高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

平面向量专题复习

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如

例1：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

二、向量的表示

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，

有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 例2（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-=

C. 12(3,5),(6,10)e e ==

D.1213(2,3),(,)24

e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为

_____

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→

−−→

−=DB CD 2，−→

−−→

−−→

−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，

当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

3．b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

4．a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =•==

；当a 与b 反向时，a •b ＝

－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、

不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ•=

；④||||||a b a b •≤。

例3如（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

（2）已知11

(1,),(0,),,22

a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为

4

π

，则k 等于____ （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____

（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 例4已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______

例5（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值X 围是______

（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→

−−→−FQ OF ，若2

3

21<

−−→−FQ OF ,夹角θ的取值X 围是。

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即

a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。