第六章 弯曲变形
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材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件
F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度2》转角挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M2》4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
第六章 弯曲变形(材料力学)
d w 2 d x
3/2
M (x) EI
第六章 弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
dw 1 dx
方程中正负号的确定
d2 w d x2
M (x) EI
材料力学Ⅰ
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正.
第六章 弯曲变形
y
M
M
x
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大 的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学
第六章 弯曲变形
Wednesday, March 11, 2020
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 静不定梁的解法 §6-6 提高弯曲刚度的措施
F
F
2
2
F
材料力学Ⅰ
二、研究目的:
第六章 弯曲变形
1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
三、梁的变形描述
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的
弯曲变形课件
其余部分被看作为刚体，因此又称为逐段刚化法或 逐段求和法。
注意
迭加法是利用载荷迭加；是分解载荷； 广义迭加法将梁各部份变形对所求截面的挠度和转
角的贡献量进行迭加；是分解梁。
例5. 图示悬臂梁左侧受均布载荷，用迭加法求
自由端的挠度和转角。已知EI为常数。 解：
f B fC θC L 2
2.用迭加法求解静不定梁
变形协调条件和补充方程
fB 0
f B f Bq f BR 0
qL4 RBR L3 0 8EI 3EI
3qL R B 8
当此段梁受到正弯矩时，挠曲轴
为凹曲线，其二阶导数也为正。
当此段梁受到负弯矩时，挠曲轴
为凸曲线，其二阶导数也为负。
挠曲轴近似微分方程
M( x ) v" EI z
6.3 用积分法求弯曲变形 (Beam deflection by integration )
1.挠曲轴近似微分方程的积分
挠度。已知抗弯刚度EI为常数。 解：
Pb RA L
" 1
Pa RB L
Pb AD : EIv x1 (0 x1 a) L
" DB : EIv2
( a x2 L )
Pb x2 P( x2 a) L
Pb EIv x1 (0 x1 a) L Pb 2 v1 ' x1 C 1 2 EIL Pb 3 v1 x1 C 1 x1 D1 6EIL
L 4 L 3 q ( ) q( ) 4 7 qL L 2 2 8EI 6EI 2 384EI
L q ( )3 3 qL θB θC 2 6EI 48EI
第六章弯曲变形
第六章 弯曲变形挠曲线的弯曲微分方程W=f(x)挠度 横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移， 转角 横截面对原来位置的角位移，称为该截面的转角可以是挠曲线上的点的切线方向与x 轴的夹角，也是改点的法线与横截面的夹角 【转角就是这一点的切线的斜正值为正的，负值为顺时针】规定转角顺时针为负值，逆时针为正值，而且剪力是顺时针为正值，逆时针为负值注意 用梁的轴线来代替梁弯矩规定下凸为正（叫做凹曲线）左顺右逆【使下侧受压为正】 梁的弯曲变形是很小的，在tan θ=θ值 在数学表达式中有|'1"w |p 1w +=中有二阶无穷小量 最后简化为 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, w 轴竖直向上为正。
此时，挠度的二阶导数在挠曲线凹（下凸）时为正，反之为负。
【挠度的二阶导数是弯矩，一阶导数是转角正好有弯矩的定义对应起来】梁的挠曲线近似微分方程 在这公式中，只是纯弯曲，忽略了剪力和二阶无穷小量6---3用积分法求弯曲变形在挠曲线的某些点上，挠度和转角有时候是已知的 1()()M x x EIρ=()"M x w EI =1()d EIw M x x C '=+⎰12()d d EIw M x x x C x C =++⎰⎰积分常数的确定1.边界条件简支梁左右胶支座挠度为0；悬臂梁固定端挠度是零，转角也是零2.连续条件（1）挠度连续条件（2）转角连续条件3.感悟弯矩为零处转角取极值；转角为零处，挠度取极值【更加简单的是从挠度曲线上来判读】4.事实上:在简支梁中, 不论集中载荷作用于什么位置, 其最大挠度值一般都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 精确度能够满足工程要求.技巧：（a ）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对于见对方对于简支梁的来说；中间作用一个集中力的话，要是判断那一段的挠度和转角的话，1 比较a 和b 的值，谁大挠度最大值就在那一侧；因为转角是在弯矩等于零的地方，所以可以知道转角一定会在 角支座处可能取得2比较集中力作用点的转角值得正负也可以判断6--4用叠加法求弯曲变形载荷叠加法和结构叠加法（逐段钢化法）在简支梁的一段作用的非集中载荷时候；要用积分的方法；取一小段dx 算出这一点的集度，再用第九栏的公式计算0)(a x M -+对于外伸梁一般用逐段钢化法；一般分为简支梁和固定端约束的梁；支点的简化时候有力和力偶两个（弯矩）[刚体作用时候是力可以平移的]剪力直接传递到支座上不引起变形6.5简单超静定梁独立平衡方程的数目的确定n次超静定梁寻求变形协调方程的关键是找到挠度的连接点6.6减小弯曲变形的一些措施改善机构的形式和载荷的作用方式，减小弯矩缩小跨度选择合适的截面形状工字形，等离对称轴较远的面例题中引入的是简支梁的三角形载荷；首先将载荷无限分解特别注意此时叠加的时候是积分2.简支梁部分载荷作用下的（载荷分布点的挠度和两端的转角）方法二的简化简支梁集中力在中间的作用下视为固定端约束3.对于外伸梁的端口的挠度和转角方法是固定的，一般有两种分段求变形（在脚支座的地方简化成力和弯矩，查表得出挠度和转角的表达式。
