高一数学幂函数、指数函数复习(学生版)

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初升高数学暑假衔接(人教版)第12讲幂函数(学生版)

第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x -=，12y x =的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如3y x =，1x y x +=，21y x =+等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，=12的图象(如图)．三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当0a <时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象；2、当01a <<时，函数的图象向x 轴弯曲，类似于的12y x =图象；3、当1a >时，函数的图象向y 轴弯曲，类似于3y x =的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A ．22y x =B ．221y x =-C ．2y x=D ．2=y x 【变式训练】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点(，则f(9)＝（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【变式训练】幂函数()()23mx m x f =-在第一象限内是减函数，则m =（）A ．2BC ．D ．2-考点三：幂函数的定义域问题例3．函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,∞-+∞U C ．[)0,∞+D ．()0,∞+【变式训练】给出5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③14y x =；④23y x =；⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x=【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-考点五：幂函数图象过定点例5．当R α∈时，函数2y x α=-的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________．【变式训练】不论实数a 取何值，函数()12ay x =-+恒过的定点坐标是___________．考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间(,0]-∞上为增函数的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．y x=D ．3y x =-【变式训练1】已知幂函数()f x 的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在定义域内（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值【变式训练2】已知幂函数()()21mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【变式训练】若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()223(22mm y f x x m --+==-<<，且)m Z ∈满足：①在区间()0,∞+上是增函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=.（1）求同时满足①②的幂函数()f x 的解析式，（2）在（1）条件下，求[]0,3x ∈时()f x 的值域.【变式训练】已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是单调递减函数．（1）求m 的值；（2）解不等式()()122f x f -≥．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．()f x x=C ．()41f x x =D ．()5f x x=2．已知幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．幂函数的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．偶函数，单调递增区间()0,+∞B ．偶函数，单调递减区间[)0,+∞C ．偶函数，单调递增区间(),0-∞D ．奇函数，单调递增区间(),-∞+∞4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A ．y =是幂函数B ．12x y +=是指数函数C ．22log y x =是对数函数D ．21)y =不是二次函数6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A ．132y x=B ．0y x =C ．()21y x =+D ．1y x -=7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A ．图像必过点(1,1)B ．可能是非奇非偶函数C ．都是单调函数D ．图像不会位于第四象限8．已知幂函数()f x 的图象经过点2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值为________．9．已知函数()2+af x x =（a 为不等于0的常数）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为_______.10．已知幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值是______.11．已知函数()nf x x =的图像经过点()2,8，若()()210f x f x +-<，则x 的取值范围为__________.12．已知幂函数()f x 的图像经过111(1,1),3,,,924A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四点中的两点，且()f x 在(0,)+∞上为减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(1)(23)f a f a +=-，求实数a 的值．13．已知幂函数()()()2246101,Z,R nnf x m m xn n m -+=-+>∈∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增.（1）求m 和n 的值；（2）求满足不等式()()32231nma a --+<-的a 的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A ．y =B ．3y x =C ．3y x =D ．1y x -=2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =3．若幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性4．在下列幂函数中，是偶函数且在()0,∞+上是严格增函数的是（）．A ．2y x -=B ．12y x -=C ．13y x =D ．23y x =5．已知幂函数()y f x =的图象过点22,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞6．函数54y x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图像，已知α分别取113333--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的α依次为（）A ．113333--、、、B ．113333--、、、C ．113333--、、、D ．113333--、、、8．已知幂函数()f x 的图像过点(，则()8f =______.9．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______．10．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．11．已知幂函数()()211432()1t t f x t t x --=-+(Z t ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，则函数的解析式为_______．12．已知幂函数()()()2157R m f x m m x m --=-+∈为奇函数.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.13．已知幂函数()()226Z mm f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．（1）求函数()f x 的解析式；f x的奇偶性和单调性；（2）讨论函数()f x的值域．（3）求函数()。

基本初等函数复习资料学生版

〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算1. 若n x a =，则x 叫做a 的n n >1，且n N *∈n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；（a ≥0）.2. 规定正数的分数指数幂：mna =（0,,,1a m n N n *>∈>且）； 1m nm naa-==.¤例题精讲：【例1】已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【例2】化简与求值：（1（2+⋅⋅⋅+【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，总结如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域,和值域：（1）132xy -=；（2）51()3x y -=；【例2】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且. （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）讨论()f x 的单调性.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=；（2）10.21x y =-.【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】求证：（1）log n a a n =；（2）log log log a a a M M N N-=.【例2】试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.第5讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）21lg2lg5(lg 2++【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例3】（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）y （2）y【例2】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例3】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？第8讲 §2.3 幂函数知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（）.A ．101n m -<<<D ．1,1n m <->〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a ＞k②x 1≤x 2＜k ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a ＜k③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0第 11 页共 13 页④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＞0k 1＜－b 2a＜k 2或⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1＜－b 2a＜k 2⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＜0f (p 1)＜0f (p 2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＞0f (p 1)＞0f (p 2)＜0此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上）最小值① 若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=-③若2bq a->，则()m f q =最大值① 若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxxxx x(q)0x第 13 页共 13 页(Ⅱ)当0a <时(开口向下)最大值①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=-③若2bq a->，则()M f q =最小值①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xfxfxfxxx。

2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)

§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52，所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50，所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66；当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82；当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。

指数对数幂函数知识点汇总

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。

必修1第二章幂函数、指数函数、对数函数复习

年级高一学科数学版本人教新课标A版课程标题必修1 第二章幂函数、指数函数、对数函数综合复习编稿老师王志国一校林卉二校李秀卿审核吴华斌一、学习目标：1、熟练掌握幂的运算和对数的运算。

2、进一步理解指数函数、对数函数和幂函数的概念和意义，能画出草图并能熟练应用其性质。

3、在解决简单实际问题的过程中，能理解指数函数、对数函数和幂函数是三种不同的函数模型。

二、重点、难点：重点是熟练掌握幂的运算和对数的运算，指数函数、对数函数和幂函数的概念并能熟练应用其性质。

难点是指数函数、对数函数和幂函数性质的熟练应用，尤其是对分类讨论思想的理解。

三、考点分析：1、掌握幂的运算，理解对数的概念及其运算性质。

2、理解指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象及其性质。

3、指数函数、对数函数和幂函数作为高中学习阶段三种重要的函数模型，一直是考试的重点和热点。

知识点一：指数函数例1：如图是指数函数xxxxy a y b y c y d ====，，，的图象，则a b c d ，，，与1的大小关系是（）A. 1a b c d <<<<B. 1b a d c <<<<C. 1a b d c <<<<D. 1a b c d <<<< 思路分析：解本题的关键在于令x ＝1，这样一来，比较a b c d ，，，与1的大小关系就变成了比较四个函数的函数值与1的大小关系了。

解答过程：在同一坐标系中作出四个指数函数的图象，并作出直线1x =的图象，且它与指数函数图象有交点，则交点纵坐标就分别是c d a b ，，，，从图中可以看到它们由上至下依次变小，故正确选项为B 。

解题后的思考：指数函数(01)xy a a a =>≠且，的图象恒过(01)，点，作出直线1x =与x y a =交点的纵坐标，即为对应的指数函数的底数，靠上的点对应的数值大，则底数较大。

