材料力学计算题库

(b)
(3)物理方面。由胡克定律，有
， (c)
将式(c)代入式(b)即得补充方程
(d)
最后，联立解方程(a)和(d)得
，
求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。
【例题】有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力 作用，如图所示。 、 和 、 分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少
解：设钢筋和混凝土的内力分别为 和 ，利用截面法，根据平衡方程
， (a)
这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短 ，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
由物理关系知
， (c)
将式(c)代入式(b)得到补充方程为
(d)
联立解方程(a)和(d)得
从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。
【例题】两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力 (如图(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。
解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。
解：应用截面法，在距下端距离为 处将杆截开，取下段为脱离体(如图(b)所示)，设下段杆的重量为 ，则有
(a)
设横截面上的轴力为 ，则由平衡条件
， (b)
将(a)式值代入(b)式，得
(c)
即 为 的线性函数。
当 时，
当 时，
(a) (b) (a) (b) (c)
图例题图图例题图
式中 为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图(c)所示。那么横截面上的应力为
— 截面的面积为
当 时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面 — 上的应力为
称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。
【例题】螺纹内径 的螺栓，紧固时所承受的预紧力为 。若已知螺栓的许用应力 MPa，试校核螺栓的强度是否足够。
解：
(1)确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有
各杆的装配应力为
【例题】两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图(a)所示。已知钢板宽度 ，厚度 ，铆钉直径 ，铆钉许用切应力 ，许用挤压应力 ，钢板许用拉应力 。试求许可荷载 。
图例题图
解：
(1)按剪切强度条件求 。
由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图(b)所示。每个铆钉所受的剪力为
(d)
即应力沿杆长是 的线性函数。
当 时，
当 时，
式中 为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。
【例题】气动吊钩的汽缸如图(a)所示，内径 ，壁厚 ，气压 ，活塞杆直径 ，试求汽缸横截面 — 及纵向截面 — 上的应力。
解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。
解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2.5(b)所示)，假定轴力 为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程
，
得
结果为正值，故 为拉力。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2.5(c)所示)为
在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2.5(d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程
第一章绪论
【例1-1】钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。
【解】（1）沿m-m截面假想地将钻床分成两部分。取m-m截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。
（2）为保持上部的平衡，m-m截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。
杆的总伸长量为
【例题】如图(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力 。已知 30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量 200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
图例题图
解：
(1)利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图(b)所示，由节点A的平衡条件，有
可见
即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。
又
可见
即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。
【例题】如图(a)所示，①、②、③杆用铰相连接，当温度升高 时，求各杆的温度应力。已知：杆①与杆②由铜制成， GPa， ，线膨胀系数 ， ；杆③由钢制成，其长度 ， GPa， ， 。
解：设 、 、 分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑 铰的平衡(如图(b)所示)，则有
(1)作轴力图；(2)计算杆的总伸长量。
图例题图
解：
(1)画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得
轴力图如图(b)所示。
(2)求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为
解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。
因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3，故其变形关系如图(c)所示。从而可得变形几何方程为
(a)
图例题图
物理关系为
(b)
(c)
以上两式中的 和 分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的 在理论上应是杆3的原长 ，但由于 与 相比甚小，故用 代替。
(1)求横截面 — 上的应力。取 — 截面右侧部分为研究对象(如图(c)所示)，由平衡条件
，
当 时，得 — 截面上的轴力为
— 截面的面积为
那么横截面 — 上的应力为
称为薄壁圆筒的轴向应力。
图例题图
(2)求纵截面 — 上的应力。取长为 的半圆筒为研究对象(如图(d)所示)，由平衡条件
，
得 — 截面上的内力为
，
得
结果为负值，说明 为压力。
同理，可得DE段内任一横截面上的轴力 为
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
图2.5例题图
【例题】一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图(a)所示。已知 。试求荷载引起的最大工作应力。
解：首先作柱的轴力图，如图(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。
解：
(1)求支反力 和 ，因屋架及荷载左右对称，所以
图例题图
(2)用截面法求拉杆内力 ，取左半个屋架为脱离体，受力如图(b)所示。由
，
得
(3)设计Q235钢拉杆的直径。
由强度条件
得
【例题】防水闸门用一排支杆支撑着，如图(a)所示， 为其中一根支撑杆。各杆为 的圆木，其许用应力 MPa。试求支杆间的最大距离。
图例题图
(1)静力方面。杆的受力如图(b)所示。可写出一个平衡方程为
， (a)
(2)几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力 来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图(c)所示)，受已知力 和未知力 作用，并引起变形。设杆由力 引起的变形为 (如图(d)所示)，由 引起的变形为 (如图(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系
图例题图
(2)计算 杆的内力。水压力通过防水闸门传递到 杆上，如图(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为
其中 为水的容重，其值为10 ； 为水深，其值为3 ； 为两支撑杆中心线之间的距离。于是有
根据如图(c)所示的受力图，由平衡条件
，
其中
得
(3)根据 杆的强度条件确定间距 的值。
由强度条件
（3）由平衡条件
∴
【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长 =400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δ =0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。
【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。
图例题图
， ，得 (a)
， ，得 (b)
变形几何关系为
(c)
物理关系(温度变形与内力弹性变形)为
(d)
(e)
将(d)、(e)两式代入(c)得
(f)
联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力
杆①与杆②承受的是压力，杆③承受的是拉力，各杆的温度应力为
(MPa)
(MPa)
【例题】两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为 (如图41(a)所示)现需将制造的过长 的铜杆3(如图(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有间距 。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径 ，铜杆横截面为 的矩形，钢的弹性模量 210GPa，铜的弹性模量 100GPa。铸铁很厚，其变形可略去不计。
(a)
(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆 和 的横截面面积分别为
， 。根据强度条件
得两杆的许可轴力为
(3)求许可荷载。将 和 分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为
所以该结构的许可荷载应取 。
【例题】已知阶梯形直杆受力如图(a)所示，材料的弹性模量 ，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：
Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得