第八章空间直角坐标系演示文稿
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《空间直角坐标系》ppt课件
例3．有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的 坐标一定是（0，b，0）； ②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点 的坐标一定可以写成（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的 坐标可记为（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点 的坐标可写为（a，0，c）. 其中正确的叙述的个数是（ C ）
4
5
6
二．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于 平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴， 这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的 坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标； 2 ．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平 面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这 个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐 标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
19
例4．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的
中点坐标是（ B ）
（A）
（B）
（C）(－12，3，5) （D）
20
12
4．卦限 在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空
间分成八部分，每一部分称为一个卦限； 在坐标平面xOy上方的四个象限对应的
卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限； 在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、
第VIII卦限； 在每个卦限内，点的坐标的各分量的符
号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标 分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为 负数，y、z均为正数；
7
3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于 平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴， 这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的 坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；
1.3.1空间直角坐标系 课件(共15张PPT)
e1 x
O e2
y
∠xOy=135°(或45),∠yOz=90°.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中 指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右 手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右 手直角坐标系。
3
学习新知
在空间直角坐标系Oxyz中（如图), i, j, k 为坐标向量，对空
间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA 唯一
确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使 OA xi yj zk
在单位正交基底{i, j, k}
此时向量OA的坐标恰是点A 在直角坐标系Oxyz中的坐标 A(x,y,z)，其中x叫做点A的横 坐标，y叫做点P的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标.
14
能力训练
如图所示，已知三棱锥P-ABC 中，PA=PC, ∠APC=∠ACB=90°,且∠BAC=30°,且平面PAC⊥平 面ABC,建立适当的坐标系，写出每一个顶点的坐标.
解：分别取AC、AB的中点为H、D, 连接PH,HD,∵PA=PC,∴PH⊥AC 又平面PAC⊥平面ABC,交线为AC, PH在平面 PAC内，∴PH⊥平面ABC. 又 BC⊥AC,∴HD⊥AC.
唯一的实数组使．p xa yb zc
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,
常用{ i, j, k }表示
计算单位正交基之间的数量积i j, i k, j k, i i, j j, k k.
2
学习新知 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基
1.3.1空间直角坐标系
复习引入
共线向量定理: 对空间任意两个向量a、（b b 0），a / /b的
空间直角坐标系课件13317共40页文档
(0 1)2 (0 3)2 (a 1)2 解得： a 3 M 点的坐标为 (0,0, 3 )
例 3 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
M
O
x
x
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)
表示．
y
y A(x,y)
Ox
x
问题引入 数轴上的点
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示
2 D '(0, 0, 2)
C'
A'
o
3
xA (3, 0, 0)
B ' (3, 4, 2 )
4
y
C (0,4,0)
B (3, 4, 0)
三、空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐
标平面中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1__(_x_,y_,_0)____;
平 面 ： |P 1 P 2|(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2
类比 猜想
空 间 ： |P 1 P 2 |( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
空间两点间的距离公式
(1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
P2(x2,y2,z2)
例 3 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
问题引入
1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
M
O
x
x
2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)
表示．
y
y A(x,y)
Ox
x
问题引入 数轴上的点
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示
2 D '(0, 0, 2)
C'
A'
o
3
xA (3, 0, 0)
B ' (3, 4, 2 )
4
y
C (0,4,0)
B (3, 4, 0)
三、空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐
标平面中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1__(_x_,y_,_0)____;
平 面 ： |P 1 P 2|(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2
类比 猜想
空 间 ： |P 1 P 2 |( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
空间两点间的距离公式
(1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
P2(x2,y2,z2)
空间直角坐标系ppt课件
间分成八个部分.
追问 你认为如何画空间直角坐标系才能满足直观图的要求？
问题3 在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（坐标）表
示.空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢？
通过空间单位正交基 Ԧ, Ԧ, 建立空间直角坐标系，Ԧ, Ԧ, 为坐标向量.
对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本
反过来，终点的坐标(, , )也就是向量的坐标.因为 = ，所以终点的坐标
(, , )就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
问题4 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，
你能借助几何直观确定它们的坐标(, , )吗？
1，1，
②棱C1C中点的坐标为__________；
2
1
1
，0，
2
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________.
2
1
1
1
A
D
B
C
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐
标系，写出各顶点的坐标.
追问1 类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量
是否也能用坐标表示？
如图，作 = .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(, , )，
使 = Ԧ + Ԧ + .①
因此，空间直角坐标系中的向量与有序实数组( , , )具有一一对
（3）与点关于平面对称的点.
谁不存在谁变号
延伸探究 试写出例1中点A分别关于平面、轴、坐标原点的对称点.