数学人教A版必修第一册3.3幂函数复习

27
16
)
D． b c a
题型练习三：幂函数的应用
5．已知函数 f ( x) (a a 1) x
2
a 1
为幂函数，且为奇函数；
（1）求 a 的值；
1
（2）求函数 g ( x) f ( x) 1 2 f ( x) 在 x [0, ] 的值域．
2
题型练习三：幂函数的应用
3
3
B．
2
2
C．
3
)
3
D．
2
【解答】解：根据幂函数 y x a 的图象关于 y 轴对称，函数是偶函数，排除 B 、 D 选项；
再根据幂函数 y x 的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
a
所以 a 0 ，排除 A ，即 C 选项正确．
故选： C ．
题型练习二：幂函数的图像和性质
是幂函数，且 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，则 f （2）
1
B．
2
C．2
【解答】解：因为函数 f ( x) (m2 2m 2) x m1 是幂函数，
所以 m 2m 2 1 ，解得 m 1 或 m 3 ．
2
又因为 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，所以 m 1 0 ，
幂函数
知识梳理
1、幂函数的概念
2、幂函数的图像
3、幂函数的性质
4、应用（比较大小）
1、幂函数的概念

定义：一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数.
注意：
Байду номын сангаас

① 幂前系数必须是1
②底数是自变量 x，指数是常数

单元复习第6章幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版必修第一册)课件

改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1

)
答案 (1)C (2)B
1 -1
解析 (1)函数 y=log2x 的反函数为 y=2 ,故 f(x)=2 ,于是 f(1-x)=2 = 2
,此函
x
x
1-x
数在 R 上为减函数,其图象过点(0,2),所以 C 中的图象符合要求.
8
8
39 -3-9
3-9
(2)由 f(1)=3>0 可排除 D,由 f(-1)=-3<0 可排除 A,又 f(9)= 4 =3- 4 >f(1),所
3.函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相
等实根；当Δ＜0时无实数根.
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作
函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象
交点的横坐标.
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
1
2
由于 f(x)是奇函数,从而 f(x)=- −
1
在(-∞,0)上为增函数.
2 -1
归纳提升对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将

高考数学冲刺—幂指对函数—学生版

一、幂函数①定义：一般地，形如()ay xx R =∈的函数称为幂函数。

（其中是自变量，是常数）②几个常见幂函数的图像及性质定义域 R R R奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数()ay xx R =∈的图像在第一象限的分布规律是：1）所有幂函数()ay x x R =∈的图像都过点；2）当11,2,3,2α=时函数ay x =的图像都过原点； 3）当1α=时，ay x=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；4）当2,3α=时，ay x =的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）5）当12α=时，ay x =的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ） 6）当1α=-时，ay x=的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）③ 通过特殊幂函数的图像与性质总结幂函数的图像：当0α>时，幂函数ay x=有下列性质：（1）图象都通过点()()0,0,1,1；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1α>时，图象是向下凹的；01α<<时，图象是向上凸的。

x αy x =2y x =3y x =12y x =1y x -={}|0x x ≥{}|0x x ≠)1,1()0,0()0,0(幂指对函数知识梳理当0α<时，幂函数ay x =有下列性质：（1）图象都通过点()1,1；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凹的。

（在第一象限内||α越大，图象下落的速度越快）注意：无论α取任何实数，幂函数ay x=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

二、指数函数①定义：一般地,函数()0,1x y a a a =>?叫做指数函数.与幂函数不同，在这个函数中，自变量x 是指数，而底数a 则是常数。

②基本性质：1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

数学总复习第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数

第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数（2）(对应学生用书(文）、(理)22～23页）考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质,以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．①了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型。

1。

(必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3,4)解析:当x＝3时，f（3）＝a3－3＋3＝4,∴f（x）必过定点（3,4)．2. （必修1P110复习3改编）函数y＝8－16x的定义域是________．答案:错误!解析：由8－16x≥0，所以24x≤23,即4x≤3，定义域是错误!.3。

（必修1P67练习3)函数f（x)＝（a2－1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：（－错误!，－1)∪(1,错误!）解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a｜＜2，即－错误!＜a ＜－1或1＜a ＜错误!。

4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f （x ）＝a ＋错误!是奇函数，则常数a ＝________。

答案:－12解析：由f （－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5。

（原创)函数y ＝1＋错误!|x －1|的值域为__________。

答案:(1,2]解析：设y′＝错误!u ,u ＝|x －1|。

由于u ≥0且y′＝错误!u 是减函数，故0〈错误!｜x －1｜≤1，则1＜y≤2。

1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x （a>0，a ≠1）叫做指数函数,函数的定义域是R ．2。

指数函数的图象与性质a>1 0<a 〈1图象定义域 R 值域(0,＋∞）［备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x ）＝错误!－错误!＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －错误!＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝错误!2＋错误!.∵ x ∈［－3，2］, ∴ 错误!≤2－x ≤8.则当2－x ＝错误!，即x ＝1时，f （x ）有最小值34;当2－x ＝8,即x ＝－3时，f(x ）有最大值57。

幂函数(2知识点+6题型+强化训练)(学生版) 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册学案

4.1.3 幂函数知识点01幂函数的定义一般地，形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．注 (1)注意幂函数中x α的系数是1，底数是变量x ，指数α是常数；【即学即练1】下列是幂函数的是()A.y =2xB. y =3x 4C.y =x 2D.y =(x ―1)3知识点02 幂函数图像及其性质(1) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x ―1的图象．(2) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x ―1的性质y =x y =x 2y =x 3y=x 12y =x ―1图象定义域RR R[0,+∞)x ≠0值域R [0,+∞)R [0,+∞)x ≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R 上递增在(―∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R 上递增在[0,+∞)上递增在(―∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)(3)性质① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.Eg y =x 12图象上凸，y =x 2图象下凹，在[0 , +∞ )上是增函数．③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．Eg y=x―1=1，x【即学即练2】已知幂函数y=x p3(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则（）A．p为奇数，且p>0B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0D．p为偶数，且p<0【题型一：判断函数是否是幂函数】例1．现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1；④y=(x―1)2；⑤y=x，其中幂函数的个数为（）A．4B．3C．2D．1变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x―1C．y=(x+1)2D．y=变式1-2．下列函数中，y=1x3，y=2x+1，y=x3+x，y=）A．1B．2C．3D．4【方法技巧与总结】1 幂函数的概念：一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2 注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α是常数.【题型二：求幂函数的值】例2．已知幂函数f(x)=(m+2)x n的图象经过点(4,2)，则m―n=（）A．―3B．―52C．―2D．―32变式2-1．已知幂函数y=f(x)的图象经过点4,f(2)等于（）A．12B．2C D变式2-2．已知幂函数f(x)=(m―1)x m2―1，则f(―1)=（）A．―1B．1C．―2D．2变式2-3．若幂函数f(x)=xα的图象过点(2,8)，则g(x)=α―x+）A．―∞B．[2,+∞)C+∞D．(―∞,2]【方法技巧与总结】1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法；2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为1.【题型三：幂函数的定义域】例3．已知幂函数f(x)=x―m2+2m的定义域为R，且m∈Z，则m的值为（）A．―1B．0C．1D．2变式3-1．下列幂函数中，定义域为(0,+∞)的是（）A．y=x23B．y=x32C．y=x―23D．y=x―32变式3-2．幂函数f(x)图象过点y=f(x)+f(2―|x|)的定义域为（）A．(0,2)B．(0,2]C．[0,2]D．(―2,2)【方法技巧与总结】1 掌握常见幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x―1的图象与性质；2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解；3 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，若幂函数f(x)=x a中a<0时定义域内不含0，若幂函数f(x)=x m n=为整数)中n是偶数，则函数定义域不能取(―∞,0)。