《材料力学》第六章-弯曲变形
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9
第六章 弯曲变形
B2
B2
l 2
q( l )4 2
8EI
B2
l 2
w
C C1 C2
ql4 8EI
q( l )4 2
8EI
B
2
l 2
41ql4 384EI
C C1 C2 ql3
6EI
q( l )3 2
6EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
384EI 48EI 48EI 384EI
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q
A L/2 B
L/2
C
q
q
q
q
C1
ql 4 8EI
C1
C1
C1
ql 3 6EI
,
C2
q( l )3
q
B2
B2
C2
B2
2 6 EI
c2
C 2
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql 3
24EI
ql 3
16EI
ql 3
3EI
11ql3 48EI
C C1 C2 C3 5ql 4 (ql)l3 3ql 4 11ql 4
2
(x)
3 2
EI z
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利；
没有采用曲率的简化式， 非线性的， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。
《材料力学》第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形§6—1 概述一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。
二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。
用 “w ” 表示。
w =w （x ） ……挠曲线方程。
挠度向上为正；向下为负。
三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。
用“θ” 表示。
θ=θ(x)……转角方程。
由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。
四、挠度和转角的关系w =w （x ）上任一点处——w x w dxdw tg '='==)(θ w tg '=⇒≈θθθ §6—2 梁的挠曲线近似微分方程 一、曲率与弯矩的关系：EIx M x EI M x )()(1)(1=→=ρρ （1） 二、曲率与挠曲线的关系：[]232)(1)(1w w x '+''±=ρ→w x ''±=)(1ρ （2） 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 →w x ''±=EI M )( → )(x w M ±=''EI结论：挠曲线近似微分方程——)(x w M =''EI挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs ”、 2)(w '对变形的影响。
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
§6—3 积分法计算梁的变形步骤：（EI 为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M （x ）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分)()(x M x w EI =''1)()(C dx x M x w EI +='⎰21))(()(C x C dx dx x M x EIw ++=⎰⎰3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
材料力学第6章弯曲变形
3）刚度条件：
w [f] max
[] max
作业 6－1
6.1
6.4(a) 加均布载荷q，M= -qa2/2
yq l
M 1ql2 2
x
§6.4 用叠加法求弯曲变形
原理： 多个载荷作用，弯矩图可以叠加，
d2w dx2
ME(Ixz )是线性方程，所以w
也可以叠加，
叠加法利用了已有的结果，所以较积分法 简洁，是应用最广泛的方法之一。
x0 13(l2b2)
w ma x9F 3EbI(l2 lb2)3
w l/24F E 8(b 3 Il24b2)
w m aw xl/2133l(3l24b2)
w max
16 (l2b2)3
ma x2.6% 5
讨论： 1）本题BC段的弯矩方程也可列为 M2Pl a(lx2) 但积分常数就不一样。 2）若a=b则要利用对称性，只求解一 半，边界条件变为：
=
F1a
例3：求A端挠度及转角。
w1
Fa3 3EI
A1
Fa2 2EI
w 26 F E 3a IF 4E2 a Ia 1 5F E 23aI
B4 F E 2a I2 F Ea I a 3 4 F E2a I
2EI EI a Ba
F A
F w1
F
w2
Fa
w3
w3Ba34F E3aI
2）双跨梁：
A
FB F C A
a a aa
FB F C FRB
协调方程：w B 2 F [3 (4 4 a a E )2 8 4 a I 2 ] F R 4 ( E 4 B a 8 )3 I 0
材料力学 第6章 弯曲变形
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
弯曲变形
3）建立相当系统 (以多余约束反力代 替多余约束。) 4）变形协调条件
f B = f BP + f BY = 0
B
f B = 0(VB = 0)