追问 你认为如何画空间直角坐标系才能满足直观图的要求？
问题3 在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（坐标）表
示.空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢？
通过空间单位正交基 Ԧ, Ԧ, 建立空间直角坐标系，Ԧ, Ԧ, 为坐标向量.
对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本
反过来，终点的坐标(, , )也就是向量的坐标.因为 = ，所以终点的坐标
(, , )就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
问题4 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，
你能借助几何直观确定它们的坐标(, , )吗？
1，1，
②棱C1C中点的坐标为__________；
2
1
1
，0，
2
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________.
2
1
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A
D
B
C
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐
标系，写出各顶点的坐标.
追问1 类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量
是否也能用坐标表示？
如图，作 = .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(, , )，
使 = Ԧ + Ԧ + .①
因此，空间直角坐标系中的向量与有序实数组( , , )具有一一对
（3）与点关于平面对称的点.
谁不存在谁变号
延伸探究 试写出例1中点A分别关于平面、轴、坐标原点的对称点.
空间直角坐标系ppt课件
坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
空间直角坐标系课件
空间直角坐标系课件
contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
THANK YOU
向量的模和向量的数量积
contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
THANK YOU
向量的模和向量的数量积
2.14空间直角坐标系ppt课件
求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出 相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式 求值．
4．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)若xOz平面上的点M到A点的距离与到B点的 距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解析： (1)由于点 P 在 x 轴上，故可设 P(a,0,0)， 由|PA|＝|PB|得 a－12＋4＋1＝ a－22＋4， 即 a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得 a＝1， 所以点 P 的坐标为(1,0,0)．
点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量 均不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1 ，－4)． 设点P关于点A的对称点坐标为P3(x，y，z)， 由中点坐标公式可得
－22＋x＝1 1＋ 2 y＝0 4＋ 2 z＝2
x＝4
，解得y＝－1 . z＝0
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点
O 引三条两两垂直，且有相同单位长
度的数轴：_x_轴__、__y_轴__、__z_轴_____，这样
就建立了一个_空__间__直__角__坐__标__系__O__－__x_y_z___.
(2)相关概念：__点__O___叫做坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴____
互相垂直且有相同单位长 定点o• 度的数轴,这样就建立了空
y纵轴
间直角坐标系O-xyz.点O 横 x
叫坐标原点;
轴
2.两条确定一个坐标平
面,分别称为xoy面,yoz面,zox面
yoz面
xoy面
x
z
zox 面
空间直角坐标系ppt课件
对应一个向量 OA ，且点 A 的位置由向量 OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组（x，y，z），使 OA xi yj zk .
z
在单位正交基底{i，j，k}下与向量 OA 对应的
有序实数组（x，y，z），叫做点 A 在空间直角坐标
系中的坐标，记作 A（x，y，z），其中 x 叫做点 A 的
么点 A（向量 OA ）的坐标为（x，y，z）.
z
k
i
x
.A
O j
y
空间直角坐标系中，点在坐标轴上或在坐标平面上时，其坐标的特点
（1）x轴上点的坐标中，纵坐标和竖坐标为0;
z
• C
（2）y轴上点的坐标中，横坐标和竖坐标为0;
（3）z轴上点的坐标中，横坐标和纵坐标为0.
1
O•
•
F
• 1
A
x
• E
•
1
下的坐标是 , ,3 .
2
2 2
z 3,
z 3,
故选 B.
3.在空间直角坐标系中，已知点 A 2, 1,3 ，B 4,1, 1 ，则线段 AB 的中点坐标是(
A. 1, 0, 2
B. 1, 0,1
C. 3, 0,1
向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为
数的运算，那么，空间向量的运算是否也可以转化为数的运算？
能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面
我们就来研究这个问题.
唯一的有序实数组（x，y，z），使 OA xi yj zk .
z
在单位正交基底{i，j，k}下与向量 OA 对应的
有序实数组（x，y，z），叫做点 A 在空间直角坐标
系中的坐标，记作 A（x，y，z），其中 x 叫做点 A 的
么点 A（向量 OA ）的坐标为（x，y，z）.
z
k
i
x
.A
O j
y
空间直角坐标系中，点在坐标轴上或在坐标平面上时，其坐标的特点
（1）x轴上点的坐标中，纵坐标和竖坐标为0;
z
• C
（2）y轴上点的坐标中，横坐标和竖坐标为0;
（3）z轴上点的坐标中，横坐标和纵坐标为0.
1
O•
•
F
• 1
A
x
• E
•
1
下的坐标是 , ,3 .