3.3幂函数11题型分类(学生版) 2024-2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修第一册)

3.3幂函数11题型分类一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意：幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．三、一些常用幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y ＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减注意：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．（一）幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.C ．3D ．132-4．（2024·浙江·模拟预测）已知()f x 是幂函数，且满足：①()()f x f x -=；②()f x 在()0,+¥上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()f x =.2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数()f x x a = (α是常数)的图象经过点()2,4，那么f (−2)=（）A ．4B ．-4C ．14D ．-14题型3：根据幂函数求参数3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =．3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数()()22325m m f x m m x--=+-×的图像不经过原点，则实数m =.（二）幂函数的图象及应用依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．题型4：幂函数过定点问题4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数()2y x a a =-为常数的图象过定点．4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.题型5：幂函数的图象及应用5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxxì³ï==-í<ïî，则函数()g x的图象大致是（）A．B．C．D．5-2．（2024·全国·模拟预测）函数()11 3x xf xx --=的图象大致为（）A．B．C．D．5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数p qy x=（,p q ZÎ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A ．p 、q 均为奇数且0p qD ．p 为偶数，q 为奇数且0p q<5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数()()2231mm f x m m x+-=--，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为．5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点()4,2P 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x -=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（）A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①（三）求幂函数的定义域和值域幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R ；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域.题型6：求幂函数的定义域6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数()f x 的图象经过点(25,5)，求()f x 的定义域.6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数()12f x x -=的定义域为．6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数3y x a a =-，则此函数的定义域为．题型7：求幂函数的值域（四）利用幂函数的性质比较大小（1）比较幂大小的三种常用方法:(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.（五）幂函数的性质综合应用利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型10：利用幂函数解不等式10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若12()f x x =，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（）A ．162,7éö÷êëøB ．(]0,2C ．16(,)7-¥D ．[2,+∞)10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数()f x 的图象经过点1,93æöç÷èø，且()()12f a f +<，则a 的取值范围为（）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,1-D ．()(),31,-¥-+¥U 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为．10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数12()f x x -=，则不等式(21)(1)f x f x ->+的解集为．题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数()()22322mm f x x m ,m --+=-<<ÎΖ在区间()0,¥+上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的x ÎR ，都有()()f x f x -=；②对任意的x ÎR ，都有()()0f x f x -+=中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求()f x 的解析式；(2)在（1）问的条件下，当[]3,3x Î-时，求()f x 的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①2y x -=，②43y x =，③35y x =，④45y x -=，既是偶函数，又在(,0)-¥上为增函数的是．11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知112,1,,,1,2,322a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a =奇函数，且在()0,¥+上为严格减函数，则a =.11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数()()()2157R m f x m m xm --=-+Î为奇函数.(1)求12f æöç÷èø的值；(2)若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2024高一上·四川成都·期末）函数()f x ）A ．B ．C ．D ．2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点()3,2a 在幂函数()()1b f x a x =-的图象上，则（）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x =3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则12f æöç÷èø等于（）A B C D ．144．（2024·海南·模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（）．A ．()f x 在(),0-¥上单调递增B ．()f x 在(),0-¥上单调递减C ．()f x 在()0,¥+上单调递增D ．()f x 在()0,¥+上单调递减5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设R m Î，若幂函数221m m y x -+=定义域为R ，且其图像关于y 轴成轴对称，则m 的值可以为（）A ．1B ．4C ．7D ．106．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①3y x =；②12xy æö=ç÷èø；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数()2133m y m m x +=-+的图像关于y 轴对称，则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．38．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（）A ．,m n 是奇数且1mnD ．,m n 是奇数，且1m n>9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递减，则m =（）A ．3B ．1C ．1-或3D ．1或3-11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知111333332,,555a b c -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<12．（2024高一·全国·课后作业）已知()21f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（）A ．()()11f a f b f f a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøB ．()()11f f f b f a a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøC ．()()11f a f b f f b a æöæö<<<ç÷ç÷èøèøD ．()()11f f a f f b a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèø13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递增，则m =（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数()()22222n nf x n n x-=+-×在()0,¥+上是减函数，则n 的值为（）A ．3-B ．1C ．3D ．1或3-15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数()f x 的图像过点()64,4，则()8f 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A ．y =B ．21y x =C ．22y x =D ．1y x x=+17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数()y f x =的图象过()4,32点，则()2f =（）．A ．B ．4C ．D ．8二、多选题19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数()()23m x m x f =-的图象过点12,4æöç÷èø，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0-¥上为减函数D ．()f x 在()0,¥+上为减函数20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数()()211m f x m m x --=+-，m ∈N ∗，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,¥+21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在(),0-¥上单调递减的是（）A ．y x =-B ．2y x -=C ．1y x -=D ．2y x =22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数()f x 的图象经过点(8,，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ³时，()2f x ³D ．当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø三、填空题23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()()2732351t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+¥上为增函数，则函数解析式为．24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若()f x 是幂函数，且()124f =，则13f æö=ç÷èø25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数()f x ，条件：①()f x 是偶函数；②()f x 为()0,¥+上的减函数．则()f x =．26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数()f x 的图象过点()3,3和()m,2，则实数m ＝ .27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()21N nn y x n ++=Î的图像一定经过第象限28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是．29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数()()222m f x m m x =--满足()()23f f <，则m = .30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数()()22221m m f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数()()231m f x m m x =++在第一象限单调递减，则()f m = .32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数()()21m f x m m x =+-是幂函数，且在()0,¥+上是增函数，则实数m 的值为．33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数()y f x =的图像过点(9,3)，则(2)f 的值为．34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数f (x )=(m 2−2m−2)x 2m−1在()0,¥+上为减函数，则m 的值为 .35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为 .36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数1101 ()f x x æö=ç÷èø，若f (a−1)<f (8−2a )，则a 的取值范围是.37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是．38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数()()226633m m f x m m x-+=-+在()0,¥+上单调递减，则m 的值为．四、解答题39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1,22æöç÷èø．(1)求()f x 的解析式，并指明函数()f x 的定义域；(2)设函数()()g x x f x =+，用单调性的定义证明()g x 在()1,+¥单调递增．40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)()32--，()32.5--；(2)788--，7819æö-ç÷èø；(3)3412æöç÷èø，3415æöç÷èø，1412æöç÷èø．41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式()()2233131x x ->+的解.42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数()223mm f x x --=（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上是严格减函数，求满足()()33132mma a --+>-的实数a 的取值范围．43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)kg x f x k x =+Î．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k £，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+¥上恒成立，求k 的取值范围．44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-Î在()0,¥+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数()()25af x a a x =+-为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若正数,m n 满足31250m n a ++=，若不等式91b m n+³恒成立．求b 的最大值．46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数()()215m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)若函数()()g x f x =-()g x 的单调递增区间.。

考点巩固卷04 指对幂函数(六大考点)(学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)