5）物理关系 查表 : Pa 2 f BP = + ( 3L − a ) 6 EI Z 3 YB L f BY = − B 3EI Z
6）补充方程:
Pa 2 YB L3 ( 3L − a ) − =0 6 EI Z 3EI Z
PL2 → D1 = D2 = 0, C1 = C2 = 24
4）求θC和VC： θ
4）求θC和VC： θ
1 3 1 L 3 PL2 BC段：EI zV = − Px + P( x − ) + x 6 3 2 24 PL3 1 L 3 PL2 PL3 V |x = L = − + P( L − ) + ×L= − (↓) 6 3 2 24 12 EI Z
6）刚度校核：
令 = 0(即 = 0处) V' θ L →x= 3
f
max
M 0 2 M 0L − x + =0 2L 6
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析： RA = P(↓), R B = 2 P ( ↑ ) 2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分 AB段：0 ≤ x ≤ L / 2 ) (
M 0L C = 6
5）求θA，θB。
M 0L （ θ A = θ (0 ) = 6 EI Z M 0L θ B = θ (L ) = − （ 3EI Z
材料力学 第六章 弯曲变形
Q A
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形
)F
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A
ql
Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx
1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A
ql
Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx
1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3
第6章 弯曲变形
F
A
C
B
v
|xC
v
|xC
，q
|
xC
q
|xC
3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：
①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。
工程实例
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
2.利用弯曲变形
在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
工程实例
车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
3.求解超静定问题。
二.基本概念
梁弯曲时的位移
1.梁的挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光
步 骤： (1)绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确 定挠曲线的大致形状及位置。 注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲 率也最大。
第三节 叠加法求梁的位移
梁弯曲时的位移
x
F
A
B
a Cb
FA
l
FB
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
A
C
B
v
|xC
v
|xC
，q
|
xC
q
|xC
3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：
①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。
工程实例
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
2.利用弯曲变形
在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
工程实例
车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
3.求解超静定问题。
二.基本概念
梁弯曲时的位移
1.梁的挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光
步 骤： (1)绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确 定挠曲线的大致形状及位置。 注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲 率也最大。
第三节 叠加法求梁的位移
梁弯曲时的位移
x
F
A
B
a Cb
FA
l
FB
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
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§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d M ( x) ' dx C dx EI z
d 2 M ( x) 2 dx EI z
转角方程
积分二次：
M ( x) ( dx)dx Cx D EI z
挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
1 1 4 qL3 qL4 ( qx x ) EI 24 6 8
29
例2
图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A
x
B
FRA FRB
7
§6-1 工程中的弯曲变形问题
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。
汽车板簧应有较大的弯曲变形,
才能更好的缓解车辆受到的冲击和振动作用.