2
2 2
z 3,
z 3,
故选 B.
3.在空间直角坐标系中，已知点 A 2, 1,3 ，B 4,1, 1 ，则线段 AB 的中点坐标是(
A. 1, 0, 2
B. 1, 0,1
C. 3, 0,1
向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为
数的运算，那么，空间向量的运算是否也可以转化为数的运算？
能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面
我们就来研究这个问题.
空间直角坐标系通用课件
向量的数量积、向量积和混合积
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行 与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、 四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、 圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以 根据实际需要设定，通常 为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是 点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线 ，以原点为中心，以一定长度为 范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别 是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以 通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴 线，以该曲线上某一点为中心，以一 定长度为范围的曲线来表示空间位置 的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中 的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来 恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为 矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换 ，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行 与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、 四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、 圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以 根据实际需要设定，通常 为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是 点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线 ，以原点为中心，以一定长度为 范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别 是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以 通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴 线，以该曲线上某一点为中心，以一 定长度为范围的曲线来表示空间位置 的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中 的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来 恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为 矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换 ，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。
空间直角坐标系课件
04 空间直线与曲面的交点求法
CHAPTER
直线与平面的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和平面的法向量 来求解交点。
参数法
将直线和曲面的方程参数化，然后联 立方程求解。
直线与球体的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和球体的半径来 求解交点。
参数法
将直线的方程和球体的方程参数化， 然后联立方程求解。
空间直角坐标系课件
目录
CONTENTS
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间点的坐标表示 • 空间几何形状的表示
• 空间直线与曲面的交点求法 • 空间直角坐标系的应用
• 空间直角坐标系的扩展应用
01 空间直角坐标系的基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
空间直角坐标系是三维空间的笛 卡尔坐标系，用三个互相垂直的 坐标轴X、Y、Z分别表示东、南 、高，单位为米。
换。
在不同应用领域中，还可能涉及 到其他类型的坐标系，如柱坐标
系等。
在地理信息系统中的应用
地理信息系统（GIS）是一种用于处 理和分析地理信息的系统，空间直角 坐标系在GIS中发挥着重要作用。
空间分析：通过空间直角坐标系，可 以对地理数据进行空间分析，如计算 距离、确定位置、绘制地图等。
地图投影：将地球表面的经纬度坐标 转换为空间直角坐标系中的x、y、z 坐标，以便在计算机中进行处理和分方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离 ，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
空间直角坐标系演示文稿
xM
P P点坐标为 • (x,y,z)
yy
N
•P0
第十四页，共31页。
例1：在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A（1,4,1）；
z
1
O
•
A1(1,0,0) 1•
1
x
第十五页，共31页。
• A(1,4,1)
•4 y
A2(1,4,0)
例1：在空间直角坐标系中作出下列各点
C (-1,-3,3)
•
(1)、A（1,4,1）；
关于y轴的对称点是 _(_3_,_2__, _1_)__, 关于z轴的对称点
点是(_3_, __2_,__1_)_
2.求点P(3, 2, 1)在各坐标轴上的射影坐标及 在各坐标平面上的射影坐标.
第二十四页，共31页。
例３.(1)在空间直角坐标系o-xyz中，画出不
共线的３个点Ｐ,Q,R,使得这３个点的坐标都
IV： （ + ，－ ，+ ）； V： （ + ，+ ，－ ）； VI： （ － ，+ ，－ ）；
VII：（ － ，－ ，－ ）；
VIII：（ + ，－ ，－ ）；
第十页，共31页。
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
第十一页，共31页。
R
O P
x
A Qy
三、空间点的坐标：
•1 A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴上
的点至少有两个坐标等
于0；坐标面上的点至 少有一个坐标等于0。
X轴上A Y轴上B Z轴上C
坐标形式 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
教学课件：空间直角坐标系
（1）从坐标原点出发沿x轴正方向(x＞0)或负方向(x＜0)移动 |x|个单位长度得点P1；
（2）点P1再沿与y轴平行的方向向右(y＞0)或向左(y＜0)移动 |y|个单位长度得点P2；
（3）点P2再沿与z轴平行的方向向上(z＞0)或向下(z＜0)移动 |z|个单位长度得点P.