考点巩固卷04 指对幂函数（六大考点）考点01：指数基础运算及特殊运算1、有理数指数幂的分类⑴正整数指数幂()*∈⋅⋅⋅⋅=Nn a a a a a a a n n 个⑵零指数幂()010≠=a a ⑶负整数指数幂()*-∈≠=N n a a a nn ,01⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2、有理数指数幂的性质⑴()Q n m a a a a nm nm∈>=⋅+,,0⑵()()Q n m a a amn nm ∈>=,,0⑶()()Q m b a b a ab m m m∈>>=,0,0⑷()Q n m a aanm n m∈>=,,03、根式的定义一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次根式，其中(),,1*∈>N n n na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做开方数.4、对于根式n a ，要注意以下几点⑴N n ∈且1>n ；⑵当n 为奇数时，a a nn=；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn；⑶负数没有偶次方根；⑷0的任何次方根都是05、多重根号问题，首先先写成指数形式⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅==⋅=⋅⋅87814121874723a a a a a a a a a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅==⋅=⋅⋅218181412111212121a a a a a a a a a a a 6、指数的逆运算过程322323827833131-331-31-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-特殊运算：形如1x x a -+=，求下列各种形式的值的思路．（1）1122x x -+；根据2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭计算即可；（2）22x x -+；根据()21222x x x x --=+++计算即可；（3）22x x --．由于1x x --==，进而根据()()2211x x x x x x ----=+-即可求解.（4）11x x --；根据1x x--==计算即可（5）33x x -+根据()()221331++x x x x xx x x ----+=++计算即可（6）33x x --根据()()221331x x x x xx x x ----+-=--+计算即可1．下列各式正确的是（）A．35a-=B32x =C ．111111882424a a aa⎛⎫´--´ ⎪⎝⎭=D ．112333142212x x x x --⎛⎫-=-⎪⎝⎭2．用分数指数幂的形式表示)30a a >的结果是（）A ．52a B ．72a C ．4a D ．32a 30)m <的结果为（）A．B．C．-D．-4．计算122- ）A ．1B．CD ．122-5．函数0)y x =>的导数为（）ABCD6．化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（）A ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．113212--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．127．已知11224m m -+=，则33221122m m m m----的值是（）A ．15B ．12C ．16D ．258．化简(1a - ）AB．CD．9．下列各式中成立的是（）A ．7177m m n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C 34()x y =+D =10．设a ∈R ，22()()21x xa a f x x ⋅+-=∈+R ，()f x 为奇函数，则a 的值为．考点02：对数基础运算1、对数运算法则①外和内乘：()N M MN a a a log log log +=②外差内除：N M NM a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛③提公次方法：()R n m b mnb a n a m ∈=,log log ④特殊对数：01log =a ⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：ba b a b a ba ==log ,log 2、对数的定义一般地，如果()1,0≠>=a a N a x，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记N x a log =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数()0>N 3、换底公式①常用换底ab b m m a log log log =②倒数原理a b b a log 1log =③约分技巧c acb c a b c b a b a log lg lg lg lg lg lg log log ==´=⋅④具体数字归一处理：15lg 2lg =+11．下列等式正确的是（）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C ．ln 2eπ=D 122.535[(0.064)]1-=12．若实数m ，n ，t 满足57m n t ==且112m n+=，则t =（）A ．B ．12C D 13．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y （单位：mg/L ）与过滤时间t小时的关系为0e aty y -=（0y ，a 均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（）（最终结果精确到1h ，参考数据：lg20.301»，lg30.477»）A ．43hB ．38hC ．33hD ．28h14．若3log 5a =，56b =，则3log 2ab -=（）A ．1B ．－1C ．2D ．－215．设23log 33,log 5p q ==，则lg5=（）A ．22p q +B ．()1325p q +C ．313pq pq+D ．pq16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当01x ££时，()21xf x =-，则()2log 12f =（）A ．13-B ．14-C ．13D ．1217．已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++18．4839(log 3log 3)(log 2log 2)++=．19．方程ln 3ln 4ln 5x x x +=的正实数解为 .20．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．考点03：指对数函数底数大小的比较形如：xxxxd y c y b y a y ====,,,图象如下：先画一条1=x 的直线，明确交点，由下至上底数越来越大.形如：log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====确定a b c d ,,,大小关系⇒其中b x a x d x c x ====4321,,,，先画一条1=y 的直线，明确交点，由左至右底数越来越大.故ba d c <<<21．图中曲线分别表示log ,log ,log ,log abcd y x y x y x y x ====的图像，a b c d ,,,，的关系是（）A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01c d a b<<<<<D ．01c d b a<<<<<22．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（）A ．a >>>>B ．341210a a a a >>>>>C ．214310a a a a >>>>>D ．123410a a a a >>>>>24．如图所示的曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是函数log a y x =，logb y x =，logc y x =，logd y x =的图象，则d c b a ,,,的大小关系是（）A ．d c b a <<<B ．c d a b <<<C ．b a c d<<<D ．c d b a<<<25、如图是指数函数①xy a =；②xy b =；③xy c =；④xy d =的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（）A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．d c b a <<<<1D ．c d b a <<<<126．已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（）A ．1a b <>D ．1b a >>考点04：指对数函数过定点问题指数函数的图象与性质函数xa y =xa y =a >10<a <1图象最特殊点a a x =即a y x ==,1图象都过()a ，1①定义域R 值域()∞+，0②10=a 即当1,0==y x 图象都过定点(0，1)，③即不是奇函数也不是偶函数④当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1④当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1性质⑤在(－∞，＋∞)上是增函数⑤在(－∞，＋∞)上是减函数对数函数的图象与性质由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于x y =对称即可，当然也分1>a 和10<<a 两种情况讨论，讨论如下a >10<a <1图象①定义域：(0，＋∞)②值域：R③当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)④当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0④当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0性质⑤在(0，＋∞)上是增函数⑤在(0，＋∞)上是减函数27．函数()23x a f x +=-的图象过定点A ，且定点A 的坐标满足方程20mx ny ++=，其中0m >，0n >，则14m n+的最小值为（）A ．6+B ．9C ．5+D ．828．已知函数24()2(01x f x a a a -=+>≠且）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（）.A ．()0,2B ．()2,3C ．()2,4D ．()4,029．函数()121x f x a -=-(0a >，且1)a ≠恒过定点（）A ．()1,1-B ．()1,1C ．()0,1D ．()0,1-30．函数()211(0x f x aa -=+>且1)a ≠的图象恒过定点M ，则M 为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()0,1D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31．已知函数()2log 1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，且A 点在直线()0,0mx y n m n -+=>上，则2nm+的最小值是（）A ．B ．C ．2D32．函数()120,1xy a a a +=->≠的图象恒过定点A ，且点A 的坐标满足方程10mx ny ++=，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为（）A ．7B ．6C ．3+D ．233．当0a >且1a ≠时，函数()20232023x f x a-=+恒过定点（）A ．()2022,2023B ．()2023,2024C ．()2024,2025D ．()2025,202634．已知函数()())log 320,1a f x x a a =->≠图象恒过的定点在双曲线2212x y m -=的一条渐近线上，双曲线离心率为e ，则m e -等于（）．A ．2B ．3C ．4D ．535．若函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点恰好在椭圆221(0,0)x ym n m n+=>>上，则m n +的最小值为（）A ．6B ．12C ．16D ．1836．函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点为（）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭考点05：涉及指对数分段函数判断参数的取值范围形如：()()()⎩⎨⎧>£=mx x g mx x f x G ,,①如果()x G 为单调递增函数，满足：()x f 为递增函数，()x g 为递增函数，()()m f m g ≥.②如果()x G 为单调递减函数，满足：()x f 为递减函数，()x g 为递减函数，()()m f m g £.③如果()x G 由最大值，满足：()x f 为递增函数，()x g 为递减函数，()()m f m g £.④如果()x G 由最小值，满足：()x f 为递减函数，()x g 为递增函数，()()m f m g ≥.形如：()()()⎩⎨⎧>£=mx x g m x x f x G ,,①如果()x G 为单调递增函数，满足：()x f 为递增函数，()x g 为递增函数，()()m f m g ≥.②如果()x G 为单调递减函数，满足：()x f 为递减函数，()x g 为递减函数，()()m f m g £.③如果()x G 由最大值，满足：()x f 为递增函数，()x g 为递减函数，()()m f m g £.④如果()x G 由最小值，满足：()x f 为递减函数，()x g 为递增函数，()()m f m g ≥.37．已知()()()2log 44,13,1a ax x x f x a xb x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩在(),-∞+∞上满足()()21210f x f x x x ->-，则b 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．[)1,+∞C ．()1,1-D ．(),1-∞38．函数(12),2()(1),2aa x a x f x log x x -+<⎧=⎨-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,2B ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1223⎛⎫⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，39．若函数122log (3),1,()6,1m x x f x x x m x ⎧-<⎪=⎨⎪-+⎩…的值域为R ，则m 的取值范围为（）A ．(0，8]B ．(0，92C ．9[2，8]D ．(-∞，1](0-È，9240．已知函数()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+£⎩在R 上单调,则a 的取值范围为( )A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,+∞C ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭D ．[)1,+∞41．已知函数212122,0()1log (02ax x x f x x x -+⎧>⎪=⎨+£⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,4B ．1(0,]4C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞42.设函数222(1)()log (1),(1)x a x f x x x ⎧++£=⎨-+>⎩有最大值，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,∞B ．[5,1]-C ．(),5∞-D ．[)5,-+∞43.函数(),03,0x a x f x a x x ⎧£=⎨->⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦44.如果函数(3)1,1(),1xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，那么a 的取值范围是（）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．[2,3)D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭考点06：指对数大小比较问题指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.核心思想一：同步《升⇔降》次法na ab b m log log =形如：1242322223log 3log 3log 3log 3log 1432--====注意：一般情况下以3,2为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.口诀：3,2为底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分离常数再比大小当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.①()1log log log log +=+=p m p pm m m m m ②()np m p pm m n m m n m +=+=log log log log 口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.形如：0,0>>>m b a 则存在a b m a m b >++，或bam b m a <++45．设0.6log 2a =，20.6b =，0.62c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<>B ．a b c>>C ．b a c >>D ．c a b>>47．已知()()40.34444,log ,log log a b a c a ===，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b>>48．若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>49．三个数131log ,2,22- ）A ．131log 222-<>B ．b c a>>C ．a b c>>D ．c b a>>51．已知正数a ，b ，c 满足ln e c a b b ca ==，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．b a c >>D ．b c a>>52．若()28log 3,ln sin 2024a b c ===，则下列大小关系正确的是（）A ．b a c <>>B ．a b c d >>>C ．b d a c >>>D ．a d b c>>>。

