含参不等式的解法(教师版)

不等式(3)----含参不等式的解法

当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式

一、含参数的一元二次不等式的解法：

例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－10, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。 解：11,|;4m x x ⎧

⎫=-≥⎨⎬⎩⎭

当时原不等式的解集为 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);

34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=

21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

牛刀小试：解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax

思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。

二、含参数的分式不等式的解法：

例2：解关于x 的不等式02

12>---x x ax 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax －1中的a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax

当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x

解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }；

当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x a

x , 则：当,2

1时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且； 当0<,21时

⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或； 当,21时>a 原不等式的解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧><<-211|x a x x 或； 当a <0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(<+--x x a

x ， 则当1-=a 时, 原不等式的解集为{}12|-≠

当01<<-a 时, 原不等式的解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a x x 或； 当1-

⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a x x 或； 小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a =0的情况以及对a

1，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。

牛刀小试：解关于x 的不等式)1(,12

)1(≠>--a x x a 思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a 分两级讨论：先按a >1和a <1分为两类，再在a <1的情况下，又要按两根1

2--a a 与2的大小关系分为100,0<<=

三、含参数的绝对值不等式的解法：

例3：解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax

分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a 、b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。

解：2)(2)(22|2|≥-≤+⇔≥--≤-⇔≥-x b a x b a bx ax bx ax bx ax 或或

当0>>b a 时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b

a x

b a x -≥+≤

⇔22或 此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+≤b a x b a x x 22|或； 当0>=b a 时，由无解而得2)(,22)(≥-+≤≤+x b a b

a x x

b a ， 此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+≤b a x x 2|；

当b a <<0时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b

a x

b a x b a x +≤⇔-≤+≤

⇔222或 此时此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤b a x x 2|； 综上所述，当0>>b a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≥+≤b a x b a x x 22|或；当0>≥a b 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+≤b a x x 2|。 小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：)

0()0({||≥<-=a a a a a ②平方法：⇔≤|)(||)(|x g x f )()(22x g x f ≤③利用同解变形：);0(,||);0(,||>>-<⇔>><<-⇔

);()()()(|)(|x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或；

（二）解含参数不等式的常用方法

一、通过讨论解带参数不等式

例1：2(1)0x x a a --->

例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。

二、已知解集的参数不等式

例3：已知集合{}2540A x x x =-+|≤，

{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 三、使用变量分离方法解带参数不等式

例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1

(0,)2

x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实

数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范

围。如何求解？

分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

四、主参换位法解带参数不等式

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。

例7：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442

-+-+=的值恒大于0，求x 的

取值范围。

分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路

受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 例8：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452

<+-x ax 恒成立，求x 的范围。