现在就练，希望你表现出色！
z轴上的点(0，0，z)
B （2）坐标平面内的点 y xOy平面内的点(x，y，0)
yOz平面内的点(0，y，z)
xOz平面内的点(x，0，z)
例2 在长方体ABCD-A'B' C'D' 中，如图所示，AB =12，AD=8，AA' =5，以此长方体的顶点A为坐标原点，
射线AB、AD、AA'分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建
怎样在教室
里找到自己的
座位？
O
讲台
y
x
你坐在教室里自己的座位上，如果要表示出你 的头部的位置，应该怎样做？
O y
x
1.怎样在平城花园小区内找到某住户的位置？
第几栋 第几层 第几室
2.怎样在黄华科学馆找到自己考试时的座位？
第几层 什么室 第几号
确定空间中 物体的位置 需要三个数
问题
我们是否可以类比平面上的做法，在 空间中也建立一个直角坐标系，使得空间 中的任意一点都可以用对应的有序实数组 来表示呢？
坐标
(0,0,0) (2,0,0) (0,3,0) (0,0,1) (3,1,0) (0,2,3) (1,0,2)
z
3
2
F •1• C
•O 1
A •2
3
1
•
D
x
•E
（2）点P1再沿与y轴平行的方向向右(y＞0)或向左(y＜0)移动 |y|个单位长度得点P2；
（3）点P2再沿与z轴平行的方向向上(z＞0)或向下(z＜0)移动 |z|个单位长度得点P.
现在就练，希望你表现出色！
z轴上的点(0，0，z)
B （2）坐标平面内的点 y xOy平面内的点(x，y，0)
yOz平面内的点(0，y，z)
xOz平面内的点(x，0，z)
例2 在长方体ABCD-A'B' C'D' 中，如图所示，AB =12，AD=8，AA' =5，以此长方体的顶点A为坐标原点，
射线AB、AD、AA'分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建
怎样在教室
里找到自己的
座位？
O
讲台
y
x
你坐在教室里自己的座位上，如果要表示出你 的头部的位置，应该怎样做？
O y
x
1.怎样在平城花园小区内找到某住户的位置？
第几栋 第几层 第几室
2.怎样在黄华科学馆找到自己考试时的座位？
第几层 什么室 第几号
确定空间中 物体的位置 需要三个数
问题
我们是否可以类比平面上的做法，在 空间中也建立一个直角坐标系，使得空间 中的任意一点都可以用对应的有序实数组 来表示呢？
坐标
(0,0,0) (2,0,0) (0,3,0) (0,0,1) (3,1,0) (0,2,3) (1,0,2)
z
3
2
F •1• C
•O 1
A •2
3
1
•
D
x
•E
空间直角坐标系(实用资料)ppt
O
y
线段OA，OC， 的长为单位 练习：在空间直角坐标系中作出下列各点
A
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
C B
空间直角坐标系共有八个卦限
5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号 1、空间直角坐标系的建立
x
记作:
一、空间直角坐标系的建立
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
z
z P1
1
x
•o
1
1
xM
P P点坐标为
•
(x,y,z)
yy
N
•P0
4、特殊位置的点的坐标
z
•C
1
•
E
•
F
O•
B
1•
y
•1
A
•D
x
小提示：坐标轴
上的点至少有两个 坐标等于0；坐标面 上的点至少有一个
坐标等于0。
(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
(1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (3)与点M关于z轴对称的点 (4)与点M关于原点对称的点
(x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (-x,-y,-z)
(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) (7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)
y N
思考:点M、N之间的距离如何？
|M |N (x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
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所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
第八章空间直角坐标系演示文 稿
优选第八章空间直角坐标系
链接目录
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第二章 极限与连续 第四章 中值定理,导数的应用 第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
直线与平面方程
难点Hale Waihona Puke 空间图形的想象能力和描绘能力
基本要求
①弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的 距离
②掌握向量概念，会用坐标表示向量
③掌握向量代数的基本知识
④熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件 并能正确运用。
⑤掌握平面方程的各种形式，会求平面方程， 会判断两平面是否平行、垂直，会求两平 面的夹角及点到平面的距离
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
三、小结
空间直角坐标系（轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
第八章 空间直角坐标系
空间直角坐标系
这一章，我们为学习多元函数微积分学 作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这 是两部分相互关联的内容。用代数的方法研 究空间图形就是空间解析几何，它是平面解 析几何的推广。向量代数则是研究空间解析 几何的有力工具。这部分内容在自然科学和 工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时 也是一种很重要的数学工具。
z 竖轴
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指从
正向 x轴以 角
定点 o •
y 纵轴
2
度转向正向 y 轴时，
横轴 x
大拇指的指向就是 z
空间直角坐标系
轴的正向.
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系， 给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代 数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍 向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间 基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。
重点
向量及其坐标表示
向量的数量积，向量积
⑥掌握直线方程的各种形式，会求直线方程， 掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面 平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和 平面的夹角
⑦掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标 准方程，会用“截痕法”画出其简图
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O 及 M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
二、空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,