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数指数函数的图象与性质2学生用书湘教版必修第一册

第2课时　指数函数的图象与性质(2)教材要点要点一　比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解．(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝a x的________求解．(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性一般地，有形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝a x(a＞0且a≠1)的最小值为0.( )(2)y＝21－x是R上的增函数．( )(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.( )(4)由于y＝a x(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．( )2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝1xB．y＝|x|C．y＝2x D．y＝x33．下列判断正确的是( )A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜√2eD．0.90.2＞0.90.54．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．题型1　指数函数单调性的应用角度1　比较大小例1　(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是( )A．1.52.5＜1.53.2B．0.6－1.2＞0.6－1.5C．1.50.3＞0.81.2D．0.30.4＜0.20.5(2)比较下列各值的大小：(43)13，223，(−23)3，(34)12.方法归纳比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________．(2)若a x＋1＞(1a)5−3x(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．方法归纳解与指数相关的不等式的策略底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．跟踪训练1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜c＜a D．a＜c＜b(2)解不等式(13)x2−2≤3.题型2　与指数函数有关的复合函数的单调性例3　(1)函数y＝31x的单调递减区间是( )A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)(2)求函数y＝a x2＋2x－3的单调区间．方法归纳(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u ＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．跟踪训练2　已知函数f(x)＝(13)x2−2x，判断函数f(x)的单调性．题型3　指数函数性质的综合应用(2b－6＜x＜b)是奇函数．例4　已知函数f(x)＝1－a·3x3x+1(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．方法归纳解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．跟踪训练3　已知函数f(x)＝(12x−1+12)·x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明：f(x)＞0.易错辨析　忽视对指数函数的底数分类讨论致误例5　若函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为( )A．12 B．32C．23或2 D．12或32解析：当a＞1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．当0＜a＜1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，故有a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)．综上，a＝32或a＝12.答案：D易错警示课堂十分钟1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．c＞b＞a B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．a＞c＞b2．设f(x)＝(12)|x|，x∈R，那么f(x)是( )A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数3．若函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[−2，1]上的最大值为4，最小值为m，实数m 的值为( )A．12B．14或12C．116D．12或1164．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．第2课时　指数函数的图象与性质(2)新知初探·课前预习要点一(1)指数函数　(2)指数函数图象　(3)中间值要点二(1)单调性　(2)以a为底的指数幂　单调性要点三(1)相同　(2)相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.答案：D3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]题型探究·课堂解透例1　解析：(1)A中，函数y＝ 1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y ＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD.(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：(−23)3；②大于1的数：(43)13，223；③大于0且小于1的数：(34)12.也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图)故有(−23)3<(34)12<(43)13<223.答案：(1)BD　(2)(−23)3<(34)12<(43)13<223例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)因为函数y＝x0.1在(0，+∞)上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c，指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c.因此，b<c<a.(2)(13)x2−2＝32−x2≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．答案：(1)C　(2)见解析例3　解析：(1)设u＝1x，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2.又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(0，＋∞)上是减函数．对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝31x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．故选D.(2)设y＝a u，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)；当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1)，减区间为[－1，＋∞)．答案：(1)D　(2)见解析跟踪训练2　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(13)u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝(13)u 在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y ＝(13)x 2−2x在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．例4　解析：(1)函数f (x )＝1－a·3x 3x +1(2b －6＜x ＜b )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即1－a·3−x 3−x +1＝－1＋a·3x 3x +1，整理得(a －2)(3x ＋1)＝0，所以a ＝2，因为2b －6＋b ＝0，解得b ＝2，所以a ＝2，b ＝2.(2)证明：由(1)得f (x )＝1－2·3x 3x +1，x ∈(－2，2)，设任意取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1−2·3x 13x 1+1)−(1−2·3x 23x 2+1)＝2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)，因为x 1＜x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 2−3x 1＞0，而3x 1+1>0，3x 2＋1＞0，所以2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是区间(2b －6，b )上的减函数．(3)f (m －2)＋f (2m ＋1)＞0，所以f (m －2)＞－f (2m ＋1)，因为函数f (x )是奇函数，所以f (m －2)＞f (－2m －1)，因为函数f (x )是区间(－2，2)上的减函数，所以{m−2<−2m−1−2<m−2<2−2<2m +1<2，解得0＜m ＜13，所以实数m的取值范围是(0，13).跟踪训练3　解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)．(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．令g(x)＝12x−1+12＝2x+12(2x−1)，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．∵g(－x)＝2−x+12(2−x−1)＝1+2x2(1−2x)＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，∴f(x)＝(12x−1+12)·x3为偶函数．(3)证明：当x>0时，2x>1，∴2x－1>0，∴12x−1+12>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0.[课堂十分钟]1．解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.答案：C2．解析：因为f(－x)＝(12)|−x|＝(12)|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又当x＞0时，f(x)＝(12)x在(0，＋∞)上是减函数，答案：D3．解析：函数f(x)＝a x在[−2，1]上：当0<a<1时，f(x)单调递减，最大值为f(－2)＝a－2＝4，最小值f(1)＝a＝m，即有m＝12；当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝116；综上，有m＝12或m＝116.答案：D4．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．答案：{x|x<1}5．解析：(1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].(2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为[18，2].。

