>－d>0，－ac>－bd>0，
可得ac2>bd2，则D错.故选B.
答案 B
题型二利用不等式的性质证明不等式
【例2】若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋b
b≤
c＋d
d.
证明∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b).
又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋d
d .
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <a
b .
证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .
(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2
ab ＝（b ＋a ）（b －a ）
ab
，
∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故
b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，a
b 的取值范围. 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63，即14<a b <2.
规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练3】 已知－π2<β<α<π
2，求2α－β的取值范围.
解∵－π
2<α<
π
2
，－π
2<β<
π
2
，
∴－π
2<－β<π
2.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π
2<2α－β<3 2π.
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.
二、素养训练
1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()
A.a>b>－b>－a
B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a
D.a>b>－a>－b
解析由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0.
又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是()
A.a－b>0
B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.若8<x<10，2<y<4，则x
y的取值范围为________.
解析 ∵2<y <4，∴14<1y <1
2. 又∵8<x <10，∴2<x
y <5. 答案 2<x
y <5
4.下列命题中，真命题是________(填序号).
①若a >b >0，则1a 2<1
b 2；②若a >b ，则
c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b .
解析 ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1
b 2；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒
c －2a <c －2b ；对③取a ＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确.
答案 ①②④
5.已知c a >d
b ，b
c >a
d ，求证：ab >0.
证明
∵⎩⎨⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎨⎧c a －d b >0，bc －ad >0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，
∴ab >0.
基础达标
一、选择题
1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2
D.a b <1
解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2，
则－1
3>－1
2
，可排除A；
(－3)2>(－2)2，可排除C；
a b ＝
－3
－2>1，可排除D；
而－1
3>－1
2
，即1
a>
1
b
，B正确.
答案 B
2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()
A.x2<ax<a2
B.x2>ax>a2
C.x2<a2<ax
D.x2>a2>ax 解析∵x<a<0，∴x2>a2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
答案 B
3.(多选题)设a<b<0，则下列不等式中正确的是()
A.2
a>
2
b B.ac<bc
C.|a|>－b
D.－a>－b
解析a<b<0，则2
a>
2
b
，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，
则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得－a>－b，则选项D正确.
答案ACD
4.已知a>b>c，则
1
b－c
＋
1
c－a
的值是()
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
解析 1b －c ＋1
c －a ＝c －a ＋b －c （b －c ）（c －a ）＝b －a （b －c ）（c －a ），
∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0， ∴
1b －c ＋1c －a
>0，故选A. 答案 A
5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3
D.1<a －|b |<4
解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C 二、填空题
6.不等式a >b 和1a >1
b 同时成立的条件是________. 解析 ∵1a －1b ＝b －a
ab ，
∴a >b 和1a >1
b 同时成立的条件是a >0>b . 答案 a >0>b 7.若a <b <0，则
1a －b
与1
a 的大小关系是________. 解析 1a －
b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b
（a －b ）a ，
∵a <b <0，∴a －b <0，则
b （a －b ）a <0，1a －b
<1
a .
答案
1a －b <1
a
8.已知－π2≤α<β≤π
2，则α－β2的取值范围是________.
解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π
4. ∴－π4≤α2<π
4，①
－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π
2.
又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β
2<0. 答案 －π2≤α－β
2<0 三、解答题
9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <c
b ； (2)若a
c 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1
b 不一定成立， ∴推不出
c a <c
b ，∴是假命题.
(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.
(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.
(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题.
10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b
c －b
.
证明 a c －a －b
c －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）
（c －a ）（c －b ）
＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c
（a －b ）
（c －a ）（c －b ）.
∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0.
∴c （a －b ）
（c －a ）（c －b ）>0.∴a
c －a >b
c －b .
能力提升
11.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是(
) A.xy >yz B.xz >yz
C.xy >xz
D.x |y |>z |y |
解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，
所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.
所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，
y >z ，
可得xy >xz . 答案 C
12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围.
解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v 2，
∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .
∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.
则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.
法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.
又⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6.
∴－2≤4a －2b ≤10. 创新猜想
13.(多选题)若x >1>y ，则下列不等式一定成立的有( )
A.x －1>1－y
B.x －1>y －1
C.x －y >1－y
D.1－x >y －x
解析 x －1－(1－y )＝x ＋y －2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x ＝2，y ＝－1得x －1－(1－y )<0，故选项A 中不等式不一定成立；x －1－(y －1)＝x －y >0，故选项B 中不等式成立；x －y －(1－y )＝x －1>0，故选项C 中不等式成立；1－x －(y －x )＝1－y >0，故选项D 中不等式成立.故选BCD.
答案 BCD
14.(多空题)已知12<a <60，15<b <36，则a －b 的取值范围为________，a b 的取值范
围为________.
解析 由15<b <36得－36<－b <－15.又因为12<a <60，所以－24<a －b <45.
由15<b <36得136<1b <115.
又因为12<a <60，所以13<a b <4.
答案 －24<a －b <45 13<a b <4。