目录
8
§6-1 工程中的弯曲变形问题
当今时代汽车工业飞速发展， 道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？
目录
9
§6-1 工程中的弯曲变形问题
0
21
梁的边界条件
ω
简支梁：
L
x
x 0:
0
x L:
0
22
连续性条件：
边界条件
ω A
P
B a L C x
x 0: x L:
0
0
连续性条件
x a:
C
左
C 右
C 右
23
C
左
连续性条件：
ω
A a C L M B
x
x a:
特别强调
C左 C右
Iz
M
max
WZ
σ
切应力强度条件 max
仅保证构件不会发生破坏，
FS max S zmax I zb
但如果构件的变形太大也不能正常工作。
1、构件的变形限制在允许的范围内。
3
§6-1 工程中的弯曲变形问题
车间桁吊大梁的变形
目录
4
§6-1 工程中的弯曲变形问题
车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
目录
5
§6-1 工程中的弯曲变形问题
摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用；
如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
目录
6
§6-1 工程中的弯曲变形问题
桥梁如果产生过大变形
楼板、床、双杠横梁屋顶等 都必须把它们的变形限制在允许的范围内。
目录
A 1 x 0
B 2
Fb( L2 b 2 ) Fab( L b) 6 LEI 6 LEI
BC段 (a x L)
2 Fb F ( x a ) 2 ( x) [3x 2 ( L2 b 2 )] , 6 LEI 2
Fb L 3 2 2 2 ( x) [ x ( L b ) x ( x a)3 ] 6 LEI 6
7、求最大转角
x0 xL
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
34
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M 1 ( x)
M 2 ( x)
Fb x, L
Fb x F ( x a), L
Fb EI 1 x, L
4、各自积分
Fb 2 EI1 EI1 x C1 2L EI 1 Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
36
6、挠曲线方程 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI
Fb 1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI
目录
33
例3 一简支梁受力如图所示。试求此梁的挠曲线方程和转 角方程,并求其最大挠度和最大转角。 ω 1、求支座反力 A x F B C L x
FAy
Fb , L
FBy
Fa L
FAy
x a
b
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
19
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。
边界条件：
（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
光滑连续条件
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转 角相等。
目录
20
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x 0:
0
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
15
挠曲线微分方程
M ( x) EI
1
1
M ( x) EI z
1 y '
y ' ' ( x)
2
( x)
3
2
1 y'
y ' ' ( x)
2
( x)
3
2
1 ( x)
2
( x)
3
2
M ( x) EI z
ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax w
x
l 2
5ql 4 384 EI
积分法计算梁变形的步骤
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw M ( x )
EIw EI M ( x )dx C1 EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
0
x
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
B
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外，
还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析 以及振动分析等方面。
目录
10
二、弯曲变形的物理量
拉伸
F
F
FN l l EA
T l G IP
扭转：
内 力 杆 件 长 度 弯曲变形的物理量如何？ 抗变形刚度
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
xL
ω
F
a
EI 1
EI 1
EI 2
1 0
2 0
L
Fb 2 x C1 2L
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
x
连续条件：
xa
1 2
1 2
EI 2
Fb 3 F x ( x a)3 C2 x D2 6L 6
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程； 由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。 该挠曲线微分方程是非线性的，
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5、挠曲线近似微分方程
在小变形的条件下，
挠曲线是一条光滑平坦的曲线， 转角 较小，
取参考坐标系 1、列写弯矩方程 ω A x
。
q B x L
1 2 M ( x) qx 2
(0 x L)
2、代入挠曲线近似微分方程中
' ' M ( x) EI z
6
1 EI ' ' qx 2 2
转角方程
积分一次： EI ' EI 1 qx 3 C 积分二次：
第 六 章 弯 曲 变 形
目录
1
第六章
弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 减小弯曲变形的一些措施
目录
2
一、为何要研究弯曲变形? 弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
11
弯曲变形的物理量
1、挠曲线