培优点02指、对、幂的大小比较(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考

培优点02指、对、幂的大小比较（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1＝log 22<log 23<log 24＝2，进而可估计log 23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知0.63a =，2log 5b =，3log c =a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．a c b>>【变式1】（2024·四川德阳·二模）已知π34ln3,3π,4lnπa b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a b c<<【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数()n f x mx =的图象过点，设()()(),,ln 2a f m b f n c f ===，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若23213log 3log 2,log e ln2,6a b c =+=+=，则实数,,a b c 由小到大排列为 <<.命题点2　找中间值【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知ln 5a =，3log 5b =，0.35c -=，则（）A ．<<b c aB ．<<c a bC ．c b a <<D ．b a c<<【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知0.354log 3,log 3,0.4a b c -===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a<<D ．c a b<<【变式2】（2024·四川成都·三模）1332312,2,sin ,log 23-四个数中最大的数是（）A ．32-B ．132C ．3sin 2D ．21log 3【变式3】（2024·北京石景山·一模）设0.32=a ，πsin 12b =，ln2c =，则（）A ．c b a <，则下列不等式一定成立的是（）A ．a b>B ．1ab a b <+-C ．11a b b a+>+D ．11b aa b -<-【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b >>B ．若0a b <<，则22ac bc <C ．若0a b c <<<，则c ca b >D ．若0a b <<，则22ba +>【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（）A ．若01a <<，则1ln 2ln a a+£-B ．若lg lg a b <，则22a b <C ．若,0a b c a b c <<++=，则()2c a b ->D ．若()*22,a b a b <ÎN ，则1a b -£-【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数a b 、的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①a b +³②22a b ab +æö³ç÷èø；③||||||a b a b -£-；④2221a b b +³-．题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．【例题4】（2024·天津·一模）已知0.33a =，4log 3b =，0.312c -æö=ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c<>B ．c b a >>C ．c a b>>D ．b a c>>【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）若)123331,log e,e a b c -æö===ç÷èø，则（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．【例题5】（2024高三·全国·专题练习）若1111.1,ln e 0a b ==，0.1e c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）已知1ln 2ln e 3231ln 2ln 3,,e 23a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，试比较,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．c b a<<【变式3】（2023·湖南·模拟预测）设()252ln5e a -=，1e b =，ln44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b<>B ．c b a>>C ．a b c>>D ．b a c>>2．（2024·北京顺义·二模）已知4log 2a =，e12b æö=ç÷èø，12πc =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a >>D ．c a b>>3．（2024·全国·模拟预测）若π22a =，2π2b æö=ç÷èø，π2πlog cos 5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．b c a>>4．（2024·全国·模拟预测）若()28log 3,ln cos 2023a b c ===，则下列大小关系正确的是（）A ．b a c <B ．1122a b -->C ．11eelog log a b<D ．11e e a b>6．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，且2a b +=，则（）A ．222a b +³B ．1244a b -<<C ．22log log 0a b +³D ．20a b ->三、填空题7．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a =，b =，c =a ，b ，c 的大小关系为．8．（2023·全国·模拟预测）已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）四、解答题9．（22-23高三·全国·对口高考）（1）比较a b a b 与(0,0)a b b a a b >>的大小；（2）已知2a >，比较(1)log a a -与log (1)a a +大小10．（2020高三·上海·专题练习）设a >1a ¹，记12log 2,log 2,log 2a a a x y z ++===，试比较,,x y z 的大小.综合提升练一、单选题1．（2024·天津河东·一模）设2log 3,3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c<<2．（2024·河南·模拟预测）设0.49332log 2,log log 2a b c d ====，则（）A ．a b c d <=<B ．d c b a <=<C ．a d b c<<=D ．c a d b<<<3．（2024·陕西安康·模拟预测）若322712023,ln ,log 122024a b c æö===ç÷èø ）A ．b c a<>B ．a c b>>C ．b a c >>D ．b c a>>5．（2023·天津河北·一模）若381178333,log ,log 778a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <>，则下列各式一定成立的是（）A ．log 1a b >B ．()ln 0a b ->C ．122ab a b++<D ．b ab a a b ×<×7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数()f x 满足(2)f x +为偶函数，且当122x x <<时，2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立，若(1)a f =，(ln10)b f =，54(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ． a b c<>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a>>二、多选题9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是a b c >>（a ，b ，0c ¹）的必要条件的是（）A ．ac bc >B ．()()22ac bc >C ．22a c a b-->D ．77a b b c++>10．（2024·全国·模拟预测）已知实数,,a b c ，其中(),0a c c a >>是函数()()e e xf x m m x=->的两个零点．实数b 满足()()27log 321a cb b =+>，则下列不等式一定成立的有（）A ．1a c b +<+B ．1c a b ->-C ．c b a>D ．ac b<11．（2024·重庆·一模）已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A ．lg lg a b>B ．a b ab+=C ．1122abæöæö>ç÷ç÷èøèøD ．4a b +>三、填空题12．（23-24高三上·北京昌平·阶段练习）①在ABC V 中，2b =，c =30B =°，则=a；②已知0.19a =，0.43b =，4log 0.3c =，则a b c 、、的大小关系是13．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知1331371log ,,log 524a b c æö===ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为.14．（2023高三上·全国·专题练习）若*n ÎN ，1n >，则()log 1n n +与()12log n n ++的大小关系为 .（用“<”连接）四、解答题15．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．(1)a =0.40.3，b =0.30.3，c =0.30.4(2)a =log 26，b =log 312，c =log 51516．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：①15.25-，15.26-，25.26-；②30.5，0.53，3log 0.5；③0.7log 6，60.7，0.76．17．（2022高三·全国·专题练习）已知,a b 均为正实数，且1a ¹．(1)比较22a b b a +与11a b+的大小；(2)比较()3log 1a b +和()2log 1a b +的大小．18．（22-23高三下·全国·开学考试）已知函数()()e 1=--Îxf x ax a R 的最小值为0．(1)求实数a 的值；(2)设1 1.1ln 0.1m =+，0.120.1e m =，319m =，判断1m ，2m ，3m 的大小．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln(1)f x ax x x x =--+．(1)当2a =时，讨论()()g x f x x =-的单调性．(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，证明：()()124ln 11x x aéù-->ëû．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·北京东城·一模）已知,R,0a b ab Î¹，且a b <，则（）A ．11a b>B ．2ab b <C ．33a b <D ．lg lg a b<2．（2024·天津·一模）已知函数()1e x f x x =-，若0.61212,log 29a f b f -æöæöæö==ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，134c f æö=ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．a b c>>5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知111011a =+，6ln 5b =，()6log 71ln 5c =-，则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．a c b>>D ．c a b>>二、多选题6．（2023·山东青岛·三模）已知实数a ，b ，满足a ＞b ＞0，ln ln 1a b =，则（）A ．2eab >B ．log 2log 2a b <C ．11122ab a b++æöæö<ç÷ç÷èøèøD ．a b b aa b a b >7．（2023·云南大理·模拟预测）若123a =，124b =，则（）A ．1ba>B ．14ab >C ．2212a b +>D ．122a b ->三、填空题8．（22-23高三·全国·对口高考）将220.50.3,log 0.5,log 1.5由小到大排列的顺序是：．9．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知0.20.32log 0.20.20.,2a b c ===,，则,,a b c 的大小关系是（用“＜”表示）10．（2023高三上·全国·竞赛）已知πe a =，e πb =，eπc =，则这三个数的大小关系为．（用“<”连接）(1)讨论()f x 的单调性．(2)证明：()0g x ³．(3)当e 1x >-时，证明：()()ln 2f x x <+．。

沪教版(上海)高中数学高一下册第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)复习课件

2.指数函数、对数函数
(1)要熟记这二个函数在不同条件下的图象，并能熟练地
由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成
轴对称图形。由图可“读”出指数函数和对数函数的主
要性质：
指数函数
对数函数
(1)定义域：R
(1)定义域：R＋
(2)值域：R＋
(2)值域：R
1
3 2
1
3
1
3
1
3 2
2b ＋2a b ＋a
1
3
1
a a－8b 13
3
3
3
＝
×a ×a b ＝a b.
a－8b
1
×
a
1
3
1
3
a －2b
1
3
1
3
×a b
1
3
32
(2)计算：2log32－log3 9 ＋log38－25log53.
32
解原式＝log34－log3 ＋log38－52log53
C.log23＜log32＜log25
D.log23＜log25＜log32
解析由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.
1
(2)已知 0＜a＜1，x＝loga 2＋loga 3，y＝ loga5，z＝loga 21
2
－loga 3，则( C )
A.x＞y＞z
B.z＞y＞x
C.y＞x＞z
D.z＞x＞y
解析依题意，得 x＝loga 6，y＝loga 5，z＝loga 7.

人教版高中数学必修一第12讲：幂函数(学生版)

人教版高中数学幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y =x ，y =，y =，y =，的图像，了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.一、定义：一般地，我们把形如()ay x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。

特别提醒：幂函数的基本形式是 y = ，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握 y =x ，y = ，y = ，y =，y = 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质：1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数是奇数（1）当a>0时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+∞)上是增函数.（2）当a<0时，图象过定点(1,1)；在(0,+∞)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为：a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1：在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3练习1：有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．练习2：函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是()A ．k ＝3B ．k ＝－2C ．k ＝3或k ＝－2D ．k ≠3且k ≠－2类型二幂函数的图象和性质例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6类型三函数值大小的比较例3：比较下列各组数的大小练习1：下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13练习2：比较下列三个值的大小，，；1、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、函数y ＝12x 的图象大致为( )4、设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________．6、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞12．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12hB ．4hC ．3hD ．2h5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )能力提升6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2的图象不过原点，则m是__________．7．如果幂函数y＝x a的图象，当0<x<1时，在直线y＝x的上方，那么a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。

高中数学必修一知识讲解(复习补习,期末复习资料)：28【基础】指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1．（1）已知函数2()2xf x x =-，分别求()f x 在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．（2）比较2x 与x 2的大小关系．（3）通过作图，比较2x 、x 2、log 2x 的大小关系．【答案】（1）3 （2）略（3）略【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．∴共有3个零点，分别为x 1≈－0.7666，x 2=2.000，x 3=4.000．（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x ，y=x 2，y=log 2x 的图象，如图所示．当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；当x ∈（－0.7666，2.000）时，2x ＞x 2；当x=－0.7666时，2x =x 2；当x ∈（2.000，4.000）时，2x ＜x 2；当x=2.000时，2x =x 2；当x ∈（4.000，+∞）时，2x ＞x 2；当x=4.000 ，2x =x 2．（3）当x ∈（－∞，－0.7666）时，2x ＜x 2；log 2x 不存在；当x ∈（－0.7666,0）时，2x ＞x 2；log 2x 不存在；当x=－0.7666时，2x =x 2；当x ∈（0，2.000）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x ∈（2.000，4.000）时，log 2x ＜2x ＜x 2；当x=2.000时，log 2x ＜2x =x 2；当x ∈（4.000，+∞）时，log 2x ＜x 2＜2x ；当x=4.000时，log 2x ＜x 2=2x ．【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，log a x ＜x n ＜a x （a ＞1）恒成立．但在（0，x 0）上，该不等式不一定成立．举一反三：【变式1】（2017 北京高考）132223log 5-，，三个数中最大的数是．【答案】2log 5【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．1322212131log 5log 428-=<=>>>>，，2log 5最大．故答案为：2log 5．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．【解析】设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*40()y x N =∈进行描述；方案二可以用函数*10()y x x N =∈进行描述；方案三可以用函数1*0.42()x y x N -=⨯∈进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．如图举一反三：【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？【答案】（1）056(0200)06416(200300)096112(300)y .x,x y .x ,x y .x ,x =≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪=->⎩；（2）350【解析】（1）当2000≤≤x 时，x y 56.0=当300200≤<x 时，)200(64.0112-+=x y 当300>x 时，)300(96.0176-+=x y⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤<-=≤≤=∴)300(,11296.0)300200(,1664.0)2000(,56.0x x y x x y x x y（2）由（1）知300>x由22411296.0=-x ，得x =350 ∴ 该家庭月用电量为350千瓦时例3．（2018 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？【思路点拨】（1）通过解不等式m －n ≥0，计算即得结论；（2）通过（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额219(1)44n m x -=--+，进而计算可得结论．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++，整理和：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．举一反三：【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（）【答案】D【解析】函数22(01)2()(12)2t tS tt t≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩故选D．例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．已知本金为a元．1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；3期后的本利和为y3=a(1+r)3；……x期后的本利和为y=a(1+r)x．将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．由计算器算得y=1117.68（元）．答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．（1）1年后该城市人口总数为：y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3； ……x 年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x ．（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．（3）设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120，1.0121.102120log log 1.215()100x ==≈年．（4）设年增长率为x ，依题意，得100×(1+x)20≤120，由此有(1+x)20≤1.2，由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内．【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x （其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间）的形式．【巩固练习】1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（） A ．y=1，x ∈Z B ．y=x C ．y=2x D ．y=e x2．某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（）A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减）A ．2log v t =B ．12log v t = C ．212t v -= D ．22v t =-5．如下图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y=f (x)的图象大致为下图中四个选项中的（）6．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a , b, c ，则a , b, c 的大小关系是（）A 、a=c 且a ＜bB 、a ＜b ＜cC 、a ＜c ＜bD 、c ＜a ＜b7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x ，2010年底世界人口数为y （亿），那么y 与x 的函数关系式为________．8．（2018 四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20 m 3，则每立方米收费按2元收取；若超过20 m 3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水________m 3．9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是．10．（2018 江苏新沂市期末）设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =-，217544n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？11．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x 元与日销售量y 件（Ⅰ）确定x 与y 的一个一次函数关系式()x f y =；（Ⅱ）若日销售利润为P 元，根据（Ⅰ）中关系写出P 关于x 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【答案与解析】 1．【答案】D【解析】指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y=e x 增长速度最快．所以选D ． 2．分析：根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式：5x +4000≤10x ，解出即可．【答案】D【解析】由5x +4000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D ．点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．3．【答案】B 【解析】设该商品原价为a ，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a ．所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%．4．【答案】C【解析】取t=1.99≈2，代入A ，得v=log 22=1≠1.5；代入B ，得12log 21 1.5v ==-≠；代入C ，得221 1.52v -==；代入D ，得v=2×2－2=2≠1.5．故选C ．5．【答案】C【解析】设AB=a ，则222211112222y a x x a =-=-+，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C ．6．【答案】C【解析】40a =元，设买B 种债券一年后本期和为x 元，960:10001000:x =，则1041.5x ≈，一年后收益为b =41.5元,同理求得 40.4c =元,故选C.7．【答案】y=54.8(1+x)18【解析】由增长率的基本公式y=a(1+x)n 可写出． 8．【答案】25【解析】设他这个月共用了x 立方米的水，则所交水费2,020()403(20),0x x f x x x ≤≤⎧=⎨+->⎩，∵某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元， ∴x ＞20，则由20×2+(x －20)×3=2.2x 得40+3x －60=2.2x ，即0.8x =20，得x =25．故他这个月共用了25立方米的水．故答案为：25．9．分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．【答案】4()2xf x =【解析】根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，通过分析各种类型函数的增长21()f x x =，2()4f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =中，4()2x f x =增长最快，如图故答案为：4()2xf x =．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项．10．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x =1时，n －m 取最大值94【解析】（1）依题意，m －n ≥0，即2911752444x x x -≥-++，整理得：2280x x --≥，解得：x ≥4或x ≤－2（舍），∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）由（1）可知当0＜x ＜4时企业亏损，亏损额22179119(5)()(1)442444n m x x x x -=-++--=--+， ∴当x =1时，n －m 取最大值94，答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．11．【答案】当x =42时，P 最大=432, 【解析】（I ）因为f (x )为一次函数，设y =ax +b ，解方程组45b 27,5012,a ab +=⎧⎨+=⎩ 得a =－3，b =162,故y =162－3x 为所求的函数关系式，又∵y ≥0，∴0≤x ≤54．（II ）依题意得：2(30)(30)(1623)3(42)432P x y x x x =-⋅=-⋅-=--+当x =42时，P 最大=432,即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．。

(完整版)高一数学幂函数题型复习总结,推荐文档

第二课：幂函数 y xa
知识点一、幂的运算法则
初中知识点：（1） am an
（2） am n
指数幂与根式的互化： n am
1
练习： x3
例：计算
5 x2
am an
am bm
1 n am
x
2 3
an
1 4 x3
练习：
1
知识点二、幂函数图象
画图注意事项 1 定义域：偶次方根被开方数 0 ，奇次方根被开方数 R ，分母 0 . 2 奇偶性：判断 f (x) 与 f (x) 相等？相反数？ 3 闲着描描点！极限情况靠想象！快快慢慢！增增减减！秒悟！ 1、初级练场：常见幂函数图象：
1
（8） y x 4
3
（9） y x 2
总结：横看成岭侧成峰！
3
（1）（2）
4
5
3
3
2
练习：画函数图象 y x 3 ， y x 2 ， y x 5 ， y x 4 ， y x 5
知识点三、幂函数图象性质的应用
1、幂函数的定义
4
2、幂函数的图像
3、幂函数比较大小
1
1
例 1、（1）1.52
3、 4、比较大小 5、
7
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

2025届高考数学一轮复习讲义函数之幂函数、指数与指数函数

C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝，所以 f ( x )
2
1
2
＝＝，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑增 .
函数在R上单调递㉒减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
⁠
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b

＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).

1

( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质

高中数学必修1 指数函数及幂函数总复习

必修1 数学——指数函数及幂函数一、指数函数 1．整数指数幂)0(10≠=a a； )0,(1≠∈=-a N n aann； nmnmaa=2、指数函数【1】一般形式：()0,1x y a a a =>≠；【2】定义域：(,)-∞+∞；值域：(0,)+∞；【3】函数值变化情况：当1a >时，1(0)1(0)1(0)x x a x x >>⎧⎪==⎨⎪<<⎩；当01a <<时，1(0)1(0)1(0)xx ax x <>⎧⎪==⎨⎪><⎩【4】单调性：当1a >时，x y a =是增函数；当01a <<时，x y a =是减函数【类型题归纳】【例题1】下列哪些是指数函数：（1）(4)xy =-；（2）212x y -=；（3）xy a =；（4）1(21)(,1)2xy a a a =->≠；（5）23xy =⋅.【总结升华】判断一个函数是否为指数函数，要紧扣指数函数的定义：其一，底数大于0且不等于1；其二，幂指数是单一的自变量x ；其三，系数为1，且没有其他的项. 2、设137x=，则（）A 、21x -<<-B 、32x -<<-C 、10x -<<D 、01x << 3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠，则下列等式不正确的是（）A 、()()()f x y f x f y +=B 、 ()()()n n n f xy f x f y ⎡⎤=⎣⎦C 、 ()()()f x f x y f y -=D 、 ()()nf nx f x =【总结】对于()()()f x y f x f y +=类型的抽象函数，xy a =可以作为它的一个经典原型，用来解决实际问题。

4、化简46394369)()(a a ⋅的结果为（）A 、a 16B 、a 8C 、a 4D 、a 2【例题5】求下列函数的定义域、值域：（1）1421x x y +=++；（2）1(01xxa y a a -=>+，且1)a ≠.【变式训练】求下列函数的定义域、值域：（1）||2()3x y -=；（2）2120.5x x y +-=.【例题6】比较下列各组数的大小. （1） 2.51.7，31.7；（2）0.10.20.8,1.25-；（3）0.3 3.11.7,0.9；（4） 4.1 3.64.5,3.7.【例题7】讨论函数221()()3x xf x -=的单调性，并求其值域.【变式训练】求函数|12|1()2x y +=的单调区间.二、幂函数（1）定义：一般地，函数ay x =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. （2）注意：对于幂函数，我们只讨论11,2,3,,12α=-时的情形.（3）图象与性质：2、幂函数的图象不过第四象限3、幂函数y x α=的奇偶性的判断：令q pα=（其中,p q 互质，,p q N ∈）【1】若p 是奇数，则q pyx =的奇偶性取决于q 是奇数或偶数。

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学科教师辅导讲义
【课堂小练】
1、要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.
2、已知幂函数f （x ）＝2
3221++-p p x （p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写
出相应的函数f （x ）、
3、已知幂函数)(3
22Z m x
y m m ∈=--的图象与x,y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值。

4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
.
6543212
1
323
23123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（
（A ）（B ）（C ）（D ）（E ）（F ）
9. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时为减函数，则()21,,5f f π⎧⎫⎪⎪⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭2
12f -⎧⎫⎪⎪
⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
的大小关系是
_________________________________ 10.使式子(
)
3
24
32x x ---有意义的x 的取值范围是________________
二、选择题
11.为了得到函数1
14x y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的图像，可以把函数14x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图像（）
A 向左平移3个单位
B 向右平移3个单位
C 向左平移1个单位
D 向右平移1个单位
12.值域为()0,+∞的函数一定是（） A 115
x
y -= B 113x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
C 12y x =-
D 112x
y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
13.函数21
113x y -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭的定义域是（）
A )1
,2⎡+∞⎢⎣ B 1,2⎛⎤
-∞ ⎥⎦⎝
C (),-∞+∞
D ](
,1-∞
14.由于油船漏油，导致海洋污染，污染面积()
2y km 与时间t （小时）的关系是t
y a =，如图，有如下叙述 ①这个指数函数的底数为2；
②5个小时，污染面积就会超过302
km
③污染面积从2
4km 到2
12km 需经过1.5个小时；
④每小时新增的污染面积相等
其中正确的是（）
A ①④
B ①②③④
C ②③④
D ①②
三、解答题
15.求函数13932
x
x x y +=++的最大值。